第14期 3.3 抛物线-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 所以线段ＰＱ中点纵坐标的值为 槡２３３． （２）设ｙ轴上存在定点Ｓ（０，ｓ）满足题意． 由题意，直线ＭＮ的斜率存在且不为０，设直线ＭＮ：ｙ＝ｋｘ＋ｓ， (Ｐ ｙ２１４，ｙ)１ ， (Ｑ ｙ２２４，ｙ)２ ， (Ｍ ｙ２３４，ｙ)３ ， (Ｎ ｙ２４４，ｙ)４ ． 由 ｙ＝ｋｘ＋ｓ， ｙ２＝４ｘ{ ， 消去ｘ整理得ｋｙ２－４ｙ＋４ｓ＝０， 由Δ＝１６－１６ｋｓ＞０，得ｋｓ＜１，则ｙ３＋ｙ４＝ ４ ｋ，ｙ３ｙ４＝ ４ｓ ｋ． 因为Ｐ，Ｔ，Ｍ三点共线， (所以 ｙ２１４ －槡 )３ ｙ３ (＝ ｙ２３４ －槡 )３ ｙ１， 解得ｙ１ｙ３＝－ 槡４３．同理，可得ｙ２ｙ４＝－ 槡４３． 又ｋＰＱ＝ ｙ１－ｙ２ ｙ２１ ４ － ｙ２２ ４ ＝ ４ｙ１＋ｙ２ ＝ ４ －槡４３ ｙ３ ＋－槡４３ｙ４ ＝ ｙ３ｙ４ －槡３（ｙ３＋ｙ４） ＝槡３， 所以 ｙ３ｙ４ ｙ３＋ｙ４ ＝ ４ｓ ｋ ４ ｋ ＝－３，解得ｓ＝－３．所以直线ＭＮ恒过定点（０，－３）． １９．（１）解：设直线ＡＢ的方程为ｙ＝２ｘ＋ｔ， 与ｙ２＝４ｘ联立得ｙ２－２ｙ＋２ｔ＝０，由Δ＝４－８ｔ＞０得ｔ＜ １２， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３），则ｙ１＋ｙ２＝２， 所以ｘ１＋ｘ２＝ １ ２（ｙ１＋ｙ２－２ｔ）＝１－ｔ，由题意知Ｆ（１，０）， 因为→ → →ＦＡ＋ＦＢ＋ＦＣ＝０，→ＦＡ＝（ｘ１－１，ｙ１），→ＦＢ＝（ｘ２－１，ｙ２），→ＦＣ＝ （ｘ３－１，ｙ３），所以（ｘ１＋ｘ２＋ｘ３－３，ｙ１＋ｙ２＋ｙ３）＝（０，０）， 所以 ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝３， ｙ１＋ｙ２＋ｙ３＝０ { ， ，故 ｘ３＝３－（１－ｔ）＝ｔ＋２， ｙ３＝－２ { ， 即点Ｃ的坐标为（２＋ｔ，－２），代入抛物线Ｅ的方程， 得４＝４（２＋ｔ），解得ｔ＝－１，满足条件ｔ＜ １２， 所以直线ＡＢ的方程为２ｘ－ｙ－１＝０． （２）证明：设直线ＢＣ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｎ，与ｙ２＝４ｘ联立得ｙ２－４ｍｙ －４ｎ＝０，由Δ＝１６（ｍ２＋ｎ）＞０，得ｎ＞－ｍ２， 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３），则ｙ２＋ｙ３＝４ｍ， 所以ｘ２＋ｘ３＝ｍ（ｙ２＋ｙ３）＋２ｎ＝４ｍ２＋２ｎ． 由（１）知 ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝３， ｙ１＋ｙ２＋ｙ３＝０ { ， 所以 ｘ１＝３－４ｍ２－２ｎ， ｙ１＝－４ｍ { ， 即点Ａ的坐标为（３－４ｍ２－２ｎ，－４ｍ）． 又点Ａ在抛物线ｙ２＝４ｘ上，所以１６ｍ２＝４（３－４ｍ２－２ｎ）， 所以ｎ＝ ３２ －４ｍ ２， 又ｎ＞－ｍ２，所以ｍ２＜ １２，所以点Ａ的横坐标３－４ｍ ２－２ｎ＝４ｍ２＜２， 同理可证，Ｂ，Ｃ两点的横坐标也小于２． 所以△ＡＢＣ三个顶点的横坐标都小于２． 第１５期３，４版 圆锥曲线的方程核心素养综合测评 一、单项选择题　１～４　ＢＡＢＢ　５～８　ＡＢＣＤ 提示： １．ｃ＝ ５－槡 １＝２，可得焦点坐标为（－２，０）和（２，０）． ２．由焦点为（３，０），则３２＝ａ＋１２，解得ａ＝８． ３．抛物线Ｃ：ｘ２＝ｙ的准线方程为ｙ＝－ １４， 又点Ｍ在抛物线上且纵坐标为１，所以点Ｍ到Ｃ的焦点的距离为１ ( － － )１４ ＝ ５４． ４．由题得ａ２＝８０，ｂ２＝３５，所以ａ＝ 槡４５，ｃ＝ ａ２－ｂ槡 ２＝ 槡３５， 所以长轴长２ａ＝ 槡８５，焦距２ｃ＝ 槡６５， 所以长轴长与焦距之差等于２ａ－２ｃ＝ 槡２５． ５．双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的渐近线方程为ｙ＝± ｂａｘ， 又渐近线过点Ｐ（３，－９），即 －９＝－ ｂａ ×３，则 ｂ ａ ＝３， 所以离心率ｅ＝ ｃａ ＝ １＋ ｂ２ ａ槡 ２ ＝ １＋３槡 ２＝槡１０． ６．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｙ１＋ｙ２＝１． 所以 ｙ２１＝４ｘ１， ｙ２２＝４ｘ { ２ （ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝４（ｘ１－ｘ２）， 所以ｋＡＢ＝ ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝ ４ｙ１＋ｙ２ ＝４． ７．由题意可设抛物线方程为ｘ２＝－２ｐｙ（ｐ＞０）， 由题意知点（４８，－６０）在该抛物线上，将其代入抛物线方程， 得４８２＝－２ｐ×（－６０），解得ｐ＝９６５， 则抛物线的方程为ｘ２＝－１９２５ｙ，故选：（Ｃ）． ８．依题意，ａ＝３，ｂ＝槡５，ｃ＝２， Ｆ１（－２，０），Ｆ２（２，０），Ｎ（３，槡５）， 则｜ＮＦ２｜＝ １２＋（槡５）槡 ２＝槡６， ｜ＮＦ１｜＝ ５２＋（槡５）槡 ２＝槡３０， 所以｜ＭＮ｜＋｜ＭＦ１｜≥｜ＮＦ１｜＝槡３０，当Ｍ位于线段ＮＦ１与椭圆交 点Ｍ２处时等号成立． 根据椭圆的定义可知｜ＭＮ｜＋｜ＭＦ１｜＝｜ＭＮ｜＋２ａ－｜ＭＦ２｜＝６＋ ｜ＭＮ｜－｜ＭＦ２｜， 如图１所示，设ＮＦ２的延长线与椭圆相交于Ｍ１，则当Ｍ位于Ｍ１时，６ ＋｜ＭＮ｜－｜ＭＦ２｜取得最大值，为６＋｜ＮＦ２｜＝６＋槡６， 综上所述，｜ＭＮ｜＋｜ＭＦ１｜的取值范围为［槡３０，６＋槡６］． 二、多项选择题　９．ＢＣＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．设椭圆的长半轴长为ａ，短半轴长为ｂ，半焦距为ｃ，椭圆长轴在圆柱 底面上的投影为圆柱底面圆的直径，由截面与圆柱底面的夹角 θ＝ π３ 得：２ａ＝ ４ｃｏｓθ ＝８，解得ａ＝４，即椭圆的长轴长为２ａ＝８，（Ａ）不正确； 显然ｂ＝２，则ｃ＝ ａ２－ｂ槡 ２＝ 槡２３，离心率ｅ＝ ｃ ａ ＝ 槡３ ２，（Ｂ）正确； 当以椭圆长轴所在直线为ｙ轴，短轴所在直线为ｘ轴建立平面直角坐 标系时，椭圆的标准方程为 ｙ２ １６＋ ｘ２ ４ ＝１，（Ｃ）正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ａ－ｃ＝４－ 槡２３，（Ｄ）正确． 故选：（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．由∠ＭＯＦ＝４５°，可得ｔａｎ∠ＭＯＦ＝ ｜ｙ０｜ ｘ０ ＝１，即ｙ２０＝ｘ２０， 联立方程组 ｙ２０＝ｘ２０， ｙ２０＝４ｘ０ { ， 解得 ｘ０＝４， ｙ０＝ { ４或 ｘ０＝４， ｙ０＝－４ { ， 所以（Ａ）正确， （Ｂ）不正确； 又由抛物线的定义，可得｜ＭＦ｜＝ｘ０＋ ｐ ２ ＝４＋１＝５，所以（Ｃ）正确； 在△ＯＦＭ中，可得｜ＯＦ｜＝１，｜ＭＦ｜＝５，｜ＯＭ｜＝ 槡４２， 由余 弦 定 理 得 ｃｏｓ∠ＯＦＭ ＝ ｜ＯＦ｜ ２＋｜ＭＦ｜２－｜ＯＭ｜２ ２｜ＯＦ｜｜ＭＦ｜ ＝ １２＋５２－（槡４２）２ ２×１×５ ＝－ ３ ５，所以（Ｄ）错误．故选：（Ａ）（Ｃ）． １１．过双曲线的右顶点Ａ（ａ，０）作ｘ轴的垂 线交渐近线ｙ＝ ｂａｘ于点Ｂ（ａ，ｂ），则｜ＯＢ｜＝ ｃ＝｜ＯＦ｜，不妨设Ｍ，Ｐ在ｘ轴上方， 因为 ｜ＯＢ｜＝｜ＯＦ｜，∠ＡＯＢ＝∠ＭＯＦ， ∠ＯＡＢ＝∠ＯＭＦ ＝９０°，所以 Ｒｔ△ＯＡＢ≌ Ｒｔ△ＯＭＦ， 所以｜ＦＭ｜＝｜ＡＢ｜＝ｂ，｜ＯＭ｜＝｜ＯＡ｜＝ａ， 由已知→ＭＦ＝２→ＰＭ得｜ＰＭ｜＝ ｂ２， 由 ｜ＯＭ｜２＝｜ＦＭ｜·｜ＭＰ｜，得ａ２＝ｂ ２ ２，所以ｂ＝槡２ａ，所以 ｂ ａ ＝槡２， 所以双曲线的渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ，故（Ｃ）错误； 因为ｃ２＝ａ２＋ｂ２＝３ａ２，所以ｅ＝ ｃａ ＝槡３，故（Ｄ）正确； 因为ＯＭ⊥直线ＦＰ，且｜ＯＭ｜＝ａ，所以直线ＦＰ与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２相 切，故（Ａ）正确； 双曲线的焦点坐标为（±槡３ａ，０）， ｘ２ ２ｂ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１即 ｘ ２ ４ａ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１，为中心在原点焦点在ｘ轴上的椭圆， 半焦距ｃ１＝ ４ａ２－ａ槡 ２＝槡３ａ，焦点坐标为（±槡３ａ，０）， 所以Ｅ与 ｘ ２ ２ｂ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１有相同的焦点，故（Ｂ）正确． 故选：（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题　１２．３；　１３．３；　１４．２． 提示： １２．由题意知，焦点在ｙ轴上，则ａ２＝４，ｂ２＝ｍ，ｃ２＝１， 从而４＝ｍ＋１，解得ｍ＝３． １３．由题意，得２ｘ０＝ｘ０＋ ｐ ２，解得ｘ０＝ ｐ ２，即 (Ａ ｐ２，－ )３ ． 代入ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），得（－３）２＝２ｐ· ｐ２，解得ｐ＝３． １４．由题知｜ＣＯ｜＝ａ，｜ＡＯ｜＝２ａ， 所以双曲线Ｔ的方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ３ａ２ ＝１， 又由题设Ｔ的方程为 ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ４ ＝１，所以３ａ ２＝４，即ａ＝ ２ 槡３ ． 设ＡＢ的中点为Ｇ，则｜ＢＧ｜＝ ３２ａ＝槡３， 由ｃｏｓ３０°＝｜ＢＧ｜｜ＢＤ｜＝ 槡３ ｜ＢＤ｜＝ 槡３ ２，所以｜ＢＤ｜＝２， 即圆Ｄ的半径为２． 四、解答题 １５．解：（１）由题可得 ｘ２ (＋ ｙ－ )１２槡 ２ ＝ｙ＋ １２， 化简得ｘ２＝２ｙ．故点Ｐ的轨迹方程为ｘ２＝２ｙ． （２）由题意设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），将直线方程ｙ＝ｋｘ＋１与抛物线方 程ｘ２＝２ｙ联立得ｘ２－２ｋｘ－２＝０，则ｘ１＋ｘ２＝２ｋ，ｘ１ｘ２＝－２． 所以｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２· （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２· ４ｋ２＋槡 ８＝ 槡２６，解得ｋ２＝１，所以ｋ＝±１． １６．（１）证明：由题可得，双曲线Ｃ的渐近线方程为ｘ±２ｙ＝０． 点Ｐ（ｘ，ｙ）到直线ｘ－２ｙ＝０的距离ｄ１＝ ｜ｘ－２ｙ｜ 槡５ ， 点Ｐ（ｘ，ｙ）到直线ｘ＋２ｙ＝０的距离ｄ２＝ ｜ｘ＋２ｙ｜ 槡５ ， 所以点Ｐ到双曲线Ｃ的两条渐近线的距离的乘积为 ｄ１ｄ２＝ ｜ｘ－２ｙ｜ 槡５ · ｜ｘ＋２ｙ｜ 槡５ ＝｜ｘ ２－４ｙ２｜ ５ ． 又Ｐ（ｘ，ｙ）在双曲线Ｃ上，所以 ｘ ２ ４ －ｙ ２＝１，即ｘ２－４ｙ２＝４， 所以ｄ１ｄ２＝ ４ ５，是一个常数． （２）解：由 ｘ ２ ４ －ｙ ２＝１得ｙ２＝ ｘ ２ ４ －１≥０， 解得ｘ≤－２或ｘ≥２．所以｜ＰＡ｜２＝（ｘ－３）２＋ｙ２ ＝（ｘ－３）２＋ｘ ２ ４ －１＝ (５４ ｘ－１２)５ ２ ＋ ４５． 当ｘ＝１２５ 时，｜ＰＡ｜ ２取得最小值 ４ ５， 所以｜ＰＡ｜的最小值为 槡２５５． １７．解：（１）由题可设椭圆Ｃ的标准方程为 ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 且ｃ＝１，所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝４＝２ａ， 解得ａ＝２，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝４－１＝３， 即椭圆Ｃ的标准方程为 ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１． （２）在△ＰＦ１Ｆ２中，由余弦定理得｜Ｆ１Ｆ２｜２＝｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－ ２｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜ｃｏｓ１２０°， 即４＝（｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜）２－｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜， 即４＝（２ａ）２－｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜＝１６－｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜， 所以｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜＝１２， Ｓ△ＰＦ１Ｆ２＝ １ ２ ｜ＰＦ１｜｜ＰＦ２｜ｓｉｎ１２０°＝ 槡３３． １８．