2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义课件专题14 线段垂直平分线与角平分线

专题14 线段垂直平分线与角平分线 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;判定;到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【2】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等; 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 知识梳理 【3】线段垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 【4】角平分线： ①性质和判定中所提到的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②角平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 知识梳理 【5】线段垂直平分线是线段的对称轴，而角平分线所在的直线是角的对称轴，因此线段垂直平分线与角平分线的性质、判定以及画法都体现了轴对称变换这一特征，结合轴对称图形用好线段垂直平分线和角平分线是解决几何问题的常用策略. 重点突破 知识点一：线段垂直平分线的性质与判定 【例1】如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于点 的垂直平分线分别交 于点 ，若 ，求 的度数. 思路点拨先根据三角形内角和定理求出 ，再根据垂直平分线 的性质得到 ，进而根据等边对等角可得 ，最后代入数据进行计算即可得解 重点突破 [答案] 解题过程 分别是 的垂直平分线， 方法提炼 本题考查线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等能得到等腰三角形，再利用等腰三角形内角之间的关系求角度. 重点突破 【跟踪训练1】如图，在 中， 分别为 边的垂直平分线，连结 （1）若 ，求 的度数. [答案] 如图，连结 并延长交 于点 分别为 边的垂直平分线， ， 重点突破 重点突破 （2）判断 与 之间的数量关系，并说明理由. [答案] 理由如下： 由（1）可知 ， ， 重点突破 知识点二：角平分线的性质与判定 【例2】如图，在四边形 中， 是 的中点， 平分 求证： 是 的平分线. 思路点拨过点 作 于点 。反向延长 交 的延长线于点 .过点 作 于点 ，由平行线的性质可知 ，由 是 的中点，可证明 ，故 ，再根据角平分线 的性质可知 故 进而可得结论. 重点突破 [答案] 解题过程 如图，过点 作 于点 ，反向延长 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 是 的中点， 重点突破 在 和 中， 平分 是 的平分线. 重点突破 【跟踪训练2】如图，在 中， 和 的平 分线相交于点 ，且 ，垂足分别 为 （1）求证： 重点突破 [答案] 如图，过点 作 于点 和 的平分线相交于点 ， 重点突破 （2）连结 ，若 ，求 的度数. [答案] ， 和 的平分线相交于点 ， 重点突破 【例3】如图， 两点分别在射线 上， 垂直 平分 ，垂足为 ，垂足分别 为 ，且 重点突破 （1）求证： 平分 思路点拨连结 , 证明 ，得到 ， 即可说明 平分 . [答案] 解题过程 如图，连结 垂直平分 重点突破 在 和 中， 平分 重点突破 （2）如果 ，求 的长. 思路点拨设 ，用 表示出 的长，借助 构造方程求解. [答案] 解题过程 在 和 中， 设 方法提炼 本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，会运用方程思想解题是解决线段长度问题的捷径. 课后练习 A组 基础巩固 1.如图，已知 的周长为 的垂直平分线 交 于点 ，则 的 周长为 ( ) A A. B. C. D. 课后练习 2.如图， 于 点 ，则 的长度为( ) C A.4 B.3 C.2 D.5 3.如图，已知 的周长是 分别平分 于点 ，且 ，则 的面积是 ( ) D A.1 B.8 C.2 D.5 课后练习 4.如图，在 中， 为 上 一点， ，且 ，若 ，则 的长为 ( ) A A.3 B. C.4 D.5 5.如图，在 中， ，线段 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 的度 数为_ ____. <m></m> 课后练习 6.如图，在 中， 平分 若 ，则 ___. 4 课后练习 7.如图，在 中， 是 上一点， ，过点 作 的垂线交 于点 ，求证： 垂直平分 [答案] 在 和 中， 垂直平分 课后练习 8.如图，在 中， 是 的角平分线， 的垂直平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， 连结 （1）判断 与 的位置关系，并说明理由. [答案] 理由如下： 是 的平分线， 垂直平分 课后练习 （2）求证： [答案] 垂直平分 在 和 中， 课后练习 B组 能力提升 9.如图，在锐角三角形 中，直线 为 的垂直平 分线，直线 为 的平分线，直线 与 相交于 点 ，若 ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 课后练习 [解析] 直线 为 的垂直平分线， 直线 为 的平分线， 设 ，则 ，解得 故选 课后练习 10.如图， 平分 于点 ，那么 的长为____ 1.5 [解析] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 平分 ， 课后练习 在 和 中， 在 和 中， 课后练习 ，即 ，解得 故答案为1.5. 课后练习 11.如图，在 中， 是 的中点， 交 于点 ，则 ___. 7 课后练习 [解析] 如图，连结 ，过点 作 ，交 的延长线于点 是 的中点， 课后练习 ， ， 又 ， 故答案为7. 课后练习 12.如图，在 中， 是 的中 线， 是 的平分线， 交 的 延长线于点 （1）求证： 是等腰三角形. [答案] 是 的平分线， 是等腰三角形. 课后练习 （2）若 ，求 的长. [答案] 如图，过点 作 于点 ， 是 的平分线， 课后练习 由勾股定理得 在 中， 课后练习 C组 思维拓展 13.如图， 是 的平分线， 点 在射线 上， 是直线 上的两动点，点 在点 的右 侧，且 ，作线段 的垂 直平分线，分别交直线 于 点 ，连结 课后练习 （1）如图1，请指出 与 的数量关系，并说明理由. [答案] 理由如下： 如图1，连结 垂直平分 平分 又 课后练习 （2）如图2，当 两点都在射线 的反向延长线上时，线段 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由. 课后练习 [答案] 存在，理由如下： 如图2，连结 垂直平分 平分 ， 又 $$