全等三角形基本模型：角平分线基本模型专项训练 2024-2025学年人教版数学八年级上册（培优版）

三角形全等基本模型——角平分线模型（培优版） 一、角平分线综合 模块一 双垂型知识导航 已知点 是 平分线上的一点. (1)如图①,若已有 ,则常可以作 ,可以得到. (2)如图②,过点 分别作 ,可以得到. 题型一 基本双垂型 例 1(1)问题解决: 如图,在四边形 中, 平分 . ①如图 1,若 ,根据教材中一个重要性质直接可得 ,这个性质是; ②在图 2 中,求证: ; 图 1 图 2 例 2 中, 为 中点, 交 的平分线于点 于 的延长线于 G. 求证: . 练习 已知, 的平分线与 的垂直平分线 相交于点 ,垂足分别为 、 ,求 的长度? 题型二 内心 (旁心) 的应用 (1)证明:三角形的三条角平分线交于一点; (2)证明:三角形的一条内角平分线与其不相邻的两外角平分线交于一点. 练习 已知: 四边形 中,对角线 平分 ,并且 ,那么 的度数为. 例 3如图, 中,点 是 上一点,已知 平分 交 于点 ,连接 ,则 _____. 练习 如图,在 中,点 是 和 的三等分线的交点,若 ,求 的度数. 真题演练 如图,在 中, 平分 交 于点 . (1)如图 1,点 为 延长线上一点, 于点 ,求 的度数; (2)如图 2, 平分 的外角交 延长线于点 ,连 ,点 是 延长线上一点, ,若 ,求 的度数 (用含 的式子表示). 图 1 图 2 模块二 截长全等型 知识导航 已知点 是 平分线上一点,若点 是射线 上任意一点,可以在 上截取 ,连接 ,构造 . 例 4 如图,在 中, 分别是 的平分线, 相交于点 . 求证: ① ; ② . 练习 如图,已知四边形 中, 平分 . 求证: . 例 5如图,已知等腰 平分 且交 于点 ,求证: 练习 如图,已知等腰 平分 且交 于 ,求证: 练习 如图, 是 的外角 平分线 上一点,求证: . 模块三 延长相交构等腰型 知识导航 已知点 是 平分线上的一点. 若 于点 ,可以延长 艾 于点 ,从而得到等腰三角形, 是底边 的中点, 为等腰 的“三线合一” 例 6 中, ,若 为线段 上一点, , 垂足为 交 于 . (1)如图,当 与 点重合时,探究 的数量关系; (2)如图,当 不与 重合时,线段 与 的数量关系是否发生变化,变化. 证明你的结论. 练习 等腰 为 上一点, ,且 于 于点 . (1)求 的度数; (2)求 的值. 拓展 如图, 分别为 的两个外角平分线,过 作从 此于点 ,作 于点 ,作 于点 ,已知 ,求 的值. 模块四 平行等腰型 知识导航 已知 是 的角平分线,点 为边 上一点. ①过 作 交 于点 ,則可构造出等腰 ; ②过 作 交 的反向延长线于点 ,则可构出等腰 . 例 7如图所示,在 中, 和 的平分线交于点 ,过点 作 交 于 ,交 于 ,若 ,求 的周长. 拓展 如图, 中, 分别是 两个外角的平分线. 求证: . 模块五 双垂 + 角平分线模型 例 8在 中, 于 平分 交 于 ,交 于 . 求证: . 练习 如图,已知 中, 于 的角平分线 交 于 , 交 于 交 于 . 求证: . 练习 如图,在 中,锐角 的平分线交对边于 ,又交斜边的高 于 ,过 引 ,交 于 ,请问 与 相等吗? 理由是什么? 总结归纳 角平分线常见辅助线 1. 单垂或双垂型 2 . 截长全等型 3 . 延长等腰型 4 . 平行等腰型 学科网（北京）股份有限公司 $$