解：（１）由ｅ＝ ｃａ ＝ １＋ ｂ( )ａ槡 ２ ＝槡１０３ ， 得 ｂ ａ ＝ １ ３， ａ ｂ ＝３，所以Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±３ｘ． （２）由已知得ｌ：ｘ＝－ ｐ２， 代入渐近线方程得Ｍ － ｐ２，－ ３ｐ( )２ ，Ｎ － ｐ２，３ｐ( )２ ， 所以｜ＭＮ｜＝３ｐ，Ｓ△ＭＦＮ ＝ １ ２ ×３ｐ×ｐ＝１２， 解得ｐ＝ 槡２２，所以Ｄ的方程为ｙ２＝ 槡４２ｘ． １９．解：（１）抛物线ｙ２＝ 槡４３ｘ的焦点为（槡３，０），所以ｃ＝槡３， 又根据椭圆的定义可得２ａ＝４，ａ＝２，所以ｂ＝ ａ２－ｃ槡 ２＝１， 所以椭圆Ｃ１： ｘ２ ４ ＋ｙ ２＝１，设椭圆Ｃ２： ｘ２ ａ２２ ＋ｙ ２ ｂ２２ ＝１， 因为相似比为２，所以ｂ２＝２ｂ＝２，ｃ２＝２ｃ＝ 槡２３，ａ２＝２ａ＝４， 所以椭圆Ｃ２的方程为 ｘ２ １６＋ ｙ２ ４ ＝１． （２）设Ａ（ｘ０，ｙ０），则Ｂ（－ｘ０，－ｙ０），又Ｐ（０，２）， 所以→ＰＡ＝（ｘ０，ｙ０－２），→ＰＢ＝（－ｘ０，－ｙ０－２）， 所以 →ｙ＝ＰＡ·→ＰＢ＝－ｘ２０－ｙ２０＋４， 因为点Ａ在椭圆上，所以 ｘ２０ ４ ＋ｙ ２ ０＝１，所以ｘ２０＝４－４ｙ２０， 所以ｙ＝－ｘ２０－ｙ２０＋４＝３ｙ２０， 根据椭圆的性质可得ｙ０∈［－１，１］，所以ｙ＝３ｙ２０∈［０，３］， 即ｙ的取值范围为［０，３］． （３）若椭圆Ｃｂ上存在两点Ｍ，Ｎ关于直线ｌ对称， 则ＭＮ⊥ｌ且ＭＮ的中点在ｌ上， 设椭圆Ｃｂ的半焦距为ｓ，长半轴长为ｔ． 因为Ｃｂ与Ｃ１相似，且短半轴长为ｂ，则ｓ＝ ｂ １·槡３＝槡３ｂ， ｔ＝ ｂ２＋ｍ槡 ２＝２ｂ，所以椭圆Ｃｂ： ｘ２ ４ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１， 设ＭＮ：ｙ＝－ｘ＋ｍ，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， ＭＮ的中点Ｑ（ｘＱ，ｙＱ）， 联立 ｘ２ ４ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１， ｙ＝－ｘ＋ｍ { ， 可得５ｘ２－８ｍｘ＋４ｍ２－４ｂ２＝０， Δ＝６４ｍ２－２０（４ｍ２－４ｂ２）＝８０ｂ２－１６ｍ２＞０， 解得ｂ２＞ｍ ２ ５， ｘ１＋ｘ２＝ ８ｍ ５，ｙ１＋ｙ２＝－（ｘ１＋ｘ２）＋２ｍ＝ ２ｍ ５， 所以ｘＱ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ ４ｍ ５，ｙＱ＝ ｙ１＋ｙ２ ２ ＝ ｍ ５， 因为Ｑ在直线ｙ＝ｘ＋１上，所以 ｍ５ ＝ ４ｍ ５ ＋１，解得ｍ＝－ ５ ３， 因为ｂ２＞ｍ ２ ５，所以ｂ ２＞ ５９，则有ｂ＞ 槡５ ３． 所以存在ｂ满足题意，且ｂ (的范围是 槡５３，＋ )∞ ． 书 高中数学·选择性必修第一册（人教 Ａ版）２０２４年 第１２～１５期参考答案 第１２期１版 专项小练一 １．Ｂ；　２．ＡＢＤ；　３．Ｃ；　４．１或 －１；　５．（－２，０）∪（０，３）． ６．解：以ＢＣ所在的直线为ｘ轴，ＢＣ的中垂线为ｙ轴， 建立平面直角坐标系． 因为点Ｍ为△ＡＢＣ的重心， 所以｜ＭＢ｜＋｜ＭＣ｜＝ ２３ ×３９＝２６＞｜ＢＣ｜＝２４． 根据椭圆定义可知，点Ｍ的轨迹是以Ｂ，Ｃ为焦点的椭圆， 所以ａ＝１３，ｃ＝１２，则ｂ＝５． 故△ＡＢＣ重心Ｍ的轨迹方程为ｘ ２ １６９＋ ｙ２ ２５ ＝１（ｙ≠０）． 专项小练二 １．Ｃ；　２．ＡＤ；　３．Ｂ；　４．８； 槡　５．３７． ６．解：由已知条件得椭圆的焦点在ｘ轴上，其中ｃ＝ 槡２２，ａ＝３， 从而ｂ＝１，所以其标准方程是ｘ ２ ９ ＋ｙ ２＝１． 联立方程组 ｘ２ ９ ＋ｙ ２＝１， ｙ＝ｘ＋２ { ， 消去ｙ，得１０ｘ２＋３６ｘ＋２７＝０． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），线段ＡＢ的中点为Ｍ（ｘ０，ｙ０），那么ｘ１＋ｘ２＝ －１８５，即ｘ０＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝－ ９ ５，所以ｙ０＝ｘ０＋２＝ １ ５． 故线段ＡＢ的中点坐标为 － ９５，( )１５ ． 第１２期３，４版 椭圆同步核心素养测评 一、单项选择题　１～４　ＢＢＤＣ　５～８　ＤＤＡＢ 提示： １．因为椭圆的右焦点坐标是（１，０），所以右焦点到直线ｙ＝槡３ｘ的距 离ｄ＝槡３２，故选（Ｂ）． ２．对于椭圆 ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 有ｅ＝ ｃａ ＝ ｃ２ ａ槡２ ＝ ａ２－ｂ２ ａ槡 ２ ＝ １ (－ ｂ )ａ槡 ２ ． 因为ｅ２＝ ５ ６ｅ１，所以 １－ ｂ２ 槡 ９ ＝ ５ ６ × １－槡 １ ５， 解得ｂ＝２．故选（Ｂ）． ３．椭圆 ｘ ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１的长轴长为５×２＝１０，短轴长为２×３＝６， 焦距为２ ２５－槡 ９＝８，离心率为 ４ ５， 椭圆 ｘ２ ２５－ｋ＋ ｙ２ ９－ｋ＝１（ｋ＜９）的长轴长为２ ２５槡 －ｋ， 短轴长为２ ９槡 －ｋ，焦距为２ （２５－ｋ）－（９－ｋ槡 ）＝８， 离心率为 ４ ２５槡 －ｋ ，所以两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不 相等，离心率也不相等．故选：（Ｄ）． ４．在大椭圆中，ａ＝２０，ｂ＝１０，则ｃ＝ ａ２－ｂ槡 ２＝ 槡１０３， 则椭圆离心率为ｅ＝槡３２． 因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等， 所以在小椭圆中，ｅ′＝槡３２， 结合题意知ｂ′＝５，得（ｅ′）２＝（ａ′） ２－（ｂ′）２ （ａ′）２ ＝ ３４， 解得ａ′＝１０，所以小椭圆的长轴长为２０ｃｍ．故选：（Ｃ）． ５．设椭圆的方程为 ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由已知得Ａ（ａ，０），Ｂ（０，ｂ），Ｆ（－ｃ，０）， 则→ＢＦ＝（－ｃ，－ｂ），→ＢＡ＝（ａ，－ｂ）． 因为离心率ｅ＝ ｃａ ＝ 槡５－１ ２ ，所以ｃ＝ 槡５－１ ２ ａ， 则ｂ＝ ａ２－ｃ槡 ２＝ ａ２ (－ 槡５－１２ )ａ槡 ２ ＝ 槡５－１槡２ ａ． 所以→ＢＦ·→ＢＡ＝ｂ２－ａｃ＝０，所以∠ＡＢＦ＝９０°． ６．由题可得圆Ｂ的圆心为Ｂ（３，０），半径为Ｒ＝１０， 设动圆的圆心为Ｃ，半径为ｒ， 由圆Ｃ在圆Ｂ的内部与其相切，则Ｒ－ｒ＝ＣＢ， 由圆Ｃ过点Ａ，则Ｒ－ＣＡ＝ＣＢ，即１０＝ＣＡ＋ＣＢ， 所以动点Ｃ的轨迹为以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆， 则ａ＝５，ｃ＝｜ＡＢ｜２ ＝３，ｂ＝ ａ ２－ｃ槡 ２＝４， 所以其轨迹方程为 ｘ２ ２５＋ ｙ２ １６ ＝１．故选：（Ｄ）． ７．依题意，Ａ（０，槡ｎ），Ｂ（０， 槡－ ｎ），设点Ｐ（ｘ０，ｙ０）， 则有 ｘ２０ ｍ ＋ ｙ２０ ｎ ＝１，即ｘ ２ ０＝ ｍ ｎ（ｎ－ｙ ２ ０）， 则ｋＡＰ·ｋＢＰ＝ ｙ０ 槡－ ｎ ｘ０ · ｙ０ 槡＋ ｎ ｘ０ ＝ ｙ２０－ｎ ｘ２０ ＝－ ｎｍ ＝－ ４ ３， 即 ｍ ｎ ＝ ３ ４， 显然曲线Ｃ是焦点在ｙ轴上的椭圆， 槡ａ＝ ｎ， 槡ｂ＝ ｍ， 所以Ｃ的离心率为ｅ＝ １－ｍ槡 ｎ ＝ １－槡 ３ ４ ＝ １ ２． ８．如图１，设椭圆的左焦点为Ｅ， 则｜ＢＥ｜＋｜ＢＦ｜＝２ａ， 因为点Ａ，Ｂ关于原点对称， 所以四边形为平行四边形． 由｜ＡＦ｜＝２｜ＢＦ｜得｜ＢＦ｜＝ ２３ａ， ｜ＢＥ｜＝ ４３ａ． 在△ＥＢＦ 中，ｃｏｓ ∠ＥＢＦ ＝ ｜ＢＥ｜ ２＋｜ＢＦ｜２－｜ＥＦ｜２ ２｜ＢＥ｜｜ＢＦ｜ ＝ １６ ９ａ ２＋ ４９ａ ２－４ｃ２ ２× ４３ａ× ２ ３ａ ＝ ５４ － ９ ４ｅ ２， 所以ｃｏｓ∠ＢＦＡ＝－ｃｏｓ∠ＥＢＦ＝ ９４ｅ ２－ ５４． 由→ＦＡ·→ＦＢ≤ ４９ａ２，得 → →｜ＦＡ｜｜ＦＢ｜ｃｏｓ∠ＢＦＡ＝ ４３ａ× ２ ３ ( ａ× ９ ４ｅ ２－ )５４ ≤ ４９ａ２，整理得ｅ２≤ ７９． 又０＜ｅ＜１，所以ｅ (∈ ０，槡７]３ ． 二、多项选择题　９．ＢＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．易知Ｆ１（－４，０），Ｆ２（４，０）分别为椭圆 ｘ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１的两个焦点， Ｅ１（０，－４），Ｅ２（０，４）分别为椭圆 ｙ２ ２５＋ ｘ２ ９ ＝１的两个焦点．若点Ｐ仅在 椭圆 ｘ２ ２５＋ ｙ２ ９ ＝１上，则Ｐ到Ｆ１（－４，０），Ｆ２（４，０）两点的距离之和为定 值，到Ｅ１（０，－４），Ｅ２（０，４）两点的距离之和不为定值，故（Ａ）错误； 两个椭圆关于直线ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ对称，则曲线Ｃ关于直线ｙ＝ｘ，ｙ ＝－ｘ均对称，故（Ｂ）正确； 曲线Ｃ所围区域在边长为６的正方形内部，所以面积必小于３６，故 （Ｃ）正确； 曲线Ｃ所围区域在半径为３的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周 长６π，故（Ｄ）错误．故选：（Ｂ）（Ｃ）． １０．由题设，椭圆中ｂ＝ｃ＝槡２，则ａ＝ ｂ２＋ｃ槡 ２＝２，故椭圆的长轴 长为４，（Ａ）正确； ｜ＡＢ｜＝｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＝槡２＋｜ＯＡ｜，且槡２≤ＯＡ≤２，故｜ＡＢ｜∈ ［槡２２，２＋槡２］，（Ｂ）正确； 令∠ＡＯＦ＝θ，则Ｓ△ＡＢＦ＝Ｓ△ＡＯＦ＋Ｓ△ＢＯＦ＝ １ ２｜ＯＡ｜·｜ＯＦ｜ｓｉｎθ ＋ １２ ｜ＯＢ｜·｜ＯＦ｜ｓｉｎ（π－θ）＝ 槡２ ２（槡２＋｜ＯＡ｜）ｓｉｎθ，若θ＝ π ６，此 时｜ＯＡ｜＜２，则Ｓ△ＡＢＦ＝槡 ２ ４（槡２＋｜ＯＡ｜）＜ １＋槡２ ２ ，（Ｃ）错误； 由椭圆定义知｜ＡＦ｜＋｜ＡＧ｜＝２ａ＝４，故△ＡＦＧ的周长为｜ＦＧ｜＋４ ＝ 槡２２＋４，（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．图２，在Ｒｔ△ＡＤＯ，由于ＡＯ＝ｒ，ＡＤ＝６０ｃｍ，ＣＤ＝２０ｃｍ，ＤＯ＝（ｒ －２０）ｃｍ，所以（ｒ－２０）２＋６０２＝ｒ２，解得ｒ＝１００ｃｍ； 对于（Ａ），太阳光线与地面所成角为 π４时，如图３将伞还原成完整的球 状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投影形成完整的圆，正确； 对于（Ｂ），太阳光线与地面所成角为 π６时，如图４球冠只有部分被照 射，故不能形成椭圆，错误； 对于（Ｃ），太阳光线与地面所成角 为 π ３，且伞柄沿着光线方向时，球冠被 完整照射，如图５，而由于ＡＢ与地面成一 定角度，ＡＢ投影被拉长，故形成影子为 椭圆，短轴长度不变，长轴被拉长为原来 的 ２ 槡３ 倍，则 ｂ ａ ＝ 槡３ ２，离心率为 １ ２，正 确； 对于（Ｄ），太阳光线与地面所成角为 π６ 时，如图６，当 ＡＢ垂直于光 线，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影成椭圆，此时长轴 长为｜ＡＢ｜× １ ｓｉｎπ６ ＝２｜ＡＢ｜＝２４０ｃｍ，正确． 故选：（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题　１２．３；　１３．ｘ ２ １２＋ ｙ２ ９ ＝１；　１４． 槡２ ２． 提示： １２．由题意可知，６＋ｂ２＝９，所以ｂ２＝３． １３．设椭圆的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，椭 圆短轴的一个端点为Ｂ，如图７，已知△ＢＦ１Ｆ２ 是正三角形，可得ｂ＝槡３ｃ． 由 ｂ＝槡３ｃ， ａ－ｃ＝槡３， ａ２＝ｂ２＋ｃ２ { ， 解得 ａ＝ 槡２３， ｂ＝３， ｃ＝槡３ { ． 所以椭圆的标准方程是 ｘ２ １２＋ ｙ２ ９ ＝１． １４．设圆柱的底面半径为ｒ，依题意知，最长母 线与最短母线所在截面如图８所示． 所以ＤＥ＝ＡＢ＝２ｒ， 从而ＣＤ＝ ２ｒｓｉｎ４５°＝ 槡２２ｒ， 因此在椭圆中长轴长２ａ＝ 槡２２ｒ， 短轴长２ｂ＝２ｒ， 所以ｃ２＝ａ２－ｂ２＝２ｒ２－ｒ２＝ｒ２ｃ＝ｒ， 所以ｅ＝ ｃａ ＝ １ 槡２ ＝槡２２． 四、解答题 １５．解：直线ｘ－２ｙ＋２＝０与坐标轴的交点为（０，１），（－２，０）． 