第10期 4.1 正弦和余弦 4.2 正切（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 ８期２版 ３．４．２相似三角形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．Ａ；　５．１１６；　６．１６； ７．３０． 能力提高　８．四边形ＡＦＤＥ的面积为２４． ３．５相似三角形的应用 基础训练　１．Ｂ；　２．３．６；　３．１２． 能力提高　４．由题意得，ＡＢ⊥ＢＣ，ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，ＥＦ ＝ＧＨ＝１．５ｍ，ＥＧ＝８ｍ，ＥＤ＝２ｍ，ＣＧ＝３ｍ，因为∠ＦＤＥ＝ ∠ＡＤＢ，∠Ｃ＝∠Ｃ，所以△ＡＢＤ∽△ＦＥＤ，△ＡＢＣ∽△ＨＧＣ，所 以 ＥＦ ＡＢ＝ ＥＤ ＢＤ， ＨＧ ＡＢ＝ ＧＣ ＢＣ．因为ＥＦ＝ＨＧ＝１．５ｍ，所以 ＥＤ ＢＤ＝ ＧＣ ＢＣ， 因为ＢＤ＝ＢＥ＋ＤＥ＝２＋ＢＥ，ＢＣ＝ＢＥ＋ＥＧ＋ＣＧ＝３＋８＋ ＢＥ＝１１＋ＢＥ，所以 ２２＋ＢＥ＝ ３ １１＋ＢＥ，解得ＢＥ＝１６（ｍ），则ＢＤ ＝ＢＥ＋ＤＥ＝１６＋２＝１８ｍ，因为ＥＤＢＤ＝ ＥＦ ＡＢ，所以 ２ １８＝ １．５ ＡＢ，解 得ＡＢ＝１３．５（ｍ）． 答：该龙形雕像的高度为１３．５ｍ． ３．６位似 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．１３；　５． ２５ ２． 能力提高　６．（１）图略． （２）图略． （３）点Ａ２的坐标为（３，６），△ＡＢＣ与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的周长比是 １∶２． ８期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ 二、９．（２，４）；　１０．槡２２；　１１．３；　１２． ５ ２或 １５ ２； １３．槡１７２ ． 三、１４．略． １５．ＯＡ的高度是６．３ｍ． １６．（１）证明：因为ＤＥ∥ＢＣ，所以△ＡＤＮ∽△ＡＢＭ，△ＡＮＥ ∽△ＡＭＣ，所以ＤＮＢＭ ＝ ＡＮ ＡＭ， ＥＮ ＣＭ＝ ＡＮ ＡＭ，所以 ＤＮ ＢＭ＝ ＥＮ ＣＭ，又因为点 Ｍ是ＢＣ的中点，所以ＢＭ＝ＣＭ，所以ＤＮ＝ＥＮ． （２）因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＯＥＯＢ＝ ＯＮ ＯＭ＝ ２ ５，因为ＤＥ∥ＢＣ， 所以△ＤＯＥ∽△ＣＯＢ，所以ＤＥＣＢ＝ ＯＥ ＯＢ＝ ２ ５，因为ＤＥ∥ＢＣ，所 以△ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ，所以 Ｓ△ＡＤＥ Ｓ△ＡＢＣ ＝（ＤＥＢＣ） ２ ＝ ４２５，设 Ｓ△ＡＤＥ ＝ ４ｘ（ｘ＞０），则Ｓ△ＡＢＣ ＝２５ｘ，因为四边形ＢＣＥＤ的面积为４２，所 以２５ｘ－４ｘ＝４２，解得ｘ＝２，所以Ｓ△ＡＢＣ ＝５０． １７．证明：（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＭＡＢ＝１８０°－∠ＡＢＣ， 因为 ∠ＢＧＦ＝∠ＡＢＣ，所以 ∠ＭＡＢ＝１８０°－∠ＢＧＦ，因为 ∠ＡＧＢ＝１８０°－∠ＢＧＦ，所以∠ＡＧＢ＝∠ＭＡＢ．又因为∠ＡＢＧ ＝∠ＭＢＡ，所以△ＢＡＧ∽△ＢＭＡ． （２）连接ＣＭ．因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝ ＣＤ．因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以△ＡＢＣ为等边三角形．所以ＡＣ＝ ＣＢ＝ＣＤ．又因为Ｍ为ＡＤ的中点，所以ＣＭ⊥ＡＤ．又因为ＡＤ∥ ＢＣ，所以ＣＭ⊥ＢＣ．由（１）得ＡＢＢＭ＝ ＢＧ ＡＢ，所以ＢＧ·ＢＭ＝ＡＢ ２．所 以ＢＧ·ＢＭ＝ＢＣ２．所以ＢＧＢＣ＝ ＢＣ ＢＭ．又因为∠ＣＢＧ＝∠ＭＢＣ，所 以△ＢＧＣ∽△ＢＣＭ．所以∠ＢＧＣ＝∠ＢＣＭ＝９０°．所以ＣＧ⊥ ＢＭ． １８．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ，所 以∠ＡＤＧ＝∠ＥＢＧ，∠ＤＡＧ＝∠ＢＥＧ，所以△ＡＤＧ∽△ＥＢＧ，所 以 ＤＧ ＢＧ＝ ＡＧ ＥＧ．由题意，得ＡＤ∥ＣＥ，ＡＤ＝ＣＥ，所以四边形ＡＣＥＤ 是平行四边形，所以ＡＣ∥ＤＥ，所以∠ＡＦＧ＝∠ＥＤＧ，∠ＦＡＧ＝ ∠ＤＥＧ，所以△ＡＧＦ∽△ＥＧＤ，所以ＡＧＥＧ＝ ＦＧ ＤＧ，所以 ＤＧ ＢＧ＝ ＦＧ ＤＧ，所 以ＤＧ２ ＝ＦＧ·ＢＧ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，ＡＥ，ＣＤ相交于点Ｈ， 所以ＤＨ＝１２ＤＣ＝ １ ２ＡＢ＝７，ＡＤ＝ＣＥ＝２４．在Ｒｔ△ＡＤＨ中， ＡＨ２＝ＡＤ２＋ＤＨ２，所以ＡＨ＝ ７２＋２４槡 ２ ＝２５，所以ＡＥ＝５０． 因为△ＡＤＧ∽△ＥＢＧ，所以ＡＧＥＧ＝ ＡＤ ＢＥ＝ １ ２，所以 ＡＧ＝ １ ２ＧＥ，所以ＡＧ＝ １ ３ＡＥ＝ ５０ ３，所以ＧＨ＝ＡＨ－ＡＧ＝ ２５ ３． ８期４版 重点集训营 １．Ｃ；　２．（１２，１）． ３．（１）图略．　（２）（－４，－６）． 书 重点集训营 １．（２０２４郑州一模）在直角三角形中，３０°角对的 直角边是斜边的一半．