第18期 27.1 图形的相似 27.2.1相似三角形的判定(1)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 上期２版 ２６．２实际问题与反比例函数 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１２ａ． ５．（１）５０；　（２）２０． 能力提高　６．（１）ｙＣＤ ＝ ９６０ ｘ（ｘ＞２４）． （２）老师安排不合理，理由：由题易得ｙＡＢ＝２ｘ＋２０，令ｙＡＢ＝ ２ｘ＋２０＝３８，解得ｘ＝９，令ｙＣＤ ＝ ９６０ ｘ ＝３８，解得ｘ≈２５．３，因为 ２５．３－９＝１６．３＜２３，所以老师安排不合理． 重点集训营 １．－３；　２．２；　３．－６；（－３，２）． ４．（１）反比例函数的表达式是ｙ＝ ６ｘ． （２）将ｙ＝３代入ｙ＝６ｘ中，得ｘ＝２，即点Ｎ的坐标是（２，３）， 因为四边形 ＯＡＢＣ是矩形，Ｂ（４，３），Ｍ（４，１．５），所以 ∠ＢＣＯ＝ ∠ＢＡＯ＝∠Ｂ＝９０°，ＢＮ＝４－２＝２，ＯＣ＝ＢＡ＝３，ＣＮ＝２，ＡＭ ＝ＢＭ＝１．５，所以Ｓ△ＭＯＮ ＝Ｓ矩形ＯＡＢＣ－Ｓ△ＯＣＮ －Ｓ△ＢＭＮ －Ｓ△ＯＡＭ ＝４×３－１２ ×３×２－ １ ２ ×２×１．５－ １ ２ ×４×１．５＝４．５． 上期３～４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ 二、１１．０；　１２．３５；　１３．ｙ２＜ｙ１＜ｙ３；　１４． ８ ３；　１５．（３＋ 槡４３）；　１６．２或１． 三、１７．反比例函数的关系式为ｙ＝－２ｘ，一次函数的关系 式为ｙ＝－ｘ－１． １８．（１）函数表达式为ｙ＝１２ｘ． （２）物距为４ｃｍ． １９．（１）反比例函数的表达式为ｙ＝ ６ｘ． （２）反比例函数ｙ＝ ６ｘ的图象经过点（１，６），（２，３），（６， １），画图略． （３）９２． ２０．（１）由图象得曲线 ＥＦ表达式为 ｙ＝４５０×４０ｘ ＝ １８０００ ｘ （０＜ｘ≤４５）．令ｘ＝４５，则ｙ＝ １８０００ ４５ ＝４００，即３月份 销售量为４００件，设该产品的生产成本为ａ元／件，则（６６－ａ）× １００＝（４５－ａ）×４００，解得ａ＝３８． 答：该产品的生产成本为３８元 ／件． （２）４月份该产品销售单价的范围是２７≤ｘ＜４５． ２１．（１）一次函数表达式为ｙ１ ＝ｘ＋２，反比例函数表达式 为ｙ２ ＝ ３ ｘ． （２）由图象可得，当ｙ１＞ｙ２时，ｘ的取值范围为 －３＜ｘ＜ ０或ｘ＞１． （３）△ＡＢＣ的面积为８． ２２．（１）反比例函数的表达式为ｙ＝ ６ｘ． （２）根据题意，得Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝４×４＝１６，ＥＦ＝４，设Ｐ（ｍ， ｎ），则Ｓ△ＰＥＦ ＝ １ ２ＥＦ·｜ｍ｜＝２｜ｍ｜＝８，解得ｍ＝±４，当ｍ ＝４时，ｎ＝ ６４ ＝ ３ ２，此时Ｐ（４， ３ ２）；当ｍ＝－４时，ｎ＝ ６ －４ ＝－３２，此时Ｐ（－４，－ ３ ２）． 综上可知，在反比例函数的图象上存在点Ｐ，使得△ＰＥＦ的 面积等于正方形 ＡＢＣＤ面积的一半，点 Ｐ的坐标为（４，３２）或 （－４，－３２）． ２３．（１）反比例函数的表达式为 ｙ ＝ ３ｘ． （２）由题意得Ａ（１，３），设一次函数 ｙ＝－ｘ＋４与ｘ轴交于点Ｅ，令ｘ＝０，则 ｙ＝４，令ｙ＝０，则ｘ＝４，所以Ｃ（０，４）， Ｅ（４，０），所以△ＯＡＢ的面积 ＝Ｓ△ＣＯＥ－ （下转１，４版中缝） 书 在近几年的各种考试中，网格中的格点三角形（顶 点在网格交点处）相似问题频频出现．这些试题，将相 似三角形的基础知识的考查寓于新颖的情境之中，既开 拓了同学们的视野，又考查了同学们知识的迁移、类比 能力，对培养同学们的创新意识和创新能力有很好的导 向作用．以下几例供同学们参考． 一、确定相似比 例１　如图１是一个４×４的正方 形网格，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１都是格点 三角形，并且 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则 △ＡＢＣ 与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 相 似 比 是 ． 解析：由勾股定理，得 Ａ１Ｃ１ ＝１， Ａ１Ｂ１ ＝２，ＡＣ＝槡２，ＡＢ＝ 槡２２，由△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１可 知，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比 ＝ＡＣ∶Ａ１Ｃ１ ＝ＡＢ∶ Ａ１Ｂ１ ＝槡２∶１． 