20.1.2 中位数和众数教案2023-2024学年人教版数学八年级下册

20.1.2 中位数和众数（第1课时） 教材分析 众数、中位数是描述一组数据的集中趋势的两个统计特征量，是帮助学生学会用数据说话的基本概念.本节课的教学内容和现实生活密切相关，是培养学生应用数学意识和创新能力的好素材.因为利用数据进行分析，对刚刚接触统计的学生来说，他们原有的认知结构中缺乏这方面的知识经验，所以，可以借助生活中的事例，通过自学的形式，学生自己对两个概念进行归纳整理，通过比较概念之间的区别和联系，揭示实质，形成新的认知结构，帮助学生突破知识难点.学生之间在讨论中相互补充，使学生的知识和能力得到不断的完善和提高，同时也培养了团结协作精神. 学情分析 学生具有一定的认知能力和初步的借助数学语言来表达和交流的能力，但认知水平仍有限，综合运用所学内容分析和解决问题的能力不强.本节课采用自主学习，合作交流的方式，共同找出众数、中位数的意义，并学会如何去求一组数据的众数、中位数.设计两个开放性的问题，可以强化教学内容，也体现了对学生未来生存能力和研究性学习能力的培养. 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标 （1）使学生认知众数、中位数的意义； （2）会求一组数据的众数、中位数． 2．逻辑推理目标 （1）让学生接触并解决一些社会生活中的问题，为学生创造学数学、用数学的情境，培养学生的数学应用意识和创新意识； （2）在问题解决的过程中，培养学生的自主学习能力； （3）在问题分析的过程中，培养学生的团结协作精神． 3．情感、态度和价值观目标 （1）通过生活中的故事，提供适当的问题情境，涨发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣： （2）在合作学习中，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与能力. 课前准备 教师：多媒体课件 学生：课前预习 教学设计 一、设计问题，创设情境 师：阿冲大学毕业后去找工作，看到一则招工启事， 招工启事 因我公司扩大规模，现需招若干名员工.我公司员工收入很高，月平均工资6276元．有意者于2023年7月12日到我处面试. 2023年7月8日 他觉得待遇还不错，就应聘去了这家公司.可在公司工作了两个月后，他找到公司经理说：你们欺骗了我，我已经找公司其他职员核对过，没有一个职员的工资可以拿到六千元的．月平均工资怎么可能是6276元呢？经理说：“阿冲，不要激动、月平均工资是6276元．”说着拿出了一张工资表： 月收 入／元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 000 1 000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 （1）计算这个公司员工月收入的平均数； （2）如果用（1）算得的平均数反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？ （3）该公司员工的中等收入水平大概是多少元？你是怎样确定的？ （4）“平均数”和“中等水平”谁更合理地反映了该公司绝大部分员工的月工资水平？这个问题中，中等水平的含义是什么？ （设计意图：通过学生对问题的分析、讨论，为引出中位数的概念提供了素材.） 二、学生探索，尝试解决 生：平均数远远大于绝大多数人的实际月工资，绝大多数人“被平均”，不合适. 师：那么我们如何才能更合理的反映员工月收入水平？ 生：根据实际情况，我们使用这样一个数值，约一半人月工资高于该数值，另一半人月工资低于该数值，才能合适的表示员工的月收入水平. 三、信息交流，得出新知 师：在这里，我们引入这样一个概念：中位数. 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数.如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数. 师：现在，大家动手计算一下上表数据中的中位数吧！ 生：我们按照从大到小的顺序，将这些数据排列，然后找到处于这些数据中间的数据，即为3400，这个数就是我们所求的中位数. 师：结合数据，我们发现，除去月收入为3400元的员工，有一半员工的收入大于3400元，有一半员工的收入小于3400元，能够合理地反映员工的月收入． 师：对于数据中有极端值的情况出现时，我们一般采用中位数代表反映该组数据的整体水平. 师：根据中位数的定义，大家总结该如何确定一组数据的中位数吧！ 生：第1步：排序，由大到小或由小到大． 第2步：确定是奇数个数据或偶数个数据． 第3步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数；如果是偶数个数据，中位数是中间两个数据的平均数. 师：同学们总结得很好. 四、跟踪练习，巩固新知 【例1】在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位：min）如下： 136 140 129 180 124154 146 145 158 175 165 148 （1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？ （2）一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？ 解：（1）先将样本数据按照由小到大的顺序排列： 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 这组数据的中位数为处于中间的两个数146,148的平均数，即 因此样本数据的中位数是147． （2）根据（1）中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于147 min，有一半选手的成绩慢于147min．这名选手的成绩是142min，快于中位数147min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 【例2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示. 尺码／cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量／双 1 2 5 11 7 3 1 你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5cm的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋． 