当焦点在ｘ轴上时，设椭圆的方程为ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由题意知，ｃ＝２，ｂ＝１，所以ａ２＝５， 所以椭圆的标准方程为 ｘ２ ５ ＋ｙ ２＝１； 当焦点在ｙ轴上时，设椭圆的方程为ｘ ２ ｂ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）， 由题意知，ｂ＝２，ｃ＝１，所以ａ２＝５， 所以椭圆的标准方程为 ｙ２ ５ ＋ ｘ２ ４ ＝１． 故该椭圆的标准方程为 ｘ２ ５ ＋ｙ ２＝１或 ｙ ２ ５ ＋ ｘ２ ４ ＝１． １６．解：因为△ＡＢＦ２的周长为８，所以｜ＡＢ｜＋｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜＝８ ｜ＡＦ１｜＋｜ＢＦ１｜＋｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜＝８ （｜ＡＦ１｜＋｜ＡＦ２｜）＋（｜ＢＦ１｜＋｜ＢＦ２｜）＝８ ２ａ＋２ａ＝８ａ＝２， 由题意可得：ａｂπ＝ 槡２３π，即ａｂ＝ 槡２３，解得ｂ＝槡３． 因为椭圆的焦点在ｘ轴上，所以Ｃ的标准方程为：ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１． １７．解：（１）由题意得ａ＝２，ｂ＝槡３ｃ， 又因为ａ２＝ｂ２＋ｃ２，所以ａ２＝４，ｂ２＝３，ｃ２＝１． ! ! " !"#$%&'()*+,-./0 ! 1"%+ #$%#& 2 ! 3"4$5&'(6*+,-.70 ! 8"%+ '$%'& 2 !"#$ !"#$ ! " ! " " # $ % ! # !"# $ & ' ( ) ! $ ! ( # * $ % ! " & # $ ) + ( ! % $ ( ! ! ! & ! & $ ( ! ' ( ! ( $ ! ( ! % ! ( ( ! ! " ! , " - * " , ! . / % ! " ! * ( / 0 1 - % ! ! 书 若ｍ＞０，则ａ２＝ｍ，所以 槡ａ＝ ｍ ＝２，解得ｍ＝４， 则Ｃ的方程为 ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２＝－２ｍ，所以ａ＝ －２槡 ｍ ＝２， 解得ｍ＝－２，则Ｃ的方程为 ｙ ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１； 综上，Ｃ的方程为 ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１或 ｙ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１． １８．解：（１）因为 ｜ （ｘ－槡１０）２＋ｙ槡 ２－ （ｘ＋槡１０）２＋ｙ槡 ２｜＝２＜ 槡２ １０，所以Ｃ是以（槡１０，０），（－槡１０，０）为焦点，实轴长为２的双曲线． 设Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则ｃ＝槡１０，ａ＝１，ｂ＝３， 所以Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１． （２）由（１）可得Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±３ｘ， 由 ｙ＝－３ｘ， ｙ＝ｘ－４{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝－３{ ，即Ｄ（１，－３）．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｘ－４， ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１ { ，得８ｘ２＋８ｘ－２５＝０， 则ｘ１＋ｘ２＝－１，则→ＯＡ·→ →ＯＤ＋ＯＢ·→ＯＤ＝ｘ１＋ｘ２－３（ｙ１＋ｙ２）＝ｘ１ ＋ｘ２－３（ｘ１－４＋ｘ２－４）＝２６． １９．（１）解：由题可得 ｘ２０ ２ －ｙ ２ ０＝１，即ｙ２０＝ ｘ２０ ２ －１， 联立 ｘ２ ２ －ｙ ２＝１与 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１， 消去ｙ得 (： ｙ２０２ －ｘ２０ )４ ｘ２＋ｘ０ｘ－（１＋ｙ２０）＝０， 则ｘ２－２ｘ０ｘ＋ｘ２０＝０，显然Δ＝４ｘ２０－４ｘ２０＝０， 所以该直线与双曲线有且只有１个公共点． （２）解：由（１）知，直线 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１与双曲线 ｘ２ ２ －ｙ ２＝１相切于点 （ｘ０，ｙ０），所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上一点（ｘ０，ｙ０）的切 线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． 证明如下：显然 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＝１，即ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０＝ａ２ｂ２， 由 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１， ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得：ｂ２ａ２ｘ２－２ｂ２ａ２ｘ０ｘ＋ｂ２＋ｙ２０＝０， 于是Δ＝ ４ｂ４ｘ２０ ａ４ －４ｂ ２ ａ２ （ｂ２＋ｙ２０）＝ ４ｂ２（ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２） ａ４ ＝０， 因此直线 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１与双曲线 ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）相切 于点（ｘ０，ｙ０），所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上一点（ｘ０，ｙ０） 的切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． （３）证明：当ｎ＝０时，直线ｌ的斜率不存在， 由对称性知，点Ｔ为线段ＰＱ的中点； 当ｎ≠０时，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），线段ＰＱ的中点Ｎ（ｔ，ｓ）， 由 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝０， ｍｘ ａ２ －ｎｙ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得 (： ｎ２ｂ２ －ｍ２ａ )２ ｘ２＋２ｍｘ－ａ２＝０， 由 ｍ２ ａ２ －ｎ ２ ｂ２ ＝１，得ｘ２－２ｍｘ＋ａ２＝０，则ｔ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ｍ， 又 ｍｔ ａ２ －ｎｓ ｂ２ ＝１，于是ｓ＝ ｂ ２ (ｎ ｍ２ａ２ － )１ ＝ｎ， 即点Ｔ与点Ｎ重合，所以点Ｔ为线段ＰＱ的中点． 第１４期２版 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．ＢＤ；　４．（２，＋∞）；　５．１． ６．解：令ｘ＝０，ｙ＝２，所以 ｐ２ ＝２，得ｐ＝４， 又抛物线的焦点在ｙ轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为ｘ２＝８ｙ； 令ｙ＝０，ｘ＝－３，所以 ｐ２ ＝３，得ｐ＝６， 又抛物线的焦点在ｘ轴的负半轴， 所以抛物线的标准方程为ｙ２＝－１２ｘ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．ＢＣ；　４．１；　５．１６． ６．解：设Ａ（ｘＡ，ｙＡ），Ｂ（ｘＢ，ｙＢ）， 由 ｘ－２ｙ＋１＝０， ｙ２＝２ｐｘ{ ， 可得ｙ２－４ｐｙ＋２ｐ＝０， 所以ｙＡ＋ｙＢ＝４ｐ，ｙＡｙＢ＝２ｐ， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋２槡 ２· （ｙＡ＋ｙＢ）２－４ｙＡｙ槡 Ｂ ＝ 槡４ １５． 即２ｐ２－ｐ－６＝０，因为ｐ＞０，解得ｐ＝２． 第１４期３版 抛物线同步核心素养测评 一、单项选择题　１－４　ＢＣＤＢ　５－８　ＤＡＤＣ 提示： １．由抛物线定义得３＋ ｐ２ ＝４，解得ｐ＝２．故选：（Ｂ）． ２．抛物线ｙ＝ １８ｘ ２的标准方程为ｘ２＝８ｙ， 所以焦点的坐标为（０，２），准线方程为ｙ＝－２， 故选：（Ｃ）． ３．直线３ｘ＋２ｙ－６＝０与ｘ轴的交点为（２，０）， 所以抛物线Ｃ的焦点为（２，０），故 ｐ２ ＝２，解得ｐ＝４， 所以抛物线的标准方程为ｙ２＝８ｘ．故选：（Ｄ）． ４．因点（２，４）在抛物线ｙ２＝８ｘ上，所以过该点与抛物线相切的直线和 过该点与ｘ轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．故选（Ｂ）． ５．由题意可知Ｆ（０，－７），因为Ｑ（０，７），准线为ｙ＝７， 设Ｐ（ａ，ｂ），根据抛物线的定义，｜ＱＦ｜＝｜ＰＦ｜＝１４＝７－ｂ， 得到ｂ＝－７，于是ａ２＝－２８ｂ＝１９６， 所以｜ＰＱ｜＝ （ａ－０）２＋（ｂ－７）槡 ２＝ 槡１４２．故选：（Ｄ）． ６．如图１，建立平面直角坐标系． 设该抛物线的方程为 ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ＞ ０），易知抛物线经过点（５，－６）， 所以５２＝－２ｐ×（－６），解得ｐ＝２５１２，故 该抛物线的顶点到焦点的距离为 ｐ ２ ＝ ２５ ２４， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：ｄ＝ ６－２５２４≈４９６米． ７．设从点Ａ（５，２）沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交 于点Ｐ，易知ｙＰ＝２，将（ｘＰ，ｙＰ）代入抛物线方程得ｘＰ＝４，即Ｐ（４，２）， 设焦点为Ｆ，则 (Ｆ １４，)０ ，设Ｑ（ｙ２Ｑ，ｙＱ），由Ｐ，Ｆ，Ｑ三点共线， 有 ２－０ ４－ １４ ＝ ｙＱ－０ ｙ２Ｑ－ １ ４ ，化简得８ｙ２Ｑ－１５ｙＱ－２＝０， 解得ｙＱ＝－ １ ８ 或ｙＱ＝２（舍），即 (Ｑ １６４，－ )１８ ． ８．因为ｘ＝－１是抛物线ｙ２＝４ｘ的准线，所以Ｐ到ｘ＝－１的距离等 于｜ＰＦ｜．过Ｐ作ＰＱ于ｌ１于Ｑ，则Ｐ到直线ｌ１和直线ｌ２的距离之和为｜ＰＦ｜ ＋｜ＰＱ｜，当Ｆ，Ｐ，Ｑ三点共线时取得最小值， 即为Ｆ（１，０）到直线４ｘ－３ｙ＋６＝０的距离， 所以最小值为 ｜４－０＋６｜ １６＋槡 ９ ＝２．故选：（Ｃ）． 二、多项选择题　９．ＡＣ；　１０．ＢＣ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．由题意可知Ｃ１的焦点为（１，０），Ｃ２的焦点为（０，１），过Ｃ１与Ｃ２焦点的直 线方程为 ｘ １ ＋ ｙ １ ＝１，即ｘ＋ｙ＝１，（Ａ）正确； 由 ｙ２＝４ｘ， ｘ２＝４ｙ{ ，解得 ｘ＝０， ｙ＝{ ０或 ｘ＝４， ｙ＝４{ ， 所以Ｃ１与Ｃ２有２个公共点，（Ｂ）错误； 由抛物线Ｃ１：ｙ２＝４ｘ知，开口向右，对称轴为ｘ轴， 所以与ｘ轴平行的直线与Ｃ１有１个交点， 由抛物线Ｃ２：ｘ２＝４ｙ知，开口向上，对称轴为ｙ轴， 所以与ｘ轴平行的直线与Ｃ２最多有２个交点，综上，与ｘ轴平行的直 线与Ｃ１及Ｃ２最多有３个交点，（Ｃ）正确； Ｃ１与Ｃ２关于直线ｙ＝ｘ对称，若存在直线与Ｃ１和Ｃ２都相切，则该切 线也关于直线ｙ＝ｘ对称，不妨设为ｙ＝－ｘ＋ｔ，与ｘ２＝４ｙ联立得ｘ２＋４ｘ －４ｔ＝０，由Δ＝０得ｔ＝－１， 所以直线ｙ＝－ｘ－１与Ｃ１和Ｃ２都相切，（Ｄ）错误．故选（Ａ）（Ｃ）． １０．抛物线ｘ２＝４ｙ的准线方程为ｙ＝－１，故（Ａ）错误； 由｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝４，得ｙ１＋１＋ｙ２＋１＝４， 则ｙ１＋ｙ２＝２，所以点Ｐ的纵坐标ｙＰ＝ ｙ１＋ｙ２ ２ ＝１， 即为点Ｐ到ｘ轴的距离为１，故（Ｂ）正确； 因为直线ｌ交抛物线于Ａ，Ｂ两点，显然ｌ的斜率存在， 设ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，与ｙ＝ １４ｘ ２联立消去ｙ， 整理得ｘ２－４ｋｘ－４ｍ＝０， 所以ｘ１ｘ２＝－４ｍ，所以ｙ１ｙ２＝ ｘ２１ ４ × ｘ２２ ４ ＝ （ｘ１ｘ２）２ １６ ＝ｍ ２． 若直线ＡＢ经过焦点Ｆ，则ｍ＝１，ｙ１ｙ２＝１，故（Ｃ）正确； 若ｙ１ｙ２＝１，则ｍ＝±１，当ｍ＝１时，直线ＡＢ过焦点Ｆ； 当ｍ＝－１时，直线ＡＢ过点（０，－１），故（Ｄ）错误．故选：（Ｂ）（Ｃ）． １１．ｙ２＝４ｘ，ｐ＝２，ｌ：ｘ＝－１． 