19.2.2 一次函数 教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级下册

19.2.2 一次函数（第1课时） 教材分析 本节内容包括三个重点：一次函数的定义、一次函数图象的画法和一次函数的性质. 从数学自身的发展过程看，变量和函数的引入标志着数学从初等数学向变量数学的迈进，而一次函数是初中阶段研究的第一个函数，它的研究方法具有一般性和代表性，为后面二次函数、反比例函数的研究都奠定了基础.同时在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于相应的一次函数中，三者相互依存、紧密联系，也为方程、不等式、函数解法的互相转化补充提供了新的途径.而二元一次方程与直线，二元一次方程组的解与相应两直线交点坐标的等价关系也使学生更为深刻的理解数形结合的数学思想，所以这节课在教材中有着承上启下的重要地位. 学情分析 （1）学生的知识与能力：学生已经学习了正比例函数的图象与性质，已有了一定的函数知识储备与自主学习的能力，这为本节课的学习打下了良好的基础. （2）学生的心理与学习困难：八年级学生好奇心强、有强烈的求知欲和表现欲，喜欢独立思考和探究，但由于学生刚开始学习函数知识，抽象思维能力比较薄弱，类比、数形结合等数学思想意识还不强，因此自主全面地概括出函数性质有一定困难，需要教师及时点拨、指导. 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标：（1）理解一次函数的概念及与正比例函数的关系.（重点） （2）能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系． 2．直观想象目标：结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.（难点） 3．逻辑推理目标：经过利用一次函数解决实际问题的过程，逐步形成利用函数观点认识世界的意识和能力. 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 教学过程设计 前面几节课我们已经学习了函数和正比例函数的概念、图象及性质，同学们能说出函数与正比例函数的概念及它们之间的关系吗？（学生思考后，抢答） 一、设计问题，创设情境 问题1 某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x 的关系. 师生共同分析：从大本营向上，当海拔每升高1km时，气温从5℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因此y与x的函数解析式为y=5-6x(x≥0), 当然，这个函数也可表示为y=-6x+5(x≥0). 当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值，即 问题2 问题1中的函数y=-6x+5是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？这种形式的函数还有吗？ 让学生充分讨论，将y=-6x+5与正比例函数解析式y=kx作对比，发现多了一个常数项，学生依照模式举出一些同形式的解析式，教师点评. 本节课我们就一起来探究这种新型的函数及其图象的特征. （设计意图：在对旧知识的复习中突出函数是对变量间的关系刻画，引出新型的函数解析式，引发学生对函数的思考.） 二、学生探索，尝试解决 问题3 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？ （1）有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差. （2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值. （3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元／min收取）． （4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变，长方形的面积y（单位：c㎡）随x的变化而变化. 师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，可以得到这些问题的函数解析式分别为： (1)c=7t-35(20≤t≤25). (2)G=h-105. (3)y=0.1x+22. (4)y=-5x+50(0≤x<10). （设计意图：通过观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象一次函数的概念作准备.） 三、信息交流，得出新知 问题4 这些函数解析式与问题1中y=-6x+5的形式一样吗？它们都能写成y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式吗？ 学生思考讨论 师：确实如此，如果我们用b来表示这个常数的话.这些函数形式就可以写成y=kx+b(k≠0). 教师出示一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b 是常数，，k≠0）的函数，叫做一次函数． 教师引导学生继续思考：当b=0时，y=kx+b是什么函数？ 学生思考后回答：当b=0时，y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. （设计意图：从思考实例展现中，抽取共性形成概念，达成共识完善认知，根据列出的解析式特征总结一次函数的概念，再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力.） 