故填槡２∶１． 二、识别相似三角形 例２　（２０２３山西模拟）在如图２所示的中国象棋 棋盘（各个小正方形的边长相等） 的格点上有 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｆ五点，则 能使格点 Ｄ，Ｆ与下列格点构成的 三角形与由格点 Ａ，Ｂ，Ｃ围成的 △ＡＢＣ相似的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．①处 Ｂ．②处 Ｃ．③处 　　Ｄ．④处 解析：根据网格特点和勾股定理可以求出对应三角 形的边长，ＢＣ＝１，ＡＢ＝槡５，ＡＣ＝ 槡２２，ＤＦ＝ 槡４２， Ａ．点Ｆ与①的距离为槡２，点Ｄ与①的距离为槡３４， 与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符合题意； Ｂ．点Ｆ与②的距离为２，点Ｄ与②的距离为 槡２５， 则 槡 ２５ 槡５ ＝２１＝ 槡４２ 槡２２ ，与△ＡＢＣ相似，故此选项符合题意； Ｃ．点Ｆ与③的距离为槡１３，点Ｄ与③的距离为槡５， 与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符合题意； Ｄ．点Ｆ与④的距离为槡１７，点Ｄ与④的距离为３， 与△ＡＢＣ不相似，故此选项不符合题意． 故选Ｂ． ! !" #$% ! ! ! " # " ! ! ! $ ! ! " % & ! " # ' $ ! $ 书 !"#$% ： &'()*#$+, - １　（２０２４ !"#$ ） ! " １， #$%&'()*+() ,-./01' ， 23 ＡＢＣＤ 4 ＥＦ ./5 ， 6723 ＥＦＣＤ 4 ＭＮ ./ ， 89:; ， <=>/& '23?@A ， BC ＡＤ ＡＢDE （　　） Ａ．０．６１８　　　Ｂ．槡２２ 槡　　　Ｃ．２　　　Ｄ．２ ./ ： F ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ｂ， GHIJ'KLM0 ＡＥ＝ ｂ２． NO23 ＡＥＦＢ∽23ＡＢＣＤ，PQＡＥＡＢ＝ ＡＢ ＡＤ． PQ ｂ ２ ａ ＝ ａ ｂ，R １ ２ｂ ２ ＝ａ２． PQ ｂ２ ａ２ ＝ ２１． PQ ｂ ａ ＝ 槡２ １，R ＡＤ ＡＢ＝ 槡２ １． ST Ｃ． !"#$0 ： 12%3#$()*#$+, - ２　 !" ２， U23 ＡＢＣＤ V ， W Ｅ，Ｆ XYUZ ＢＣ，ＡＤ [ ， 4 ＦＥ \]23 ＡＢＥＦ 5 ， 01' 23 ＥＣＤＦ ^+23 ＡＢＣＤ @ A ， _23 ＡＢＣＤ '`a*23 ＥＣＤＦ `a' ３ b ，ＡＢ＝４， c2 3 ＡＢＣＤ '`a ． ./ ： NO ＡＢ＝４， PQ ＣＤ＝ＡＢ＝４． NO Ｓ 23 ＡＢＣＤ ＝３Ｓ 23 ＥＣＤＦ， PQ ＡＦ＝２ＤＦ， PQ ＡＤ＝３ＤＦ． NO23 ＡＢＣＤ∽23ＤＦＥＣ， PQ ＡＢ ＤＦ＝ ＡＤ ＣＤ，R ４ ＤＦ＝ ＡＤ ４， PQ ３ＤＦ２ ＝１６， d0 ＤＦ＝ 槡４３３， PQ ＡＤ＝３× 槡４３３ ＝ 槡４３， PQ Ｓ 23 ＡＢＣＤ ＝ＡＢ·ＡＤ＝４× 槡４３＝ 槡１６３． ! ! ! & ( ' ) * $ " #! $! "! ! ' ) & " $ ! " ! &" '() 书 !"#$% １．（２０２４ !"#$ ） &' １， ()* ＡＢＣＤ + ， ,- . ＡＣ / ＢＤ 012" Ｏ，ＯＥ∥ＤＣ1ＢＣ2"Ｅ．3ＡＤ ＝８ｃｍ， 4 ＯＥ 567 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．（２０２４ %&'( ） &' ２，ＡＤ 8△ＡＢＣ5+.，Ｅ 8 ＡＤ 9:" ，ＡＥ＝ １４ＡＤ，ＢＥ5;6.1ＡＣ2Ｆ，4 ＡＦ ＦＣ5<7 ． ３． &' ３， =>* ＡＢＣＤ 5?67 ６，Ｅ 7 ＣＤ ?+ " ，Ｇ 7 ＢＣ ?9:" ， @A ＡＥ，ＤＧ， 012" Ｆ． 3 ＤＦ ＦＧ ＝ ４５，4ＦＥ56B8 ． ４． &' ４，ＡＣ，ＢＤ 12" Ｅ，ＡＥ＝１，ＥＣ＝２，ＤＥ＝ ３， C ＢＤ＝ D ，ＡＢ E/ ＣＤ FG ． ５．（２０２４ )*+$ ） &' ５， H △ＥＢＣ5?ＢＣ7?I=>* ＡＢＣＤ， ＡＤ / ＢＥ，ＣＥ JK12" Ｆ，Ｇ， 3 ＢＦ ＝ＥＦ，ＡＦ＝１，ＢＣ＝１２， 4 ＣＥ 567 ． ! ! !"