又圆Ａ半径为１，圆心为Ａ（０，４），所以点Ａ到直线ｌ的距离为１，所以 圆Ａ与ｌ相切，（Ａ）正确； 当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时，ｙＰ＝ｙＡ＝４， 代入ｙ２＝４ｘ中，ｘＰ＝４，所以ＰＡ＝４， 所以ＰＱ＝ ＰＡ２－ｒ槡 ２＝槡１５，（Ｂ）正确； 当 ｜ＰＢ｜＝２时，ｘＰ＝１，ｙＰ＝２（假设Ｐ在ｘ轴上方）．此时，Ｂ（－１，２）， Ｐ（１，２），Ａ（０，４），ＡＰ２＝ＡＢ２＝５，ＢＰ２＝４． 因为ＡＰ２＋ＡＢ２≠ＢＰ２，所以ＰＡ与ＡＢ不垂直，（Ｃ）错误； 因为ＰＢ＝ＰＦ（Ｆ为抛物线Ｃ的焦点）， 所以ＰＡ＝ＰＢ时，ＰＡ＝ＰＦ． 所以，点Ｐ在ＡＦ中垂线上． 又Ａ（０，４），Ｆ（１，０），所以ＡＦ中垂线的方程为ｘ＝４ｙ－１５２． 联立 ｘ＝４ｙ－１５２， ｙ２＝４ｘ { ， 得ｙ２－１６ｙ＋３０＝０，Δ＞０． 所以ＡＦ的中垂线与抛物线Ｃ有两个交点，故点Ｐ有且仅有两个，（Ｄ） 正确．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题　１２．３；　１３．４５；　１４． 槡１０６＋槡１２３． 提示： １２．由题得Ｆ（１，０），准线为ｘ＝－１，点Ａ在抛物线外，故ｄ＝｜ＰＦ｜， 则ｄ＋｜ＰＡ｜＝｜ＰＦ｜＋｜ＰＡ｜≥｜ＡＦ｜＝３，当且仅当Ｆ，Ｐ，Ａ共线且Ｐ 在Ｆ，Ａ两点之间时等号成立． １３．圆（ｘ－１）２＋ｙ２＝２５的圆心为Ｆ（１，０），故 ｐ２ ＝１，即ｐ＝２， 由 （ｘ－１）２＋ｙ２＝２５， ｙ２＝４{ ｘ 可得 ｘ２＋２ｘ－２４＝０，故 ｘ＝４或 ｘ＝ －６（舍），故Ａ（４，±４），故直线ＡＦ：ｙ＝± ４３（ｘ－１），即４ｘ－３ｙ－４＝０ 或４ｘ＋３ｙ－４＝０，故原点到直线ＡＦ的距离为ｄ＝｜４｜５ ＝ ４ ５． １４．设Ｐ（ｘ，ｙ），由阿氏圆的定义可得｜ＰＡ｜｜ＰＢ｜＝ 槡６ ３， 即 （ｘ＋３）２＋（ｙ－１）２ （ｘ＋３）２＋（ｙ－６）２ ＝ ２３，化简得ｘ ２＋ｙ２＋６ｘ＋１８ｙ－６０＝０．所 以（ｘ＋３）２＋（ｙ＋９）２＝１５０，所以点Ｐ在圆心为（－３，－９），半径为 槡５６ 的圆上，因为抛物线Ｃ：ｙ＝ １６ｘ ２的焦点为Ｆ，所以 (Ｆ ０， )３２ ， 因为（０＋３）２ (＋ ３２ ＋ )９ ２ ＝４７７４ ＜１５０， 所以点Ｆ在圆（ｘ＋３）２＋（ｙ＋９）２＝１５０内， 因为点Ｆ到与圆心的距离为 ４７７槡４ ＝ 槡４７７ ２ ， 所以过点Ｆ的最短弦长为２ １５０－４７７槡 ４ ＝槡１２３， 过点Ｆ的最长弦长为 槡２ １５０＝ 槡１０６， 所以过点Ｆ的最长弦与最短弦的和为 槡１０６＋槡１２３． 四、解答题 １５．解：由题可知，直线ｌ的方程为ｘ＝４， 因此点Ａ的横坐标为４． 设Ｐ的坐标为（ｘ，ｙ），则点Ａ的坐标为（４，ｙ）． 因此→ＯＡ＝（４，ｙ），→ＯＰ＝（ｘ，ｙ）， 因为→ＯＡ⊥→ＯＰ的充要条件是→ＯＡ·→ＯＰ＝０， 所以４ｘ＋ｙ２＝０，即动点Ｐ的轨迹方程为ｙ２＝－４ｘ． 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线． １６．解：（１）依题意Ｆ（１，０），设直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍｙ＋１． 与ｙ２＝４ｘ联立得ｙ２－４ｍｙ－４＝０．设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 所以ｙ１＋ｙ２＝４ｍ，ｙ１ｙ２＝－４①．因为→ＡＦ＝２→ＦＢ，所以ｙ１＝－２ｙ２②． 联立①和②，消去ｙ１，ｙ２，得ｍ＝±槡 ２ ４． 所以直线ＡＢ的斜率是 ± 槡２２． （２）由点Ｃ与原点Ｏ关于点Ｍ对称，得Ｍ是线段ＯＣ的中点， 从而点Ｏ与点Ｃ到直线ＡＢ的距离相等， 所以四边形ＯＡＣＢ的面积等于２Ｓ△ＡＯＢ． 因为２Ｓ△ＡＯＢ＝２× １ ２ ×｜ＯＦ｜×｜ｙ１－ｙ２｜＝ （ｙ１＋ｙ２） ２－４ｙ１ｙ槡 ２ ＝４ １＋ｍ槡 ２≥４，所以ｍ＝０时，四边形ＯＡＣＢ的面积最小，最小值是４． １７．解：（１）由点Ｐ（ｘ０，槡２ｐ）在抛物线Ｃ上， 得（槡２ｐ）２＝２ｐｘ０，解得ｘ０＝ｐ， 由抛物线定义得，｜ＰＦ｜＝ｘ０＋ ｐ ２ ＝ ３ｐ ２ ＝３，解得ｐ＝２， 故抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝４ｘ． （２）设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１， 联立 ｙ２＝４ｘ， ｘ＝ｍｙ＋１{ ，消去ｘ，得ｙ２－４ｍｙ－４＝０， 故ｙ１＋ｙ２＝４ｍ，ｙ１ｙ２＝－４，所以ｘ１ｘ２＝ ｙ２１ ４ × ｙ２２ ４ ＝ ｙ２１ｙ２２ １６ ＝１，ｘ１＋ ｘ２＝（ｍｙ１＋１）＋（ｍｙ２＋１）＝ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋２＝４ｍ２＋２， 则→ＯＡ·→ＯＢ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－３， 即４ｍ２＋２＝３，解得ｍ＝± １２， 所以所求直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－２或ｙ＝２－２ｘ． １８．解：（１）设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），其中 ｘ１≠ｘ２． 由 ｙ２１＝４ｘ１， ｙ２２＝４ｘ２ { ， 得ｙ２１－ｙ２２＝４ｘ１－４ｘ２， 变形得 ｙ１－ｙ２ ｘ１－ｘ２ ＝ ４ｙ１＋ｙ２ ． 所以槡３＝ ４ ｙ１＋ｙ２ ，所以 ｙ１＋ｙ２ ２ ＝ 槡２３ ３． 书 所以椭圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１． （２）设直线ＡＤ的方程为：ｙ＝ｋ（ｘ－２）（ｋ≠０）， 令ｘ＝０得ｙ＝－２ｋ，即Ｅ（０，－２ｋ）， 联立 ｙ＝ｋ（ｘ－２）， ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝１ { ，得（３＋４ｋ２）ｘ２－１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－１２＝０， 所以ｘ１＋ｘ２＝ １６ｋ２ ３＋４ｋ２ ，ｘ１·ｘ２＝ １６ｋ２－１２ ３＋４ｋ２ ， 则 (Ｐ ８ｋ２３＋４ｋ２，－ ６ｋ３＋４ｋ)２ ，→ (ＯＰ＝ ８ｋ２３＋４ｋ２，－ ６ｋ３＋４ｋ)２ ， →ＥＱ＝（ｍ，２ｋ），由题可得→ＯＰ·→ＥＱ＝０， (即 ８ｋ２３＋４ｋ２，－ ６ｋ３＋４ｋ)２ ·（ｍ，２ｋ）＝０， 解得ｍ＝ ３２，所以存在定点 (Ｑ ３２， )０ ． １８．（１）解：因为ｅ＝ ｃａ ＝ 槡６ ３，所以ａ ２＝３ｂ２， 所以椭圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ３ｂ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１．又因为椭圆Ｃ过点Ｍ（１，１）， 代入方程解得ａ２＝４，ｂ２＝ ４３，所以椭圆Ｃ的方程为 ｘ２ ４ ＋ ３ｙ２ ４ ＝１． （２）证明：①当圆Ｏ的切线ｌ的斜率存在时， 设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ， 则圆心Ｏ到直线ｌ的距离ｄ＝ ｜ｍ｜ ｋ２＋槡 １ ＝１，所以１＋ｋ２＝ｍ２． 将直线ｌ的方程和椭圆Ｃ的方程联立， 得到（１＋３ｋ２）ｘ２＋６ｋｍｘ＋３ｍ２－４＝０． 设直线ｌ与椭圆Ｃ相交于Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点， 则ｘ１＋ｘ２＝－ ６ｋｍ １＋３ｋ２ ，ｘ１ｘ２＝ ３ｍ２－４ １＋３ｋ２ ， 所以→ＯＡ·→ＯＢ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２ ＝（１＋ｋ２）ｘ１ｘ２＋ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ２ ＝（１＋ｋ２）·３ｍ ２－４ １＋３ｋ２ ＋ｋｍ (· － ６ｋｍ１＋３ｋ)２ ＋ｍ２ ＝４ｍ ２－４－４ｋ２ １＋３ｋ２ ＝０； ②当圆的切线ｌ的斜率不存在时，验证得→ＯＡ·→ＯＢ＝０． 综上所述，→ＯＡ·→ＯＢ为定值０． １９．解：（１）连接ＯＭ，易知ＯＭ∥Ｆ２Ｎ且｜ＯＭ｜＝ １ ２｜Ｆ２Ｎ｜， 所以｜Ｆ２Ｎ｜＝４，又点 Ｐ在 Ｆ１Ｎ的垂直平分线上，所以 ｜ＰＦ１｜＝ ｜ＰＮ｜，所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜＋｜ＰＮ｜＝｜Ｆ２Ｎ｜＝４＞ 槡２３， 满足椭圆定义，所以ａ＝２，ｃ＝槡３，ｂ＝１， 所以曲线Ｃ的方程为 ｘ ２ ４ ＋ｙ ２＝１． （２）由（１）知离心率ｅ＝槡３２λ＝ ３ ４． 所以椭圆Ｃλ的标准方程为 ｘ２ ３ ＋ ４ｙ２ ３ ＝１， 设Ｑ（ｘ０，ｙ０）为椭圆Ｃλ异于四个顶点的任意一点， 直线ＱＭ１，ＱＮ１的斜率分别为ｋＱＭ１，ｋＱＮ１， 则ｋＱＭ１·ｋＱＮ１＝ ｙ０ ｘ０＋槡３ · ｙ０ ｘ０－槡３ ＝ ｙ２０ ｘ２０－３ ， 又 ｘ２０ ３ ＋ ４ｙ２０ ３ ＝１ｙ ２ ０＝ １ ４（３－ｘ ２ ０）， 所以ｋＱＭ１·ｋＱＮ１＝－ (１４ ｋＱＭ１≠± )１２ ． 设直线ＱＭ１的斜率为ｋ，则直线ＱＮ１的斜率为 － １ ４ｋ． 所以直线ＱＭ１为ｙ＝ｋ（ｘ＋槡３），设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｋ（ｘ＋槡３）， ｘ２ ４ ＋ｙ ２＝１{ ， 得（１＋４ｋ２）ｘ２＋ 槡８３ｋ２ｘ＋１２ｋ２－４＝０， 则ｘ１＋ｘ２＝ － 槡８３ｋ２ １＋４ｋ２ ，ｘ１ｘ２＝ １２ｋ２－４ １＋４ｋ２ ， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝ １＋ｋ槡 ２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２＝ ４（１＋ｋ２） １＋４ｋ２ ， 同理可得｜ＤＥ｜＝１＋１６ｋ ２ １＋４ｋ２ ， 所以｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜＝４（１＋ｋ ２） １＋４ｋ２ ＋１＋１６ｋ ２ １＋４ｋ２ ＝５． 第１３期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．ＡＢＣＤ；　３．Ｃ．　４．（－∞，０）∪（２，＋∞）；　５．５或９． ６．解：设双曲线方程为 ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由已知椭圆的两个焦点Ｆ１（０，－３），Ｆ２（０，３）， 又双曲线与椭圆交点Ａ的纵坐标为４， 所以Ａ（槡１５，４）， ４２ ａ２ －（槡１５） ２ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２＝９ { ， 解得 ａ２＝４， ｂ２＝５{ ， 故双曲线方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．ＡＣＤ．　４．ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１；　５．１＋槡２． ６．解：由题意可设要求的双曲线方程为 ｘ ２ ４ － ｙ２ ６ ＝λ≠０， 把点Ｐ（２，３）代入可得 ４４ － ９ ６ ＝λ，解得λ＝－ １ ２． 所以双曲线方程为 ｙ２ ３ － ｘ２ ２ ＝１． 第１３期３，４版 双曲线同步核心素养测评 一、单项选择题　１～４　ＡＡＣＢ　５～８　ＡＣＡＤ 提示： １．由双曲线实轴长为４，有２ ｍ２＋槡 １＝４， 又ｍ＞０，所以ｍ＝槡３．故选（Ａ）． ２．由双曲线 ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ９ ＝１，则其渐近线方程为ｙ＝± ３ ａｘ， 由题意整理方程ｘ±２ｙ＝０可得ｙ＝± １２ｘ，则 ３ ａ ＝ １ ２， 解得ａ＝６．故选：（Ａ）． ３．ｅ＝ ｃａ ＝ ｜Ｆ１Ｆ２｜ ｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜ ＝ ８１０－６＝２． ４．设｜ＰＦ２｜＝ｍ，则｜ＰＦ１｜＝２ａ＋｜ＰＦ２｜＝ｍ＋２ａ， 由题可得ｍ＋２ｃ＝２（ｍ＋２ａ），所以ｍ＝２ｃ－４ａ， 又Ｐ在右支上，所以｜ＰＦ２｜≥ｃ－ａ，即２ｃ－４ａ≥ｃ－ａ， 所以离心率ｅ＝ ｃａ≥３．故选（Ｂ）． ５．由题得ｅ２＝ａ＋２ａ ＝９，解得ａ＝ １ ４，则ｚ＝ １ ４ ＋ｉ， (｜ｚ｜＝ )１４ ２ ＋槡 １＝ 槡１７ ４ ，故选：（Ａ）． ６．