第六讲 多边形的面积（单元讲义）-2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（人教版） 第六讲 多边形的面积 （导图+知识精讲+高频易错点+十二大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.引导学生运用转化的思想，推导出平行四边形、三角形、梯形、长方形等平面图形的面积公式，形成空间观念、建立良好的认知结构。 2.通过观察、对比发现梯形公式的通用性，关联图形之间的关系，实现思维的结构化。 3.经历梳理、沟通、迁移等数学思维过程，培养推理能力、提升思维水平、发展应用能力。 重点：1.利用转化的思想多角度沟通多边形面积之间的联系。 2.掌握平面图形等积变化的内在规律。 难点：通过学习图形的转化、公式的通用、有序思考等数学方法，让学生掌握用旧知解决新问题的能力。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 3 考点一：平行四边形面积的计算 4 考点二：平行四边形面积的应用 4 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 5 考点四：三角形面积的计算 6 考点五：三角形面积的应用 7 考点六：平行线间三角形的面积问题 8 考点七：梯形面积的计算 9 考点八：梯形面积的应用 9 考点九：与梯形相关的重叠问题 10 考点十：不规则图开的面积 11 考点十一：含多边形的组合图形的面积 12 考点十二：求组合图形中阴影部分的面积 13 中等题真题训练 14 拔高题真题训练 17 知识梳理精讲 知识点01：平行四边形面积 如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底，用h表示平行四边形的高，平行四边形的面积计算公式可以写成：S＝ah。 知识点02：三角形的面积 两个完全相同的三角形可拼成平行四边形，三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为：S＝ah÷2 知识点03：梯形的面积 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示为：S=（a+b）h÷2 知识点04：组合图形的面积 1. 组合图形面积的求法：把组合图形分割或者拼凑成已学过的简单图形,再算这些简单图形的面积的和,就是组合图形的面积。 2.不规则图形面积的求法：数方格的方法进行估算；把不规则的图形转化为学过的图形进行估算。 高频易错点拨 易错点01：平行四边形的面积 1.用数方格的方法计算面积时，不满一格的按半格计算。 2.判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。 3.平行四边形的面积与它的底和高有关，底扩大到原来的n倍（n≠0），高缩小到原来的 n 分之一，面积不变。 4.求平行四边形的面积，先要找到底和与其相对应的高，再计算。 易错点02：三角形的面积 三角形的面积 1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半。 2.计算三角形的面积时，不要忘记底乘高后再除以2。 3.已知三角形的面积和底（或高）求高（或底）时，不要忘记三角形的面积要先乘2。 易错点03：梯形的面积 1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。 2.计算梯形的面积时，不要忘记除以2。 易错点04：组合图形的面积 1.在对组合图形进行分解时，一定要考虑到分别求面积时所需要的数据条件下是否充分。将组合图形分成几个简单图形，计算每个简单图形的面积时要找准数据。 考点一：平行四边形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·北京昌平·期中）把一个平行四边形框架拉成一个长方形，原来的平行四边形与现在的长方形相比（    ）。 A．周长变了，面积变了 B．周长变了，面积不变 C．周长不变，面积变了 【精练题1】（23-24五年级上·全国·期末）下图，一条边上的高是4cm，这个平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．20 B．15 C．12 【精练题2】（（23-24五年级上·广西玉林·期末）如图，把一个长方形框架拉成了一个平行四边形，周长( )，面积( )。（填“变大”“变小”或“不变”） 考点二：平行四边形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，一个用木条订成的长方形框架ABCD的面积是79.2cm2，将它拉伸成一个平行四边形BCEF，面积是43.2cm2，如果DG＝4cm，BC的长度＝（    ）cm。 A．4.8 B．8.8 C．9 D．36 【精练题1】（23-24四年级上·全国·课后作业）学校暑期进行装修，购买了一些原木做材料，工人在摆放时，最下面一层放16根，上面每一层都比下一层少1根，最上面一层放8根，刚好放完。这堆原木一共有多少根？ 【精练题2】（23-24五年级上·全国·课后作业）一个平行四边形，如果底增加3厘米，高不变，面积就增加6平方厘米；如果底不变，高减少1厘米，面积则减少4平方厘米，原来平行四边形的面积是多少？ 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·福建福州·期末）同学们在研究如何解决平行四边形面积的问题时，想到了以下的方法： （1）在你认为可以推导出平行四边形面积公式的同学名字下画“√”。 （2）根据以上推导过程，说一说平行四边形的面积为什么用底×高可以求出。 【精练题1】（22-23五年级上·重庆璧山·期末）育英小学开设劳动教育课程，规划了一块平行四边形菜地，中间有1米宽的小路（如图）。如果菜地每平方米收5.4千克白菜，这块地共收白菜多少千克？ 【精练题2】（19-20四年级下·河北衡水·期末）下面方格图中平行四边形的面积是多少？我们利用平移的知识研究一下。图中的方格都是边长1厘米的正方形。是平行四边形的一条高。 （1）把三角形向右平移5格，画出平移后的图形。并把四边形以及平移后的图形涂成阴影。 （2）观察，填空。 平移后的三角形与四边形拼成了一个（    ）形，拼成的这个图形面积是（    ）平方厘米。所以原来平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 考点四：三角形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·河北承德·期末）一个平行四边形的底是2.7米，高是1米，与它等底等高的三角形的面积是（    ）平方米。 A．2.7 B．1.35 C．5.4 【精练题1】（23-24五年级上·河南焦作·期末）一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28平方厘米，这个三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．14 B．28 C．42 【精练题2】（23-24五年级上·河北承德·期末）下图中小方格是边长是1厘米。画出两个面积都是12平方厘米的三角形（形状不同）。 考点五：三角形面积的应用 【精讲题】（21-22五年级上·河南新乡·期末）一块三角形的玻璃，量得它的底长是1.5米，高是1.2米，如果每平方米的玻璃的价格是38元，买这块玻璃至少要多少元？ 【精练题1】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，学校在围墙的一角靠墙用篱笆建了一个直角三角形花坛，需要多长的篱笆？ 【精练题2】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，已知长方形ABCD的长是8厘米，宽是4厘米，阴影三角形GEC的面积是10平方厘米，求OF的长。 考点六：平行线间三角形的面积问题 【精讲题】（23-24五年级上·全国·单元测试）下图所示的平行四边形中，阴影部分的面积与空白部分的面积相比较（    ）。 A．阴影部分面积大 B．空白部分面积大 C．空白部分和阴影部分的面积一样大 【精练题1】（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，直线，、为直线上的两点，为直线上的两点，如果、、三点固定不动，点在上移动，那么无论点移动到何处，则图中面积相等的三角形有：( )。 【精练题2】（2024·全国·小升初模拟）如图，面积，点为中点，点为上任意一点，与平行。则的面积为( )。 考点七：梯形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·河南新乡·期末）《九章算术》卷一记载这样一道数学题：今有邪田一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步，问为田几何？意思是：今有直角梯形田，上底长30步，下底长42步，底边上的高长64步。这块田的面积是( )平方步。 【精练题1】（23-24五年级上·河南许昌·期末）一个梯形的下底是9cm，高是6cm，当上底延长3cm时，梯形变成了平行四边形，这个梯形的面积是( )cm2；当上底缩短为0时，梯形就变成三角形，该三角形的面积是( )cm2。 【精练题2】（21-22五年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算下面各图的面积。 