压轴题08 旋转两种解题模型-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题08 旋转两种解题模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一：奔驰模型 2 题型二：费马点模型 15 压轴能力测评 21 模型一：奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 模型二：费马点模型 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。 题型一：奔驰模型 一．选择题（共1小题） 1．（2020秋•顺平县期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则以下结论错误的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 2．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点的坐标是，点在第一象限，的平分线交轴于点，把绕着点按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则　　，点坐标为 　　． 3．（2023秋•长宁区校级期中）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为 　 　． 4．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为 　 ． 5．（2021秋•盘龙区校级期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确有　 　（填序号） ①是等边三角形 ②是直角三角形 ③④ 三．解答题（共6小题） 6．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，三点在同一直线上，连接，求的度数． 7．（2021秋•长乐区期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接． （1）如图1，当点恰好在边上时，求的大小； （2）如图2，若为中点，求的最大值． 8．（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 　 　，正方形的边长为 　　． （变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由． （拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，在四边形中，，，，则的长度为 　　． 9．（2023秋•梁山县期中）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到△． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 10．（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形． ，，， ． 为　 　三角形． 的度数为　　． （2）类比延伸 如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 11．（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1，等边（边长为按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边（边长为，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的，绕点按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？ 题型二：费马点模型 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知，，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为　　 A．10 B． C． D． 二．解答题（共2小题） 2．（台州期中）（1）知识储备 ①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． ②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． （2）知识迁移 ①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 　　的长度即为的费马距离． ②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）． （3）知识应用 ①判断题（正确的打，错误的打 ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 　　； ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 　　． ②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的 边长． 3．（宿豫区校级期中）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离； ②如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理； （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上任取一点，连接、、、．易知　 　； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段　　的长度即为的费马距离． （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄、、构成了如图（E）所示的（其中、、均小于，现选取一点打水井，使从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 1．（连城县期中）（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数． 要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形． 　　， 是等边三角形 ， 　　 ，　　 在中，，，， 　　 （2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数． 2．（西城区校级期中）如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到．求： （1）点与点之间的距离； （2）求的度数． 3．（汉阳区期中）如图，是等腰内一点，，连接，，． （1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； （2）在（1）中，若，，，求的大小； （3）当时，且，，，则的面积是　 　（直接填答案） 4．（汉阳区期中）（1）阅读证明 ①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． ②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接，，，．易知　 　； 第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段　　的长度即为的费马距离． （3）知识应用 已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 5．（当涂县校级期中）如图，点是等边外一点，，， （1）将绕点逆时针旋转得到△，画出旋转后的图形； （2）在（1）的图形中，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 旋转两种解题模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一：奔驰模型 2 题型二：费马点模型 15 压轴能力测评 21 模型一：奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 模型二：费马点模型 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。 题型一：奔驰模型 一．选择题（共1小题） 1．（2020秋•顺平县期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则以下结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断；依据是等边三角形，即可得到，进而得出，求出即可判断选项． 【解答】解：是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转到位置， ， ，，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ，即是直角三角形，故正确， 是等边三角形， ，故正确， ，故正确， 若，则，与，，不符，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力． 二．填空题（共4小题） 2．（2023秋•北屯市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，点的坐标是，点在第一象限，的平分线交轴于点，把绕着点按逆时针方向旋转，使边与重合，得到，连接．则　　，点坐标为 　　． 【分析】根据等边三角形的每一个角都是可得，然后根据对应边的夹角为旋转角求出，再判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据，的平分线交轴于点，，利用三角函数求出，从而得到，再求出，然后写出点的坐标即可． 【解答】解：是等边三角形， ， 绕着点按逆时针方向旋转边与重合， 旋转角，， 是等边三角形， ，， 的坐标是，的平分线交轴于点， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为，． 故答案为：；点的坐标为，． 【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 3．