#$ "#$% %&'()* *+,-./0+12 !" 3 "456768 "9>6?@ "ABCDE<'(&!)&"*!"&+ "F5GHIJKLMNOPQRSTU !(" V,W5XY+,-ABC "Z[A\I,(,,,+ "O]C^5_`<,(&!"&"*!!"& ,(&!"&"*!"(*abcd "^e<fgF5O]CHhijklmZnaod "Z[^e_`<!!!$& "pqrs^tu^vw^ "F5xjklLaOdy0z{|5 "}~€p‚V<!#,,,,#,,,!!, "}~CDE<,(&!"&"*!"&& "F5ƒ&"„…b†‡ˆ‰Š‹ŒaŽOR‘’“”•–—˜ !! Vd™‡š›‰‡œžŸ šfgF5O]CHh¡¢ JK£¤¥-¦§ JK£¥0¨–—b†©ª JK£¥«¬€‰Š‹Œ¦­ ,W5XAB?@ X®<¯°± k²³´µ¶?@·V<-.!#),*,*/̧ 0¹ Zº»V<"!)!&* 书 １． !" １， #$% ＡＢＣＤ & ， ' Ｅ # ＡＢ ( ， ) ＢＥ＝ ２ＡＥ， *+ ＥＤ， ' Ｆ , ＥＤ -&' ， *+ ＡＦ，ＢＦ，ＦＣ， . ∠ＢＦＣ＝９０°，ＢＦ＝５，/ＡＦ-0, ． ２． !" ２， 12% ＡＢＣＤ 34% ， ' Ｅ 3 ＣＤ -&' ， *+ ＡＥ， 5△ＡＤＥ6ＡＥ789△ＡＦＥ，*+ＢＤ，:; < ＡＦ =' Ｍ， < ＡＥ =' Ｎ． . ＡＦ⊥ＣＤ='Ｇ，ＭＮ＝ 槡２，/ＡＮ-0>, ． ! ! " $ ! ' & ) 书 !"#$#%&'()*+,-./01234 56789*+):1 ， ;<)=>2?@A7B)C D#% ． EFGHIJFKL ， MN;O;<8PQ ． ! 、“ "# ” $%&'()* １． *+,- ： HRS#TUV!"#WX ， WY) CD#%&'( ． ２． ZA １， [ ｌ１∥ｌ２∥ｌ３8，\]Y^ ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥＥＦ．_'()`a，b]Y^ ＢＣ ＡＢ＝ ＥＦ ＤＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ， ＡＣ ＡＢ＝ ＤＦ ＤＥ， ＢＣ ＡＣ＝ ＥＦ ＤＦ， ＡＣ ＢＣ＝ ＤＦ ＥＦ． cdefgh ， ij ６ I'(]klUmno)7 pq)rstuv ： i E ＝i E ， E i ＝E i ， i w ＝i w ， w i ＝ w i ， E w ＝E w ， w E ＝w E ． xy ， z{'()`a ， b]Y ^ ＡＢ ＤＥ＝ ＢＣ ＥＦ＝ ＡＣ ＤＦ，|}~“  € ＝ € ”． + １　（２０２４ !"#$ ） UI‚ƒ „…†ZA ２ Wv ， ‡ˆ ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ， ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ＝５０ｃｍ，ＢＤ＝４５ｃｍ， ‰ ＢＦ )Šc ｃｍ． ,- ： ‹c ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，WŒＡＣＡＥ＝ ＢＤ ＢＦ，‹cＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ＝５０ｃｍ，ＢＤ ＝４５ｃｍ， WŒ ３０ ３０＋５０＝ ４５ ＢＦ，WŒＢＦ＝１２０（ｃｍ）．Ž １２０． . 、 /012$%345 １． 01 ： !"f7U‘)S#’/“H‘5 ” ， XY)CD#%&'( ． ２． ‡ˆ△ＡＢＣ，ＤＥ2X#，ij01•–dZA３ Wv)—˜™ ， ]Œnošc “Ａ” ›œ “Ｘ” › ， iF )žNŸ lf¡m*+A7 ． + ２　（２０２４ %&#$ ） ZA ４， ¢ △ＡＢＣB，∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，£ Ｄc ＡＢ ‘)B£ ，ＤＥ⊥ＢＣfＥ，¤ＢＥ＝ １ ２，‰ＡＣ)Šc ． ,- ： ¥ ＡＦ⊥ＢＣf£Ｆ，‹cＤＥ ⊥ＢＣf£Ｅ，WŒＡＦ∥ＤＥ，WŒＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ，‹c£Ｄc ＡＢ ‘)B£ ， WŒ ＢＤ ＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ＝１，WŒＢＥ＝ＥＦ＝ １ ２， ‹c∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，WŒ△ＡＢＣc¦‘7，WŒ ＢＦ＝ＣＦ＝１， WŒ ＡＣ＝ＢＣ＝２． Ž ２． 