四、例题精讲，重难突破 【例题】下列函数中哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ (1), (4) (6) 师生活动：学生先独立思考，然后小组讨论，教师根据学生讨论情况加以点拨：如（7）和（8）这两种形式需要加以整理，最后根据学生的回答情况得出答案. 解：一次函数：（1）（4）（5）（7）（8）． 正比例函数：（1）． （设计意图：引导学生运用一次函数的概念，解决问题.） 五、变式演练，深化提高 1．在一次函数y=-3x-5中 . 2．若函数y=(m-3)x+2-m是一次函数，则m . 3．已知函数y=(2-m)x+2m-3. （1）当m为何值时此函数为正比例函数？ （2）当m为何值时此函数为一次函数？ （设计意图：培养学生综合运用、分类讨论和归纳概括的能力.） 六、交流分享，共同成长 1．一次函数：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，,k≠0)的函数，叫做一次函数. 2．正比例函数是特殊的一次函数． （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 七、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑惑和建议？ （设计意图：通过归纳总结，调动学生的参与意识，培养学生的归纳、表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 板书设计 19.2.2 一次函数（第1课时） 1．一次函数的概念：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数.k≠0)的函数，叫做一次函数. 2．正比例函数与一次函数的关系． 教学反思 本节课通过情境引入一次函数，引导学生类比正比例函数概念的学习过程来学习一次函数，教学中发现学生在判断一个函数是不是一次函数时，往往只凭表象判断，容易出错.因此，教学时要让学生明白：要判断一个函数是不是一次函数，就要先将式子进行变形，看它能否化成y=kx+b(k,b是 常数k≠0）的形式，即x的指数为1．若符合这些条件即为一次函数，若b=0则这个函数即是一次函数，又是正比例函数，也就是说正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，同时要点明，一次函数的解析式是整式，自变量x的指数为1．只有让学生把一次函数概念理解透彻，才能明确一次函数的解析式的结构特征，为今后一次函数的学习打下基础. 19.2.2 一次函数（第2课时） 教学目标 1．数学抽象目标： （1）了解一次函数的图象及画法，理解一次函数与正比例函数以及它们的图象之间的关系. （2）理解一次函数的性质． 2．数学运算目标：通过对一次函数的图象和性质的研究，体会数形结合在问题解决中的作用，并应用它们解决相关函数问题. 3．直观想象目标：通过画函数图象以及用函数图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁性. 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 教学设计 一、知识回顾 问题1 正比例函数的定义是什么？正比例函数图象的特征及性质你还记得吗？ 学生思考抢答：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数；一般地，正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点和点（1，k）的直线.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，图象从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. 二、设计问题，创设情境 问题2 一次函数的定义是什么？正比例函数与一次函数有何关系？ 学生思考回答：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，正比例函数是特殊的一次函数. 问题3 既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系？一次函数的图象又有什么性质呢？这些就是我们本节课要解决的问题. （设计意图：巩固旧知识，以相关的知识为台阶让学生在不知不觉中被引入新知探索天地，为新课学习做准备.） 三、信息交流，得出新知 【例1】试在同一坐标系中画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. 让学生自己在坐标纸上动手画图.（提醒学生用描点法） 解：在函数y=-6x与y=-6x+5中，自变量x的取值范围是任意实数，列表表示几对对应值 x -2 -1 0 1 2 0 -6 17 11 5 -1 -7 观察：比较上面两个函数的图象的相同点与不同点. 填出你的观察结果：这两个函数的图象形状都是 ,并且倾斜程度 . 函数y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到. （设计意图：通过观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳一次函数的性质做准备.） 问题4 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？联系上面的结果，考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx(k≠0)有什么关系. 学生思考讨论，师生共同探究：比较一次函数y=kx+b (k≠0).