若ｓｉｎ（α＋２０°）＝１ ２ ，则α的度 数是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．４０°Ｂ．３０°Ｃ．２０°Ｄ．１０° ２．如果∠Ａ为锐角，ｃｏｓＡ＝槡３ ３ ，那么∠Ａ的取值范 围是（　　） Ａ．０°＜∠Ａ≤３０°Ｂ．３０°＜∠Ａ≤４５° Ｃ．４５°＜∠Ａ＜６０°Ｄ．６０°＜∠Ａ＜９０° ３．已知α为锐角，若槡３ｔａｎ ２ α－４ｔａｎα＋槡３＝０，则 α的度数为． ４．在△ＡＢＣ中，（２ｃｏｓＡ－槡２） ２ ＋｜１－ｔａｎＢ｜＝０， 则△ＡＢＣ的形状是． ５．（２０２３西安三模）如图，在等腰△ＡＢＣ中，∠Ａ＝ １２０°，ＡＢ＝ＡＣ，若ＡＢ＝１，求ＢＣ的长． 辅助线周周练 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１０， ＡＣ＝２０，Ｄ为ＡＢ的中点，连接ＣＤ，将△ＢＣＤ沿ＣＤ翻 折得到△Ｂ′ＣＤ，Ｂ′Ｄ交ＡＣ于点Ｅ，则ＤＥ ＥＢ′＝． ２．如图２，ｓｉｎ∠Ｏ＝３ ５ ，长度为２的线段ＤＥ在射线 ＯＢ上滑动，点Ｃ在射线ＯＡ上，且ＯＣ＝５，△ＣＤＥ的两 个内角的角平分线相交于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＤＥ，垂 足为Ｇ，则ＦＧ的最大值为． 【提示】 １．过点Ｂ作ＢＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ，由勾股定理可求ＡＢ的长，由锐角三角函数的 定义可求ＢＨ，ＣＨ，ＤＨ的长，由折叠的性质可得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｂ′ＤＣ，Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ△ＤＣＢ′，利用锐角三角函 数可求得ＥＦ的长，根据面积关系即可求解． ２．连接ＣＦ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＣＤ于Ｍ，ＦＮ⊥ＥＣ于 Ｎ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＥ于Ｈ．根据正弦的定义求得ＣＨ 的长，利用面积法可得ＦＧ·（２＋ＥＣ＋ＣＤ）＝６，推出 当ＥＣ＋ＣＤ的值最小时，ＦＧ的值最大，过点Ｃ作ＣＫ ∥ＤＥ，使得ＣＫ＝ＤＥ＝２，作点Ｋ关于直线ＯＢ的对 称点Ｊ，连接ＣＪ交ＯＢ于Ｅ，连接ＫＪ交ＯＢ于Ｔ，连接 ＫＥ，此时ＣＥ＋ＣＤ的值最小，最小值为ＣＪ的长，在 Ｒｔ△ＪＫＣ中，利用勾股定理解出ＣＪ的长即可． 书 重点集训营 １．（２０２４郑州一模）在直角三角形中，３０°角对的 直角边是斜边的一半．若ｓｉｎ（α＋２０°）＝１２，则α的度 数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４０° Ｂ．３０° Ｃ．２０° Ｄ．１０° ２．如果∠Ａ为锐角，ｃｏｓＡ＝槡３３，那么∠Ａ的取值范 围是 （　　） Ａ．０°＜∠Ａ≤３０° Ｂ．３０°＜∠Ａ≤４５° Ｃ．４５°＜∠Ａ＜６０° Ｄ．６０°＜∠Ａ＜９０° ３．已知α为锐角，若槡３ｔａｎ ２α－４ｔａｎα＋槡３＝０，则 α的度数为 ． ４．在△ＡＢＣ中，（２ｃｏｓＡ－槡２） ２＋｜１－ｔａｎＢ｜＝０， 则△ＡＢＣ的形状是 ． ５．（２０２３西安三模）如图，在等腰△ＡＢＣ中，∠Ａ＝ １２０°，ＡＢ＝ＡＣ，若ＡＢ＝１，求ＢＣ的长． 辅助线周周练 １．如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１０， ＡＣ＝２０，Ｄ为ＡＢ的中点，连接ＣＤ，将△ＢＣＤ沿ＣＤ翻 折得到△Ｂ′ＣＤ，Ｂ′Ｄ交ＡＣ于点Ｅ，则ＤＥＥＢ′＝ ． ２．如图２，ｓｉｎ∠Ｏ＝３５，长度为２的线段ＤＥ在射线 ＯＢ上滑动，点Ｃ在射线ＯＡ上，且ＯＣ＝５，△ＣＤＥ的两 个内角的角平分线相交于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＤＥ，垂 足为Ｇ，则ＦＧ的最大值为 ． 【提示】 １．过点Ｂ作ＢＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ，由勾股定理可求ＡＢ的长，由锐角三角函数的 定义可求 ＢＨ，ＣＨ，ＤＨ的长，由折叠的性质可得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｂ′ＤＣ，Ｓ△ＢＣＤ ＝Ｓ△ＤＣＢ′，利用锐角三角函 数可求得ＥＦ的长，根据面积关系即可求解． ２．连接ＣＦ，过点Ｆ作ＦＭ⊥ＣＤ于Ｍ，ＦＮ⊥ＥＣ于 Ｎ，过点Ｃ作ＣＨ⊥ＯＥ于Ｈ．根据正弦的定义求得ＣＨ 的长，利用面积法可得ＦＧ·（２＋ＥＣ＋ＣＤ）＝６，推出 当ＥＣ＋ＣＤ的值最小时，ＦＧ的值最大，过点Ｃ作ＣＫ ∥ＤＥ，使得ＣＫ＝ＤＥ＝２，作点Ｋ关于直线ＯＢ的对 称点Ｊ，连接ＣＪ交ＯＢ于Ｅ，连接ＫＪ交ＯＢ于Ｔ，连接 ＫＥ，此时 ＣＥ＋ＣＤ的值最小，最小值为 ＣＪ的长，在 Ｒｔ△ＪＫＣ中，利用勾股定理解出ＣＪ的长即可． 书 一、求三角函数值 例１　ｔａｎ４５°的值等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．