由题意知｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜－２ａ， 要求｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜的最小值，只需求｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜的最小值， 当Ａ，Ｐ，Ｆ１三点共线时取得最小值， 则｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜＝｜ＰＦ１｜＝槡３７， 所以｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＡＰ｜＋｜ＡＦ１｜－２ａ≥ 槡３７－ 槡２５． ７．因为双曲线 ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１的渐近线方程为 ±ａｘ＋ｂｙ＝０， 又双曲线的一条渐近线为３ｘ＋槡７ｙ＝０，所以 ａ ｂ ＝ ３ 槡７ ， 即槡７ａ＝３ｂ，又下焦点到下顶点的距离为１，所以ｃ－ａ＝１， 结合ｃ２＝ａ２＋ｂ２解得ａ２＝９，ｂ２＝７，故选：（Ａ）． ８．因为该双曲线的一条渐近线方程是ｙ＝槡２ｘ，则 ｂ ａ ＝槡２， 又由ｃ２＝ａ２＋ｂ２，可得 ｂｃ ＝槡 ２ ３， 由过点Ｆ２且垂直于ｘ轴的垂线在ｘ轴上方交双曲线Ｃ于点Ｍ，可知Ｍ 的横坐标为ｃ， 代入双曲线方程可得： ｃ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１，ｃ ２ ａ２ －１＝ｃ ２－ａ２ ａ２ ＝ｂ ２ ａ２ ＝ｙ ２ ｂ２ ， 又有ｙ＞０，可知 (Ｍ ｃ，ｂ２ )ａ ，所以ｔａｎ∠ＭＦ１Ｆ２＝ｂ２２ａｃ＝ １２· ｂａ· ｂｃ ＝ １２ ×槡２×槡 ２ ３ ＝ 槡３ ３．故选：（Ｄ）． 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 提示： ９．若直线ｌ与Ｃ的两支交于顶点Ａ，Ｂ，则｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝２ａ， 若直线ｌ与Ｃ的一支交于Ａ，Ｂ两点，则通径最短， ｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝ ２ｂ２ ａ，由题意得 ２ｂ２ ａ ＝２ａ＝４，解得ａ＝ｂ＝２， 则双曲线Ｃ的方程为 ｘ ２ ４ － ｙ２ ４ ＝１， 把四个选项分别代入方程，则（Ｂ）选项表示的点不在双曲线上， （Ａ）（Ｃ）（Ｄ）选项表示的点在双曲线上．故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．由题意可得２ａ＝６，２ｃ＝１０，所以ａ＝３，ｃ＝５，ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２＝ ４，则双曲线Ｃ：ｘ ２ ９ － ｙ２ １６＝１．Ｃ的渐近线上的点到Ｆ距离的最小值为Ｆ到 渐近线的距离ｄ＝ ｂｃｃ ＝ｂ＝４，所以（Ａ）正确； 离心率ｅ＝ ｃａ ＝ ５ ３，所以（Ｂ）不正确； 双曲线上，右顶点到Ｆ的距离最小，５－３＝２，所以（Ｃ）正确； Ｃ的通径长为２ｂ ２ ａ ＝ ３２ ３，故（Ｄ）正确．故选：（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．因双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－ｙ ２ ４ ＝１，则ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝槡５， 双曲线Ｃ的离心率ｅ＝ ｃａ ＝槡５，即（Ａ）正确； 双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±２ｘ，而双曲线ｙ２－ｘ ２ ４ ＝１的渐近线 方程为ｙ＝± １２ｘ，它们不同，（Ｂ）不正确； 因双曲线Ｃ的渐近线和圆（ｘ－１）２＋ｙ２＝１都关于ｘ轴对称，不妨选渐近 线２ｘ＋ｙ＝０，圆心（１，０）到直线２ｘ＋ｙ＝０的距离ｄ＝ ２ ２２＋１槡 ２ ＝ 槡２５５，所 以渐近线２ｘ＋ｙ＝０被该圆所截弦长为２ １２－ｄ槡 ２＝ 槡 ２５ ５，（Ｃ）不正确； 由 ｙ＝ｋｘ＋ｂ， ４ｘ２－ｙ２＝{ ４得（４－ｋ２）ｘ２－２ｋｂｘ－（ｂ２＋４）＝０， ｋ＝±２，ｂ＝０时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为０， ｋ＝±２，ｂ≠０时，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为１， ｋ２≠４时，Δ＝１６（ｂ２－ｋ２＋４）， 若Δ＜０，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为０， 若Δ＝０，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为１， 若Δ＞０，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为２， 综上得直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与双曲线Ｃ的公共点个数只可能为０，１，２，即 （Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｄ）． 三、填空题　１２．槡８２，４；　１３．槡 ５－１ ２ ；　１４． ｘ２ ２ － ｙ２ ８ ＝１． 提示： １２．双曲线方程ｘ２－８ｙ２＝３２化为标准方程为 ｘ ２ ３２－ ｙ２ ４ ＝１，可得ａ＝ 槡４２，ｂ＝２，所以双曲线的实轴长为 槡８２，虚轴长为４． １３．由题意ｅ＝ ａ＋１槡ａ ＝ ２ 槡５－１ ，则１＋ １ａ ＝ ３＋槡５ ２ ， 所以ａ＝ ２ １＋槡５ ＝槡５－１２ ． １４．由题可知，点Ｐ必落在第四象限，∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，设｜ＰＦ２｜＝ｍ， ∠ＰＦ２Ｆ１＝θ１，∠ＰＦ１Ｆ２＝θ２，由ｋＰＦ２＝ｔａｎθ１＝２，求得ｓｉｎθ１＝ ２ 槡５ ， 因为∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，所以ｋＰＦ１·ｋＰＦ２＝－１，求得 ｋＰＦ１＝－ １ ２，即 ｔａｎθ２＝ １ ２，求得ｓｉｎθ２＝ １ 槡５ ，由正弦定理可得：｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜∶｜Ｆ１Ｆ２｜ ＝ｓｉｎθ１∶ｓｉｎθ２∶ｓｉｎ９０°＝ 槡２∶１∶５， 则由｜ＰＦ２｜＝ｍ得｜ＰＦ１｜＝２ｍ，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ＝槡５ｍ， 由Ｓ△ＰＦ１Ｆ２＝ １ ２ ｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝ １ ２ｍ·２ｍ＝８得ｍ＝ 槡２２， 则｜ＰＦ２｜＝ 槡２２，｜ＰＦ１｜＝ 槡４２，｜Ｆ１Ｆ２｜＝２ｃ＝ 槡２ １０，ｃ＝槡１０， 由双曲线第一定义可得：｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝ 槡２２，ａ＝槡２，ｂ＝ ｃ２－ａ槡 ２＝槡８，所以双曲线的方程为 ｘ２ ２ － ｙ２ ８ ＝１． 四、解答题 １５．解：（１）由双曲线方程知：其渐近线方程为ｙ＝± ２３ｘ． （２）由双曲线定义｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝６， 又｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜＝１６， 所以｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜－１６＝（｜ＰＦ２｜＋８）（｜ＰＦ２｜－２）＝０，可 得｜ＰＦ２｜＝２（负值舍），所以ＰＦ２的大小为２． １６．解：（１）设点Ｃ（ｘ，ｙ），则｜｜ＣＡ｜－｜ＣＢ｜｜＝２， 所以Ｃ的轨迹是双曲线且焦点在ｘ轴上， 由２ａ＝２，２ｃ＝｜ＡＢ｜＝ 槡２３，得ａ２＝１，ｂ２＝２， 故点Ｃ的轨迹方程是ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１． （２）由已知条件得直线方程为ｙ＝ｘ－２， 与ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１联立，消去ｙ得ｘ ２＋４ｘ－６＝０， 因为Δ＞０，所以直线与双曲线有两个交点． 设Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝－４，ｘ１ｘ２＝－６， 所以｜ＤＥ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝槡２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２＝ 槡４５． １７．解：方案一：选择条件①． 因为ｍ＞０，所以ａ２＝ｍ，ｂ２＝２ｍ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２＝３ｍ， 所以 槡ａ＝ ｍ，ｃ＝ ３槡ｍ． 因为Ｃ的左支上的点到右焦点的距离的最小值为ａ＋ｃ， 所以槡ｍ＋ ３槡ｍ ＝（１＋槡３）槡ｍ ＝３＋槡３， 解得ｍ＝３，故Ｃ的方程为 ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１． 方案二：选择条件②．因为Ｃ的焦距为６，所以ｃ＝３． 若ｍ＞０，则ａ２＝ｍ，ｂ２＝２ｍ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２＝３ｍ， 所以ｃ＝ ３槡ｍ ＝３，解得ｍ＝３，则Ｃ的方程为 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２＝－２ｍ，ｂ２＝－ｍ，ｃ２＝ａ２＋ｂ２＝－３ｍ， 所以ｃ＝ －３槡 ｍ ＝３，解得ｍ＝－３， 则Ｃ的方程为 ｙ ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 综上，Ｃ的方程为 ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１或 ｙ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 方案三：选择条件③．因为Ｃ上任意一点到两焦点的距离之差的绝对 值为４，所以２ａ＝４，即ａ＝２． ! ! ! " !"#$ !"#$ !"#$%&'()*+,-./0 ! 1"%+ #$%#& 2 3"4$5&'(6*+,-.70 ! 8"%+ '$%'& 2 !" # ! " # ! ! " $ % & ' ( ) ! # ! $ 书 考向１　抛物线定义及其应用 典例１已知点Ｐ是抛物线ｙ２＝２ｘ上的一个动点，则 点Ｐ到点（０，２）的距离与Ｐ到该抛物线准线的距离之和 的最小值为 ． 解：依题设Ｐ在抛物线准线的投影为 Ｐ′，抛物线的 焦点为Ｆ，则 (Ｆ １２， )０ ， 依抛物线的定义知Ｐ到该抛物线准线的距离为 ｜ＰＰ′｜＝｜ＰＦ｜， 则点Ｐ到点Ａ（０，２）的距离与Ｐ到该抛物线准线的 距离之和 ｄ＝｜ＰＦ｜＋｜ＰＡ｜≥ (｜ＡＦ｜＝ １ )２ ２ ＋２槡 ２ ＝槡１７２ ． 【拓展提升】 利用抛物线的定义可解决的两类问题 （１）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定 点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． （２）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准 线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用． 考向２　抛物线的标准方程与性质 典例２将两个顶点在抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上，另 一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为ｎ，则 （　　） （Ａ）ｎ＝０　　　　　　（Ｂ）ｎ＝１ （Ｃ）ｎ＝２　　　 （Ｄ）ｎ≥３ 解：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点 (Ｆ ｐ２， )０ ，等边三角形 的一个顶点位于抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点，另外两 个顶点在抛物线上，则等边三角形关于ｘ轴对称． 两个边的斜率 ｋ＝±ｔａｎ３０°＝±槡３３，其方程为：ｙ ＝±槡３(３ ｘ－ｐ)２ ， 每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交 点连接，分别构成一个等边三角形． 故ｎ＝２，故选（Ｃ）． 【拓展提升】 １．