书 !"#$%& ， !'#$ ()*+,-.'/01%2 .'/ ， %2.'/#$'+ )01%2) ． 34567 ， , -.'/%289:;< ：① #$"%& ；②#$'()*． =>?6@%2.'/+'A " ， BCD*EF ． ! １　 G H １， I ' / ＡＢＣＤ∽ I'/ ＧＦＥＨ，J ∠Ａ ＝∠Ｇ＝７０°，∠Ｂ＝６０°，∠Ｅ ＝１２０°，ＤＣ＝２４，ＨＥ＝１８，ＨＧ ＝２１． @∠Ｄ，∠Ｆ+KLMＡＤ +N ． " ： OPI'/ ＡＢＣＤ∽ I'/ ＧＦＥＨ，∠Ｂ＝ ６０°，∠Ｅ＝１２０°，QR∠Ｃ＝∠Ｅ＝１２０°，∠Ｆ＝∠Ｂ＝ ６０°， OP∠Ａ＝∠Ｇ＝７０°，QR∠Ｄ＝１１０°，OPI' / ＡＢＣＤ∽I'/ ＧＦＥＨ，QRＤＣＨＥ＝ ＡＤ ＨＧ，QR ２４ １８＝ ＡＤ ２１，STＡＤ＝２８．QR∠Ｄ＝１１０°，∠Ｆ＝６０°，ＡＤ＝ ２８． ! ２　 GH ２， UI'/ ＡＢＣＤ +' ＡＢ VWXYZ Ｏ（ !"# Ａ，Ｂ $% ）， [\ ＯＣ，ＯＤ， ]^X ＯＡ， ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ +_Z Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， [ \ Ａ′Ｄ′，Ｄ′Ｃ′，Ｃ′Ｂ′， I ' / Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′̀ I'/ ＡＢＣＤ %2a ？ Pbc ？ " ： I'/ Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽ I'/ ＡＢＣＤ，d3：OP Ａ′，Ｄ′ e ＯＡ，ＯＤ +_Z ， QR Ａ′Ｄ′∥ ＡＤ，Ａ′Ｄ′＝ １ ２ＡＤ，QR Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２，9d Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ １ ２， QR Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２，OP Ａ′Ｄ′∥ ＡＤ， QR ∠ＯＡ′Ｄ′＝∠ＯＡＤ，∠ＯＤ′Ａ′＝∠ＯＤＡ，9d ∠ＯＤ′Ｃ′＝ ∠ＯＤＣ，∠ＯＣ′Ｄ′＝ ∠ＯＣＤ，∠ＯＣ′Ｂ′＝ ∠ＯＣＢ，∠ＯＢ′Ｃ′＝∠ＯＢＣ，QR ∠Ａ′Ｄ′Ｃ′＝∠ＡＤＣ， ∠Ｄ′Ｃ′Ｂ′＝∠ＤＣＢ，QRI'/ Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽ I'/ ＡＢＣＤ． ! ３　（２０２３ &'() ） GH ３， fY-g/ ＡＢＣＤ h](i- j&+Lg/ ． （１） klg/ ＡＢＣＤ +N ＡＢ ＝６， m ＢＣ＝４． n ： o-Lg/` lg/%2a ？ pEFd3 ． （２） klg/+N ＡＢ＝ａ， m ＢＣ＝ｂ， Jo-Lg /`lg/%2 ， @g/N ａ̀ m ｂ $;<+qrs ． " ：（１） t%2 ． d3 ： OPlg/ ＡＢＣＤ +N ＡＢ ＝６， m ＢＣ＝４， QRh]uLg/+NP ＡＤ＝４， m P ＡＥ＝２， OP ＡＢ ＢＣ＝ ６ ４≠ ４ ２ ＝ ＡＤ ＡＥ，vlg/`o- Lg/+'t()* ， QRo-Lg/`lg/t% 2 ． （２） OPlg/+N ＡＢ＝ａ， m ＢＣ＝ｂ， QRh]u Lg/+NP ＡＤ＝ｂ， mP ＡＥ＝ ａ３，wOPo-Lg/ `lg/%2 ， QR ＡＢ ＢＣ＝ ＡＤ ＡＥ，QR ａ ｂ＝ ｂ ａ ３ ， v ａ２＝３ｂ２． 书 （上接４版参考答案） Ｓ△ＣＯＡ－Ｓ△ＢＥＯ ＝４，因为 △ＡＣＤ的面积是△ＯＡＢ 面积 的 ２倍， 所 以 △ＡＣＤ的面积为 ８，设 Ｄ（ｔ，０），则ＤＥ＝｜４－ｔ｜， 所以 Ｓ△ＡＣＤ ＝Ｓ△ＣＤＥ － Ｓ△ＡＤＥ ＝８，所以 １ ２｜４－ ｔ｜×４－１２｜４－ｔ｜×３ ＝８，解得 ｔ＝－１２或 ２０．所以点 Ｄ的坐标为 Ｄ（－１２，０）或 Ｄ（２０， ０）． （３）过点 Ａ作 ｘ轴 的平行线 ＣＤ，作 ＦＣ⊥ ＣＤ于点Ｃ，ＥＤ⊥ＣＤ于 点Ｄ，设Ｅ（ａ，３ａ）（ａ＞ １）．因为 Ａ（１，３），所以 ＡＤ＝ａ－１，ＤＥ＝３－ ３ ａ．