考点八：梯形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·广西玉林·期末）靠墙边围成一个梯形花坛，围花坛的篱笆长58米，求这个花坛的面积。 【精练题1】（21-22五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个养猪场的平面图如下，这个养猪场一面靠墙，其它三面用铁丝网围起来，已知铁丝网的长度是550米，求这个养猪场的面积。 【精练题2】（21-22五年级上·浙江台州·期末）李大伯利用墙围了一个菜园（如下图）。已知所用篱笆全长18米。 （1）请你帮李大伯算一算，当x＝4时，这个菜园的面积是多少平方米？ （2）李大伯想用18米的篱笆围成面积尽可能大的菜园，请你帮他算一算，当x＝（    ）时，菜园面积最大。（x为整数） 考点九：与梯形相关的重叠问题 【精讲题】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 【精练题1】2014五年级·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【精练题2】（2020六年级下·全国·专题练习）如图，有两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 考点十：不规则图形的面积 【精讲题】（22-23五年级上·福建莆田·期末）下图中是两个正方形（单位：厘米），阴影部分的面积是( )平方厘米。 【精练题1】（2014五年级·全国·课时练习）如图是边长6米的正方形和梯形拼成的“火炬”，梯形的上底长9米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高且长为3米，CD长为2米，那么，图中阴影部分的面积是多少平方米？ 【精练题2】（23-24五年级上·河南新乡·期末）下面每个方格都是边长为1厘米的正方形，在方格纸上画一画并完成填空。 （1）A图形的面积大约是（    ）平方厘米。B图形的顶点对应的数对分别是：D（    ），E（    ），F（    ），G（    ）。 （2）在图中画一个三角形C，使它的面积和B图形的面积相等，并计算出C图形的面积。 考点十一：含多边形的组合图形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·河北承德·期末）计算图形面积。    【精练题1】（23-24五年级上·全国·单元测试）求下面阴影部分或多边形的面积（单位：cm）。         【精练题2】（23-24五年级上·全国·单元测试）粉刷办公室的一面墙（如图所示，单位：米）。 （1）需要粉刷的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米用涂料0.55千克，每千克涂料2.8元，粉刷这面墙大约要用多少元？ 考点十二：求组合图形中阴影部分的面积 【精讲题】（23-24五年级上·河南焦作·期末）计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）         【精练题1】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，四边形AECD是平行四边形，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【精练题2】（23-24五年级上·福建福州·期末）计算如图阴影部分的面积。（单位：cm） 中等题真题训练 1．（23-24五年级上·河南焦作·期末）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于（    ）。 A．梯形的高 B．梯形的下底 C．梯形的上底加下底 2．（23-24五年级上·浙江绍兴·期末）观察下图三个平行四边形，你认为说法正确的是（    ）。 A．它们形状相同，面积相等 B．它们形状不相同，面积不相等 C．它们形状不相同，面积相等 3．（23-24五年级上·河南安阳·期末）工地上有一堆钢管，已知最上面一层只有1根，最下面一层12根，而且下一层总比上一层多1根，这堆钢管共有（    ）根。 A．72 B．78 C．156 4．（23-24五年级上·全国·单元测试）一个梯形上底与下底的和是31cm，高是18cm，这个梯形的面积是( )cm2。 5．（23-24五年级上·全国·单元测试）一块三角形草坪的面积是560平方米，高是16米，它的底是( )米。 6．（23-24五年级上·河南安阳·期末）图中，阴影部分和空白部分面积一样大。( ) 7．（21-22五年级上·河南许昌·期末）周长相等的长方形和平行四边形，面积也相等。( ) 8．（23-24五年级上·全国·单元测试）一个花圃的形状与平行四边形相似（如图），它的面积大约是多少平方米？ 9．（22-23五年级上·湖南长沙·期末）一条水渠的横截面是梯形（如图）。渠口宽2.4米，渠底宽1.2米，渠深1.4米。横截面的面积是多少平方米？ 10．（22-23五年级上·江西南昌·期中）张师傅在杭州开店，一次他承接了一个小区一批相同的铝合金窗户工程，共计个，形状如下图。一个窗户的面积是多少平方米？每平方米的报价是元，张师傅一共可以收到多少工程款？（单位：分米） 11． （23-24五年级上·全国·单元测试）有一块平行四边形钢板，底是9分米，高是6.8分米。如果每平方分米钢板重0.75干克，这块钢板重多少干克？ 12．（22-23四年级下·山东济南·期中）计算下面图形的面积。 （1） （2） 13．（23-24五年级上·江西赣州·期末）方格中每个小正方形的边长均表示1厘米。 （1）根据面积计算公式（3＋5）×2÷2，在图中把图形画完整。 （2）在图中画一个和它面积相等的平行四边形。 （3）在图中画一个底是4厘米，高是6厘米的三角形。 拔高题真题训练 14．（23-24五年级上·河南洛阳·期中）学习平行四边形面积的时候，小布和小新用两种不同的方法将平行四边形变成了长方形。如图所示，选项中说法正确的是（    ）。 A．小布的做法面积不变。 B．小新的做法面积不变。 C．他俩的做法面积都不变。 D．他俩的做法面积都变了。 15．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，下面各图形都是由一个边长为6厘米的大正方形和一个边长为4厘米的小正方形组成的。阴影部分面积相等的是（    ）。 A．①② B．①④ C．③④ 16．（21-22五年级上·吉林通化·期末）比较下面阴影部分的面积，（    ）是错误的。 ①                ②                  ③                      ④ A．图①中阴影部分的面积等于图②中阴影部分的面积 B．图②中阴影部分的面积等于图③中阴影部分的面积 C．图③中阴影部分的面积不等于图④中阴影部分的面积 17．（21-22五年级上·河南新乡·期末）一个平行四边形的面积是48cm2，高是5cm，底是( )cm，与平行四边形等底等高的三角形的面积是( )cm2。 18．（23-24五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）推导平行四边行、三角形、梯形面积计算公式都用到了( )的方法，当梯形的上底和下底相等时，就成了( )，当梯形的上底为0时就成了( )。 19．（23-24五年级上·江西赣州·期末）有一口形状类似梯形的池塘，上底和高都是12米，下底是上底的1.5倍，它的面积是( )。 20．（23-24五年级上·全国·单元测试）如图所示，已知四边形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点，且四边形EDFB的面积是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 21．（23-24五年级上·河南洛阳·期中）一个三角形的面积是24平方分米，高是8分米，底是3分米。( ) 22．（23-24五年级上·全国·单元测试）图形中，阴影①和阴影②的面积相等。( )（对的画“√”；错的画“×”，并说明理由或改正。） 。 23．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，长方形ABCD，AB＝8厘米，BC＝6厘米，三角形AFB的面积比三角形FED的面积大12平方厘米，求DE的长度。 24．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，张杨从下面的这张梯形彩纸中剪出一个直角三角形，这个梯形的高是多少厘米？ 25．（23-24五年级上·全国·课后作业）手工课上要裁一些两条直角边分别为4分米和2分米的直角三角形做小红旗，已经准备好了一张长1米、宽6分米的长方形卡纸，这张卡纸里最多能裁出多少个这样的直角三角形？ 26．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的面积是100平方厘米，三角形ABE的面积是36平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 27．（23-24五年级上·全国·单元测试）计算下面各图形的面积。（单位：分米） 28．（2023三年级下·全国·竞赛）如图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 29．（22-23五年级上·湖南长沙·期末）已知一个平行四边形四个顶点的位置分别是A（2，6），B（7，6），C（10，2），D（5，2）。 （1）请在方格纸上找到四个顶点，并画出这个平行四边形。 （2）如果每个小方格的边长是1厘米，那么这个平行四边形的面积是多少平方厘米？请列式计算。