槡２２ Ｄ． 槡３ ３ 分析：直接根据特殊角的三角函数值求解即可． 解：ｔａｎ４５°＝１．故选 Ｂ． 二、求角度 例２　（２０２３佛山一模）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°， 若ｃｏｓＡ＝ １２，则∠Ａ的大小是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．６０° Ｄ．７５° 分析：根据特殊角的三角函数值求解即可． 解：因为ｃｏｓＡ＝ １２，∠Ａ是Ｒｔ△ＡＢＣ的内角，所以 ∠Ａ＝６０°．故选Ｃ． 例３　（２０２４广元模拟）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ，∠Ｂ为锐 角，且满足｜ｓｉｎＣ－槡２２｜＋（ 槡３ ２－ｃｏｓＢ） ２＝０，则∠Ａ的 度数为 （　　） Ａ．１００° Ｂ．１０５° Ｃ．９０° Ｄ．６０° 分析：直接利用绝对值以及偶次方的性质得出 ∠Ｃ ＝４５°，∠Ｂ＝３０°，再根据三角形的内角和得出答案． 解：因为 ｜ｓｉｎＣ－槡２２｜＋（ 槡３ ２ －ｃｏｓＢ） ２ ＝０，所以 ｓｉｎＣ－槡２２ ＝０， 槡３ ２－ｃｏｓＢ＝０， 则ｓｉｎＣ＝槡２２，ｃｏｓＢ＝ 槡３ ２，故∠Ｃ＝４５°，∠Ｂ＝３０°， 所以∠Ａ＝１８０°－４５°－３０°＝１０５°．故选Ｂ． 三、计算 例４　计算：３０－（１２） －２ｓｉｎ３０°＋槡８ｃｏｓ４５°． 分析：根据零次幂，负整指数幂，特殊角的三角函数 值，二次根式的性质进行计算即可求解． 解：原式 ＝１－４×１２＋ 槡２２× 槡２ ２ ＝１． 四、求边长 例５　 如图，在 △ＡＢＣ中， ∠ＡＢＣ＝９０°，∠Ａ＝３０°，Ｄ是边 ＡＢ上一点，∠ＢＤＣ＝４５°，ＡＤ＝ ４，求ＢＣ的长（结果保留根号）． 分析：由题意可得△ＢＣＤ为 等腰直角三角形，则ＢＤ＝ＢＣ．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，利用锐角 三角函数的定义及特殊角的三角函数值即可求出ＢＣ的 长． 解：因为∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＢＤＣ＝４５°，所以△ＢＣＤ为 等腰直角三角形，所以ＢＤ＝ＢＣ．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎ∠Ａ ＝ｔａｎ３０°＝ＢＣＡＢ，即 ＢＣ ＢＣ＋４＝ 槡３ ３，解得ＢＣ＝２（槡３＋１）． 所以ＢＣ的长为２（槡３＋１）． 【对应练习见《重点集训营》】 书 同学们在学习锐角三角函数的过程中，由于对锐 角三角函数的理解不够透彻，在解题时就会出现这样 或那样的错误．下面就容易出现的错误简单剖析如下． 一、对三角函数的实质理解不透 例１　 若把 Ｒｔ△ＡＢＣ的各边都扩大 ３倍得到 Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则∠Ａ，∠Ａ′的余弦值的关系是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｃｏｓＡ＝３ｃｏｓＡ′ Ｂ．３ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＡ′ Ｃ．ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＡ′ Ｄ．不能确定 错解：选Ａ或Ｂ． 诊断：在直角三角形中，锐角的余弦是该角的邻边 与斜边的比，三边都扩大３倍后对应边的比值不变．错 解没有真正理解这一实质，误把“无关”当“有关”． 正解： 二、错将“符号”当运算 例２　计算：ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°． 错解：ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°＝ｃｏｓ（６０°＋４５°）＝ｃｏｓ１０５°． 诊断：错因是对表示锐角三角函数的符号不理解， 误认为ｃｏｓＡ就是“ｃｏｓ”与“Ａ”的乘积，而乱用乘法分 配律．实际上ｃｏｓＡ是一个完整的符号，表示锐角Ａ的余 弦值． 正解： 三、忽视锐角三角函数值的取值范围 例３　已知ｓｉｎα（α为锐角）是方程３ｘ２－７ｘ＋２＝ ０的根，求ｓｉｎα的值． 错解：解方程３ｘ２－７ｘ＋２＝０，得ｘ１＝２，ｘ２＝ １ ３， 所以ｓｉｎα＝２或ｓｉｎα＝ １３． 诊断：因为直角边小于斜边，所以锐角的正弦值应 在０与１之间，而错解却忽视了这一点． 正解： 四、忽视分类讨论 例４　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝４，ＡＢ＝５，求ｓｉｎＡ的值． 错解：ｓｉｎＡ＝ＢＣＡＢ＝ ４ ５． 诊断：错解是受勾股数３，４，５这一思维定势的影 响，误认为ＡＢ是斜边而致错．事实上，题目未明确哪一 边是斜边，应分类讨论． 正解： 五、忽视锐角三角函数运用的前提 例５　已知ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ａ＝ｂ＝５， ｃ＝６，求ｃｏｓＢ，ｔａｎＢ的值． 错解：因为ａ＝ｂ＝５，ｃ＝６， 所以ｃｏｓＢ＝ ａｃ ＝ ５ ６，ｔａｎＢ＝ ｂ ａ ＝ ５ ５ ＝１． 