由题意得ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＦＡＥ ＝ ９０°， 所 以 ∠ＥＡＤ＋∠ＣＡＦ＝９０°． 因为∠ＥＡＤ＋∠ＡＥＤ＝ ９０°，所 以 ∠ＣＡＦ ＝ ∠ＡＥＤ，所以 △ＡＣＦ≌ △ＥＤＡ，所以 ＣＦ＝ＡＤ ＝ａ－１，ＡＣ＝ＤＥ＝３－ ３ ａ，所以Ｆ（ ３ ａ－２，４－ ａ）．因为点 Ｆ恰好也落 在这个反比例函数的图 象上，所以（ ３ ａ －２）（４ －ａ）＝３， 解得ａ＝６或ａ＝ １（舍去），所以 Ｅ（６， １ ２）． ２４．（１）因为四边 形 ＯＣＢＡ为矩形，点 Ｂ 的坐标为（４，２），点 Ｄ 为ＡＢ的中点，所以点Ｄ ! " #! !!!" " $"% !" ","#&!,'(!( !"#$%&'" ()*+,-'. ¼½¾ #š$@+¿d ########################################## # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ########################################## " $ ! ' & ) + ! ! ! " $ !' & ) ! ( " $ ! ' ) ! ( " $ ! ') " $ ! ' ) ! ! " $ ! ' ) & , ! , " , ( ÀÁÂÃÄÅÆÇȩɀÊË ! " & ) ' ! $ " ! # " $ ! ' ) 书 【!"】 １．!"Ｆ#ＢＣ$%&'ＢＣ("Ｈ，)*+,& -&./012345ＢＨ＝ＨＣ，6)*7823 5ＢＣ，019:5ＡＥ，6;!<=>=?@AB$ C&D(@A$EFGHI4． ２．JKＡＣ'ＢＤ("Ｏ，JKＣＦ，ＤＦ，ＮＦ，!" Ｃ#ＮＦ$%&，'ＮＦ("Ｈ，L)*MN$OPQ RS?$OP，5T△ＡＯＮUDV<=>=?，WT XA?ＣＨＮＭUYZ?，[\5]△ＤＦＮUDV< =>=?，ＦＮ＝２ＯＮ＝２ＯＡ，)*ＡＯ ＦＮ＝ＯＭ ＭＮ＝１ ２ ， ^\_TＡＮ$`a． ÌÍ#F5Î Ï aÐ1ÑÒŽ3d #################### " $ ! ' ) ! # " $ ! ' - ) ! ! " $ ! ' ) & + ! ( & " $ ! ' ) ! " " $ ! ' & ) * ( + ! " ! & " $ ! ' & ) + " $ ! ' ! " - '" !" "" $" ! Ó K Ô Õ Ö ! JK ×ØÙ ) *+ ¯°± , ) *+ ÚÛÜ , # - .+ 'Ù± , ) *+ Ý Þ , ) *+ ß à -./01+ ' á 23/01+ 'âã -4506+ ä å -4578+ æçè Ûéê ë ì íPî ï ð ñò% Úóô ïõâ ö ç ÷øî ùú° ëûü >ûý Ú°þ ÿà+ !"ì # % $%& Û'( 91-.+ ëûü 91:;+ ùú° <=-.+ )û* >?-.+ +,- @ABC+ ./0 书 ２７．１图形的相似 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３六安期末）下列多边形一定相似的是 （　　） Ａ．两个等腰三角形 Ｂ．两个平行四边形 Ｃ．两个正五边形 Ｄ．两个六边形 ２．（２０２３石家庄模拟）如图 １，四边形 ＡＢＣＤ和 ＥＦＧＨ相似，则α和ｘ的大小分别为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７５°，３０ Ｂ．７５°，３３ Ｃ．８０°，３０ Ｄ．８０°，３３ ３．如图２，将一张ＡＢＣＤ（ＡＤ＜ＡＢ＜２ＡＤ）纸片， 以它的一边为边长剪去一个菱形ＡＤＥＨ，在余下的平行 四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形 ＦＥＣＧ， 若剪去两个菱形后所剩下的 ＦＨＢＧ∽ ＡＢＣＤ，则 ＡＢＣＤ的相邻两边ＡＤ与ＡＢ的比值是 ． ４．（２０２４临汾期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人 们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜 叶红于二月花．”如图３是两片形状相同的枫叶图案， 则ｘ的值为 ． ５．如图４，矩形相框的外框矩形的长为１２ｄｍ，宽为 ８ｄｍ，上下边框的宽度都为ｘｄｍ，左右边框的宽度都为 ｙｄｍ；若内边框矩形和外边框矩形相似，则 ｘ，ｙ应符合 的条件是 ． ６．