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级上册数学举一反三变式拓展（人教版） 第六讲 多边形的面积 （导图+知识精讲+高频易错点+十二大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.引导学生运用转化的思想，推导出平行四边形、三角形、梯形、长方形等平面图形的面积公式，形成空间观念、建立良好的认知结构。 2.通过观察、对比发现梯形公式的通用性，关联图形之间的关系，实现思维的结构化。 3.经历梳理、沟通、迁移等数学思维过程，培养推理能力、提升思维水平、发展应用能力。 重点：1.利用转化的思想多角度沟通多边形面积之间的联系。 2.掌握平面图形等积变化的内在规律。 难点：通过学习图形的转化、公式的通用、有序思考等数学方法，让学生掌握用旧知解决新问题的能力。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 3 考点一：平行四边形面积的计算 4 考点二：平行四边形面积的应用 5 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 7 考点四：三角形面积的计算 10 考点五：三角形面积的应用 11 考点六：平行线间三角形的面积问题 13 考点七：梯形面积的计算 14 考点八：梯形面积的应用 16 考点九：与梯形相关的重叠问题 19 考点十：不规则图开的面积 21 考点十一：含多边形的组合图形的面积 23 考点十二：求组合图形中阴影部分的面积 26 中等题真题训练 28 拔高题真题训练 34 知识梳理精讲 知识点01：平行四边形面积 如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底，用h表示平行四边形的高，平行四边形的面积计算公式可以写成：S＝ah。 知识点02：三角形的面积 两个完全相同的三角形可拼成平行四边形，三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。三角形的面积＝底×高÷2，用字母表示为：S＝ah÷2 知识点03：梯形的面积 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示为：S=（a+b）h÷2 知识点04：组合图形的面积 1. 组合图形面积的求法：把组合图形分割或者拼凑成已学过的简单图形,再算这些简单图形的面积的和,就是组合图形的面积。 2.不规则图形面积的求法：数方格的方法进行估算；把不规则的图形转化为学过的图形进行估算。 高频易错点拨 易错点01：平行四边形的面积 1.用数方格的方法计算面积时，不满一格的按半格计算。 2.判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。 3.平行四边形的面积与它的底和高有关，底扩大到原来的n倍（n≠0），高缩小到原来的 n 分之一，面积不变。 4.求平行四边形的面积，先要找到底和与其相对应的高，再计算。 易错点02：三角形的面积 三角形的面积 1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半。 2.计算三角形的面积时，不要忘记底乘高后再除以2。 3.已知三角形的面积和底（或高）求高（或底）时，不要忘记三角形的面积要先乘2。 易错点03：梯形的面积 1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。 2.计算梯形的面积时，不要忘记除以2。 易错点04：组合图形的面积 1.在对组合图形进行分解时，一定要考虑到分别求面积时所需要的数据条件下是否充分。将组合图形分成几个简单图形，计算每个简单图形的面积时要找准数据。 考点一：平行四边形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·北京昌平·期中）把一个平行四边形框架拉成一个长方形，原来的平行四边形与现在的长方形相比（    ）。 A．周长变了，面积变了 B．周长变了，面积不变 C．周长不变，面积变了 【答案】C 【思路点拨】把一个平行四边形拉成一个长方形，四边的长度不变，则周长不变，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，长方形的面积公式：S＝ab，把一个平行四边形拉成一个长方形（边长不变），由于长方形的宽大于平行四边形的高，所以拉成长方形的面积大于平行四边形的面积。据此解答。 【规范解答】因为把平行四边形拉成长方形，四个边的长度没变，则其周长不变； 但是它的高变长了，所以它的面积就变大了。 故答案为：C 【精练题1】（23-24五年级上·全国·期末）下图，一条边上的高是4cm，这个平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．20 B．15 C．12 【答案】C 【思路点拨】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，过平行四边形的一个顶点作平行四边形的高，那么根据直角三角形中斜边大于直角边可知，高为4cm一定是边长为3cm的边上的高；再根据平行四边形的面积＝底×高，由此列式解答。 【规范解答】（cm2） 这个平行四边形的面积是12cm2。 故答案为：C 【精练题2】（（23-24五年级上·广西玉林·期末）如图，把一个长方形框架拉成了一个平行四边形，周长( )，面积( )。（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】 不变 变小 【思路点拨】封闭图形一周的长度是周长，把一个长方形框架拉成了一个平行四边形，四条边的长度不变，因此周长不变；长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高，将长方形的长和宽与平行四边形的底和高进行比较，即可得出面积的变化情况。 【规范解答】看图可知，长方形的周长＝平行四边形的周长 长方形的长＝平行四边形的底，长方形的宽＞平行四边形的高 因此长方形的长×宽＞平行四边形的底×高，即长方形的面积＞平行四边形的面积 把一个长方形框架拉成了一个平行四边形，周长不变，面积变小。 考点二：平行四边形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，一个用木条订成的长方形框架ABCD的面积是79.2cm2，将它拉伸成一个平行四边形BCEF，面积是43.2cm2，如果DG＝4cm，BC的长度＝（    ）cm。 A．4.8 B．8.8 C．9 D．36 【答案】C 【思路点拨】根据梯形可知，长方形的长等于平行四边形的底；长方形面积公式：面积＝长×宽；长方形ABCD的面积＝BC×CD；平行四边形的面积公式：面积＝底×高；平行四边形BCEF的面积＝BC×CG；长方形面积－平行四边形面积＝BC×CD－BC×CG；由此可知，长方形面积－平行四边形面积＝BC×（CD－CG）；因为CD－CG＝DG＝4cm，所以长方形面积－平行四边形面积＝BC×4；由此求出BC，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： BC＝（79.2－43.2）÷4 ＝36÷4 ＝9（cm） 如图，一个用木条订成的长方形框架ABCD的面积是79.2cm2，将它拉伸成一个平行四边形BCEF，面积是43.2cm2，如果DG＝4cm，BC的长度＝9cm。 故答案为：C 【精练题1】（23-24四年级上·全国·课后作业）学校暑期进行装修，购买了一些原木做材料，工人在摆放时，最下面一层放16根，上面每一层都比下一层少1根，最上面一层放8根，刚好放完。这堆原木一共有多少根？ 【答案】108根 【思路点拨】可以采用拼接法，把这堆原木倒过来放置，再跟原来的原木放置在一起，如下图所示： 原木摆放的层数就用最下层的原木根数减去最上层的原木根数，再除以2，就是原木摆放的层数，根据平行四边形的面积＝底×高，即（16＋8）×层数，算出两份原木一共有多少根，再除以2就是一份原木的根数。据此解答即可。 【规范解答】16－8＋1＝9（层） （8＋16）×9 ＝24×9 ＝216（根） 216÷2＝108（根） 答：这堆原木一共有108根。 【精练题2】（23-24五年级上·全国·课后作业）一个平行四边形，如果底增加3厘米，高不变，面积就增加6平方厘米；如果底不变，高减少1厘米，面积则减少4平方厘米，原来平行四边形的面积是多少？ 【答案】8平方厘米 【思路点拨】已知一个平行四边形的高不变，底增加3厘米，面积增加6平方厘米，根据平行四边形的高＝面积÷底，求出原来的高； 已知平行四边形的底不变，高减少1厘米，面积减少4平方厘米，根据平行四边形的底＝面积÷高，求出原来的底； 最后根据平行四边形的面积＝底×高，求出原来平行四边形的面积。 【规范解答】原来的高：6÷3＝2（厘米） 原来的底：4÷1＝4（厘米） 原来平行四边形的面积：4×2＝8（平方厘米） 答：原来平行四边形的面积是8平方厘米。 考点三：利用平移法求平行四边形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·福建福州·期末）同学们在研究如何解决平行四边形面积的问题时，想到了以下的方法： （1）在你认为可以推导出平行四边形面积公式的同学名字下画“√”。 （2）根据以上推导过程，说一说平行四边形的面积为什么用底×高可以求出。 【答案】（1）如图： （2）见详解 【思路点拨】（1）李华是把平行四边形通过割补的方法，把它转化成长方形来推导平行四边形面积的计算方法。张明是把平行四边形通过割补的方法，把它转化成长方形来推导平行四边形面积的计算方法。