求抛物线的标准方程的方法及流程 （１）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因 为未知数只有ｐ，所以只需一个条件确定ｐ值即可． （２）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求 抛物线方程时，需先定位，再定量． ２．确定及应用抛物线性质的关键与技巧 （１）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线 等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． （２）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性 质以图助解． 考向３　直线与抛物线的综合问题 典例３设抛物线Ｃ１：ｘ ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准 线为ｌ，Ａ为Ｃ上一点，已知以Ｆ为圆心，ＦＡ为半径的圆Ｆ 交ｌ于Ｂ，Ｄ两点． （１）若∠ＢＦＤ＝９０°，△ＡＢＤ的面积为４槡２，求ｐ的 值及圆Ｆ的方程； （２）若Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上，直线ｎ与ｍ平 行，且ｎ与Ｃ只有一个公共点，求坐标原点到ｍ，ｎ距离的 比值． 思路点拨： 已知条件 条件分析 ∠ＢＦＤ＝９０° 由抛物线的对称性 判断出△ＢＦＤ的形状 Ｓ△ＡＢＤ ＝４槡２ 将Ｓ△ＡＢＤ用ｐ表示， 构建关于ｐ的方程 Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上 ＡＢ为圆Ｆ的直径 直线ｎ∥直线ｍ ｋｎ ＝ｋｍ ｎ与Ｃ只有一个公共点 Δ＝０ 解：（１）由抛物线的对称性可得 △ＢＦＤ为等腰直角三角形①，｜ＢＤ｜＝２ｐ，圆Ｆ的半 径｜ＦＡ｜＝槡２ｐ．由抛物线定义可知 Ａ到 ｌ的距离 ｄ＝ ｜ＦＡ｜＝槡２ｐ． 因为△ＡＢＤ的面积为４槡２，所以 １ ２｜ＢＤ｜·ｄ＝４槡２， 即 １ ２·２ｐ·槡２ｐ＝４槡２②，解得ｐ＝－２（舍去）或ｐ＝２． 所以Ｆ（０，１），圆Ｆ的方程为ｘ２＋（ｙ－１）２ ＝８． （２）因为Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上，所以ＡＢ为圆 Ｆ的直径，∠ＡＤＢ＝９０°． 由抛物线定义知｜ＡＤ｜＝｜ＦＡ｜＝ １２｜ＡＢ｜， 所以∠ＡＢＤ＝３０°，ｍ的斜率为槡３３或 － 槡３ ３③． 当ｍ的斜率为槡３３时④，由已知可设ｎ：ｙ＝ 槡３ ３ｘ＋ｂ， 代入ｘ２ ＝２ｐｙ得ｘ２－２槡３３ｐｘ－２ｐｂ＝０． 由于ｎ与Ｃ只有一个公共点，故Δ＝４３ｐ ２＋８ｐｂ＝０， 解得ｂ＝－ｐ６．因为ｍ的纵截距ｂ１ ＝ ｐ ２， ｜ｂ１｜ ｜ｂ｜＝３，所 以坐标原点到ｍ，ｎ距离的比值为３． 当ｍ的斜率为 －槡３３时④，由图形对称性可知，坐标 原点到ｍ，ｎ距离的比值为３． 【盘点失分点】 ①处想不到将△ＢＦＤ转化为等腰直角三角形导致 无法进行下去而失分； ②不能将三角形面积用ｐ表示或表示错从而导致失 分； ③处不能由Ａ，Ｂ，Ｆ三点在同一直线ｍ上，求出斜率 或漏掉一个而失分； ④处易忘记讨论而失分． 拓展提升： １．直线与抛物线的位置关系问题 设直线方程 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与抛物线方程 ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）联立，消去ｘ得到关于ｙ的方程ｍｙ２＋ｎｙ＋ｌ ＝０． （１）位置关系与其判别式Δ的关系 方程特征 公共点个数 位置关系 直 线 与 抛 物 线 ｍ＝０ １ 直线与抛物线的对称轴 平行或重合，两者相交 ｍ≠０，Δ＞０ ２ 相交 ｍ≠０，Δ＝０ １ 相切 ｍ≠０，Δ＜０ ０ 相离 （２）相交问题的求解通法 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般 利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等 解法 ． 【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． ２．与焦点弦有关的常用 结论（如图所示） （１）ｙ１ｙ２＝－ｐ ２，ｘ１ｘ２＝ ｐ２ ４． （２）｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ＝ ２ｐ ｓｉｎ２θ （θ为ＡＢ的倾斜角）． （３）Ｓ△ＡＯＢ ＝ ｐ２ ２ｓｉｎθ （θ为 ＡＢ倾斜角）． （４） １｜ＡＦ｜＋ １ ｜ＢＦ｜为定值 ２ ｐ． （５）以ＡＢ为直径的圆与准线相切． （６）以ＡＢ或ＢＦ为直径的圆与ｙ轴相切． （７）∠ＣＦＤ＝９０°． 书 １８．（１７分）已知斜率为槡３的直线ｌ与抛物线Ｃ：ｙ ２ ＝４ｘ相交于Ｐ，Ｑ两点． （１）求线段ＰＱ中点纵坐标的值； （２）已知点Ｔ（槡３，０），直线 ＴＰ，ＴＱ分别与抛物线 相交于Ｍ，Ｎ两点（异于Ｐ，Ｑ），则在ｙ轴上是否存在一 定点Ｓ，使得直线ＭＮ恒过该点？若存在，求出点Ｓ的坐 标；若不存在，请说明理由． １９．（１７分）（２０２４江苏南通期末）已知抛物线Ｅ：ｙ２ ＝４ｘ的焦点为Ｆ，若△ＡＢＣ的三个顶点都在抛物线 Ｅ 上，且满足 → → →ＦＡ＋ＦＢ＋ＦＣ＝０，则称该三角形为“核心三 角形”． （１）设“核心三角形ＡＢＣ”的一边ＡＢ所在直线的 斜率为２，求直线ＡＢ的方程； （２）已知△ＡＢＣ是“核心三角形”，证明：△ＡＢＣ三 个顶点的横坐标都小于２． !"#$%&'() 书 在抛物线方程中含有唯一的参数 ｐ，所以我们要想 学好抛物线，就必须对参数ｐ进行灵活的理解掌握，深究 其几何意义，特别是ｐ，２ｐ，１２ｐ的几何意义，并且运用它 们的几何意义解决问题． 一、参数ｐ的几何意义 如图１，抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ的 焦点坐标为 １ ２ｐ，( )０，准线方程 为ｘ＝－１２ｐ，２ｐ，ｐ， ｐ ２的几何意 义分别为：２ｐ表示通径，即通过 焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这 两点的线段长，ｐ表示焦点到准线的距离，ｐ２表示焦点 到顶点的距离或顶点到准线的距离． 例１已知抛物线的方程为ｙ＝３ｘ２，则抛物线的焦点 到准线的距离为 ． 分析：由抛物线ｘ２＝２ｐｙ的性质可知，抛物线的焦点 到准线的距离是ｐ，所以要求这个距离需要先把抛物线 转化为标准方程，然后求得ｐ即可． 解：把抛物线的方程化为标准方程得ｘ２ ＝ １３ｙ， 因为２ｐ＝ １３，所以ｐ＝ １ ６， 因为抛物线的焦点到准线的距离为ｐ， 所以抛物线的焦点到准线的距离为 １ ６． 点评：解决本题的关键是把方程化为标准方程，然 后按照题意明确抛物线的焦点到准线的距离与ｐ的关系 即可轻松获解． 例２已知抛物线的方程为ｘ－ａｙ２ ＝０，其中ａ为实 数，且ａ＞０，抛物线的准线方程为 ｘ＝－３，则 ａ等于 ． 分析：已知抛物线的准线方程，则可以求得抛物线 的标准方程，然后对比现有的抛物线方程，可得参数 ａ， 或者把现有的抛物线方程化为标准方程求得准线方程， 令其为 －３，也可解得参数ａ． 解：已知抛物线的方程为ｘ－ａｙ２ ＝０化为标准形式 得ｙ２ ＝ １ａｘ， 所以抛物线的准线方程为ｘ＝－１４ａ， 所以 －１４ａ＝－３，解得ａ＝ １ １２． 点评：分析中的两种解题思路都可以实现目标，前 提是建立在对抛物线的标准方程和参数ｐ的几何意义完 全领会的基础上，所以需要大家认真掌握参数 ｐ的几何 意义． 二、关于参数ｐ的应用 例３已知抛物线的方程为ｙ２ ＝１２ｘ，过抛物线的焦 点且垂直于抛物线对称轴的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点， 则｜ＡＢ｜等于 ． 分析：直线与抛物线交于 Ａ，Ｂ两点，由直线方程和 抛物线方程解得两点坐标从而求得｜ＡＢ｜或者考虑利用 抛物线的定义求得ＡＦ，ＢＦ两段的长，求和即可． 解：由题意，抛物线的方程为ｙ２ ＝１２ｘ， 所以ｐ＝６， 因为直线过焦点且垂直于ｘ轴， 所以｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝ｐ＋ｐ＝２ｐ， 所以｜ＡＢ｜＝１２． 点评：利用分析中的第一种方法可以求解但是相对 于第二种解法还是显得稍微复杂，所以利用参数 ｐ的意 义解题很简便．希望同学们注意领会． 例４如图２，过抛物线 ｙ２ ＝ ３ｘ的焦点的直线ｌ依次交抛物线 及其准线于点 Ａ，Ｂ，Ｃ，若｜ＢＣ｜ ＝２｜ＢＦ｜，则 ｜ＡＦ｜等于 ． 分析：首先分析 ｜ＢＣ｜＝ ２｜ＢＦ｜所包含的信息，结合抛物线的定义求得直线 ＡＢ 的倾斜角，利用焦点到准线的距离为ｐ＝３２求得Ａ到准 线的距离也就是ＡＦ． 解：由抛物线的定义，过Ａ点作ＡＤ垂直于准线，垂足 为Ｄ，过Ｂ点作ＢＥ垂直于准线，垂足为Ｅ，准线与ｘ轴的 交点为Ｈ， 则由题｜ＢＣ｜＝２｜ＢＦ｜， 所以｜ＢＣ｜＝２｜ＢＥ｜，可得∠ ＢＣＥ＝３０°， 由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜， 在△ＡＣＤ中，｜ＡＣ｜＝２｜ＡＤ｜＝２｜ＡＦ｜， 所以Ｆ为ＡＣ的中点，ＨＦ为△ＡＣＤ的中位线， 所以｜ＨＦ｜＝ ３２， 所以｜ＡＦ｜＝｜ＡＤ｜＝３． 点评：本题主要是抛物线的参数ｐ的灵活应用，参数 ｐ的性质很多，特别是过焦点 Ｆ的弦 ＡＢ的性质非常重 要，若 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则有性质：ｙ１ｙ２ ＝－ｐ ２；ｘ１ｘ２ ＝ｐ ２ ４； １ ｜ＡＦ｜＋ １ ｜ＢＦ｜＝ ２ ｐ；｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ等． 书 问题：设直线ｌ与抛物线ｙ２ ＝８ｘ交于Ａ，Ｂ两点． １．若直线 ｌ的斜率为 ２，且过抛物线的焦点，则 ｜ＡＢ｜＝ ； ２．若直线ｌ的倾斜角为７５°，且过抛物线的焦点，则 ｜ＡＢ｜＝ ； ３．若直线ｌ的方程为 ｘ－ｙ＋１＝０，则 ｜ＡＢ｜＝ ． 以上三个问题都是求抛物线的弦长问题，其中前 两条弦都是过抛物线焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦． 第三条弦显然不过抛物线的焦点，是抛物线的一条普 通弦．那么，如何求上述三条弦长呢？只需运用不同的 弦长公式，即可快速求出弦长．下述其详． 公式一：｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ 公式解读：若直线ｌ过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦 点Ｆ，且与抛物线交于 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，则由 抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝ｘ１＋ ｐ ２，｜ＢＦ｜＝ｘ２＋ ｐ ２， 所以｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ．因为ｐ是已知量，所以运用本 公式求弦长的关键是求ｘ１＋ｘ２．求解方法是：先把直线 方程与抛物线方程联立，消去变量 ｙ，就会得到一个关 于ｘ的一元二次方程，运用根与系数的关系可求出ｘ１＋ ｘ２．对于其他类型的抛物线，可用上述方法推导出相应 的焦点弦长公式． １．解：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 因为抛物线ｙ２ ＝８ｘ的焦点为（２，０）， 所以直线ｌ的方程为ｙ＝２（ｘ－２）． 由 ｙ＝２（ｘ－２）， ｙ２ ＝８{ ｘ 消去ｙ可得ｘ２－６ｘ＋４＝０， 所以ｘ１＋ｘ２ ＝６．所以｜ＡＢ｜＝６＋４＝１０． 公式二：｜ＡＢ｜＝ ２ｐ ｓｉｎ２α 公式解读：若抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的一条焦点 弦ＡＢ所在直线的倾斜角为α，则弦长｜ＡＢ｜＝ ２ｐ ｓｉｎ２α ，此 公式对于抛物线ｙ２ ＝－２ｐｘ（ｐ＞０）也适用，此焦点弦 长公式可用公式｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ结合三角函数知识 推导．对于抛物线 ｘ２ ＝２ｐｙ（ｐ＞０），焦点弦长公式为 ｜ＡＢ｜＝ ２ｐ ｃｏｓ２α ，其中α仍是抛物线的焦点弦所在直线 的倾斜角，此公式对于抛物线ｘ２ ＝－２ｐｙ（ｐ＞０）也适 用． ２．解：｜ＡＢ｜＝ ８ ｓｉｎ２７５° ＝ ８１－ｃｏｓ１５０° ２ ＝３２（２－槡３）． 公式三：｜ＡＢ｜＝ 槡Δ｜ａ｜ １＋ｋ槡 ２ 公式解读：把一条直线ｙ＝ｋｘ＋ｍ和一条二次曲线 方程联立消去ｙ后，会得到一个关于ｘ的一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）（），则直线被曲线截得的弦 长｜ＡＢ｜＝ 槡Δ｜ａ｜ １＋ｋ槡 ２，其中Δ是方程（）的根的 判别式．