与正比函数y=kx(k≠0)的解析式得出：k相同时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是可以由直线y=kx(k≠0)平移｜6｜个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. 思考：1．如何画一次函数y=kx+b(k≠0)的图象呢？ 2．因为一次函数的图象是一条直线，而两点确定一条直线，所以用两点法最好.取哪两点呢？ 师生总结：一般找到一次函数与x轴的交点9与y轴的交点（0，b）． 【例2】画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象. 分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它. 请同学们自己动手在同一坐标系中画出它们的图象. 解：列表 x 0 1 1 1 0.5 思考：观察所画图象，一次函数解析式y=kx+b(k16常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？ 学生思考讨论，师生共同总结. 一次函数解析式y=kx+b的图象： 当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降. 由此可知，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)具有如下性质： 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. （设计意图：有层次地引导学生对一次函数图象是直线以及如何画图象的思考和讨论，形成感知认识.） 四、变式演练，深化提高 1．若一次函数y=3x+7与y=(2m+1)x+5的图象平行，则 2．一次函数y=5x-3的图象是由y=5x的图象向 平移 个单位长度得到的. 3．一次函数y=-2x+7的图象不经过第 象限. 4.y=3x+1,y=-5x+1,y=2x+1,y=-x+1,y=-9x+1这几个函数有什么共同的特点？ 【参考答案】 1.1 2．下 3 3．三 4．它们的图象都交y轴于同一点（0,1）． （设计意图：通过练习考查学生的理解情况.） 五、交流分享，共同成长 1．k相同时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是可以由直线y=kx(k≠0)平移6｜个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. 2．一次函数解析式y=kx+b的图象： 当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降. 由此可知，一次函数y=kx+b(k, 是常数，k≠0)具有如下性质： 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 六、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑惑和建议？ （设计意图：通过归纳总结，调动学生的参与意识，培养学生的归纳、语言表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 板书设计 19.2.2 一次函数（第2课时） 1．一次函数的图象：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的图象是一条直线，画法是“两点法”. 2．一次函数y=kx+b(k.,b是常数，k≠0)具有如下性质： 当k>0时，y随x的增大而增大； 当k<0时，y随x的增大而减小 教学反思 本节课主要是研究一次函数的图象和性质，它是学习了正比例函数的图象和性质，及初步了解如何研究一个具体函数的图象与性质的基础上进行的，原有的知识与经验对本节课的学习有着积极的促进作用，在前后知识的比较中，学生进一步理解知识，促进认知结构的完善、发展，进一步体验研究函数的基本思路.这些目标的达成，要求数学中必须发挥学生的主体地位. 19.2.2 一次函数（第3课时） 教学设计 教学目标 1．数学运算目标： （1）学会用待定系数法确定一次函数的解析式．（重点） （2）在不同问题情境下，函数解析式的确定．（难点） （3）了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象. 2．数学推理目标： （1）经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能． （2）能根据函数的图象确定一次函数的解析式，体会数形结合，具体感知数形结合思想在一次函数中的应用. 3．数学建模目标：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用. 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 教学设计 一、知识回顾 给出一次函数y=2x-1的图象，研究它的图象与性质，尽可能地说出更多的结论. 学生在练习本上画出图象并说出其性质. 二、设计问题，创设情境 问题 1．一次函数解析式的通用公式是什么？ 2． 要求一次函数的解析式y=kx+b,应知道哪两个常量？ 3．我们知道，已知两点可以确定一条直线，那么，已知两标能否求出直线解析式呢？点的坐学生讨论后畅所欲言充分表达自己的观点. （设计意图：巩固旧知识，以相关联的知识为台阶让学生在不知不觉中被引入新知探索天地，为新课学习做准备.） 三、信息交流，得出新知 【例1】已知一次函数的图象经过点（3,5）与（-4，-9）．求这个一次函数的解析式. 教师分析：图象上的点的坐标就是满足其解析式的两组对应值，即当x=3时，y=5;多x=-4时y=-9..由于题目中没有直接给出y=kx+b，所以，在解题时应先设出一次函数的解析式y=kx+b(k≠0)，然后将两组相对应的值代入y=kx+b(k≠0)中，建立一个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). 