第10期 3.4 分式的通分 3.5 分式的加法与减法 3.6 比和比例（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 上期２版 ３．１分式的基本性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．Ｂ；　５．２； ６．（１）２ａ２＋２ａｂ，（２）－ａ－ｂ； ７．４ａ－５ｂ２ａ＋３ｂ． ８．（１）乙车跑完Ａ，Ｂ两地的路程需要 ｖｖ－５小时． （２）批发商共赚３０００ａ 元． ３．２分式的约分 基础训练　１．Ａ；　２．②④． ３．（１）－６ａ；　（２）１ｂ；　（３） １ ｘ２＋２ｘ＋１ ． ４．原式 ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋２ｙ）ｘｙ（ｘ＋２ｙ） ＝ ｘ＋ｙ ｘｙ ＝ ６ ９ ＝ ２ ３． ３．３分式的乘法与除法 ３．３．１分式的乘除运算 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．２ａ－３ｂ２ａｂ ． ４．（１） ２ａ－４；　（２） ｘ＋３ｙ ｘ＋ｙ；　（３） １ ｘ－２． ３．３．２分式的乘方运算 基础训练　１．Ｂ；　２．ｘ ｙ３ ． ３．（１）－３ｘ ３ ４ｙ；　（２）－ ９ｘ２ ｙ３ ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ 二、９． １ａ－２；　１０．－６；　１１．－４；　 １２．－ ｘ－ｙ ｘ２＋ｘｙ ；　１３．２；　１４．－１或８． 三、１５．（１）－ ２ ３ａ３ｂ ；　（２）４ｘ＋６；　（３） １ｘ＋ｙ－２． １６．原式 ＝２（ａ＋ｂ） ２ ３ａｂ ． 当ａ＝２，ｂ＝－１时，原式 ＝－１３． １７．因为ａｂｃ＝１，所以 １ａｂ＋ｂ＋１＝ ａｂｃ ａｂ＋ｂ＋ａｂｃ＝ ａｃ ａ＋１＋ａｃ， １ ｂｃ＋ｃ＋１＝ ａ ａ（ｂｃ＋ｃ＋１）＝ ａ ａｂｃ＋ａｃ＋ａ ＝ ａ１＋ａｃ＋ａ． １８．（１）根据题意，得 ａ（ｖ甲 ＋ｖ乙）＝ａ， ｂ（ｖ甲 －ｖ乙） { ＝ａ．解得 ｖ甲 ＝ａ＋ｂ２ｂ，ｖ乙 ＝ ｂ－ａ ２ｂ． （２）因为 ｖ甲 ｖ乙 ＝ａ＋ｂｂ－ａ＝ ７ ３，所以 ａ＋ｂ＝ ７ ３ｂ－ ７ ３ａ．所以 １０ ３ａ＝ ４ ３ｂ．所以 ａ ｂ ＝ ２ ５． （３） ｔ１ ｔ２ ＝ ａａ＋ｂ ２ｂ ÷ ａ ２×ｂ－ａ２ｂ ＝ ２ａｂａ＋ｂ÷ ａｂ ｂ－ａ＝ ２ａｂ ａ＋ｂ· ｂ－ａ ａｂ ＝ ２ｂ－２ａ ａ＋ｂ． 附加题　 ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）．证明如下： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］［ａ２－ａ（ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）２］ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ＝ ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． 书 分式的运算是本节的重点知识，有关分式运算的新 题型层出不穷，现撷取几例分析如下，供同学们参考． 一、说理题 例１　 坤坤在求（ ｘ ２－４ ｘ２－４ｘ＋４ ＋２－ｘｘ＋２）÷ ｘ ｘ－２－ ８ ｘ＋２的值时，把ｘ＝２０２３看成了ｘ＝７０２３，答案也正 确，请问为什么？ 分析：此类问题要先化简，通过化简可发现最后的 结果里没有ｘ项，所以ｘ的值不影响结果． 