压轴题09 圆的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

压轴题09 圆的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、四点共圆 1 类型二、圆中最值问题 14 类型三、定点定长构造辅助圆 22 类型四、定弦定角构造辅助圆 26 类型五、对角互补构造辅助圆 33 压轴能力测评（10题） 40 类型一、四点共圆 一．填空题 1．（2022秋•大丰区期中）如图，中，，，．以为弦的圆分别交、于、两点．点在边上，且满足．若，则的面积的最小值是 　 　． 【分析】连接，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明，从而得到△，当最小时，的面积就最小，作的外接圆，过点作交于点，连接、，，当最小时，就最小，当、、三点共线时，最小，此时，在中，，求出，可得的最小值为，再求，即的面积的最小值为． 【解答】解：连接，，，， ，， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， △， ，， ，， 边上的高， 当最小时，的面积就最小， 作的外接圆，过点作交于点，连接、， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 当最小时，就最小， ， 当、、三点共线时，最小， 此时， ， 在中，， 解得或， ， ， 的最小值为， ， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与圆周角的关系，四点共圆的性质，三角形外接圆的性质是解题的关键． 二．解答题 2．（2022秋•建湖县期中）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角． （1）若，则　 　； （2）过点作于，判断、、之间的数量关系并证明； （3）若、，求的值． 【分析】（1）根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得； （2）过点作于点，可证明，，则； （3）在中，，在中，，再求解即可． 【解答】解：（1）四边形是圆的内接四边形， ， 是四边形的一个外角， ， ， ， 弧所对的圆周角分别为、， ， ， ， 故答案为：75； （2）过点作于点， ， ， ，，， ， ，， ， 又，， ， ， ， 即； （3）在中，， 在中，， ，， ， ，， ． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 3．（2023秋•鄞州区期中）如图，在△中，点，为，上的点，，，交于，△与△的外接圆相交于点（异于，，分别为△和△的垂心． 证明：（1）平分； （2），，三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分） 【分析】（1）通过证明△△得出，然后由推导出，再由邻补角的性质得出，即可证明结论； （2）根据题意构造、、、四点共，以及、、、四点共，然后由相似三角形推导出点、对于和等幂，再由根轴的性质得出是的垂直平分线，最后根据得到，进而证得三点共线． 【解答】（1）证明：在△和△中，，，， △△． ， ， 为△的外接圆半径）． ． 又， ， 平分． （2）证明：连接、并延长分别交于、，连接、并延长交于、． 中点为，中点为 ，， 、、、四点共． ，， 、、、四点共． ，△， △△， ， ． 同理得． 点、对于和等幂， ，在和的根轴上． 和的根轴是过两圆的交点的直线． ，在和的公共弦上． 又，即和是等圆， 四边形为菱形． 是的垂直平分线，为中点． 由（1）知△△， 、分别为△和△的对应边上的中线， ， 点在的垂直平分线上． ，，三点共线． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出、两点对于和等幂是解答本题的关键． 4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）在中，已知，作，是上一点，，连接、，在上截取，连接． （1）如图1所示，若，，求的周长； （2）如图2所示，若分别取、的中点、，连接、，求证：； （3）如图3所示，，，将沿着直线翻折得到，连接，直线交于点，为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【分析】（1）过点作于，则，由，可得，设，则，由勾股定理可得，，可得，，利用勾股定理可得，进而可得，即可求得答案； （2）延长至，使，在上截取，连接，，设，则，可证得是等边三角形，得出：，，再证得，可得，利用三角形中位线定理可得，再由直角三角形性质可得，即可证得结论； （3）连接，先证得点在的外接圆上，当且仅当点为半径经过点时，取得最小值，连接，过点作于，利用解直角三角形可得，，，，，，由勾股定理可得，，再利用，即可求得答案． 【解答】（1）解：过点作于， 则， ，，， ，，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 的周长； （2）证明：延长至，使，在上截取，连接，， 设，则， ， ，，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 、分别是、的中点， ， 点是斜边的中点， ， ； （3）解：如图，连接， 由翻折得：，， ，，，， ，， ， ， ， 点在的外接圆上，当且仅当点为半径经过点时，取得最小值，如图，连接，过点作于， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的判定，三角形面积等，涉及知识点多，难度大，添加适当的辅助线是解题的关键与难点． 5．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图． （1）在图1、2中，取的中点，根据 　 　得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得 　　，所以　　，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） （4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得结论； （2）由圆周角的性质可得，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论； （3）如图，连接，由点、、、四点共圆得，由点、、、四点共圆得，从而证明即可； （4）连接和，由点，，，四点共圆可得，，由点，，，四点共圆可得，再由外角的性质及角的和差可得，由此可得点，，，四点共圆，即点在的外接圆上． 【解答】解：（1）在图1、2中，取的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即，，，共圆； 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得， ，得出矛盾； 同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证． 