把x=3,y=5;x=-4,y=-9代入上式，得 解得 所以这个函数的解析式是y=2x-1. 教师总结：先设出函数解析式（如y=kx+b)，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，构成一个关于k，b的方程（组），解这个方程（组）求出k，b的值，从而得到所要求的函数解析式的方法，叫做待定系数法. 教师追问：请同学们讨论总结用待定系数法确定函数解析式的步骤. 引导学生思考讨论，师生共同总结： 用待定系数法确定函数解析式的步骤： （1）设：设函数解析式为y=kx+b(k≠0);中，得到方程（组）； （3）解：解方程（组）求得k，b的值； （4）写：将k，b的值代回所设的解析式中，得到解析式． （设计意图：在前面学习中，学生都是先由解析式出发探求图象，这里反过来，是由条件（点的坐标）出发求解析式，是一种逆向思维，给学生充分的时间进行分析与思考，体现课堂的动态生成与互动，通过本环节的教学，使学生形成完整的用待定系数法求解析式的步骤.） 【例2】“黄金1号”玉米种子的价格为5元／kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折． （1）填写下表． （2）代：将已知坐标值代入所设的解析式y=kx+b(k≠0) 购买量／kg 0.5 、 1.5 2 2.5 3 3.5 ··· 付款金额／元 ·· · （2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象. 师生共同分析：付款金额与种子价格有关，问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关，设购买xkg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元／kg，当x>2时，其中有2kg 种子按5元／kg计价，其余的（x-2）kg种子按4元／kg计价，因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x>2分段讨论. 解：（1） 购买量／kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 付款金额／元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 （2）设购买量为xkg,，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，y=5x; 当x>2时，y=10+0.8×5(x-2)=4x+2. y与x的函数解析式也可合起来表示为 追问：你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？ （1）一次购买1.5kg种子，需要付款多少元？ （2）一次购买3kg种子，需付款多少元？ 学生小组交流，解决问题 （设计意图：提出问题，不断地给学生设置认知冲突，此题是在变化的环境中探求、突出变量，此时亦可使学生初步感受函数方法的优越性，又为函数观点看方程与不等式埋下伏笔.） 四、变式演练，深化提高 1．为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（单位：千瓦时）与应付电费y（单位：元）的关系如图所示. （1）根据图象，请分别求出当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数解析式. （2）请回答：当每月用电量不超过50千瓦时时，收费标准是 ；当每月用电量超过50千瓦时时，收费标准是 2．已知一次函数y=kx+b,当x=2时，y=5;；当x=3时，y=7，求这个一次函数解析式. 【参考答案】 1．解：（1）当0≤x≤50时，设此函数解析式为y=kx，把x=50,y=25代入，得25=50k，解得，所以这个函数解析式是 当x>50时，设此函数解析式为y=ax+b,，把x=50,y=25;x=100,y=70代入y=ax+b，得 解得 所以这个函数解析式是y=0.9x-20. （2）0.5元／千瓦时 0.9元／千瓦时 2．解：把x=2,y=5;x=3,y=7代入y=kx+b,得 解得 所以这个函数解析式是y=2x+1. （设计意图：通过练习考查学生的理解情况.） 五、交流分享，共同成长 1．用待定系数法确定函数解析式的步骤： （1）设：设函数解析式为y=kx+b(k≠0); （2）代：将已知坐标值代入所设的解析式y=kx+b(k≠0）中，得到方程（组）； （3）解：解方程（组）求得k，b的值； （4）写：将k，b的值代回所设的解析式中，得到解析式． 2．数形结合解决问题的一般思路． （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 六、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑惑和建议？ （设计意图：通过归纳总结，调动学生的参与意识，培养学主的归纳、表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 学科网（北京）股份有限公司 板书设计 19.2.2 一次函数（第3课时） 1．用待定系数法求解一次函数的解析式 2．方法步骤： 3．分段函数： 教学反思 在本节课的教学过程中，许多学生用待定系数法确定一次函数解析式的步骤还不是很清楚，以致解析式求错，因此为便于记忆，教师把待定系数法确定一次函数解析式的步骤归纳为四个字：“设”“列”“解”“代”，这样学生就不易出错.另外求分段函数时要让学生明白：首先要求自变量各个范围内所对应的函数解析式，让学生初步感受分段函数在解决问题中的优越性，树立起学生学习的兴趣和信心. $$