诊断：锐角三角函数的运用，必须是在直角三角形 中，显然 △ＡＢＣ不是直角三角形，错解却以“斜”代 “直”．正确解法应把∠Ｂ放在直角三角形中． 正解： 书 三角函数的求值问题是本章的基础问题，也是考试 中的常考题型，其类型多变，解法灵活，有一定的技巧 性．下面介绍常用的四种方法，供大家参考． 一、回归定义 例１　（２０２３哈尔滨模拟）在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝２，则ｃｏｓＡ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．３ Ｂ．１３ Ｃ． 槡１０ １０ Ｄ． 槡３ １０ １０ 解析：因为在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝ ２，所以ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２ １０，所以ｃｏｓＡ＝ ＡＣ ＡＢ＝ 槡３ １０ １０ ．故选Ｄ． 二、巧设参数 例２　在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｔａｎＡ＝５１２，那 么ｃｏｓＡ＝ ． 解析：由ｔａｎＡ＝５１２，可设ＡＣ＝１２ｋ，ＢＣ＝５ｋ，所以 ＡＢ＝ （１２ｋ）２＋（５ｋ）槡 ２ ＝１３ｋ，所以ｃｏｓＡ＝ＡＣＡＢ＝ １２ｋ １３ｋ ＝１２１３．故填 １２ １３． 三、等角代换 例３　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８， ＢＣ＝６，ＣＤ⊥ ＡＢ，垂足为 Ｄ，则 ｔａｎ∠ＢＣＤ的值是 ． 解析：因为 ∠Ａ＋∠Ｂ＝ ９０°，∠ＢＣＤ＋∠Ｂ＝９０°，所以 ∠Ａ＝∠ＢＣＤ，所以 ｔａｎ∠ＢＣＤ ＝ｔａｎＡ＝ＢＣＡＣ＝ ６ ８ ＝ ３ ４．故填 ３ ４． 四、构造直角 例４　如图２，在正方形方格 纸中，每个小正方形的边长都相 等，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点处，ＡＢ与 ＣＤ相交于点Ｐ，则ｃｏｓ∠ＡＰＣ的值 为 （　　） Ａ．槡３５ Ｂ． 槡２５ ５ Ｃ．２５ Ｄ． 槡５ ５ 解析：把ＡＢ向上平移一个单位到 ＤＥ，连接 ＣＥ，则 ＤＥ∥ＡＢ，所以∠ＡＰＣ＝∠ＥＤＣ．在△ＤＣＥ中，易求得ＥＣ ＝槡５，ＤＣ＝ 槡２５，ＤＥ＝５，所以ＥＣ ２＋ＤＣ２ ＝ＤＥ２，所以 △ＤＣＥ是直角三角形，且 ∠ＤＣＥ＝９０°，所以 ｃｏｓ∠ＡＰＣ ＝ｃｏｓ∠ＥＤＣ＝ＤＣＤＥ＝ 槡２５ ５．故选Ｂ． 书 一、利用网格求正弦值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例 １ （２０２３南通模拟） 如图１，在边长为１的小正方形 网格中，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在这些 小正方形的顶点上，ＡＢ，ＣＤ相 交于点 Ｏ，则 ｓｉｎ∠ＢＯＤ ＝ ． 解析：如图１，过点Ｃ作ＣＥ∥ＡＢ，连接ＤＥ，则∠ＤＣＥ ＝∠ＢＯＤ，由图易得∠１＝∠２＝∠３＝∠４＝４５°，所以 ∠ＣＥＤ＝∠２＋∠３＝９０°．因为小正方形的边长为１，所 以在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＤＥ＝ 槡２２，ＣＤ＝槡１０，所以ｓｉｎ∠ＤＣＥ ＝ＤＥＣＤ＝ 槡２５ ５，所以ｓｉｎ∠ＢＯＤ＝ｓｉｎ∠ＤＣＥ＝ 槡２５ ５．故填 槡２５ ５． 二、利用网格求余弦值 例２　（２０２４桂林模拟）如 图２，在４×４网格正方形中，每 个小正方形的边长为１，顶点为 格点，若 △ＡＢＣ的顶点均是格 点，则ｃｏｓ∠ＢＡＣ的值是 （　　） Ａ．槡５５ Ｂ． 槡１０ ５ Ｃ．槡２５５ Ｄ． ４ ５ 解析：过点Ｃ作ＡＢ的垂线交ＡＢ于点Ｄ，因为每个小 正方形的边长为１，所以ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝槡１０，ＡＢ＝５，设 ＡＤ＝ｘ，则ＢＤ＝５－ｘ，在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得 ＤＣ２＝ＡＣ２－ＡＤ２，在Ｒｔ△ＢＣＤ中，由勾股定理，得ＤＣ２＝ ＢＣ２－ＢＤ２，所以１０－（５－ｘ）２ ＝５－ｘ２，解得ｘ＝２，所 以ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝ＡＤＡＣ＝ 槡２５ ５．故选Ｃ． 三、利用网格求正切值 例 ３　（２０２４黄冈模拟） 由４个形状相同，大小相等的 菱形组成如图３所示的网格， 菱形的顶点称为格点，点Ａ，Ｂ， Ｃ都在格点上，∠Ｏ＝６０°，则 ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ （　　） Ａ．１３ Ｂ． １ ２ Ｃ． 槡３ ３ Ｄ． 槡３ ２ 解析：连接ＡＤ，因为网格是有一个角为６０°的菱形， 所以△ＡＯＤ，△ＢＣＤ，△ＡＣＤ都是等边三角形，所以 ＡＤ ＝ＢＤ＝ＢＣ＝ＡＣ，所以四边形ＡＤＢＣ为菱形，且∠ＤＢＣ ＝６０°，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ＝３０°，所以 ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ｔａｎ３０°＝槡３３．