故答案为：；； （3）如图6，连接，由点、、、四点共圆得， 由点、、、四点共圆得， ， ， ， ， ， 为的边上的高． （4）如图7，连接和， 由点，，，四点共圆可得， 由点，，，四点共圆可得， ， ， ，， ， 点，，，四点共圆，即点在的外接圆上． 【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第（3）（4）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等． 类型二、圆中最值问题 一．填空题 1．（2022秋•长沙期中）如图，的半径为1，，为的切线，切点为，，，点为劣弧上一动点，过点作的切线，分别交，于点，，的最小值是 　 　． 【分析】由切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质，可以求解． 【解答】解：连接，，，，， ，为的切线，切于， ，，， 四边形内角和是， ， ， ，， ， ， 同理：， ， 设的外心是点，作于，连接，，，， 点是的外心， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质． 二．解答题 2．（2022秋•东城区校级期中）对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义；为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，则称点为图形的“分点”． 已知点，，，． （1）①在点，，中，线段的“分点”是 　 　； ②点，若点为线段的“二分点”，求的值； （2）以点为圆心，为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出的取值范围． 【分析】（1）①分别求出点、、到线段的最小值和最大值，看是否满足“分点”定义即可， ②对的取值分情况讨论：，，和，根据“二分点”的定义可求解， （2）设线段上存在的“二分点”为，．对的取值分情况讨论，且，且，，根据二分点的定义可求解． 【解答】（1）解：①如图， 点在上，故最小值为0，不符合题意， 点到的最小值为，最大值为， 点是线段的“分点”， 点到的最小值为1，最大值为 点不是线段的“分点”， 故答案为：点； ②当时，点到的最小值为， 点到的最大值为， 点为线段的“二分点”， ， 即， △， 故无解，舍去； 当时，点到的最小值为1， 点到的最大值为，最大值不是最小值的2倍，所以舍去， 当时，点到的最小值为1， 点到的最大值为， 点为线段的“二分点”， ，（舍去）， 当时，点到的最小值为， 点到的最大值为， 点为线段的“二分点”， 同时，无解，舍去； 综上，． （2）如图所示，设线段上存在的“二分点”为，， 当时，最小值为：，最大值为：， ，即， ， ， 当且时，最小值为：，最大值为， ，即， ， ， ， 不存在， 当且时，最小值为：，最大值为：， ，即， ， ， 不存在． 当时，最小值为：，最大值为：， ，即， ． 综上所述，的取值范围为或． 【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“分点”的定义是解题的关键． 3．（2022秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在轴的正半轴上，且，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为秒． （1）如图1，连接，当时，求的值； （2）如图2，点在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边， ①当秒时，求点的坐标； ②连接，当最大时，求此时的值和这个最大值． 【分析】（1）如图，过点作，交于点，，由平行得出点的旋转角，进而可得出时间； （2）①将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，易证△，所以，；过点作轴于点，过点作于点，所以，由互余可知，，所以，，所以，，，则，，进而可得点的坐标； ②由旋转可知，点在以点为圆心，1长为半径的圆上运动，当最大时，点，，三点共线，设与轴的另一个交点为，则，，由点是的中点可知，，，，，进而可得，所以，易证△，进而可得△，所以，即此时点与点重合，所以． 【解答】解：（1）如图： 是直角三角形，是中点， ， ， 又， ， 点的轨迹是中圆心角所对的弧， ， 当点运动到延长线与的交点时， 点的轨迹是中圆心角所对的弧， ． 故的值为6或42； （2）①如图，，， ，， 当时，， ， 将线段绕点逆时针旋转到线段，连接， 由旋转可知，，， 是等边三角形， ，， ， △， ，， 过点作轴于点，过点作于点， ， ，， ， ，， ，，， ， ，， ． ，； ②由旋转可知，点在以点为圆心，1长为半径的圆上运动， 当最大时，点，，三点共线，如图所示，设与轴的另一个交点为， ， ， 点为的中点， ，， 由①可知，， ，，，， ， ， ，，， △， ， ，， △， ，即此时点与点重合， ． 综上，，最大值是4． 【点评】本题属于圆的综合题，涉及考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，含的直角三角形的三边关系，根据题意得出点的轨迹是解题关键． 类型三、定点定长构造辅助圆 一．填空题 1．（2023秋•常州期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 　 　． 【分析】先判断出点的运动轨迹是在半径为2的上，再取，连接，则是的中位线，，进而可得最大值时，取最大值，此时、、三点共线，计算即可求出结果． 【解答】解：为坐标平面内一点，， 点的运动轨迹是在半径为2的上， 如图，取，连接， 点为线段的中点， 是的中位线， ， 最大值时，取最大值，此时、、三点共线， 此时在中，， ， 的最大值是． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点的运动轨迹． 二．解答题 2．（2022秋•秀洲区期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点． （1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上． 　 　　 　． （2）若，求的长． （3）线段最大值为 　　；若取的中点，则线段的最小值为 　　． 【分析】（1）根据，得、、三点在以为圆心以为半径的圆上，根据圆周角定理可知的度数； （2）由是等腰三角形可求出，利用勾股定理求出的长，从而得出答案； （3）根据直径是圆中最大的弦知当经过圆心时，线段的最大值为，取的中点，连接，可证，则点在以为直径的圆上，当经过点时，最短，此时，从而解决问题． 