第二章 实数（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第二章 实数（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．64的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D． 3．计算的结果是（    ） A．1 B． C．5 D． 4．估计的大小应（    ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 5．下列说法正确的是（   ） A．有理数和数轴上的点一一对应 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 6．若a，b为实数，，则化简式子等于（　　） A．a B． C．b D． 7．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．计算： ． 10．在实数，，，中，最小的数是 ． 11．已知，，则 ． 12．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 13．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）计算： 15．（本题5分）已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 16．（本题5分）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 17．（本题5分）已知是的算术平方根，正数的平方是，是的立方根，求的值． 18．（本题5分）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 19．（本题5分）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 20．（本题6分）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 21．（本题6分）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 22．（本题7分）如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为和的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． (1)原长方形空地的长为______m，宽为______m； (2)求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； (3)求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 23．（本题7分）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 24．（本题7分）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 25．（本题8分）同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握无理数的定义和常见形式是解题关键．无理数是指无限不循环小数，常见形式为：开方开不尽的数；含的数或式子；像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此对各选项加以分析判断即可． 【详解】解：A. 是有理数，故本选项不符合题意； B. 是无理数，本选项符合题意； C. ，是有理数，故本选项不符合题意； D. ，是有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．64的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义，判断即可． 【详解】解：因为 64的算术平方根是8 故选：C． 3．计算的结果是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了求一个数的立方根．根据绝对值，立方根的定义进行计算可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 4．估计的大小应（    ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键．先根据，得出，从而得出，可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的大小应在之间， 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．有理数和数轴上的点一一对应 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是或 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查了实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义等，根据实数和实数与数轴的关系，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、实数和数轴上的点一一对应，原选项说法不正确，不符合题意； 、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意； 、实数分为正实数，和负实数，原选项说法不正确，不符合题意； 、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，原选项说法不正确，不符合题意； 故选：． 6．若a，b为实数，，则化简式子等于（　　） A．a B． C．b D． 【答案】C 【知识点】化简绝对值、利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了实数的绝对值和二次根式的性质，利用绝对值和二次根式的性质化简后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设中边上的高为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．计算： ． 【答案】4 【知识点】利用二次根式的性质化简、有理数的乘方运算 【分析】先计算有理数的乘方，再进行二次根式的化简， 本题考查了，有理数的乘方，二次根式的化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：， 故答案为：4． 10．在实数，，，中，最小的数是 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴实数，，，中，最小的数是， 故答案为：． 11．已知，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 12．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，根据流程图逐个求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 输入时， ，是有理数，再次返回输入得到是无理数输出， 故答案为：． 13．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 【答案】10 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积为， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长为，重叠部分边长为， 空白部分的长为， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故答案为：10 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（本题5分）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、负整数指数幂、实数的混合运算、化简绝对值 【分析】本题考查了二次根式的化简、负整数指数幂的概念、绝对值的相关知识和实数的有关运算，是对基本概念和基本技能的考查，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 按照实数的运算法则依次计算即可． 【详解】解： ． 15．（本题5分）已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 【答案】(1)正方体的棱长为cm，体积为cm3 (2)cm 【知识点】立方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根． （1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可． 【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：， 解得：或（舍去），即棱长为cm， 体积为(cm3)， 答：正方体的棱长为cm，体积为cm3； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：， 解得：， 所以每个小正方体的棱长为cm． 答：每个小正方体的棱长为cm． 16．（本题5分）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则，把d与f代入公式计算求出v的值是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：（千米/小时）， ∵， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 17．（本题5分）已知是的算术平方根，正数的平方是，是的立方根，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】由算术平方根，立方根的定义，即可计算． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵正数的平方是， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴ ． ∴的值为． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，求代数式的值，算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 18．（本题5分）如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】(1) (2)585千克 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 19．（本题5分）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 20．（本题6分）图①是由四个边长为1的小正方形拼成的方格图，将图②沿虚线划分成四个完全相同的直角三角形，然后把这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形．若图②中小正方形的面积为1，求图②中大正方形的边长． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】主要考查了算术平方根的应用，有理数混合运算的应用，由题可知，图2中间小正方形的面积是1，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积；把大正方形的面积的值开方即可得到大正方形的边长． 【详解】解：根据题意，得图②中大正方形的面积为， 图②中大正方形的边长为． 21．（本题6分）如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 22．（本题7分）如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为和的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． (1)原长方形空地的长为______m，宽为______m； (2)求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； (3)求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 【答案】(1)16，9 (2)围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度为57m (3)长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积为 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的化简和运算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为，，再利用算术平方根的性质化简，即可求解； （2）根据题意求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度，即可求解； （3）先求出阴影部分的长和宽，再求其面积即可． 【详解】（1）根据题意得：正方形的边长分别为，正方形的边长分别为， ， 故答案为：16，9； （2）根据题意得：围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度为：； （3）根据题意得：， 长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积为 23．（本题7分）阅读下面的文字，解答问题： 【阅读材料】现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)___________，_________；________，__________． (2)如果，，求的立方根． 【答案】(1)1，，3， (2)2 【知识点】求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出，的值，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ，，，， 故答案为：1，，3，； （2）解：，， ，， ， 的立方根是2． 24．（本题7分）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题： (1)如图①，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，求的值； (2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用 【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用； （1）由数轴上的两点距离得，可得，求出代入计算即可求解； （2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解； 能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1，， ， ，， ， 解得：， ； （2）解：根据题意得 阴影部分的长为 （） 宽为，                               ∴阴影部分的面积为 （）． 25．（本题8分）同州湖音乐喷泉“灯光秀”曾成为我县一道美丽的风景．为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯．假定湖两岸是平行的，如图1所示，，，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯、灯转动的速度分别是度/秒、度/秒．且满足． (1)填空：_________，_________； (2)若灯射线转动24秒后，灯射线开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束交于点．点在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点，使得为定值？若存在，请求出的度数和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，3 (2)当B灯转动12秒或84秒时，两灯的光束互相平行 (3)存在，，． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了非负数的性质，平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值； （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可； （3）设灯B射线转动时间为秒，根据，，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 ； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：． 理由：设灯B射线转动时间为秒， ∵， ∴， 又∵， ∴，而， ∴， ∴当时，在转动过程中，存在一点D，使得k为定值， 此时，． 26．（本题10分）如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①25；② 【知识点】化为最简二次根式、最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． （1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）①仿照（2）构造，设 则，同理求出的长即可得到答案；②将转换为，构造，设 则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所作： 根据两点之间线段最短可知，连接交于点C，点C即为所求； （2）解：如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：①如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设 则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ②如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设 则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$