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１６，Ｅ，Ｆ 分别是ＡＢ，ＣＤ上的点，且ＡＥ＝ＤＦ＝８，两动点Ｍ，Ｎ都 以２ｃｍ／ｓ的速度分别从Ｃ，Ｆ两点沿ＣＢ，ＦＥ向Ｂ，Ｅ两点 运动，判断当Ｍ，Ｎ运动多长时间能使矩形 ＣＦＮＭ与矩 形ＡＥＦＤ相似，并证明你的结论． ２７．２．１相似三角形的判定（第一课时） １．（２０２３渭南期末）如图１，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，两条直线 与这三条平行线分别交于点 Ａ，Ｂ，Ｃ和 Ｄ，Ｅ，Ｆ，已知ＡＢＢＣ ＝ ３２，若ＤＦ＝１０，则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６ ２．如图２，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，点Ｇ是ＥＦ的中点，ＥＦＢＣ＝ ３ ５，若ＥＦ＝６，则ＡＤ的长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．１３２ Ｃ．７ Ｄ． １５ ２ ３．（２０２３长春期末）如图３，练习本中的横格线都 平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，若 ＡＢ＝ ２ｃｍ，则线段ＢＣ＝ ｃｍ． ４．如图４，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＡＤ上一点，且 ＡＤ＝４ＡＥ，连接ＢＥ并延长交ＡＣ于点Ｆ，过点Ａ作ＡＧ∥ ＢＣ交ＢＦ的延长线于点Ｇ，则ＧＦ∶ＢＥ＝ ． ５．如图５，ＡＢ∥ＧＨ∥ＣＤ，点Ｈ在ＢＣ上，ＡＣ与ＢＤ 交于点Ｇ，ＡＢ＝２，ＣＤ＝３，求ＧＨ的长． 能力 ６．如图６，已知ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，它们依次交直线ｌ１， ｌ２，ｌ３于点Ａ，Ｂ，Ｃ和点Ｄ，Ｅ，Ｆ和点Ｑ，Ｈ，Ｐ，ｌ２与ｌ３相交 于ＤＥ的中点Ｇ，若ＡＢＡＣ＝ ２ ７． （１）如果ＥＦ＝１０，求ＤＥ，ＤＦ的长； （２）如果ＱＧ＝３，求ＰＨ的长． ２７．２．１相似三角形的判定（第二课时） １．（２０２４运城期中）已知 △ＡＢＣ三边长分别是１， 槡２，槡３，与△ＡＢＣ相似的三角形三边长可能是 （　　） 槡Ａ．２，２，槡６ Ｂ．槡 ２ ２，１，槡３ Ｃ．１，槡６２，槡３ Ｄ． 槡３ ３，１，槡３ ２．如图１，在４×４的正方形网格中，是相似三角形 的是 （　　） Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．①和③ Ｄ．无法确定 ３．已知一个三角形的三边长分别为 ６ｃｍ，９ｃｍ， ７．５ｃｍ，另一个三角形的三边长分别为１２ｃｍ，１５ｃｍ， ｃｍ时，这两个三角形相似． ４．在如图２所示的格点图中有５个格点三角形，分别 是：①△ＡＢＣ，②△ＡＣＤ，③△ＡＤＥ，④△ＡＥＦ，⑤△ＡＧＨ，其 中与⑤相似的三角形是 （只填序号）． ５．如图 ３，在平面直角坐标系中，已知 Ａ（３，０）， Ｂ（０，４），Ｃ（４，２），作ＣＤ⊥ｘ轴，垂足为点 Ｄ，连接 ＡＢ， ＢＣ，ＡＣ．求证：△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． ２７．２．１相似三角形的判定（第三课时） １．（２０２４成都月考）如图 １，下列条件能判定 △ＡＤＢ∽△ＡＢＣ的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＡＢ·ＡＣ＝ＡＤ·ＢＣ Ｂ．ＡＢ·ＣＤ＝ＢＣ·ＢＤ Ｃ．ＡＢ２ ＝ＡＤ·ＡＣ Ｄ．ＡＢ·ＢＣ＝ＡＤ·ＤＢ ２．下列四个三角形中，与如图２中△ＡＢＣ相似的是 （　　） ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，点Ｐ是ＡＢ 边的中点，点Ｑ是ＢＣ边上一个动点，当ＢＱ＝ 时，△ＢＰＱ与△ＢＡＣ相似． ４．如图４，在已建立直角坐标系的４×４的正方形方 格中，△ＡＢＣ是格点三角形（三角形的三个顶点是小正 方形的顶点），若以格点 Ｐ，Ａ，Ｂ为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似（全等除外），则格点Ｐ的坐标是 ． ５．（２０２４合肥月考）如图５，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ 是ＡＤ的中点，点Ｆ在ＣＤ上，且ＣＦ＝３ＦＤ． （１）求证：△ＡＢＥ∽△ＤＥＦ； （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似吗？