故选Ｃ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ ! ! ! # % " $ ! " " !" #$% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # ! " ! " " # ! & ! # $ $ " & # ! ! ! $ # " ! ! " &' ()* " +, - . 书 ９期答案 一、１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ａ； ６．Ｃ；　７．Ｄ；　８．Ｂ； ９．Ａ；　１０．Ｂ． 二、１１．１２．５ｋｍ； １２．２∶１；　１３．（ 槡１０５ －１０）；　１４．１２；　１５．３； １６．４；　１７．１４．４； １８．２， 槡２ １３３ ． 三、１９．不一定相似， 理由：根据题意，得 ∠Ｄ＝ ∠Ｈ＝３６０°－１００°－９０°－ １２０°＝５０°，∠Ａ＝∠Ｅ， ∠Ｂ＝∠Ｆ，∠Ｃ＝∠Ｇ，对 应角都相等，但是两个四 边形的对应边的比值无法 确定，所以四边形ＡＢＣＤ与 四边形ＥＦＧＨ不一定相似． ２０．（１）图略． （２）３∶１． （３）９＋ 槡３５＋ 槡３２． ２１．证明：（１）略． （２） 因 为 在 梯 形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＢ＝ ＤＣ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ， 又因为 ∠ＢＣＥ＝∠ＡＢＤ， 所以 ∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＥ，因 为∠ＢＤＣ＝∠ＣＤＥ，所以 △ＤＥＣ∽ △ＤＣＢ，所以ＤＥＣＤ ＝ＣＤＤＢ，所以 ＣＤ ２ ＝ＤＥ· ＤＢ． ２２．这条河的宽度为 ３０米． ２３．（１）证明：因为ＡＤ ⊥ ＢＣ，ＤＥ⊥ ＡＣ，所 以 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＤ＝９０°．因 为∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 △ＤＡＥ∽ △ＣＡＤ，所以ＤＡＡＣ ＝ＡＥＡＤ，所以 ＡＤ ２ ＝ＡＣ· ＡＥ．因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ＡＤ２ ＝ＡＢ·ＡＥ． （２）ＡＧＤＧ的值为 ３ ２（提 示：证△ＡＧＥ∽△ＤＧＦ）． ２４．（１）明德楼的高 ＰＡ为１２米． （２）塑像 ＥＦ的影长 ＦＮ为４米． ２５．（１）２０１３或 ８ ７． （２）过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ ＡＢ于点 Ｆ，设运动时间为 ｔ秒时，ＣＤ⊥ＤＥ，则ＡＤ＝ ｔｃｍ，ＢＤ＝（４－ｔ）ｃｍ，ＢＥ ＝ ２ｔｃｍ，ＣＥ ＝ （５ － ２ｔ）ｃｍ（０≤ｔ≤ ５２）．因为 ∠Ｂ ＝ ∠Ｂ，∠ＥＦＢ ＝ ∠ＣＡＢ ＝ ９０°， 所 以 Ｒｔ△ＢＦＥ∽Ｒｔ△ＢＡＣ，所以 ＢＦ ＢＡ＝ ＢＥ ＢＣ＝ ＥＦ ＣＡ，即 ＢＦ ４ ＝ ２ｔ ５，所以ＢＦ＝ ８ｔ ５ ｃｍ，ＥＦ ＝６ｔ５ｃｍ，所以ＤＦ＝（４－ ! ! " #! !!"#" $"% !" "%"$&&''( !"#$ !"#$%& /01 !2" 3456 7489:;<4=> !" ? % ! '()* !"#$%&'" ()*+,-'. &'@AB9CD &'@B<EFGHIJK &'@BLMNOPQRSCT 8UVWXYZ3 W[\]^_ `abcdeZ3fg\()!$*%+%+,h-6 ) *+ ]^_ , ) *+ ijk , # - .+ lm_ , ) *+ n * , ) *+ o p -./01+ l q 23/01+ lrs -4506+ t u -4578+ vwx jyz { | }~ €  ‚ƒ„ i…† €‡r ˆ w ‰Š ‹Œ^ {Ž  i^‘ ’p4 “”| • „ –—˜ j™š 91-.+ ›œ 91:;+ Šž <=-.+ Ÿ  >?-.+ ¡ ¢ @ABC+ £¤¥ #¦V§¨§3 #©§Z3 #XY­®¯\%#'!*'"+!"'/ #¦V°±\&'²³´µ~¶·¸¹º !#" »8UVW7489XY­ #¼½X¾\%#%%%/ #µ¿­ÀVÁÂ\%#'!#'"+!!"' %#'!#'"+!"#+ÃHÄ6 #ÀÅ\ÆǦVµ¿­±ÈÉÊËÌͼÎ/Ï6 #¼½ÀÅÁÂ\!!!0' #ÐÑÒÓÀÔÕÀÖ×À #¦VØÊË̲hµÙÚ<ÛÜÝV #ÞßNOàÐág\!$%%%%$%%%!!% #Þß­®¯\%#'!#'"+!"'' #¦Vâã,äåHIæçPQRSÃèéµêë·ìíîïðFGñ !! gÙòæ2óPæôõö÷ø2ÆǦVµ¿­±Èùú !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " $ ! # # ! " " Þ' ûüý & # ! $ ' ( ) " ! " # " "" ) $ ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! þÿ#¦V!