解：原式 ＝［（ｘ＋２）（ｘ－２） （ｘ－２）２ ＋２－ｘｘ＋２］· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝（ｘ＋２ｘ－２－ ｘ－２ ｘ＋２）· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝（ｘ＋２） ２－（ｘ－２）２ （ｘ－２）（ｘ＋２） · ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝ ８ｘ （ｘ－２）（ｘ＋２）· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝ ８ｘ＋２－ ８ ｘ＋２＝０． 所以该式子的值与ｘ的值无关．所以无论ｘ＝２０２３ 还是ｘ＝７０２３，他算出的结果都正确． 二、判断题 例２　有一道分式化简题： ２ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ，甲、乙两 位同学的解答过程分别如下： 甲同 学： ２ ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ２＋ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ｘ＋７ ｘ２－１ ； 乙同 学： ２ ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ ２（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝２ｘ－２＋ｘ＋５＝３ｘ＋３． 下列说法正确的是 （　　） Ａ．只有甲同学的解答过程正确 Ｂ．只有乙同学的解答过程正确 Ｃ．两人的解答过程都正确 Ｄ．两人的解答过程都不正确 分析：根据异分母分式的加法法则比较甲、乙两人 的解答过程即可． 解：原式 ＝ ２（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ２ｘ－２＋ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ３ｘ＋３ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ３（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ３ｘ－１．所以两人的解答过程都不正确．故选Ｄ． 三、开放题 例３　先化简：（１－３ａ－１０ａ－２）÷ ａ－４ ａ２－４ａ＋４ ，然后选 择一个合适的ａ值代入求值． 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化 简，再选出合适的 ａ的值代入进行计算即可，在选择合 适的ａ求值时要保证选取的ａ不能使得分式的分母为０． 解：原式 ＝ａ－２－３ａ＋１０ａ－２ · （ａ－２）２ ａ－４ ＝－２（ａ－４）ａ－２ · （ａ－２）２ ａ－４ ＝－２（ａ－２）＝－２ａ＋４． 根据分式有意义的条件，得ａ－２≠０，ａ－４≠０． 解得ａ≠２且ａ≠４． 答案不惟一，如：当ａ＝３时，原式 ＝－２ａ＋４＝－２ ×３＋４＝－２． 书 分式的加减运算应用广泛，下面举例加以说明，供 同学们参考． 一、比较大小 例１　已知ｂ＞ａ＞０，则分式 ａｂ与 ａ＋１ ｂ＋１的大小关 系是 （　　） Ａ．ａｂ ＜ ａ＋１ ｂ＋１ Ｂ． ａ ｂ ＝ ａ＋１ ｂ＋１ Ｃ．ａｂ ＞ ａ＋１ ｂ＋１ Ｄ．无法确定 分析：利用异分母分式的减法法则，从而得到 ａ ｂ与 ａ＋１ ｂ＋１的大小关系． 解： ａ ｂ － ａ＋１ ｂ＋１ ＝ ａ（ｂ＋１）－ｂ（ａ＋１） ｂ（ｂ＋１） ＝ ａ－ｂ ｂ（ｂ＋１）．因为ｂ＞ａ＞０，所以ａ－ｂ＜０，ｂ＋１＞０．所 以 ａ－ｂ ｂ（ｂ＋１）＜０．所以 ａ ｂ－ ａ＋１ ｂ＋１＜０．所以 ａ ｂ ＜ ａ＋１ ｂ＋１． 故选Ａ． 二、求待定字母 例２　已知 Ａｘ－１－ Ｂ ２－ｘ＝ ２ｘ－６ （ｘ－１）（ｘ－２），则Ａ－ Ｂ＝ ． 