若联立直线和二次曲线方程后消去 ｘ，则得出 的是关于ｙ的一个一元二次方程ａｙ２＋ｂｙ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）（），则相应的弦长公式为｜ＡＢ｜＝槡Δ｜ａ｜ １＋ １ ｋ槡 ２． 当直线的斜率不存在时，弦长｜ＡＢ｜＝｜ｙ１－ｙ２｜．这三 个弦长公式能求出所有直线被曲线截得的弦长． ３．解：由 ｘ－ｙ＋１＝０， ｙ２ ＝８{ ｘ 得ｘ２－６ｘ＋１＝０． 所以｜ＡＢ｜＝ （－６） ２－４×槡 １ １ １＋１槡 ２ ＝８． !"#$% !"#$%&'( )*+,-. /0123 456677893: :;<=>,.3?4@ 9::AB*CDEFG H0IJKLM>NO P/QRSTUVDWX Y0Z[\]/-D^_ `\]/abc[de f.345ggKhi> jkDllmnopqr8 ?/stPRuB- e. v !"wxyz>{ |D}~Y0I€> m‚ƒ„0?…†‡ˆ ‰Š‹3ŒY>Ž[ „`‘’m“_`D“ -”•–‡0—.3˜ ™ššmŒ›œž‰ ŠYDŸ ¡¢I£¤¥ >¦§w¨‹ 3©™mª«¦¬ ­®`¯°DQ±%²e ³´-‹!"µ¶·¸8 ¹º»¼«D½¾*¿ >ÀÁ`D]aÂ3‹ 3 ÃÄKůaÆÇ>À ÈÉ-ÉʊD ˱] K‹ Å 3̉ŠYÍ ¾0Î !" ÏÐ>›œD ÑmÒӆÔÕº0֋ ×ØDÙÚFÛÜÝ v¦¬ ­ÞßD×àáâàÌã äå`>::9æçDà f()/èé&]5 -ê v !'* !+",-./ ! 01 2 3 ! " # $ ! ! ! % $ & ' ( ) * " # ! ! ! " !" #"$ %! ##$%" !$!&&#$'#&( ! 45 678 !"#$%&'()*+,'-. & ! !"#$% # ! '!+! &ë! ! D# ! ì $ , ! D " # $ ! %ë! # D# # ì " * ' # !-. + ! 9:;< (,/ ! 0= >?@ !"#$ %& ) '()*+,-. $ABCDC, * $EJKL, $MNOPQH$("#+"!,#!"% $ABRSHT5UVWXYZ[\]^ #(!_`aBbc-`?MNO $deMfH$($$$% $XgOhBijH$("##"!,##!" $("##"!,#!(,9kl/ $hmHnoABXgOSpqrstudv9w) $dehmijH###-" $xyz{h|}h~h $AB€rstU9X)‚ƒ„…B $†‡ˆ‰Šx‹_H#&$$$$&$$$##$ $†‡OPQH$("##"!,#!"" $ABŒ1Žk‘’“”•–9—˜X™š[›œžŸ ¡¢ ## _/£‘+¤“‘¥¦§¨©+noABXgOSpª« ) *+ ¬­® , ) *+ ¯°± , % - .+ ²³® , ) *+ ´ µ , ) *+ ¶ · -./01+ ² ¸ 23/01+ ²¹º -4506+ » ¼ -4578+ ½¾¿ °ÀÁ  à ÄYÅ Æ Ç ÈÉÊ ¯ËÌ Æ͹ Î ¾ ÏÐÅ ÑÒ­ ÂÓÔ JÓÕ ¯­Ö ×·- ØÙÃ Ú Ê ÛÜÝ °Þß 91-.+ °ÀÁ 91:;+ ÛÜÝ <=-.+ ¯àá >?-.+ âãä @ABC+ 2åæ c-`?çèéêëì<Kí9î‚ ! ,"< #$ ( T5ïðñ?òó T5ïñ‚ô ¡kõö T5ïñ÷øˆ‰“”•–òù `aBbMNL, búH¬­® sûüKýþL,ÿ_H./#&+$,$,091/ d!"_H!#+!-2 书 １．（２０２４武汉期末）抛物线ｘ２ ＝－１６ｙ的准线方程 为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）ｙ＝－８ （Ｂ）ｙ＝４ （Ｃ）ｙ＝－８ （Ｄ）ｙ＝－４ ２．（２０２４四川德阳模拟预测）已知Ａ（９，ｍ）为抛物 线Ｃ：ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点，点Ａ到Ｃ的焦点的距离 为１２，则ｐ＝ （　　） （Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）６ （Ｄ）９ ３．（多选）（２０２４广西河池统考期末）已知抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝６ｘ的焦点为Ｆ，点Ｍ（ｘ０，ｙ０）在抛物线Ｃ上，若 ｜ＭＦ｜＝ ９２，Ｏ为坐标原点，则 （　　） （Ａ）点Ｆ的坐标为（０，１） （Ｂ）ｘ０ ＝３ （Ｃ）ｙ０ ＝ 槡２３ （Ｄ）｜ＯＭ｜＝ 槡３３ ４．（２０２４贵州模拟）设抛物线ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的 焦点为Ｆ，点Ａ为该抛物线上任意一点，若｜ＡＦ｜＞１恒 成立，则ｐ的取值范围是 ． ５．（２０２４福建福州模拟预测）已知点Ａ（２，２）在抛 物线Ｃ：ｘ２ ＝２ｐｙ上，则 Ｃ的焦点到其准线的距离为 ． ６．已知抛物线Ｃ的焦点是直线２ｘ－３ｙ＋６＝０与坐 标轴的一个交点，求抛物线Ｃ的标准方程． １．（２０２４上海闵行期末）已知直线ｙ＝ｘ＋１与抛物 线ｘ２＝４ｙ交于Ａ，Ｂ两点，则弦ＡＢ的中点到准线的距离 为 （　　） （Ａ）４ （Ｂ）４３ （Ｃ）８ （Ｄ） ８ ３ ２．（２０２４湖南邵阳期中）设抛物线Ｃ：ｙ２ ＝４ｘ的焦 点为Ｆ，过点（－２，０）且斜率为 ２３的直线与Ｃ交于Ｍ，Ｎ 两点，则ｃｏｓ∠ＭＦＮ＝ （　　） （Ａ）２３ （Ｂ） ３ ４ （Ｃ） ４ ５ （Ｄ） ５ ６ ３．（多选）（２０２４河北保定二模）若直线 ｙ＝（ａ－ １）ｘ＋１与抛物线Ｃ：ｙ２＝２ａｘ（ａ≠０）只有１个公共点， 则Ｃ的焦点Ｆ的坐标可能是 （　　） （Ａ (） １４， )０ （Ｂ (） １２， )０ （Ｃ）（１，０） （Ｄ）（２，０） ４．（２０２４陕西模拟预测）已知直线ｌ过抛物线Ｃ：ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点，且与抛物线Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，若 使｜ＡＢ｜＝２的直线ｌ有且仅有１条，则ｐ＝ ． ５．（２０２４北京期末）若直线ｌ：ｘ－ｙ－ｍ＝０经过抛 物线ｙ２ ＝８ｘ的焦点，且与抛物线交于 Ａ，Ｂ两点，则 ｜ＡＢ｜＝ ． ６．已知直线ｘ－２ｙ＋１＝０与抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ ＞０）交于Ａ，Ｂ两点，且｜ＡＢ｜＝ 槡４ １５，求ｐ． 书 专项小练一 １．Ａ；　２．ＡＢＣＤ；　３．Ｃ．　４．（－∞，０）∪（２，＋∞）； ５．５或９． ６．解：设双曲线方程为ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由已知椭圆的两个焦点Ｆ１（０，－３），Ｆ２（０，３）， 又双曲线与椭圆交点Ａ的纵坐标为４， 所以Ａ（槡１５，４）， ４２ ａ２ －（槡１５） ２ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２ ＝９ { ， 解得 ａ２ ＝４， ｂ２ ＝５{ ， 故双曲线方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．ＡＣＤ．　４．ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１；　５．１＋槡２． ６．解：由题意可设要求的双曲线方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ６ ＝λ≠０， 把点Ｐ（２，３）代入可得 ４４ － ９ ６ ＝λ，解得λ＝－ １ ２． 所以双曲线方程为 ｙ２ ３ － ｘ２ ２ ＝１． 一、单项选择题　１～４　ＡＡＣＢ　５～８　ＡＣＡＤ 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＤ． 三、填空题　１２．槡８２，４；　１３．槡 ５－１ ２ ；　１４． ｘ２ ２ － ｙ２ ８ ＝１． 四、解答题 １５．解：（１）由双曲线方程知：其渐近线方程为ｙ＝±２３ｘ． （２）由双曲线定义｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ＝６， 又｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜＝｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜＝１６， 所以｜ＰＦ２｜２＋６｜ＰＦ２｜－１６＝（｜ＰＦ２｜＋８）（｜ＰＦ２｜－２） ＝０，可得｜ＰＦ２｜＝２（负值舍），所以ＰＦ２的大小为２． １６．解：（１）设点Ｃ（ｘ，ｙ），则｜｜ＣＡ｜－｜ＣＢ｜｜＝２， 所以Ｃ的轨迹是双曲线且焦点在ｘ轴上， 由２ａ＝２，２ｃ＝｜ＡＢ｜＝ 槡２３，得ａ２ ＝１，ｂ２ ＝２， 故点Ｃ的轨迹方程是ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１． （２）由已知条件得直线方程为ｙ＝ｘ－２， 与ｘ２－ｙ ２ ２ ＝１联立，消去ｙ得ｘ ２＋４ｘ－６＝０， 因为Δ＞０，所以直线与双曲线有两个交点． 设Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２ ＝－４，ｘ１ｘ２ ＝－６， 所以｜ＤＥ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝槡２ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ 槡４５． １７．解：方案一：选择条件①． 因为ｍ＞０，所以ａ２ ＝ｍ，ｂ２ ＝２ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３ｍ， 所以 槡ａ＝ ｍ，ｃ＝ ３槡ｍ． 因为Ｃ的左支上的点到右焦点的距离的最小值为ａ＋ｃ， 所以槡ｍ＋ ３槡ｍ ＝（１＋槡３）槡ｍ ＝３＋槡３， 解得ｍ＝３，故Ｃ的方程为ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１． 方案二：选择条件②．因为Ｃ的焦距为６，所以ｃ＝３． 若ｍ＞０，则ａ２ ＝ｍ，ｂ２ ＝２ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３ｍ， 所以ｃ＝ ３槡ｍ＝３，解得ｍ＝３，则Ｃ的方程为 ｘ２ ３－ ｙ２ ６ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２ ＝－２ｍ，ｂ２ ＝－ｍ，ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝－３ｍ， 所以ｃ＝ －３槡 ｍ ＝３，解得ｍ＝－３， 则Ｃ的方程为ｙ ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 综上，Ｃ的方程为ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１或 ｙ２ ６ － ｘ２ ３ ＝１． 方案三：选择条件③．因为Ｃ上任意一点到两焦点的距离之 差的绝对值为４，所以２ａ＝４，即ａ＝２． 若ｍ＞０，则ａ２ ＝ｍ，所以 槡ａ＝ ｍ ＝２，解得ｍ＝４， 则Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１； 若ｍ＜０，则ａ２ ＝－２ｍ，所以ａ＝ －２槡 ｍ ＝２， 解得ｍ＝－２，则Ｃ的方程为ｙ ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１； 综上，Ｃ的方程为ｘ ２ ４ － ｙ２ ８ ＝１或 ｙ２ ４ － ｘ２ ２ ＝１． １８．解：（１）因为｜ （ｘ－槡１０）２＋ｙ槡 ２－ （ｘ＋槡１０）２＋ｙ槡 ２｜＝２ ＜ 槡２ １０，所以Ｃ是以（槡１０，０），（－槡１０，０）为焦点，实轴长为 ２的双曲线． 设Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则ｃ＝槡１０，ａ＝１，ｂ＝３， 所以Ｃ的方程为ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１． （２）由（１）可得Ｃ的渐近线方程为ｙ＝±３ｘ， 由 ｙ＝－３ｘ， ｙ＝ｘ－４{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝－３{ ，即Ｄ（１，－３）． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｙ＝ｘ－４， ｘ２－ｙ ２ ９ ＝１ { ，得８ｘ２＋８ｘ－２５＝０， 则ｘ１＋ｘ２＝－１，则 →ＯＡ·→ →  ＯＤ＋ＯＢ·→ＯＤ＝ｘ１＋ｘ２－３（ｙ１＋ ｙ２）＝ｘ１＋ｘ２－３（ｘ１－４＋ｘ２－４）＝２６． １９．