ø" /#=$%&0?6 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．（２０２３天津河东区模拟）２ｓｉｎ４５°的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 槡Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ．槡 ３ ２ Ｄ． 槡２ ２ ２．已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝α，ＡＣ＝３， 那么ＡＢ的长等于 （　　） Ａ．３ｓｉｎα Ｂ．３ｃｏｓα Ｃ．３ｔａｎα Ｄ．３ｔａｎα ３．如图１，在平面直角坐标系中，点Ａ坐标为（４，３）， 那么ｔａｎα的值是 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ４ ３ Ｄ． ３ ４ ４．（２０２４成都模拟）如图２，在单位长度为１的网格 中，△ＡＢＣ的三个顶点均在格点上，则 ｓｉｎ∠ＡＣＢ的值等 于 （　　） Ａ． 槡２ １３１３ Ｂ． 槡３ １３ １３ Ｃ． 槡２２ ５ Ｄ． 槡２ ５ ５．（２０２３茂名一模）式子 ２ｘ＋ｔａｎ４５槡 °ｘ－ｔａｎ４５° 有意义的ｘ 的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≥－１２且ｘ≠１ Ｂ．ｘ≠１ Ｃ．ｘ≥－１２ Ｄ．ｘ＞－ １ ２且ｘ≠１ ６．（２０２４石家庄三模）如图３，在菱形ＡＢＣＤ中，对角 线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，则∠ＢＡＤ的正弦 值为 （　　） Ａ．３５ Ｂ． １２ ２５ Ｃ． ２４ ２５ Ｄ． ６ ５ ７．（２０２３承德月考）如图４，是嘉琪用带有刻度的直 尺在数轴上作图的方法，图中线段ａ与直尺垂直，线段ｂ 与数轴垂直，则点Ｄ表示的数是 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ６ ５ Ｃ．２ Ｄ． ７ ５ ８．（２０２２重庆模拟）如图５， 在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为边 ＡＢ与ＡＤ上的点，连接ＣＥ，ＢＦ，交 点为Ｇ，且ＣＥ⊥ＢＦ，连接 ＤＧ，若 ＤＧ＝ＣＤ，则ｔａｎ∠ＤＧＦ的值为 （　　） Ａ．３４ 　　　　Ｂ． １ ２ Ｃ．１４ 　　　　Ｄ． ２ ３ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．（２０２４苏州期中）已知α为锐角，且槡３ｔａｎ（９０°－ α）＝１，则α的度数为 ． １０．（２０２３上海奉贤区一模）在 △ＡＢＣ中，如果 ＡＢ ＝ＡＣ＝７，ＢＣ＝１０，那么ｃｏｓＢ的值是 ． １１．（２０２３北京海淀区月考）如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＣＢＡ＝９０°，以点 Ａ为圆心，适当长为半径画弧，分别 交ＡＢ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，再分别以点Ｄ，Ｅ为圆心，大于 １２ＤＥ 为半径画弧，两弧交于点Ｆ，作射线ＡＦ交边ＢＣ于点Ｇ， 若ＢＧ＝１，ＢＣ＝４，则ｃｏｓＣ的值为 ． １２．如图７，矩形 ＡＢＣＤ的四个顶点分别在直线 ｌ３， ｌ４，ｌ２，ｌ１上．若直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３∥ｌ４且间距相等，ＡＢ＝４， ＢＣ＝２，则ｔａｎα的值为 ． １３．如图 ８，在菱形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，∠Ａ＝６０°， 将菱形纸片翻折，使点 Ａ落在 ＣＤ的中点Ｅ处，折痕为ＦＧ，点 Ｆ，Ｇ分别在边 ＡＢ，ＡＤ上，则 ｃｏｓ∠ＥＦＧ的值为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（１０分）计算： （１）ｔａｎ ２６０°＋２ｃｏｓ４５° ２ｓｉｎ２６０°－ｃｏｓ６０° ； （２）（２０２３自贡月考）槡３ｔａｎ３０°＋槡 ２ ２ｃｏｓ４５°＋ ｓｉｎ２６０°·ｃｏｓ６０°． １５．（２０２３天津红桥区模拟，８分）如图 ９，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，求ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ， ｔａｎＡ的值． １６．（８分）如图１０，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１５， ｔａｎＡ＝ ４３．求： （１）Ｓ△ＡＢＣ； （２）∠Ｂ的余弦值． １７．（１０分）如图１１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝１５０°，ＡＣ＝ ４，ｔａｎＢ＝ １８． （１）求ＢＣ的长； （２）利用此图形求ｔａｎ１５°的值（精确到０．