平行四边形的面积＝底×高，王宁是把平行四边形转化成长方形，长是平行四边形的底，宽大于平行四边形的高，数值不相等，所以他的推导方法是错误的。 （2）根据两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，把两个完全一样的三角形重合，把其中一个旋转180°，再平移可拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，所以三角形的面积是和它等底等高的平行四边形面积的一半，据此解答。（答案不唯一） 【规范解答】（1）解答如下： （2）如图： 根据两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，把两个完全一样的三角形重合，把其中一个旋转180°，再平移可拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，所以三角形的面积是和它等底等高的平行四边形的面积的一半，据此解答。（答案不唯一） 【考点评析】本题考查平行四边形面积公式的推导，解题关键是理解并掌握平行四边形、长方形面积公式的推导方法。 【精练题1】（22-23五年级上·重庆璧山·期末）育英小学开设劳动教育课程，规划了一块平行四边形菜地，中间有1米宽的小路（如图）。如果菜地每平方米收5.4千克白菜，这块地共收白菜多少千克？ 【答案】486千克 【思路点拨】通过平移，可以将菜地拼成一个平行四边形，平行四边形的底＝大平行四边形的底－小路宽，根据平行四边形面积＝底×高，求出菜地面积，菜地面积×每平方米收白菜质量＝共收白菜质量，据此列式解答。 【规范解答】（16－1）×6×5.4 ＝15×6×5.4 ＝90×5.4 ＝486（千克） 答：这块地共收白菜486千克。 【精练题2】（19-20四年级下·河北衡水·期末）下面方格图中平行四边形的面积是多少？我们利用平移的知识研究一下。图中的方格都是边长1厘米的正方形。是平行四边形的一条高。 （1）把三角形向右平移5格，画出平移后的图形。并把四边形以及平移后的图形涂成阴影。 （2）观察，填空。 平移后的三角形与四边形拼成了一个（    ）形，拼成的这个图形面积是（    ）平方厘米。所以原来平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解； （2）长方；15；15 【思路点拨】（1）根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移5格，平移后三角形的对应顶点与重合，与重合，依次连结即可得到平移后的三角形（或三角形），并把四边形以及平移后的图形涂成阴影。 （2）平移后的三角形与四边形拼成了一个长方形，拼成的这个图形面积是：（平方厘米）。所以原来平行四边形的面积是15平方厘米（长方形的长即原平行四边形的底，长方形的宽即原平行四边形的高，从而推出平行四边形的面积计算公式“” 。 【规范解答】（1）把三角形向右平移5格，画出平移后的图形。并把四边形以及平移后的图形涂成阴影（下图）。 （2）5×3＝15（平方厘米） 平移后的三角形与四边形拼成了一个长方形，拼成的这个图形面积是15平方厘米。所以原来平行四边形的面积是15平方厘米。 【考点评析】此题主要是考查由长方形面积推导平行四边形面积计算公式的过程，图形平移后只是位置的变化，形状、大小不变。 考点四：三角形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·河北承德·期末）一个平行四边形的底是2.7米，高是1米，与它等底等高的三角形的面积是（    ）平方米。 A．2.7 B．1.35 C．5.4 【答案】B 【思路点拨】与平行四边形等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半。平行四边形的面积＝底×高，据此求出平行四边形的面积，再除以2即可解答。 【规范解答】2.7×1÷2＝1.35（平方米），则与它等底等高的三角形的面积是1.35平方米。 故答案为：B 【精练题1】（23-24五年级上·河南焦作·期末）一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28平方厘米，这个三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．14 B．28 C．42 【答案】B 【思路点拨】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28平方厘米，说明这个三角形的面积是28平方厘米。 【规范解答】通过分析可得：这个三角形的面积是28平方厘米。 故答案为：B 【精练题2】（23-24五年级上·河北承德·期末）下图中小方格是边长是1厘米。画出两个面积都是12平方厘米的三角形（形状不同）。 【答案】见详解（答案不唯一） 【思路点拨】三角形的面积＝底×高÷2，则面积是12平方厘米的三角形的底×高＝12×2＝24（平方厘米）。24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，任选其中的2组数据作为三角形的底和高画图即可。 【规范解答】 （答案不唯一） 考点五：三角形面积的应用 【精讲题】（21-22五年级上·河南新乡·期末）一块三角形的玻璃，量得它的底长是1.5米，高是1.2米，如果每平方米的玻璃的价格是38元，买这块玻璃至少要多少元？ 【答案】34.2元 【思路点拨】根据三角形面积＝底×高÷2，先求出这块玻璃的面积，玻璃面积×每平方米价格＝需要的钱数，据此列式解答。 【规范解答】1.5 ＝0.9×38 ＝（元） 答：买这块玻璃至少要34.2元。 【精练题1】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，学校在围墙的一角靠墙用篱笆建了一个直角三角形花坛，需要多长的篱笆？ 【答案】25米 【思路点拨】据观察发现篱笆和墙角围成了一个直角三角形，根据，可以先把一条直角边看成底，另一条直角边看成高，求出三角形的面积，已知斜边上的高是12米再根据三角形面积×2÷高＝底，这个底边就是所求的三角形的斜边。 【规范解答】 （平方米） （米） 答：需要25米长的篱笆。 【精练题2】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，已知长方形ABCD的长是8厘米，宽是4厘米，阴影三角形GEC的面积是10平方厘米，求OF的长。 【答案】3厘米 【思路点拨】如图：连接OA，OB。三角形AEO与三角形GEO同底等高，它们的面积相等；三角形BEO与三角形CEO的面积也相等，因此阴影部分的面积与三角形ABO的面积相等，那么三角形ABO的面积也是10平方厘米。EO是三角形ABO的高，根据三角形的面积＝底×高÷2，可知三角形的面积×2÷底＝高，据此求出OE的长，再用8减去OE的长就是OF的长。 【规范解答】10×2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 8－5＝3（厘米） 答：OF的边长是3厘米。 【考点评析】连接OA，OB，利用三角形AEO与三角形GEO同底等高，把阴影部分的面积转化为三角形ABO的面积是解题的关键。 考点六：平行线间三角形的面积问题 【精讲题】（23-24五年级上·全国·单元测试）下图所示的平行四边形中，阴影部分的面积与空白部分的面积相比较（    ）。 A．阴影部分面积大 B．空白部分面积大 C．空白部分和阴影部分的面积一样大 【答案】C 【思路点拨】阴影部分是三个三角形的面积和，这三个三角形底的和等于平行四边形的底，高等于平行四边形的高，所以这三个阴影三角形的面积和等于平行四边形的面积的一半，空白部分的面积也等于平行四边形面积的一半。 【规范解答】由分析可知：阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积与空白部分的面积相等。 故答案为：C 【精练题1】（23-24六年级下·四川绵阳·期末）如图，直线，、为直线上的两点，为直线上的两点，如果、、三点固定不动，点在上移动，那么无论点移动到何处，则图中面积相等的三角形有：( )。 【答案】△PAB与△ABC、△PAC和△PBC 【思路点拨】平行线间的距离处处相等，三角形面积＝底×高÷2，△PAB与△ABC的面积相等，理由是：同底等高；△PAC的面积与△PBC的面积相等，根据是同底等高，据此解答即可。 【规范解答】图中面积相等的三角形有：△PAB与△ABC、△PAC和△PBC。 【考点评析】本题考查三角形的面积、平行，解答本题的关键是掌握三角形的面积计算公式。 【精练题2】（2024·全国·小升初模拟）如图，面积，点为中点，点为上任意一点，与平行。则的面积为( )。 【答案】12 【思路点拨】因为M是AB的中点，则的面积＝面积的一半＝12cm2。又因为MD与EC平行，所以这两条直线之间的距离是相等的，则和都是底为MD，高是两条直线之间的距离，则这两个三角形等底等高，则面积也相等。而的面积＝面积＋面积＝面积＋面积＝的面积。所以△EBD的面积等于△ABC面积的一半。据此解答。 【规范解答】根据分析得，△EBD的面积等于△ABC面积的一半。 24÷2＝12（cm2） 则的面积为12 cm2。 考点七：梯形面积的计算 【精讲题】（23-24五年级上·河南新乡·期末）《九章算术》卷一记载这样一道数学题：今有邪田一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步，问为田几何？意思是：今有直角梯形田，上底长30步，下底长42步，底边上的高长64步。这块田的面积是( )平方步。 【答案】2304 【思路点拨】求直角梯形田的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可解答。 