【解答】解：（1）， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上， ， 故答案为：，45； （2）由折叠可知，垂直平分， ， 设、交于点，则， ， ， ， 在中， 由勾股定理得，， ； 当点在的下方时，如图， ， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上， ， 即， 由翻折可知，，， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 综上所述，的长为或； （3），，，三点在以为圆心，以为半径的圆上， 当经过圆心时，线段的最大值为， 在中，，， ， ，， 连接，取的中点，连接，如图， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心，为直径的圆上， ， 点在上， 当经过点时，最短，此时， ， ， 即线段的最小值为， 故答案为：8；． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键． 类型四、定弦定角构造辅助圆 一．填空题 1．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 　　． 【分析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， 点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，， 则，， ， 的最小值为； 连接， 四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ，，， 四边形是矩形， ， 点关于直线的对称点， ， 在△中， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：7． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键． 二．解答题 2．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到　　． ②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：，，点在以为直径的圆上， 设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为 　　． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 　　． ②如图4，△中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值． （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标 　　． 【分析】（1）①利用圆周角定理即可求得答案； ②由正方形性质可得：，，，由勾股定理得：，推出点在以为直径的上，则、、三点共线时最小，即可求得答案； （2）①过点作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得点在以为圆心为半径的上，即当、、三点共线时最小，的最小值； ②连接，由是的直径，可得，推出，即点在以为直径的圆上，进而可得当、、三点共线时，最小，运用勾股定理即可求得答案； （3）当最大时，过、两点的与轴相切，利用待定系数法可得直线的解析式为，线段的垂直平分线为，设，根据，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）①如图1，以点为圆心，为半径作辅助圆， ，， ， 故答案为：25． ②点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 如图②，以为直径作， 四边形是正方形， ，， ， 在△中，， ，， 点在以为直径的上， 则、、三点共线时最小， 的最小值， 故答案为：． （2）①如图3，过点作于， ，，， 则，， ， 在△中，， 点与点关于直线对称， ， 点在以为圆心为半径的上， 当、、三点共线时最小，的最小值， 故答案为：． ②如图4，连接， 是的直径， ， ， 即点在以为直径的圆上， 以为直径作，交于，当、、三点共线时，最小， △中，，，， ， ， ， 故线段的最小值为． （3）当最大时，过、两点的与轴相切， 设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上， 线段的垂直平分线为， 设， ， ， 解得：或（舍去）， 点的坐标为，， 故答案为：． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（2022秋•泗洪县期中）已知：和外一点． （1）如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：． （2）尺规作图：在图乙中，过点画的两条切线、，、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）如图，连接、、．只要证明，可得． （2）以为直径作，两圆交于点、，直线、即为所求； 【解答】解：（1）如图，连接、、． 、是切线， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）以为直径作，两圆交于点、，直线、即为所求； 【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 类型五、对角互补构造辅助圆 1．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在中，，平分，且于点． （1）判断的形状； （2）如图2，在（1）的结论下，若，，，求的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将绕着点顺时针旋转得到，连接，作交于点．试探究与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由，知点、、、上四点共圆，则，即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线，交的延长线于，得是等腰直角三角形，从而可解直角三角形，在中，利用勾股定理得可求出的长度，从而解决问题； （3）在上截取，利用证明，得，，可证明、是等腰直角三角形，从而解决问题． 【解答】解：（1），平分， ， ， 点、、、上四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形； （2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线，交的延长线于， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ； （3）．