为什么 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列每组图形是相似图形的为 （　　） ２．在比例尺为１∶３６０００的某市旅游地图上，某条道 路的长为５ｃｍ，则这条道路的实际长度为 （　　） Ａ．０．１８ｋｍ Ｂ．１．８ｋｍ Ｃ．１８ｋｍ Ｄ．１８０ｋｍ ３．如图１，某位同学用带有 刻度的直尺在数轴上作图，若 ＰＱ∥ＭＮ，点Ｑ，点Ｍ在直尺上， 且分别与直尺上的刻度１和３对 齐，在数轴上点 Ｎ表示的数是 １０，则点Ｐ表示的数是 （　　） Ａ．５２ Ｂ．３ Ｃ． １０ ３ Ｄ．５ ４．下列各组图形必相似的是 （　　） Ａ．任意两个等腰三角形 Ｂ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个 三角形 Ｃ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三 角形 Ｄ．两边为４和５的直角三角形与两边为８和１０的直 角三角形 ５．如图２，八个完全相同的小长方形拼成一个正方 形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直 尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角 形是 （　　） Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．①和③ Ｄ．①和④ ６．如图３，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＢＣ上，且ＥＦ∥ＣＤ，Ｇ为边ＡＤ延长线上一点，连接 ＢＧ，则图中与△ＡＢＧ相似的三角形有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ７．如图４，矩形ＥＦＧＨ的四个顶点分别在菱形ＡＢＣＤ 的四条边上，ＢＥ＝ＢＦ．将△ＡＥＨ，△ＣＦＧ分别沿边ＥＨ， ＦＧ折叠，当重叠部分与菱形ＡＢＣＤ相似且相似比为１∶４ 时，则 ＥＢ ＡＥ的值为 （　　） Ａ．５３ Ｂ． ３ ５ Ｃ． １ ４ Ｄ．４ ８．（２０２３重庆沙坪坝区期 末）如图５，已知正方形 ＡＢＣＤ 的边长为ａ，延长ＢＣ到点Ｅ，使 ＣＥ＝ＢＣ，取ＣＤ的中点Ｆ，连接 ＤＥ，ＢＦ，ＤＥ与 ＢＦ的延长线相 交于点Ｇ，则ＢＧ的长为 （　　） Ａ．槡５３ａ Ｂ． 槡２５ ３ａ Ｃ． 槡６ ３ａ Ｄ． 槡２６ ３ａ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图６，若ＡＤＡＣ＝ ＡＥ ＡＢ，添加一个条件使 △ＡＤＥ∽ △ＡＣＢ，则添加的条件是 ． １０．（２０２４盘锦模拟）五线谱是一种记谱法，通过在 五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他 记号来记载音乐．如图７，Ａ，Ｂ，Ｃ为直线与五线谱横线相 交的三个点，若ＡＣ＝１２，则ＡＢ的长为 ． １１．已知两个相似多边形的相似比为３∶４，且它们 的周长之差是６，则较小的多边形的周长是 ． １２．如图８所示，棋盘上有 Ａ，Ｂ，Ｃ三个黑子与 Ｐ，Ｑ 两个白子，要使△ＡＢＣ∽△ＲＰＱ，则第三个白子Ｒ应放 的位置是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． １３．如图９，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ，且 ＡＢ＝４，ＡＣ＝６．当ＡＤ＝ 时，△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． １４．如图１０是一张矩形纸 片ＡＢＣＤ，点 Ｅ为 ＡＤ的中点， 点Ｆ在ＢＣ上，把该纸片沿ＥＦ 折叠，点Ａ，Ｂ的对应点分别为 Ａ′，Ｂ′，Ａ′Ｅ与ＢＣ相交于点Ｇ， Ｂ′Ａ′的延长线过点Ｃ．若ＢＦＧＣ＝ ２ ３，则 ＡＤ ＡＢ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１１，点Ｅ是菱形ＡＢＣＤ对角线ＣＡ的 延长线上任意一点，以线段 ＡＥ为边作一个菱形 ＡＥＦＧ， 且菱形ＡＥＦＧ∽ 菱形 ＡＢＣＤ，连接 ＥＢ，ＧＤ，求证：ＧＤ＝ ＥＢ． １６．（１０分）如图１２，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ上的一点， ＢＤ＝ ４３，ＡＢ＝３，ＢＣ＝２． （１）△ＢＣＤ与△ＢＡＣ相似吗？