【规范解答】（30＋42）×64÷2 ＝72×64÷2 ＝4608÷2 ＝2304（平方步） 即这块田的面积是2304平方步。 【精练题1】（23-24五年级上·河南许昌·期末）一个梯形的下底是9cm，高是6cm，当上底延长3cm时，梯形变成了平行四边形，这个梯形的面积是( )cm2；当上底缩短为0时，梯形就变成三角形，该三角形的面积是( )cm2。 【答案】 45 27 【思路点拨】由“当上底延长3cm时，变成一个平行四边形”可知，梯形的上底是（9－3＝6）cm，带入梯形的面积计算＝（上底＋下底）×高÷2即可求出面积；当上底缩短为0时，得到一个底是9cm，高是6cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】9－3＝6（cm） （6＋9）×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 9×6÷2 ＝54÷2 ＝27（cm2） 一个梯形的下底是9cm，高是6cm，当上底延长3cm时，梯形变成了平行四边形，这个梯形的面积是45cm2；当上底缩短为0时，梯形就变成三角形，该三角形的面积是27cm2。 【精练题2】（21-22五年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算下面各图的面积。 【答案】3.41m2；525m2 【思路点拨】直角三角形两直角边可以看作底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【规范解答】2.2×3.1÷2＝3.41（m2） （14＋36）×21÷2 ＝50×21÷2 ＝525（m2） 三角形的面积是3.41m2，梯形的面积是525m2。 考点八：梯形面积的应用 【精讲题】（23-24五年级上·广西玉林·期末）靠墙边围成一个梯形花坛，围花坛的篱笆长58米，求这个花坛的面积。 【答案】380平方米 【思路点拨】观察图形可知，篱笆的长度是由上底、下底和20米组成的，已知篱笆长58米，则用（58－20）即可求出上底跟下底的和，然后根据梯形的面积公式即可求解。 【规范解答】（58－20）×20÷2 ＝38×20÷2 ＝380（平方米） 答：花坛的面积是380平方米。 【精练题1】（21-22五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一个养猪场的平面图如下，这个养猪场一面靠墙，其它三面用铁丝网围起来，已知铁丝网的长度是550米，求这个养猪场的面积。 【答案】30000平方米 【思路点拨】观察图形可知，养猪场是一个梯形，梯形的高是150米，一面靠墙，铁丝网的长度相当于梯形的上底和下底以及高的和，所以梯形的上底与下底的和等于（550－150）米，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可求出养猪场面积。 【规范解答】（550－150）×150÷2 ＝400×150÷2 ＝60000÷2 ＝30000（平方米） 答：这个养猪场的面积是30000平方米。 【精练题2】（21-22五年级上·浙江台州·期末）李大伯利用墙围了一个菜园（如下图）。已知所用篱笆全长18米。 （1）请你帮李大伯算一算，当x＝4时，这个菜园的面积是多少平方米？ （2）李大伯想用18米的篱笆围成面积尽可能大的菜园，请你帮他算一算，当x＝（    ）时，菜园面积最大。（x为整数） 【答案】（1）28平方米； （2）9 【思路点拨】（1）由图可知，上底＋下底＝篱笆全长－高，再利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出这个菜园的面积； （2）先根据梯形的面积计算公式用含有字母的式子表示出菜园的面积，再依次把x＝1，2，3，4…代入含有字母的式子求出结果，最后找出面积最大时x的值，据此解答。 【规范解答】（1）（18－4）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝56÷2 ＝28（平方米） 答：当x＝4时，这个菜园的面积是28平方米。 （2）梯形的面积表示为：（18－x）×x÷2 当x＝1时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－1）×1÷2 ＝17×1÷2 ＝8.5（平方米） 当x＝2时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－2）×2÷2 ＝16×2÷2 ＝16（平方米） 当x＝3时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－3）×3÷2 ＝15×3÷2 ＝22.5（平方米） 当x＝4时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－4）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝28（平方米） 当x＝5时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－5）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝32.5（平方米） 当x＝6时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－6）×6÷2 ＝12×6÷2 ＝36（平方米） 当x＝7时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－7）×7÷2 ＝11×7÷2 ＝38.5（平方米） 当x＝8时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－8）×8÷2 ＝10×8÷2 ＝40（平方米） 当x＝9时。 （18－x）×x÷2 ＝（18－9）×9÷2 ＝9×9÷2 ＝40.5（平方米） 所以，当x＝9时，菜园的面积最大。 【考点评析】掌握梯形的面积计算公式，按顺序列举做到不重复、不遗漏是解答题目的关键。 考点九：与梯形相关的重叠问题 【精讲题】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 【答案】520平方厘米 【思路点拨】两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，所以涂色部分的面积与梯形ABEG面积相等，AB＝DE＝32厘米，则GE＝DE－DG＝32－12＝20厘米，再根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形ABEG面积，即是涂色部分的面积。 【规范解答】梯形ABEG的上底是32－12＝20（厘米），下底是32厘米，高是20厘米； 面积：（20＋32）×20÷2 ＝52×20÷2 ＝520（平方厘米） 答：涂色部分梯形CFDG的面积是520平方厘米。 【精练题1】2014五年级·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】15平方厘米 【思路点拨】由图意可知：两个三角形都去掉公共部分（三角形DOC），则剩余部分的面积仍然相等，即阴影部分的面积＝梯形OEFC的面积，先求出梯形的上底，进而利用梯形的面积公式即可求解。 【规范解答】（9﹣3＋9）×2÷2 ＝15×2÷2 ＝15（平方厘米） 答：阴影部分的面积是15平方厘米。 【考点评析】解答此题的关键是明白：阴影部分的面积＝梯形OEFC的面积。 【精练题2】（2020六年级下·全国·专题练习）如图，有两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。 【答案】99平方厘米 【思路点拨】因为两个梯形的面积相等，减去中间重叠部分的面积，则可得阴影部分的面积就等于空白梯形下半部分的梯形的面积，且下半部分这个梯形的下底和高已知，上底可以求出，从而可以求其面积，也就求得了阴影部分的面积。 【规范解答】空白部分下半部分梯形：上底＝19－5＝14cm；下底等于19cm；高＝6cm （14＋19）×6÷2 ＝33×3 ＝99（平方厘米） 答：阴影部分的面积是99平方厘米。 【考点评析】此题考查不规则图形的问题的求法，一般都是利用转换成规则图形来求解。 考点十：不规则图开的面积 【精讲题】（22-23五年级上·福建莆田·期末）下图中是两个正方形（单位：厘米），阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18 【思路点拨】阴影部分的面积等于两个三角形的面积的和，小三角形的底和高就是小正方形的边长，大三角形的底是大正方形的边长，高是小正方形的边长。根据三角形的面积公式，求出两个三角形的面积，再相加即可得解。 【规范解答】 （平方厘米） 阴影部分的面积是18平方厘米。 【精练题1】（2014五年级·全国·课时练习）如图是边长6米的正方形和梯形拼成的“火炬”，梯形的上底长9米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高且长为3米，CD长为2米，那么，图中阴影部分的面积是多少平方米？ 【答案】25.5平方米 【思路点拨】如图所示，阴影部分的面积=正方形的面积+梯形的面积﹣（三角形AEF的面积+梯形AFGD的面积），将题目所给数据代入此等式即可求解． 【规范解答】 6×6+（6+9）×3÷2﹣[6××9÷2+（6﹣2+9）×6×÷2]， =36+45÷2﹣（27÷2+78×÷2）， =36+22.5﹣（13.5+19.5）， =58.5﹣33， =25.5（平方米）； 答：阴影部分的面积是25.5平方米． 