，理由如下：如图，在上截取， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2021秋•西城区校级期中）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）延长交于点，求证：为的中点； （3）若的边长为1，直接写出的最大值． 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，利用等角对等边可得，由（1），得，再利用证明，从而解决问题； （3）由（2）知，则点，，，四点在以为直径的圆上，故的最大值为直径． 【解答】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， ， ，， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即为的中点； （3）解：如图，连接， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，，四点在以为直径的圆上， 的最大值为直径，即最大值为1． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2023秋•东城区校级期中）如图1，在中，，，直线是过点的直线于点，连接． （1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段，，之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点作，交于点，进而得出：　 　． （2）探究证明 将直线绕点顺时针旋转到图2的位置写出此时线段，，之间的数量关系，并证明 （3）拓展延伸 在直线绕点旋转的过程中，当面积取得最大值时，若长为1，请直接写的长． 【分析】（1）由题意：，推出，，推出，是等腰直角三角形，推出，可得； （2）结论：．过点作，交于点．交于．只要证明，即可解决问题； （3）如图3中，当点在线段的垂直平分线上且在的右侧时，的面积最大． 【解答】解：（1）如图1中， 由题意：， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为． （2）． 证明：如图，过点作，交于点．交于． ， ， ． ，，， ， ．又， ， ，， △为等腰直角三角形，． ， ． （3）如图3中，易知、、、四点共圆，当点在线段的垂直平分线上且在的右侧时，的面积最大． 此时，，在上截取一点，使得，则易证， ． 【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 1．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在中，直径，于点，．点是弧上动点，且与点、不重合，是直径上的动点，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，，利用垂径定理可得是的垂直平分线，，当为在点位置，点在点时，有最小值，此时；当为在点位置，点在点时，有最小值，此时，分别计算可得出结论． 【解答】解：如图，连接，，， 为的直径，， ， 当为在点位置，点在点时，有最小值，此时， ； ， ， ， ． ． 是直径上的动点，， 是的垂直平分线， ． 当为在点位置，点在点时，有最小值，此时， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆的额相关概念及性质，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆的对称性解答是解题的关键． 二．解答题 2．（2023秋•义乌市期中）如图1，在中，，，，是的中点．经过，，的交于点． （1）求的长． （2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动点．记，． ①求关于的表达式． ②连结，当的面积最大时，求的值． （3）如图2，连结，，延长交于点，连结．当与中的某一边相等时，求四边形的面积． 【分析】（1）由直角三角形性质可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）①由题意得，即，化简得； ②如图1，过点作于，运用三角形面积公式可得，再运用二次函数最值即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用勾股定理和三角形面积即可求得答案． 【解答】解：（1）如图1，在中，，，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）①当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动点， ， ，，，， ， 即， ， 即， 关于的表达式为． ②如图1，过点作于， 则，， ， ， 当时，有最大值； （3）当时，如图2， 由（1）知：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； 当时，如图3，过点作于，连接交于，连接，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， ，， 是等边三角形， ，， 垂直平分， ， ； 当时，如图4，过点作于，于， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ； 综上所述，四边形的面积为或或． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积，梯形面积，等腰三角形性质，等边三角形性质，圆内接四边形性质，二次函数最值等知识，涉及知识点较多，难度较大，第三问涉及到分类讨论，关键是找到每一类中比较特殊的等量关系作答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题09 圆的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、四点共圆 1 类型二、圆中最值问题 14 类型三、定点定长构造辅助圆 22 类型四、定弦定角构造辅助圆 26 类型五、对角互补构造辅助圆 33 压轴能力测评（10题） 40 类型一、四点共圆 一．填空题 1．（2022秋•大丰区期中）如图，中，，，．以为弦的圆分别交、于、两点．点在边上，且满足．若，则的面积的最小值是 　 　． 二．解答题 2．（2022秋•建湖县期中）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角． （1）若，则　 　； （2）过点作于，判断、、之间的数量关系并证明； （3）若、，求的值． 3．（2023秋•鄞州区期中）如图，在△中，点，为，上的点，，，交于，△与△的外接圆相交于点（异于，，分别为△和△的垂心． 