分析：根据异分母分式的减法法则计算等式的左 边，根据题意列出方程组，解方程组即可． 解： Ａ ｘ－１ － Ｂ ２－ｘ ＝ Ａ（２－ｘ）－Ｂ（ｘ－１） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （－Ａ－Ｂ）ｘ＋（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （Ａ＋Ｂ）ｘ－（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（ｘ－２） ．根据 题意，得 Ａ＋Ｂ＝２， ２Ａ＋Ｂ＝６{ ．解得 Ａ＝４， Ｂ＝－２{ ．所以Ａ－Ｂ＝６． 故填６． 三、求代数式的值 例３　 若 １ｘ＋ １ ｙ ＝－２，则分式 ｘ－ｘｙ＋ｙ ３ｘ＋５ｘｙ＋３ｙ＝ ． 分析：运用分式的加法法则将已知等式进行通分变 形，然后利用整体思想代入求值． 解：因为 １ ｘ＋ １ ｙ＝ ｙ＋ｘ ｘｙ ＝－２，所以ｘ＋ｙ＝－２ｘｙ． 所以原式 ＝ （ｘ＋ｙ）－ｘｙ３（ｘ＋ｙ）＋５ｘｙ＝ －２ｘｙ－ｘｙ ３×（－２ｘｙ）＋５ｘｙ＝３． 故填３． ! !" #$% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! &' ()* 书 学习分式的加减，我们可以类比以前学过的分数的 加减运算进行．下面选取几例分析，供同学们参考． 一、同分母分式的加减 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加 减．用式子表示为：ｂａ± ｃ ａ ＝ ｂ±ｃ ａ ． 温馨提示：（１）式子中的ａ，ｂ，ｃ可以是单项式，也可 以是多项式，当分子相加减时，一定要把各个分子看成 一个整体，并加上括号；（２）运算后的结果要化为最简 形式． 例１　计算ａ＋１ａ＋２＋ １ ａ＋２的结果是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．１ Ｂ． ２ａ＋２ Ｃ．ａ＋２ Ｄ． ａａ＋２ 分析：根据同分母分式的加法法则进行计算即可． 解：原式 ＝ａ＋１＋１ａ＋２ ＝ ａ＋２ ａ＋２＝１． 故选Ａ． 二、异分母分式的加减 法则：异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同 分母分式，再加减．用式子表示为：ｂａ± ｄ ｃ＝ ｂｃ ａｃ± ａｄ ａｃ＝ ｂｃ±ａｄ ａｃ ． 温馨提示：异分母分式的加减法实质分两步：第一 步通分，化异分母分式为同分母分式；第二步运用同分 母分式加减法则计算． 例２　化简 １ａ－３－ ６ ａ２－９ 的结果是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ． １ａ＋３ Ｂ．ａ－３ Ｃ．ａ＋３ Ｄ． １ａ－３ 分析：两个分式的分母不同，应先通分，再按照同分 母分式的减法法则计算即可． 解：原式 ＝ ａ＋３ （ａ＋３）（ａ－３）－ ６ （ａ＋３）（ａ－３） ＝ ａ＋３－６ （ａ＋３）（ａ－３）＝ ａ－３ （ａ＋３）（ａ－３）＝ １ ａ＋３． 故选Ａ． 书 一、分母是单项式 分母是单项式，应取各 分母系数的最小公倍数与 所有字母的最高次幂的积． 例 １　 分 式 ｘ＋ｙ３ｘｙ， ３ｙ ２ｘ２ ， ｘｙ ６ｘｙ２ 的最简公分母是 ． 解析：３，２，６的最小公 倍数是６；ｘ的最高次幂是 ｘ２；ｙ的最高次幂是 ｙ２．所 以 ｘ＋ｙ ３ｘｙ， ３ｙ ２ｘ２ ， ｘｙ ６ｘｙ２ 的最简 公分母是６ｘ２ｙ２． 故填６ｘ２ｙ２． 二、分母是多项式 分母是多项式，先把 各多项式分解因式，再取所有因式的最高次幂的乘积． 例２　分式 １ ｘ２＋２ｘ＋１ ，－ ２ ｘ２－１ ， １ ｘ２－２ｘ＋１ 的最 简公分母是 ． 