（１）解：由题可得 ｘ２０ ２ －ｙ ２ ０ ＝１，即ｙ２０ ＝ ｘ２０ ２ －１， 联立 ｘ２ ２ －ｙ ２ ＝１与 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１， 消去ｙ得 (： ｙ２０２ －ｘ ２ ０ )４ ｘ２＋ｘ０ｘ－（１＋ｙ２０）＝０， 则ｘ２－２ｘ０ｘ＋ｘ２０ ＝０，显然Δ＝４ｘ２０－４ｘ２０ ＝０， 所以该直线与双曲线有且只有１个公共点． （２）解：由（１）知，直线 ｘ０ｘ ２ －ｙ０ｙ＝１与双曲线 ｘ２ ２ －ｙ ２＝１ 相切于点（ｘ０，ｙ０），所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上 一点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． 证明如下：显然 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＝１，即ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０ ＝ａ２ｂ２， 由 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１， ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得ｂ２ａ２ｘ２－２ｂ２ａ２ｘ０ｘ＋ｂ２＋ｙ２０＝０， 于是Δ＝ ４ｂ４ｘ２０ ａ４ －４ｂ ２ ａ２ （ｂ２＋ｙ２０）＝ ４ｂ２（ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２） ａ４ ＝０， 因此直线 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１与双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞ ０）相切于点（ｘ０，ｙ０），所以过双曲线 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０） 上一点（ｘ０，ｙ０）的切线方程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１． （３）证明：当ｎ＝０时，直线ｌ的斜率不存在， 由对称性知，点Ｔ为线段ＰＱ的中点； 当ｎ≠０时，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），线段ＰＱ的中点Ｎ（ｔ，ｓ）， 由 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝０， ｍｘ ａ２ －ｎｙ ｂ２ ＝１{ ，消去ｙ得 (： ｎ２ｂ２ －ｍ２ａ )２ ｘ２＋２ｍｘ－ａ２＝０， 由 ｍ２ ａ２ －ｎ ２ ｂ２ ＝１，得ｘ２－２ｍｘ＋ａ２ ＝０， 则ｔ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ＝ｍ， 又 ｍｔ ａ２ －ｎｓ ｂ２ ＝１， 于是ｓ＝ｂ ２ (ｎ ｍ２ａ２ － )１ ＝ｎ， 即点Ｔ与点Ｎ重合，所以点Ｔ为线段 ＰＱ的中点． 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４河南郑州期末）已知 Ａ为抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ＞０）上一点，点Ａ到Ｃ的焦点的距离为４，到ｙ轴 的距离为３，则ｐ＝ （　　） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）６ ２．（２０２４四川绵阳阶段练习）抛物线ｙ＝１８ｘ ２的焦 点和准线为 （　　） （Ａ (） １３２， )０ ，ｘ＝１３２ （Ｂ (） ０，１ )３２ ，ｙ＝－１３２ （Ｃ）（０，２），ｙ＝－２ （Ｄ）（２，０），ｘ＝－２ ３．（２０２４河南开封期末）已知抛物线Ｃ关于ｘ轴对 称，且焦点在直线３ｘ＋２ｙ－６＝０上，则抛物线Ｃ的标准 方程为 （　　） （Ａ）ｙ２ ＝－４ｘ （Ｂ）ｙ２ ＝４ｘ （Ｃ）ｙ２ ＝－８ｘ （Ｄ）ｙ２ ＝８ｘ ４．（２０２４北京海淀课后作业）过点（２，４）的直线与 抛物线ｙ２ ＝８ｘ只有一个公共点，这样的直线有（　　） （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 ５．（２０２４河南期中）设抛物线Ｃ：ｘ２ ＝－２８ｙ的焦点 为Ｆ，点Ｐ在Ｃ上，Ｑ（０，７），若｜ＰＦ｜＝｜ＱＦ｜，则｜ＰＱ｜＝ （　　） （Ａ） 槡１４３ （Ｂ）１４ （Ｃ） 槡２８２ （Ｄ） 槡１４２ ６．（２０２４湖北模拟预测）随着 科技的进步，我国桥梁设计建设水 平不断提升，创造了多项世界第一， 为经济社会发展发挥了重要作用． 右图是某景区内的一座抛物线拱形 大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面 跨度为１０米，拱形最高点与水面的距离为６米，为增加 景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪 光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（结果精 确到０．０１） （　　） （Ａ）４．９６米 （Ｂ）５．０６米 （Ｃ）４．２６米 （Ｄ）３．６８米 ７．（２０２４辽宁模拟）历史上第一个研究圆锥曲线的 是梅纳库莫斯（公元前３７５年 －３２５年），大约１００年后， 阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他 还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛 物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反 射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对 称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的 焦点．设抛物线Ｃ：ｙ２ ＝ｘ，一束平行于抛物线对称轴的 光线经过Ａ（５，２），被抛物线反射后，又射到抛物线Ｃ上 的Ｑ点，则Ｑ点的坐标为 （　　） （Ａ (） １４，－ )１２ （Ｂ (） １８，－ )１４ （Ｃ (） １１６，－ )１４ （Ｄ (） １６４，－ )１８ ８．（２０２４吉林长春阶段练习）已知直线ｌ１：４ｘ－３ｙ＋ ６＝０和直线ｌ２：ｘ＝－１，则抛物线ｙ ２＝４ｘ上一动点Ｐ到 直线ｌ１和直线ｌ２的距离之和的最小值是 （　　） （Ａ）３７１６ （Ｂ） １１ ５ （Ｃ）２ （Ｄ） ７ ４ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．（２０２４安徽合肥期末）已知抛物线Ｃ１：ｙ ２ ＝４ｘ与 抛物线Ｃ２：ｘ ２ ＝４ｙ，则 （　　） （Ａ）过Ｃ１与Ｃ２焦点的直线方程为ｘ＋ｙ＝１ （Ｂ）Ｃ１与Ｃ２只有１个公共点 （Ｃ）与ｘ轴平行的直线与Ｃ１及Ｃ２最多有３个交点 （Ｄ）不存在直线与Ｃ１和Ｃ２都相切 １０．（２０２４湖南长沙阶段练习）已知抛物线ｘ２ ＝４ｙ 的焦点为Ｆ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是抛物线上两点，则下 列结论正确的是 （　　） （Ａ）抛物线的准线方程为ｘ＝－１ （Ｂ）若｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝４，则线段ＡＢ的中点Ｐ到ｘ 轴的距离为１ （Ｃ）若直线ＡＢ经过焦点Ｆ，则ｙ１ｙ２ ＝１ （Ｄ）若ｙ１ｙ２ ＝１，则直线ＡＢ过焦点Ｆ １１．（２０２４新Ⅱ卷）抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的准线为ｌ，Ｐ 为Ｃ上动点，过Ｐ作圆Ａ：ｘ２＋（ｙ－４）２＝１的一条切线， Ｑ为切点，过点Ｐ作ｌ的垂线，垂足为Ｂ．则 （　　） （Ａ）ｌ与圆Ａ相切 （Ｂ）当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时，｜ＰＱ｜＝槡１５ （Ｃ）当｜ＰＢ｜＝２时，ＰＡ⊥ＡＢ （Ｄ）满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜的点Ｐ有且仅有２个 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４四川凉山期末）已知Ｆ是抛物线ｙ２ ＝４ｘ 的焦点，点Ａ（１，３），Ｐ为抛物线上一点，Ｐ到直线ｘ＝－１ 的距离为ｄ，则ｄ＋｜ＰＡ｜的最小值是 ． １３．（２０２４天津高考真题）圆（ｘ－１）２＋ｙ２＝２５的圆 心与抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点Ｆ重合，Ａ为两曲线 的交点，则原点到直线ＡＦ的距离为 ． １４．（２０２４河北石家庄模拟预测）希腊著名数学家 阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面 内到两个定点Ａ，Ｂ的距离之比为定值λ（λ≠１）的点的 轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系ｘＯｙ 中，Ａ（－３，１），Ｂ（－３，６），点Ｐ是满足λ＝槡６３的阿氏圆 上的任一点，若抛物线ｙ＝１６ｘ ２的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直 线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． １５．（１３分）已知直线ｌ平行于ｙ轴，且ｌ与ｘ轴的交 点为（４，０），点Ａ在直线ｌ上，动点Ｐ的纵坐标与Ａ的纵坐 标相同，且 →ＯＡ⊥ →ＯＰ，求Ｐ点的轨迹方程，并说明轨迹方 程的形状． １６．（１５分）已知抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ．过点Ｆ 的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点． （１）若→ＡＦ＝２→ＦＢ，求直线ＡＢ的斜率； （２）设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的 对称点为Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值． １７．（１５分）（２０２４河南开封期末联考）已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，点Ｐ（ｘ０，槡２ｐ）在抛物线 Ｃ上，且｜ＰＦ｜＝３． （１）求抛物线Ｃ的方程； （２）过焦点Ｆ的直线ｌ与抛物线分别交于Ａ，Ｂ两点， 点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），Ｏ为坐标原点， 若 →ＯＡ·→ＯＢ＝－（ｘ１＋ｘ２），求直线ｌ的方程                                                                                                                                                             ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$%&' !"#$%&'()*+ ! ,-./01234 56#$%789:;<= ! ,>?/01@34 ABC !D"E3FG !"#$%&&"' '()*+ ,-./01 23(45678*!8 9:;<;<=>>? @"#ABCDEF G !%HIJKGLMN OF P8(QRSTU V*8(WXYZ[BC \]^F__H`abc DEdef:[8FgD EhijBCkK + P"lmncDE op;<qrp"st[ %F+LMNHpuvwx yz[{|F P%}"Hp "~: jF €t‚(ƒp" „…†F%b€‡ˆ"B CDE€hijF + gCLMN('' ‰Š;<‹Œp 8{ Ž*OmC‘’!%' '“€BCIJ1(D EkK G !"t”•*G,-( –—˜[™|*!"b” •89:š=*››H8 “€œž*Ÿ__† t™j*?@"#/ ¡ (jF G P%¢[hijKGg C£¤¥¦|(§O•F PB¨©ªB¨«FG,- 6¬*uv­:®¯}t °F P±* ²³´[*+ g§µ[|*P¶'' /(DE·¸mC¹ º*¢"…%»*"€¼ ¼%''(½¾p¼¼" m¿tc%“€( DEF + gC‰Š‹Œ(§ 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