证明：（1）平分； （2），，三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分） 4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）在中，已知，作，是上一点，，连接、，在上截取，连接． （1）如图1所示，若，，求的周长； （2）如图2所示，若分别取、的中点、，连接、，求证：； （3）如图3所示，，，将沿着直线翻折得到，连接，直线交于点，为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 5．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图． （1）在图1、2中，取的中点，根据 　 　得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得 　　，所以　　，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证． （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点． 求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注） （4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上． 类型二、圆中最值问题 一．填空题 1．（2022秋•长沙期中）如图，的半径为1，，为的切线，切点为，，，点为劣弧上一动点，过点作的切线，分别交，于点，，的最小值是 　 　． 二．解答题 2．（2022秋•东城区校级期中）对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义；为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，则称点为图形的“分点”． 已知点，，，． （1）①在点，，中，线段的“分点”是 　 　； ②点，若点为线段的“二分点”，求的值； （2）以点为圆心，为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出的取值范围． 3．（2022秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在轴的正半轴上，且，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为秒． （1）如图1，连接，当时，求的值； （2）如图2，点在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边， ①当秒时，求点的坐标； ②连接，当最大时，求此时的值和这个最大值． 类型三、定点定长构造辅助圆 一．填空题 1．（2023秋•常州期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 　 　． 二．解答题 2．（2022秋•秀洲区期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点． （1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上． 　 　　 　． （2）若，求的长． （3）线段最大值为 　　；若取的中点，则线段的最小值为 　　． 类型四、定弦定角构造辅助圆 一．填空题 1．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 　　． 二．解答题 2．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到　　． ②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：，，点在以为直径的圆上， 设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为 　　． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 　　． ②如图4，△中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值． （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标 　　． 3．（2022秋•泗洪县期中）已知：和外一点． （1）如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：． （2）尺规作图：在图乙中，过点画的两条切线、，、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 类型五、对角互补构造辅助圆 1．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在中，，平分，且于点． （1）判断的形状； （2）如图2，在（1）的结论下，若，，，求的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将绕着点顺时针旋转得到，连接，作交于点．试探究与的数量关系，并说明理由． 2．（2021秋•西城区校级期中）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）延长交于点，求证：为的中点； （3）若的边长为1，直接写出的最大值． 3．（2023秋•东城区校级期中）如图1，在中，，，直线是过点的直线于点，连接． （1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段，，之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点作，交于点，进而得出：　 　． （2）探究证明 将直线绕点顺时针旋转到图2的位置写出此时线段，，之间的数量关系，并证明 （3）拓展延伸 在直线绕点旋转的过程中，当面积取得最大值时，若长为1，请直接写的长． 1．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在中，直径，于点，．点是弧上动点，且与点、不重合，是直径上的动点，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．解答题 2．（2023秋•义乌市期中）如图1，在中，，，，是的中点．经过，，的交于点． （1）求的长． （2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动点．记，． ①求关于的表达式． ②连结，当的面积最大时，求的值． （3）如图2，连结，，延长交于点，连结．当与中的某一边相等时，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$