专题02 不等式（6大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题02 不等式 考纲解析 · 理解不等式的概念，"掌握不等式的基本性质； · 掌握区间的表示； · 正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法; · 通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力; · 了解含绝对值不等式的解法； 考点预测 · 不等式的基本性质，不等式的运算规则； · 区间的使用； · 运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集； · 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系； 要点自测 知识点01 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔ 如果a＝b⇔ 如果a<b⇔ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点02不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 知识点03区间的表示 在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念． ①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 知识点04 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点05一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 知识点06 二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ∅ ∅ 考点突破 知识点01 基本事实 · 下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若，则，这是一个 命题.（填“真”或“假”） 知识点02不等式的性质 · 若a，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点03区间的表示 · 设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【变式探究】若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 知识点04 一元二次不等式的概念 · 设集合，，则（    ） A．实数集 B． C． D． 【变式探究】设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 知识点05一元二次函数的零点 · 二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．0 D．无法确定 【变式探究】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点06 二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 · 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 模拟演练 一、单选题 1．若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若且，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是 8．已知，，则的取值范围是 ． 9．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 . 10．要使有意义，则的取值范围为 . 三、解答题 11．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 12．解下列关于的不等式： (1) (2) 13．解下列方程和不等式： (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 考纲解析 · 理解不等式的概念，"掌握不等式的基本性质； · 掌握区间的表示； · 正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一二次不等式的解法; · 通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力; · 了解含绝对值不等式的解法； 考点预测 · 不等式的基本性质，不等式的运算规则； · 区间的使用； · 运用函数、方程以及一元二次函数的图象求解一元二次不等式的解集； · 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系； 要点自测 知识点01 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点02不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 知识点03区间的表示 在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念． ①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 知识点04 一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点05一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点06 二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 考点突破 知识点01 基本事实 · 下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非正数含义即可得到答案. 【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 【变式探究】若，则，这是一个 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】先得出同号，在得出同为正数. 【详解】由，知为同号， 又，知， 所以这是一个真命题. 故答案为：真 知识点02不等式的性质 · 若a，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得. 【详解】由，得，而，则， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式探究】已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：B 知识点03区间的表示 · 设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件的定义，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 【变式探究】若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】解绝对值不等式，结合集合间的包含关系及充分不必要条件的定义计算即可. 【详解】易知， 因为是不等式成立的充分不必要条件， 所以且等号不能同时取得，解之得， 经检验：等号不能同时取得，显然符合题意. 故答案为： 知识点04 一元二次不等式的概念 · 设集合，，则（    ） A．实数集 B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合B的具体范围，利用交集运算即可得出答案. 【详解】， 则， 故选：C. 【变式探究】设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，利用集合的交集运算性质计算. 【详解】， 又， 所以， 故选：B 知识点05一元二次函数的零点 · 二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可得，即可由判别式求解. 【详解】由于的图象开口向下，与y轴正半轴相交， 所以， 故，因此函数有两个零点， 故选：B 【变式探究】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴方程为， 由函数在区间上单调递减，则有， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 知识点06 二次函数与与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 · 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】不等式的解集为，则需满足，解得， 故选：B 【变式探究】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解不等式得到集合，再借助于数轴，分类考虑即得参数a的范围. 【详解】集合，，且满足， 当时，有，解得； 当时，有，即，须使或，解得或. 综上，a的取值范围是或. 故选：D. 模拟演练 一、单选题 1．若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】，； ， . 故选：. 2．“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足； 若时，取，此时且不成立，即充分性不成立； 则“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 3．若且，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【详解】， 由且，故，即. 故选：C. 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，然后由一元二次不等式解法可得. 【详解】不等式，解得. 所以原不等式的解集为. 故选：A 5．已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出，进而求出子集个数. 【详解】依题意，集合，集合， 于是，所以的子集个数为. 故选：D 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合和，再根据交集运算得到结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 二、填空题 7．能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是 【答案】，（答案不唯一） 【分析】分别取大于，小于的整数即可得到答案. 【详解】取，，满足，但， 所以命题“若，则”是假命题. 故答案为：，.（答案不唯一） 8．已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，，再利用不等式的运算性质，即可求解. 【详解】因为，得到，又，得到， 所以， 故答案为： 9．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用全称量词的否定，并求出的最小值，即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以，，即只需， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．要使有意义，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用偶次方根的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解. 【详解】要使有意义， 则，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 11．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）两式平方比较大小； 【详解】（1） 理由：， 估算是，估算是，所以， 因此. （2） 理由：将两式平方， ，显然， 所以. 12．解下列关于的不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解法画出对应函数图象可得结果； （2）将分式不等式等价转化，并结合一元二次不等式解法可求解. 【详解】（1）易知不等式对应方程的判别式为，此方程无解； 画出对应函数的图象如下图所示： 由图象可知的解集为； （2）由可知，即； 即可得，解得， 即不等式的解集为. 13．解下列方程和不等式： (1) (2) 【答案】(1)4或 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程的解法求得正确答案. （2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）依题意，， 解得或. （2）依题意， 解得或， 所以不等式的解集为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$