１，参考数 据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３，槡５≈２．２４）． １８．（１２分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： ｓｉｎα＝ｓｉｎ（１８０°－α），ｃｏｓα＝－ｃｏｓ（１８０°－α）． （１）求ｓｉｎ１２０°，ｃｏｓ１２０°，ｓｉｎ１５０°的值； （２）若一个三角形的三个内角的比是１∶１∶４，Ａ，Ｂ 是这个三角形的两个顶点，ｓｉｎＡ，ｃｏｓＢ是方程４ｘ２－ｍｘ－ １＝０的两个不相等的实数根，求ｍ的值及∠Ａ和∠Ｂ的 大小                                                                                                                                                                 ． 书 ４．１．１正弦 １．用计算器求ｓｉｎ２４°３７′的值，以下按键顺序正确 的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｓｉｎ２４ＤＭＳ３７ＤＭＳ ＝ Ｂ．ｓｉｎＤＭＳ２４ＤＭＳ３７ ＝ Ｃ．２ｎｄＦｓｉｎ２４ＤＭＳ３７ＤＭＳ ＝ Ｄ．ｓｉｎ２４ＤＭＳ３７ ＝ ２．（２０２３乌兰察布模拟）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°， ＡＢ＝２５，ｓｉｎＢ＝ ３５，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．９ Ｂ．１５ Ｃ．１８ Ｄ．１２ ３．用课本上介绍的科学计算器依次按键：４ｓｉｎ６ ０ ＝，显示的结果在哪两个相邻整数之间 （　　） Ａ．２～３ Ｂ．３～４ Ｃ．４～５ Ｄ．５～６ ４．（２０２３西安一模）如图１，ＡＤ是 △ＡＢＣ的高，若 ＢＤ＝ＡＤ＝２ＣＤ，则ｓｉｎＣ＝ （　　） Ａ．１２ Ｂ．２ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ． 槡２５ ５ ５．运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ４ · ５ － （ｓｉｎ４ ５ ） ｘ２ ＋槡１ ９ ＝，则计 算器显示的结果是 ． ６．（２０２３贵港模拟）已知锐角Ａ的正弦ｓｉｎＡ是一 元二次方程２ｘ２－７ｘ＋３＝０的根，则ｓｉｎＡ＝ ． ７．如图２，△ＡＢＣ的顶点都是正方形网格的格点， 则ｓｉｎ∠ＡＢＣ的值为 ． ８．如图３，在菱形 ＡＢＣＤ中， ＡＤ＝２，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，且点 Ｅ恰好为 ＡＢ的中点，则 ｓｉｎ∠ＢＣＥ＝ ． ９．如图４所示，在△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，Ｄ为 ＢＣ上一点，若 ∠ＡＤＣ＝４５°，ＢＤ＝２ＣＤ，求ｓｉｎ∠ＡＢＣ的值． ４．１．２余弦 １．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ＡＣ＝４，ＡＢ＝５，则 ｃｏｓＡ等于 （　　） Ａ．３４ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ４ ５ Ｄ． ４ ３ ２．（２０２３济南月考）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ ＝ １２∠Ａ，则ｃｏｓＡ等于 （　　） Ａ．槡３２ Ｂ． １ ２ Ｃ．槡３ Ｄ． 槡３ ３ ３．（２０２４临夏期中）在平面直角坐标系中，点 Ａ（ｓｉｎ３０°，－ｃｏｓ６０°）关于ｘ轴对称的点的坐标是 （　　） Ａ．（－１２，－ 槡３ ２） Ｂ．（ １ ２， １ ２） Ｃ．（１２， 槡３ ２） Ｄ．（－ １ ２，－ １ ２） ４．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｓｉｎＡ＝５１３，则ｃｏｓＡ 的值为 ． ５．（２０２３渭南一模）如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＣ＝８ｃｍ，ＡＢ的垂直平分线ＭＮ交ＡＣ于点Ｄ，连 接ＢＤ，若ｃｏｓ∠ＢＤＣ＝ ３５，则ＢＣ的长为 ｃｍ． ６．如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＡＢ，ＤＥ⊥ＡＢ， ∠Ａ＝∠Ｃ，ｃｏｓＣ ＝ ３５，ＢＥ ＝２，则 ｓｉｎ∠ＤＢＥ ＝ ． ７．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ， 若ＡＣ＝１５，ｃｏｓＡ＝ ４５．求ＢＤ，ＣＤ的长． ８．已知槡３２ ＜ｃｏｓＡ＜ｃｏｓＢ，且∠Ａ，∠Ｂ均为锐角， 求∠Ａ，∠Ｂ的取值范围． ４．２正切 １．（２０２３晋中模拟）１２ｔａｎ６０°的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． 