（2023秋•长宁区校级期中）已知在中，，，（如图），把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为 　或　． 【分析】根据△为直角三角形，分两种情况：①当点在线段延长线上时，△为直角三角形；②当点在线段上时，△为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点与点的距离． 【解答】解：分两种情况： ①当点在线段延长线上时，△为直角三角形， ，，， ， ，， ； ②当点在线段上时，△为直角三角形， 同理可得，，， ； 综上所述，点与点的距离为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键． 4．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为 　或　． 【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，当点在的右边时， 是的垂直平分线，四边形是正方形， 垂直平分， ， 将边绕着点旋转， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 当点在的左边时， 同理可得△是等边三角形， ，， ， ， ， ， 的度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 5．（2021秋•盘龙区校级期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中正确有　①②③　（填序号） ①是等边三角形 ②是直角三角形 ③④ 【分析】根据等边三角形性质得出，根据全等得出，，，，求出，即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②；求出，，即可判断③，求出和判断④． 【解答】解：是等边三角形， ， ， ，，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ，即是直角三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握全等三角形的性质、等边三角形的判定定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 6．（2022秋•西湖区校级期中）如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使，，三点在同一直线上，连接，求的度数． 【分析】由已知直接可得旋转中心为点，旋转的度数为，而，，即得，由此即可求出的度数． 【解答】解：等腰直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， 旋转中心为点，旋转的度数为， ， ， ， ， 的度数为， ． 【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形性质及旋转的性质． 7．（2021秋•长乐区期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接． （1）如图1，当点恰好在边上时，求的大小； （2）如图2，若为中点，求的最大值． 【分析】（1）由旋转可得：，，，再运用三角形内角和定理即可得出答案； （2）如图2，连接，利用等腰三角形的性质证明，然后证明、、、四点共圆，接着利用圆是圆中最长的弦即可求解． 【解答】解：（1）如图1，绕点顺时针旋转得到，点恰好在上， ，，， ， ； （2）如图2，连接， ，为中点， ， ， 而， 、、、四点共圆， 为这个圆的直径，为这个圆的一条弦， ，， ， 的最大值为8． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含角的直角三角形的性质，有一定的综合性． 8．（2022秋•东胜区校级期中）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的△，连接．若，，，则的长为 　　，正方形的边长为 　　． （变式猜想）（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由． （拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，在四边形中，，，，则的长度为 　　． 【分析】（1）由旋转的性质得，，，，则为等腰直角三角形，再由勾股定理得，过点作交的延长线于，则是等腰直角三角形，得，得，然后由勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质得是等边三角形，则，，，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，即可求解； （3）由旋转的性质得，，，则是等腰直角三角形，得，，再证，即可解决问题． 【解答】解：（1）绕点顺时针旋转得到的△， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， ， 在△中，由勾股定理得：， 过点作交的延长线于，如图1所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：，； （2）的度数为，理由如下： 是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到△，连接，如图2所示： 则是等边三角形， ，， ，， ， 为直角三角形， ， ； （3）， 是等腰直角三角形， ，， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图3所示： 由旋转的性质得：，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 9．（2023秋•梁山县期中）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到△． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【分析】（1）由已知绕点逆时针旋转后，得到△，可得△，，旋转角，所以为等边三角形，即可求得； （2）由为等边三角形，得，在△中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数． 【解答】解：（1）连接，由题意可知，， ，而， 所以度．故为等边三角形， 所以； （2）利用勾股定理的逆定理可知： ，所以为直角三角形，且 可求． 【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 10．（2020秋•黄石期中）下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数． 解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形． ，，， ． 为　直角　三角形． 的度数为　　． （2）类比延伸 如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数； （2）把绕点顺时针旋转得到，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，，再求出，然后利用勾股定理得出，等量代换得出． 【解答】解：（1）如图1，将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形． ，，， ． 为直角三角形． 的度数为． 故答案为：直角；； （2）．理由如下： 如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接． 则，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在△中，由勾股定理得，， ． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 11．（2023秋•罗山县期中）阅读与理解：如图1，等边（边长为按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边（边长为，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的，绕点按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？ 【分析】（1）利用证明即可； （2）利用证明，得，，再利用三角形内角和定理可得答案； （3）点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线时，最长或最短． 【解答】解：（1）； 将绕点按逆时针方向旋转， ， 在和中， ， ， ； （2），，理由如下： 设与交于点， 将绕点按逆时针方向旋转度， ， 与是等边三角形， ，， ， ，， ， ， （3）由旋转的性质可知，点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，当，，三点共线时，最长或最短． 当为时，线段的长度最大，等于；当为（或时，线段的长度最小，等于． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． 题型二：费马点模型 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•萧山区期中）如图，已知，，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为　　 A．10 B． C． D． 【分析】连接，过点作，与的延长线交于点，由旋转可知，，，，于是可得为等边三角形，进而得到，利用含30度的直角三角形性质可得，，最后利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图，连接，过点作，与的延长线交于点， 则， 将绕着点逆时针方向旋转得到， ，，，， 为等边三角形， ， ， ， 当点、、在同一条直线上时，取得最小值为，即取得最小值为， ， ， ， ，， ， 在中，， 取得最小值为． 故选：． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 二．解答题（共2小题） 2．