【精练题2】（23-24五年级上·河南新乡·期末）下面每个方格都是边长为1厘米的正方形，在方格纸上画一画并完成填空。 （1）A图形的面积大约是（    ）平方厘米。B图形的顶点对应的数对分别是：D（    ），E（    ），F（    ），G（    ）。 （2）在图中画一个三角形C，使它的面积和B图形的面积相等，并计算出C图形的面积。 【答案】（1）12；（11，7）；（10，5）；（13，5）；（14，7） （2）见详解 【思路点拨】（1）已知每个方格是边长为1厘米的正方形，则1个方格的面积为1平方厘米，A图形的面积占了9个整格，6个半格，两个半格算一个整格，据此计算即可；再根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解答即可； （2）B图形为平行四边形，底为3厘米，高为2厘米，则该图形的面积为3×2＝6平方厘米，三角形C的面积与B图形的面积相等，因此三角形的底为4厘米，高为3厘米，据此作图即可。 【规范解答】（1）9＋6÷2 ＝9＋3 ＝12（平方厘米） 则A图形的面积大约是12平方厘米。B图形的顶点对应的数对分别是：D（11，7），E（10，5），F（13，5），G（14，7）。 （2）如图所示： 考点十一：含多边形的组合图形的面积 【精讲题】（23-24五年级上·河北承德·期末）计算图形面积。    【答案】26cm2；280cm2 【思路点拨】（1）三角形的面积＝底×高÷2，图中的6.5cm和8cm是一组对应的底和高，代入公式计算即可。 （2）如下图所示，把这个图形分割成长方形和三角形两部分，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，分别求出两部分的面积，再把它们加起来即可解答。 【规范解答】（1）6.5×8÷2＝26（cm2） 则三角形的面积是26cm2。 （2）20×10＋20×8÷2 ＝200＋80 ＝280（cm2） 则这个图形的面积是280cm2。 【精练题1】（23-24五年级上·全国·单元测试）求下面阴影部分或多边形的面积（单位：cm）。         【答案】40cm2；75cm2；42cm2 【思路点拨】（1）阴影部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （2）组合图形的面积等于2个三角形的面积之和，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （3）如下图，组合图形的面积＝三角形的面积＋长方形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）（10＋16）×8÷2－16×8÷2 ＝26×8÷2－16×8÷2 ＝104－64 ＝40（cm2） 阴影部分的面积是40cm2。 （2）15×6÷2＋15×4÷2 ＝45＋30 ＝75（cm2） 组合图形的面积是75cm2。 （3）（9－6）×（8－4）÷2＋9×4 ＝3×4÷2＋9×4 ＝6＋36 ＝42（cm2） 组合图形的面积是42cm2。 【精练题2】（23-24五年级上·全国·单元测试）粉刷办公室的一面墙（如图所示，单位：米）。 （1）需要粉刷的面积是多少平方米？ （2）如果每平方米用涂料0.55千克，每千克涂料2.8元，粉刷这面墙大约要用多少元？ 【答案】（1）36平方米 （2）55元 【思路点拨】（1）观察图形可知，用三角形的面积加上大长方形的面积，再减去窗户的面积，即可求出需要粉刷的面积。三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，据此解答。 （2）根据乘法的意义，先用0.55乘需要粉刷的面积，求出一共需要多少千克涂料，再根据单价×数量＝总价，用2.8乘需要涂料的总重量，即可求出一共需要多少元。 【规范解答】（1）10×1.5÷2＋10×3－1.5×1 ＝7.5＋30－1.5 ＝36（平方米） 答：需要粉刷的面积是36平方米。 （2）0.55×36×2.8 ＝19.8×2.8 ＝55.44（元） ≈55元 答：粉刷这面墙大约要用55元。 考点十二：求组合图形中阴影部分的面积 【精讲题】（23-24五年级上·河南焦作·期末）计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm）         【答案】 24cm2；10cm2 【思路点拨】（1）阴影部分的面积用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积即可，已知大正方形的边长是8cm，小正方形的边长是4cm，上面的空白三角形的底是8cm，高是8cm，下面空白三角形的底是cm，高是4cm，分别代入正方形和三角形的面积公式计算即可。 （2）阴影部分就是算梯形的面积，上底是6cm，下底是cm，高是2.5cm，把数据代入梯形的面积公式计算即可。 【规范解答】8×8＋4×4－8×8÷2－4×（4＋8）÷2 （cm2） （6＋6－4）×2.5÷2 （cm2） 【精练题1】（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，四边形AECD是平行四边形，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】240平方厘米 【思路点拨】从图意可知：阴影部分的两个三角形的底之和就是梯形的上底，这两个三角形的高都是梯形的高，那么这两个三角形的面积合起来相当于一个底24厘米、高20厘米的三角形面积。根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积。据此解答。 【规范解答】24×20÷2 ＝480÷2 ＝240（平方厘米） 答：阴影部分的面积是240平方厘米。 【精练题2】（23-24五年级上·福建福州·期末）计算如图阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】40.8cm2 【思路点拨】观察图形可知，梯形的高与空白直角三角形的高相等；已知空白直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出空白直角三角形的面积； 从图中可知，空白直角三角形的斜边是10cm，那么这条斜边对应的高＝三角形的面积×2÷底，也就是梯形的高； 根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形的面积； 然后用梯形的面积减去空白直角三角形的面积，求出阴影部分的面积。 【规范解答】空白直角三角形的面积：6×8÷2＝24（cm2） 梯形的高：24×2÷10＝4.8（cm） 梯形的面积： （10＋17）×4.8÷2 ＝27×4.8÷2 ＝129.6÷2 ＝64.8（cm2） 阴影面积：64.8－24＝40.8（cm2） 阴影部分的面积是40.8cm2。 【考点评析】本题考查组合图形阴影部分面积的求法，关键是灵活运用三角形的面积公式求出梯形的高，分析阴影部分的面积是由哪些图形面积相加或相差得到，然后根据图形面积公式解答。 中等题真题训练 1．（23-24五年级上·河南焦作·期末）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于（    ）。 A．梯形的高 B．梯形的下底 C．梯形的上底加下底 【答案】C 【思路点拨】根据题意，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，那么平行四边形的底等于梯形的（上底＋下底），平行四边形的高等于梯形的高，一个梯形的面积等于平行四边形面积的一半。 【规范解答】如图： 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底加下底。 故答案为：C 2．（23-24五年级上·浙江绍兴·期末）观察下图三个平行四边形，你认为说法正确的是（    ）。 A．它们形状相同，面积相等 B．它们形状不相同，面积不相等 C．它们形状不相同，面积相等 【答案】C 【思路点拨】观察图形可知，这三个平行四边形的形状都是不同的，但是它们的底都是2m，高都是4m，根据平行四边形的面积＝底×高，即可解答。 【规范解答】2×4＝8（平方米） 所以三个平行四边形的形状都是不同的，但是面积都是相等的。 故答案为：C 3．（23-24五年级上·河南安阳·期末）工地上有一堆钢管，已知最上面一层只有1根，最下面一层12根，而且下一层总比上一层多1根，这堆钢管共有（    ）根。 A．72 B．78 C．156 【答案】B 【思路点拨】根据梯形面积公式，先确定层数，（最上层根数＋最下层根数）×层数÷2＝总根数，列式计算即可。 【规范解答】（1＋12）×12÷2 ＝13×12÷2 ＝78（根） 这堆钢管共有78根。 故答案为：B 4．（23-24五年级上·全国·单元测试）一个梯形上底与下底的和是31cm，高是18cm，这个梯形的面积是( )cm2。 【答案】279 【思路点拨】已知梯形上底与下底的和与高，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求出它的面积。 【规范解答】31×18÷2 ＝558÷2 ＝279（cm2） 这个梯形的面积是279cm2。 5．（23-24五年级上·全国·单元测试）一块三角形草坪的面积是560平方米，高是16米，它的底是( )米。 【答案】70 【思路点拨】根据公式：底＝三角形的面积×2÷高，代入数据计算，即可解答。 【规范解答】560×2÷16＝70（米） 即它的底是70米。 