解析：首先将各分式的分母进行因式分解： １ ｘ２＋２ｘ＋１ ＝ １ （ｘ＋１）２ ，－ ２ ｘ２－１ ＝－ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１）， １ ｘ２－２ｘ＋１ ＝ １ （ｘ－１）２ ．因为所有因式的最高次幂分 别是（ｘ＋１）２，（ｘ－１）２，所以分式 １ ｘ２＋２ｘ＋１ ， － ２ ｘ２－１ ， １ ｘ２－２ｘ＋１ 的最简公分母是（ｘ＋１）２（ｘ－１）２． 故填（ｘ＋１）２（ｘ－１）２． 三、几种特殊的最简公分母的确定 １．分式与整式通分时，分式的分母就是最简公分母． 如： ａ３ ａ－１与ａ ２＋ａ＋１的最简公分母是ａ－１． ２．分母互为相反数时，任何一个分母都可以作为 最简公分母． 如： ４ ｘ－２与 ｘ＋２ ２－ｘ，因为 ４ ｘ－２＝－ ４ ２－ｘ， ｘ＋２ ２－ｘ＝ －ｘ＋２ｘ－２，所以 ４ ｘ－２与 ｘ＋２ ２－ｘ的最简公分母是２－ｘ或ｘ－２． ３．能约分的分式，要约分后再找最简公分母． 如： ａ＋ｂ ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ ， ａｂ２ ａ２ｂ＋ａｂ２ 约分后的最简公分母 是ａ＋ｂ． 书 ! 、 "#$%&'()*"+ , １　 !" ：（ ２ｍ ｍ２－４ ＋ １２－ｍ）÷ １ ｍ＋２＝ ． &- ： !"#$%&'()*$%& ， +,%-* $./01234 ． . ： #$ ＝［ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）＋ １ ２－ｍ］·（ｍ＋２） ＝ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）·（ｍ＋２）＋ １ ２－ｍ·（ｍ＋２） ＝ ２ｍｍ－２－ ｍ＋２ ｍ－２＝ ２ｍ－ｍ－２ ｍ－２ ＝ ｍ－２ ｍ－２＝１． %& １． / 、 "#$%01)*"+ , ２　 '( ：（ ｙ ｘ－ ｘ ｙ）（ ｙ ｘ＋ ｘ ｙ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）． &- ： 56789:;<=>?@ ， ABC%-9 :;<=DE12 ． . ： #$ ＝（ｙ ２ ｘ２ －ｘ ２ ｙ２ ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）＝ｙ ４ ｘ４ －ｘ ４ ｙ４ ＝ｙ ８－ｘ８ ｘ４ｙ４ ． 2 、 "#3456)*"+ , ３　 ' ( ： １ ｘ－１ ＋ １ （ｘ－１）（ｘ－２） ＋ １ （ｘ－２）（ｘ－３）． &- ： FG=H>,IJ ， KLMNOPL>.Q RS;) １ >ITU=*V>W= ， X.H) １， Y4- １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ－ １ ｎ＋１Z=H[W,\]&． . ： #$ ＝ １ｘ－１＋ １ ｘ－２－ １ ｘ－１＋ １ ｘ－３－ １ ｘ－２ ＝ １ｘ－３． 7 、 "#&891)*"+ , ４　 '( ： ｘ２＋４ｘ＋５ ｘ＋２ － ｘ２＋６ｘ＋１０ ｘ＋３ ＋１． &- ：̂ _ ｘ２＋４ｘ＋５＝（ｘ＋２）２＋１，ｘ２＋６ｘ＋１０ ＝（ｘ＋３）２＋１， Y56>IT.=R4!`-a.Q. =>b$$c ， 3%- ａ＋ｂ ｃ ＝ ａ ｃ＋ ｂ ｃ，.defTg =hfTijk>.= ， 8l,\m. ． . ： #$ ＝（ｘ＋２） ２＋１ ｘ＋２ － （ｘ＋３）２＋１ ｘ＋３ ＋１ ＝ｘ＋２＋ １ｘ＋２－ｘ－３－ １ ｘ＋３＋１ ＝ １ｘ＋２－ １ ｘ＋３＝ ｘ＋３－（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋３） ＝ １ ｘ２＋５ｘ＋６ ． ! 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