（台州期中）（1）知识储备 ①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． ②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． （2）知识迁移 ①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 　　的长度即为的费马距离． ②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）． （3）知识应用 ①判断题（正确的打，错误的打 ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 　　； ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 　　． ②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的 边长． 【分析】（1）①根据已知首先得出为等边三角形，进而得出，即； （2）①利用（1）中结论得出；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解； ②画出图形即可；也可以将绕点按顺时针旋转得到，连接，作，然后在上截取，则△是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论； （3）①根据费马点和费马距离的定义直接判定即可； ②将沿点逆时针旋转到△，如图5，根据的最小值为，得的最小值为，即，设正方形的边长为，根据勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的边长． 【解答】（1）①证明：在上取一点，使，连接， 是等边三角形， ， 又， 是正三角形， ，， ， 又，， ， ， ；（4分） （2）①如图2，得：， 当、、共线时，的值最小， 线段的长度即为的费马距离， 故答案为：；（6分） ②过和分别向外作等边三角形，连接，，交点即为．（过或作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分） （3）①ⅰ．； ⅱ．当三角形有一内角大于或等于时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（10分） 故答案为：，，，； ②解：将沿点逆时针旋转到△， 如图5，过作，交的延长线于，连接， 易得：，，，， ，， △是正三角形， ， 的最小值为， 的最小值为， ，，，在同一直线上，即，（12分） 设正方形的边长为， ，， ， 在△中，，， 得：，， 在△中，由勾股定理得：， 解得：（舍去） 正方形的边长为2．（14分） 【点评】此题是圆的综合题，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识．难度很大，理解新定义是本题的关键． 3．（宿豫区校级期中）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离； ②如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理； （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上任取一点，连接、、、．易知　　； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段　　的长度即为的费马距离． （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄、、构成了如图（E）所示的（其中、、均小于，现选取一点打水井，使从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解． （3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解． 【解答】（2）①证明：由托勒密定理可知 是等边三角形 ， ， ②、， （3）解：如图，以为边长在的外部作等边，连接，则知线段的长即为最短距离． 为等边三角形，， ，， ，， 在中，，， ， 从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度的最小值为． 【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神． 1．（连城县期中）（1）如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数． 要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作使，连接，，则是等边三角形． 　　， 是等边三角形 ， 　　 ，　　 在中，，，， 　　 （2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数． 【分析】（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形．只要证明，推出，，再利用勾股定理的逆定理即可解决问题； （2）把绕点逆时针旋转得到，如图，想办法证明是等腰三角形即可解决问题； 【解答】解：（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，，， 故答案为：，，，90． （2）解：，， 把绕点逆时针旋转得到，如图， ，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， ， ， 为直角三角形， ， ． 【点评】本题考查旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（西城区校级期中）如图，是等边内的一点，且，，，将绕点逆时针旋转，得到．求： （1）点与点之间的距离； （2）求的度数． 【分析】（1）连接，如图，根据等边三角形得性质得，，再利用旋转的性质得，，，，，于是可判断是等边三角形，所以； （2）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再加上，然后计算即可． 【解答】解：（1）连接，如图， 是等边三角形 ，， 是绕点逆时针旋转得到的， ，，， ，， 是等边三角形， ； （2），，， 而， ， 是直角三角形，且， 是等边三角形， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理． 3．（汉阳区期中）如图，是等腰内一点，，连接，，． （1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； （2）在（1）中，若，，，求的大小； （3）当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 【分析】（1）由，可知点旋转到点，在的下方过点作的垂线，并且在垂线上截取，则为点绕点顺时针旋转以后的对应点，△即为所求； （2）连接，求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后计算即可得解； （3）根据全等三角形的面积相等求出与的面积之和等于四边形的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出和的面积的和，和的面积的和，从而求出的面积，然后根据的面积的面积与的面积的和计算即可得解． 【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求； （2）如图2，连接． 将绕点顺时针旋转，与△重合， △，， ，，， 是等腰直角三角形， ，． 在中，，，， ， △是直角三角形，， ； （3）如图3①，将绕点逆时针旋转得到△，连接， △， ，，， 是等边三角形， ， ，，， ， △是直角三角形，， ，， ； △， ； 如图3②，同理可求：和的面积的和， 和的面积的和， 的面积， 的面积的面积与的面积的和． 故答案为． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，其中（3）较为复杂，求出的面积是解题的关键． 4．（汉阳区期中）（1）阅读证明 ①如图1，在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． ②如图2，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接，，，．易知　 　； 第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段　　的长度即为的费马距离． （3）知识应用 已知三村庄，，构成了如图4所示的（其中，，均小于，现选取一点打水井，使水井到三村庄，，所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 【分析】（1）根据已知首先得出为等边三角形，进而得出即； （2）利用（1）中结论得出；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解； （3）在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）如图2，延长至，使． 在等边中， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ． ； （2）由（1）得出：第一步：如图3，在的外部以为边长作等边及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接，，，．易知； 第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出的费马点，线段的长度即为的费马距离． 故答案为：；． （3）如图4，以为边在的外部作等边，连接． 的长就是的费马距离． 可得 ． 输水管总长度的最小值为5千米． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等、解直角三角形等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神． 5．（当涂县校级期中）如图，点是等边外一点，，， （1）将绕点逆时针旋转得到△，画出旋转后的图形； （2）在（1）的图形中，求的度数． 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到△如图所示． （2）只要证明是等边三角形，由，推出，即可解决问题． 【解答】解：（1）将绕点逆时针旋转得到△，如图所示， （2）△是由旋转所得， △， ，，， 是等边三角形， ，， ，，， ， ． 【点评】本题考查等边三角形的性质、旋转变换、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$