6．（23-24五年级上·河南安阳·期末）图中，阴影部分和空白部分面积一样大。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路点拨】观察图形可知，阴影部分是3个三角形，这3个阴影三角形的底相加等于长方形的长，它们的高都等于长方形的宽； 空白部分是2个三角形，这2个空白三角形的底相加等于长方形的长，它们的高都等于长方形的宽； 根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，可知阴影部分的面积与空白部分的面积都等于长方形面积的一半。 【规范解答】阴影部分的面积＝空白部分面积＝长方形面积的一半 所以，阴影部分和空白部分面积一样大。 原题说法正确。 故答案为：√ 7．（21-22五年级上·河南许昌·期末）周长相等的长方形和平行四边形，面积也相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路点拨】长方形面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；周长相等的长方形和平行四边形，可将长方形拉成一个平行四边形，即这个过程中长方形的宽的长度等于平行四边形斜边的长度，平行四边形的高小于斜边，所以长方形的面积大于平行四边形的面积，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，周长相等的平行四边形和长方形，面积不相等。原题干说法错误。 故答案为：× 8．（23-24五年级上·全国·单元测试）一个花圃的形状与平行四边形相似（如图），它的面积大约是多少平方米？ 【答案】480平方米 【思路点拨】已知花圃的形状与平行四边形相似，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出它的面积。 【规范解答】24×20＝480（平方米） 答：它的面积大约是480平方米。 9．（22-23五年级上·湖南长沙·期末）一条水渠的横截面是梯形（如图）。渠口宽2.4米，渠底宽1.2米，渠深1.4米。横截面的面积是多少平方米？ 【答案】2.52平方米 【思路点拨】根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【规范解答】（2.4＋1.2）×1.4÷2 ＝3.6×1.4÷2 ＝5.04÷2 ＝2.52（平方米） 答：横截面的面积是2.52平方米。 10．（22-23五年级上·江西南昌·期中）张师傅在杭州开店，一次他承接了一个小区一批相同的铝合金窗户工程，共计个，形状如下图。一个窗户的面积是多少平方米？每平方米的报价是元，张师傅一共可以收到多少工程款？（单位：分米） 【答案】平方米；元 【思路点拨】 如图一个窗户的面积梯形的面积正方形的面积，梯形的上底为，下底为，高为分米；正方形的边长为分米，最后利用面积公式解答即可。 【规范解答】一个窗户的面积： （平方分米）平方分米平方米 工程款：                              （元） 答 ：一个窗户的面积是平方米，张师傅一共可以收到元工程款。 【考点评析】本题考查了梯形的面积，正方形的面积，面积单位换算，分割法求不规则图形的面积，学会运用分割法求不规则图形的面积是解题的关键。 11．（23-24五年级上·全国·单元测试）有一块平行四边形钢板，底是9分米，高是6.8分米。如果每平方分米钢板重0.75干克，这块钢板重多少干克？ 【答案】45.9干克 【思路点拨】已知平行四边形钢板的底和高，根据平行四边形的面积＝底×高，求出这块钢板的面积；再用每平方分米钢板的重量乘钢板的面积，即可求出这块钢板的总重量。 【规范解答】9×6.8＝61.2（平方分米） 0.75×61.2＝45.9（千克） 答：这块钢板重45.9干克。 12．（22-23四年级下·山东济南·期中）计算下面图形的面积。 （1） （2） 【答案】（1）48cm2 （2）63dm2 【思路点拨】（1）这是个平行四边形，平行四边形的面积＝底×高，其中底边长8cm，底边上的高是6cm。 （2）这是一个直角梯形，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，其中上底长6dm，下底长8dm，高是9dm。 【规范解答】（1）8×6＝48（cm2） （2）（6＋8）×9÷2 ＝14×9÷2 ＝126÷2 ＝63（dm2） 13．（23-24五年级上·江西赣州·期末）方格中每个小正方形的边长均表示1厘米。 （1）根据面积计算公式（3＋5）×2÷2，在图中把图形画完整。 （2）在图中画一个和它面积相等的平行四边形。 （3）在图中画一个底是4厘米，高是6厘米的三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）图上有两条成直角的边，长度分别是2厘米和3厘米，根据现有的面积计算公式（3＋5）×2÷2，图中应该是一个梯形，上下底和高分别是3厘米、5厘米和2厘米，据此结合题中给出的条件，作出该梯形； （2）（1）中的图形面积计算结果是8平方厘米，那么平行四边形的面积也等于8平方厘米。平行四边形的面积等于底乘高，易想到2×4＝8（平方厘米），据此作平行四边形使其底是4厘米，高是2厘米； （3）三角形的高是顶点到底边的垂线段长度，根据方格的特点，横纵线互相垂直，所以很容易找到一条高等于6厘米且相应的底是4厘米，据此画出三角形。 【规范解答】（1）根据分析画出一个上下底和高分别是3厘米、5厘米和2厘米的梯形，如图所示（答案不唯一）； （2）根据分析画出一个底和高分别是4厘米和2厘米的平行四边形，如图所示（答案不唯一）； （3）根据分析，三角形如图所示（答案不唯一）。 拔高题真题训练 14．（23-24五年级上·河南洛阳·期中）学习平行四边形面积的时候，小布和小新用两种不同的方法将平行四边形变成了长方形。如图所示，选项中说法正确的是（    ）。 A．小布的做法面积不变。 B．小新的做法面积不变。 C．他俩的做法面积都不变。 D．他俩的做法面积都变了。 【答案】B 【思路点拨】 把一个长方形沿对角拉成一个平行四边形，平行四边形的底＝长方形的长，平行四边形的高＜长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽,平行四边形的面积＝底×高，可知平行四边形的面积小于长方形的面积。 将平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。可知平行四边形的面积＝长方形的面积。 【规范解答】小布将一个长方形拉成一个平行四边形，平行四边形的面积小于长方形的面积，面积变小了。 小新将一个长方形剪拼成一个平行四边形，平行四边形的面积等于长方形的面积，面积不变。 故答案为：B 15．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，下面各图形都是由一个边长为6厘米的大正方形和一个边长为4厘米的小正方形组成的。阴影部分面积相等的是（    ）。 A．①② B．①④ C．③④ 【答案】B 【思路点拨】根据，代入数据计算出阴影部分的面积，再比较即可。 【规范解答】① （平方厘米） ② （平方厘米） ③ （平方厘米） ④ （平方厘米） 12＝12 ①和④的面积相等。 故答案为：B 16．（21-22五年级上·吉林通化·期末）比较下面阴影部分的面积，（    ）是错误的。 ①                ②                  ③                      ④ A．图①中阴影部分的面积等于图②中阴影部分的面积 B．图②中阴影部分的面积等于图③中阴影部分的面积 C．图③中阴影部分的面积不等于图④中阴影部分的面积 【答案】B 【思路点拨】设大、小正方形的边长分别为a和b，分别用a和b表示出每个图形中阴影部分的面积，再逐项判断即可。 【规范解答】设大、小正方形的边长分别为a和b， ①中阴影部分的面积为：ab； ②中阴影部分的面积为：ab； ③中阴影部分的面积为：a2； ④中阴影部分的面积为：b2； A.图①中阴影部分的面积等于图②中阴影部分的面积，说法正确； B.图②中阴影部分的面积不等于图③中阴影部分的面积，原说法错误； C.图③中阴影部分的面积不等于图④中阴影部分的面积，说法正确。 故答案为：B 【考点评析】分别用a和b表示出每个图形中阴影部分的面积，是解答此题的关键。 17．（21-22五年级上·河南新乡·期末）一个平行四边形的面积是48cm2，高是5cm，底是( )cm，与平行四边形等底等高的三角形的面积是( )cm2。 【答案】 9.6 24 【思路点拨】平行四边形的底＝面积÷高；等底等高的平行四边形和三角形，平行四边形面积是三角形面积的2倍，直接用平行四边形面积÷2，即可求出三角形面积。 【规范解答】48÷5＝9.6（cm） 48÷2＝24（cm2） 一个平行四边形的面积是48cm2，高是5cm，底是9.6cm，与平行四边形等底等高的三角形的面积是24cm2。 18．（23-24五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）推导平行四边行、三角形、梯形面积计算公式都用到了( )的方法，当梯形的上底和下底相等时，就成了( )，当梯形的上底为0时就成了( )。 【答案】 转化 平行四边形 三角形 【思路点拨】 如图，，，将平行四边形转化成长方形，根据长方形面积公式可以推导出平行四边形面积公式；将三角形转化成平行四边形，根据平行四边形面积公式可以推导出三角形面积公式；将梯形转化成平行四边形或三角形，根据平行四边形或三角形面积公式可以推导出梯形面积公式。 如图，当梯形的上底和下底相等时，就有两组对边分别平行，此时是平行四边形；，当梯形的上底为0时就成了由三条线段围成的三角形，据此分析。 