请说明理由． （２）若ＣＤ＝ ５３，求ＡＣ的长． １７．（２０２４沧州模拟，１０分）如图１３，在四边形ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＣＤ上，连接 ＥＣ，ＥＦ，ＥＣ平分 ∠ＦＥＢ，ＥＦ∥ＢＣ． （１）求证：ＥＢ＝ＢＣ； （２）若ＡＤ∥ＥＦ，ＤＦ＝ＦＣ，请判断ＡＥ与ＢＣ的大小 关系，并说明理由． １８．（１０分）如图１４，点Ｂ，Ｄ，Ｅ在一条直线上，ＢＥ与 ＡＣ相交于点Ｆ，ＡＢＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ． （１）求证：∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ； （２）若∠ＢＡＤ＝２１°，求∠ＥＢＣ的度数； （３）连接ＥＣ，求证：△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ． １９．（１２分）如图１５－①，将Ａ４纸进行２次折叠后， 第一次的折痕与 Ａ４纸较长的边重合，如图１５－②，将 １张Ａ４纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开， 可得２张Ａ５纸． （１）求Ａ４纸较长边与较短边的比； （２）Ａ４纸与Ａ５纸是否为相似图形？请说明理由． ２０．（１２分）如图１６，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ为 ＢＣ上一 点，点Ｐ在ＡＤ上，过点Ｐ作ＰＭ∥ＡＣ交ＡＢ于点Ｍ，作ＰＮ ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｎ． （１）若点Ｄ是ＢＣ的中点，且ＡＰ∶ＰＤ＝２∶１，求ＡＭ∶ ＡＢ的值； （２）若点Ｄ是ＢＣ的中点，试证明ＡＭＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ； （３）若点Ｄ是ＢＣ上任意一点，试证明ＡＭＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ                                                                                                                                                                 ． 书 的坐标为（２，２），因为 反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的 图象经过点Ｄ，所以ｋ＝ ４，所以反比例函数的表 达式为ｙ＝ ４ｘ．由题意 得，点Ｅ的横坐标为４， 且点Ｅ在反比例函数 ｙ ＝４ｘ的图象上，则点Ｅ 的纵坐标为１，所以点Ｅ 的坐标为（４，１）． （２）设点Ｍ的坐标 为（０，ｎ），因为点 Ｄ的 坐标为（２，２），点Ｅ的坐 标为（４，１），点Ｂ的坐标 为（４，２），所以ＯＣ＝ＡＢ ＝４，ＯＡ＝ＢＣ＝２，ＡＤ ＝２，因 为 Ｓ△ＯＤＥ ＝ Ｓ矩形ＯＣＢＡ－Ｓ△ＯＡＤ－Ｓ△ＯＣＥ －Ｓ△ＤＢＥ ＝２×４－ １ ２× ２×２－１２×４×１－ １ ２ ×２×１＝３，所以Ｓ△ＭＢＯ ＝Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２×４×ｎ＝ ３，解得ｎ＝ ３２，所以点 Ｍ的坐标为（０，３２）． （３）存在，①当ＤＥ 为平行四边形的边时， ＤＥ＝ＰＱ，ＤＥ∥ＰＱ，因 为点 Ｄ的坐标为（２， ２），点 Ｅ的坐标为（４， １），点Ｐ的纵坐标为０， 所以易求得点Ｑ的纵坐 标为 ±１，对于ｙ＝ ４ｘ， 当ｙ＝１时，ｘ＝４（不合 题意，舍去），当 ｙ＝ －１时，ｘ＝－４，则点 Ｑ 的坐标为（－４，－１）； 当ＤＥ为平行四边形的 对角线时，因为点 Ｄ的 坐标为（２，２），点Ｅ的坐 标为（４，１），所以ＤＥ的 中点坐标为（３，３２），设 点Ｑ的坐标为（ａ，４ａ）， 点Ｐ的坐标为（ｘ，０），则 ４ ａ ２ ＝ ３ ２，解得ａ＝ ４ ３， 所以点 Ｑ的坐标为 （ ４ ３，３）． 综上所述，以点 Ｐ， Ｑ，Ｄ，Ｅ为顶点的四边 形为平行四边形时，点 Ｑ的坐标为（－４，－１） 或（ ４ ３，３）．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