槡３ ６ Ｃ． 槡３ ２ Ｄ．槡３ ２．（２０２３三门峡模拟）如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ｔａｎＡ＝２，则ｓｉｎＢ＝ （　　） Ａ．１２ Ｂ． ２槡５ ５ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ．槡５ ３．（２０２３潍坊模拟）如图２所示，△ＡＢＣ的顶点是 正方形网格的格点，则ｔａｎ∠ＡＢＣ的值为 （　　） Ａ．槡５１０ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡５ ５ ４．（２０２３济宁期中）如图３，在直角 △ＡＢＣ中，ＣＤ 是斜边ＡＢ上的高，ＡＤ＝４，ＢＤ＝９，则ＣＤ＝ ． ５．如图４，将矩形ＡＢＣＤ沿ＣＥ折叠，使得点Ｂ落在 ＡＤ边上的点 Ｆ处，若 ＣＢＣＤ ＝ ４ ３，则 ｔａｎ∠ＡＦＥ ＝ ． ６．（２０２４邯郸模拟）关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ ＋ｔａｎα ＝０有两个相等的实数根，则锐角 α ＝ ． ７．在△ＡＢＣ中，ｔａｎＡ＝１，ｃｏｓＢ＝槡２２，则△ＡＢＣ是 三角形． ８．计算： （１）２ｓｉｎ３０°－ｔａｎ４５°＋ｃｏｓ２３０°； （２）（２０２３松原一模）槡２·ｃｏｓ４５°－ｓｉｎ３０°＋ ｔａｎ２６０ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 °． 书 １３ｔ ５）ｃｍ，因为ＣＤ⊥ＤＥ，所 以 ∠ＣＤＥ ＝９０°，所以 ∠ＡＤＣ＋∠ＥＤＦ＝９０°，因 为 ∠ＢＡＣ ＝９０°，所 以 ∠ＡＤＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°，所 以∠ＡＣＤ＝∠ＥＤＦ，所以 Ｒｔ△ＡＣＤ∽ Ｒｔ△ＦＤＥ，所 以 ＡＣ ＤＦ＝ ＡＤ ＥＦ，即 ３ ４－１３５ｔ ＝ ｔ ６ｔ ５ ，所以ｔ＝ ２１３（秒）． ２６．（１）证明：因为 △ＡＢＣ∽△ＡＤＥ，所以∠Ｂ ＝∠Ｄ，ＡＢＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ，因为Ｆ， Ｇ分别是 ＢＣ，ＤＥ的中点， 所以 ＢＦ ＝ １２ＢＣ，ＤＧ ＝ １ ２ＤＥ，所以 ＢＦ ＤＧ ＝ １ ２ＢＣ １ ２ＤＥ ＝ＢＣＤＥ＝ ＡＢ ＡＤ，所以 △ＡＧＤ ∽△ＡＦＢ． （２）连接 ＡＦ，ＡＧ，取 ＢＣ的中点 Ｈ，连接 ＡＨ，因 为４ＣＦ＝ＢＣ，４ＥＧ＝ＥＤ， 所以 ＣＦ ＧＥ＝ ＢＣ ＥＤ，又因为 ＡＣ ＝ １２ＢＣ，则 ＣＦ＝ １ ４ＢＣ ＝ １２ＡＣ，设ＣＦ＝ａ，则ＢＣ ＝４ａ，所以ＢＨ＝ＣＨ＝ＡＨ ＝１２ＢＣ＝２ａ，ＡＣ＝２ａ，所 以ＡＣ＝ＣＨ＝ＡＨ＝２ａ，则 △ＡＣＨ是等边三角形，又 因为 ＣＦ＝ＦＨ＝ａ，所以 ＡＦ⊥ ＢＣ，因为 ∠ＡＢＣ＝ ３０°，所以 ＡＦ＝ １２ＡＢ，因 为 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ＡＢ ＡＤ ＝ ＢＣ ＥＤ ＝ ＡＣ ＡＥ，∠Ｃ ＝ ∠Ｅ，∠ＣＡＢ ＝ ∠ＥＡＤ ＝ ９０°，所以ＣＦＧＥ＝ ＡＣ ＡＥ．所以 △ＡＣＦ∽ △ＡＥＧ．所以ＡＦＡＧ ＝ＡＣＡＥ，∠ＣＡＦ＝∠ＥＡＧ．又 因为 ∠ＣＡＢ＝∠ＥＡＤ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＦＡＢ ＝ ∠ＧＡＤ． 所 以 ∠ＦＡＢ ＋ ∠ＢＡＧ＝∠ＧＡＤ＋∠ＢＡＧ， 即 ∠ＦＡＧ＝∠ＢＡＤ．又因 为 ＡＣ ＡＥ ＝ ＡＢ ＡＤ，所以 ＡＦ ＡＧ ＝ ＡＢ ＡＤ．所以△ＡＦＧ∽△ＡＢＤ． 所以 ＦＧ ＢＤ＝ ＡＦ ＡＢ＝ １ ２． （３）连接ＡＦ，由（２）得 ＦＧ ＢＤ＝ ＡＦ ＡＢ，所以ＦＧ＝ ＡＦ ＡＢ· ＢＤ，所以当 Ｇ在 ＡＦ上，且 ＡＦ⊥ＢＣ，Ｄ在ＡＢ上时，ＦＧ 取得最小值．因为ＡＣ＝４， ＡＥ＝２，△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ， 所以 ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ＝２，当Ｅ在 ＡＣ上，Ｄ在 ＡＢ上时，因为 ＣＦ ＣＢ＝ ＥＧ ＥＤ，所以 ＣＦ ＥＧ＝ ＢＣ ＥＤ＝ ２，又因为∠Ｃ＝∠ＡＥＤ＝ ６０°，ＡＣＡＥ ＝ ＣＦ ＥＧ＝２，所以 △ＡＥＧ∽ △ＡＣＦ．所 以 ∠ＡＧＥ＝∠ＡＦＣ．又因为 ＥＤ∥ＢＣ，所以Ａ，Ｇ，Ｆ三点 共线，所以 ＦＧ＝ＡＦ－ＡＧ ＝ＡＦ－１２ＡＦ＝ １ ２ＡＦ．所 以当ＡＦ⊥ＢＣ时，ＦＧ取得 最小值，最小值为 １ ２ＡＦ． 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝ ３０°，ＡＣ＝４，所以ＢＣ＝８， ＡＢ＝ 槡４３．在Ｒｔ△ＡＢＦ中， ∠ＡＢＣ＝３０°，所以 ＡＦ＝ １ ２ＡＢ＝ 槡２３．所以ＦＧ的最 小值为槡３． ! !""#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 !# / %&'( ! 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