【规范解答】根据分析，推导平行四边行、三角形、梯形面积计算公式都用到了转化的方法，当梯形的上底和下底相等时，就成了平行四边形，当梯形的上底为0时就成了三角形。 19．（23-24五年级上·江西赣州·期末）有一口形状类似梯形的池塘，上底和高都是12米，下底是上底的1.5倍，它的面积是( )。 【答案】180平方米/180m2 【思路点拨】已知梯形池塘的下底是上底的1.5倍，用上底乘1.5，求出下底； 再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出它的面积。 【规范解答】下底：12×1.5＝18（米） 面积：（12＋18）×12÷2 ＝30×12÷2 ＝360÷2 ＝180（平方米） 它的面积是180平方米。 20．（23-24五年级上·全国·单元测试）如图所示，已知四边形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点，且四边形EDFB的面积是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】20 【思路点拨】连接B、D两点，将图形分成a、b、c、d四个部分，如图所示： E为AD边的中点，F为BC边的中点，可知：a与b的面积相等，c与d的面积相等。已知四边形EDFB的面积（b与c的面积和）是10平方厘米，则四边形ABCD的面积是四边形EDFB的面积的2倍。据此解答。 【规范解答】连接B、D作辅助线，将图形分成a、b、c、d四个部分。 因为，E为AD边的中点，F为BC边的中点，所以，a与b、c与d两个三角形分别是等底等高，即面积相等。 四边形EDFB的面积＝b＋c＝10平方厘米 四边形ABCD的面积＝a＋b＋c＋d＝2×（b＋c） 10×2＝20（平方厘米） 所以，四边形ABCD的面积是20平方厘米。 【考点评析】解答此题的关键是通过作辅助线，利用线段的中点，将图形分成几个部分，再根据等底等高的三角形面积相等的特征求出部分图形已知面积与整体面积的关系巧求面积。 21．（23-24五年级上·河南洛阳·期中）一个三角形的面积是24平方分米，高是8分米，底是3分米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路点拨】根据三角形面积公式的逆运算，用三角形的面积和高，求出底，再判断是否正确。 【规范解答】24×2÷8 ＝48÷8 ＝6（分米） 底是6分米，所以题干说法错误。 故答案为：× 22．（23-24五年级上·全国·单元测试）图形中，阴影①和阴影②的面积相等。( )（对的画“√”；错的画“×”，并说明理由或改正。） 。 【答案】 √ 理由是：图中阴影①和下面白色三角形与阴影②和下面白色三角形等底等高，所以它们的面积相等，都去掉下面白色三角形，则阴影①和阴影②的面积也相等。 【思路点拨】图中阴影①和下面白色三角形与阴影②和下面白色三角形等底等高，所以它们的面积相等，都去掉下面白色三角形，剩下的面积也相等。据此解答。 【规范解答】图形中，阴影①和阴影②的面积相等。 故答案为：√ 理由是：图中阴影①和下面白色三角形与阴影②和下面白色三角形等底等高，所以它们的面积相等，都去掉下面白色三角形，则阴影①和阴影②的面积也相等。（答案不唯一） 23．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，长方形ABCD，AB＝8厘米，BC＝6厘米，三角形AFB的面积比三角形FED的面积大12平方厘米，求DE的长度。 【答案】4厘米 【思路点拨】由题可知，长方形ABCD的面积＝三角形AFB的面积＋梯形FDCB的面积，三角形BEC的面积＝三角形FED的面积＋梯形FDCB的面积，因为三角形AFB的面积比三角形FED的面积大12平方厘米，所以长方形ABCD的面积比三角形BEC的面积大12平方厘米。先根据公式：长方形的面积＝长×宽，求出长方形ABCD的面积，再减去12，求出三角形BEC的面积是，再根据公式：三角形的底＝面积×2÷高，求出EC的长度，最后用EC的长度减去CD的长度，即可求出DE的长度，据此解答。 【规范解答】长方形ABCD的面积：8×6＝48（平方厘米） 三角形BEC的面积：48－12＝36（平方厘米） EC的长度：36×2÷6＝12（厘米） DE的长度：12－8＝4（厘米） 答：DE的长度是4厘米。 24．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，张杨从下面的这张梯形彩纸中剪出一个直角三角形，这个梯形的高是多少厘米？ 【答案】24厘米 【思路点拨】通过观察图可以发现，直角三角形以50厘米这条边为底，它所对应的高等于这个梯形的高； 已知直角三角形的两条直角边分别是30厘米和40厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，先求出这个直角三角形的面积； 再根据三角形的高＝面积×2÷底，代入数据计算，求出以50厘米这条边为底，它所对应的高，也就是梯形的高，据此解答。 【规范解答】30×40÷2 ＝1200÷2 ＝600（平方厘米） 600×2÷50 ＝1200÷50 ＝24（厘米） 答：这个梯形的高是24厘米。 25．（23-24五年级上·全国·课后作业）手工课上要裁一些两条直角边分别为4分米和2分米的直角三角形做小红旗，已经准备好了一张长1米、宽6分米的长方形卡纸，这张卡纸里最多能裁出多少个这样的直角三角形？ 【答案】14个 【思路点拨】先换算单位，1米＝10分米。通过图形的裁剪，先剪长是4分米，宽是2分米的长方形，则只需要在长方形的卡纸的长10分米里面找出了2个4分米，余下2分米。同样在长方形卡纸的宽6分米里面找出了3个2分米，没有剩余，则可以剪出6个长方形，每个长方形沿着对角线剪出两个直角边是4分米和2分米的直角三角形，剩下的卡纸是一个长是6分米，宽是2分米的长方形，可以剪出一个长是4分米，宽是2分米的长方形，沿着对角线可以剪出两个直角三角形。 【规范解答】1米＝10分米 10÷4＝2（个）……2（分米） 6÷2＝3（个） 2×3×2＝12（个） 12＋1×2 ＝12＋2 ＝14（个） 答：这张卡纸里最多能裁出14个这样的直角三角形。 26．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的面积是100平方厘米，三角形ABE的面积是36平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】14平方厘米 【思路点拨】 如图，连接AC，三角形ACF和三角形BCF等底等高，面积相等，因此三角形ACE的面积＝三角形BEF的面积，三角形AEB＋三角形ACE＝三角形ABC＝三角形AEB＋三角形BEF＝三角形ABF＝正方形面积的一半，正方形面积ABCD的面积÷2＝三角形ABF的面积，三角形ABF的面积－三角形ABE的面积＝阴影部分的面积，据此列式解答。 【规范解答】100÷2＝50（平方厘米） 50－36＝14（平方厘米） 答：阴影部分的面积是14平方厘米。 【考点评析】注意运用辅助线，找到相关联图形之间相等的关系，是解答本题的关键。 27．（23-24五年级上·全国·单元测试）计算下面各图形的面积。（单位：分米） 【答案】528平方分米；40平方分米；120平方分米 【思路点拨】（1）平行四边形的面积＝底×高，据此把24分米和22分米这一组对应的底和高相乘即可； （2）三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算； （3）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【规范解答】（1）24×22＝528（平方分米） 平行四边形的面积是528平方分米。 （2）（8＋8）×5÷2 ＝16×5÷2 ＝40（平方分米） 三角形的面积是40平方分米。 （3）（8＋16）×10÷2 ＝24×10÷2 ＝120（平方分米） 梯形的面积是120平方分米。 28．（2023三年级下·全国·竞赛）如图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】91平方厘米 【思路点拨】由图可知，阴影部分是一个平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，只需要找到对应的一组底与高即可。由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影部分平行四边形的底是（10－3）厘米，高是（10＋3）厘米，据此解答即可。 【规范解答】由分析可得，阴影部分面积是： （10－3）×（10＋3） ＝7×13 ＝91（平方厘米） 29．（22-23五年级上·湖南长沙·期末）已知一个平行四边形四个顶点的位置分别是A（2，6），B（7，6），C（10，2），D（5，2）。 （1）请在方格纸上找到四个顶点，并画出这个平行四边形。 （2）如果每个小方格的边长是1厘米，那么这个平行四边形的面积是多少平方厘米？请列式计算。 【答案】（1）见详解 （2）20平方厘米 【思路点拨】（1）数对的第一位数表示第几列，第二位数表示第几行，根据给出的顶点坐标在方格纸上找到对应的位置，画出平行四边形。 （2）每个小方格的边长是1厘米，根据图找出平行四边形的底和高分别是多少，再根据公式：平行四边形的面积＝底×高，来计算其面积。据此解答。 【规范解答】（1）如图所示： （2）由上图可知，每个小方格的边长是1厘米，平行四边形的底为5厘米，高为4厘米。 5×4＝20（平方厘米） 答：这个平行四边形的面积是20平方厘米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$