【解题方法提示】 根据题目给出的信息可知鞋店老板最关心的是哪种尺码的鞋销售的最多，你有思路了吗？回忆统计中各种描述数据的量，相信你不难完成本题，试试吧！ （设计意图：应用新知于不同的情境中，巩固新知并渗透于用样本估计总体的思想.教师给出解题过程，规范学生的书写格式，有利于基本技能的落实、） 五、变式演练，深化提高 某校男子足球队的年龄分布如条形图所示.请找出这些队员年龄的平均数、众数、中位数，并解释它们的意义（结果取整数）. 解：这些队员年龄的平均数为(13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1)÷22=15，队员年龄的众数为15，队员年龄的中位数为15． （设计意图：通过学生对问题的交流讨论，教师的评析，让学生巩固新知，感受众数的意义和作用，同时理解中位数 与众数的区别与联系.） 六、交流分享，共同成长 通过本节课的学习，你有什么收获？ 本节课学习了中位数、众数的概念及应用. （设计意图：培养学生的语言表达和归纳能力，突出本节重点，整理认知结构.） 7、 反思小结，达标检测 反思小结 通过开放性的问题设计引发学生思考，使学生在认知结构上产生冲突，使之成为学生重新建构认知的良好契机.在学生主动探索、思考、发现过程中，体会到中位数的产生过程及实际背景.这样，学生不但完成了对新知的整合与建构，而且把探索求知、发现新知的权利真正交给了学生.在本节课中，无论从概念的得出、问题的解决，还是决策的制定，合作与交流贯穿整个教学过程.通过组内讨论、同桌交流，体现了各层次学生对知识的不同理解；在交流过程中，每个学生的思维与智慧都被整个群体共享，学生对概念的理解更全面，更深入. 板书设计 20.1.2 中位数和众数（第1课时） 1．中位数，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位管的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数. 2．众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 备课资料 数学小故事-平均数的委屈 一向与人无争，对人和善的平均数这几天突然和众数、中位数争吵起来了，在整个数学王国引起了轩然大波，究竟怎么回事呢？ “我们家族的成员，在统计中表示的量才是最公平的，最可靠的！”平均数、众数、中位数各不相让. “有一群人的年龄分别是17岁、13岁、17岁、9岁、17岁、17岁、3岁、16岁、17岁，17这个数据出现了5次，是出现次数最多的，所以这群人的年龄的众数应该是17岁．这群人的岁数都在17左右．这个17还是这组数据中的一个数．”众数举例来说. “这组数据的平均数应该等于(17+13+17+9+17+17+3＋16＋17）÷9＝126÷9＝14（岁）．我们平均数与所有的数据都有关，表示的是这组数据的整体平均情况，所以我们平均数才是最能表示这组数据的整体情况.”平均数不甘示弱. “我们把这组数据先按从小到大排列，这组数据分别是3岁、9岁、13岁、16岁、17岁、17岁、17岁、17岁、17岁，总共9个数据，中间一个数据就是中位数，所以这组数据的中位数是17岁，我们中位数是数据中最中间的数据，所以我们才最 能代表这组数据.”中位数也大声嚷嚷. “我和中位数都是17岁，只有平均数是14岁．平均数根本不能表述针对数据的情况.”众数和中位数合伙起来了. 平均数着急地快要哭了，委屈极了. “平均数与每一个数据都有关，反映出来的信息才是最充分的.平均数可以描述一组数据本身的整体平均情况，表示的是数据的“平均水平＇.中位数像一条分界线，把数据分成2部分，中位数表示数据的“中等水平＇．众数表示数据中出现次数最多的数据，所以众数表示数据的“多数水平＇.”数学王国老国王的几句话说得大家心服口服. “平均数受数据中所有数的影响，尤其出现较大或较小数据时，平均数也会偏大或偏小.如果个别数据较大或较小，中位数却不受影响，这样用中位数表示就比较合适.如果个别数据出现较大或较小，也不影响众数.如果数据出现次数较多，毫无疑问，用众数来表示数据特征比较合适.所以你们各有所长，也各有所短！” 听了老国王的话，平均数和众数、中位数都明白了，它们的手紧紧握在了一起. 20.1.2中位数和众数（第2课时） 教学设计 教学日标 1．数学抽象目标 掌握中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数：能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.（重点） 2．数据分析目标 通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判能力，进一步发展其数学应用能力.（难点） 3．直观想象目标 将知识的学习放在解决问题的情境中，通过数据分析与处理，体会数学与现实生活的联系，培养学生求真的科学态度. 课前准备 多媒体课件、自学课本 教学设计 一、设计问题，创设情境 活动1 应聘者小王去某公司应聘，经理说：我公司员工收入很高，月平均工资为8000元．于是，小王第二天就高兴地去该公司上班了.但是上班时听职员C说：我的工资是7200元，在公司算中等收入．职员D说：我们好几个人工资都是7100元．一周后，小王找经理理论说：“你欺骗了我，我已问过其他职员，没有一个职员的工资超过8000元．”经理说：“平均工资确实是每月8000元，你看看公司的工资报表.” 员工 经理 副经 理 职员 A 职员 B 职员 C 职员 D 职员 E 职员 F 杂工 G 月工 资／元 13 000 9 000 7 700 7 300 7 200 7 100 7 100 7 100 6 500 （1）请大家判断经理是否欺骗了小王？ （2）平均月工资8000元能客观地反映员工的实际收入吗？ 引导学生展开讨论，作出评判：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，公司九个员工中有七人低于平均工资，所以用8000元反映这个公司员工的收入水平显然是不合理的，原因是全公司的平均工资受到了两个极端数据的影响，利用平均数反映问题就出现了偏差. 怎样说明这个问题呢？我们需要学习新的数据代表-中位数与众数. （设计意图：一是复习平均数的概念与计算，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入新的数据代表奠定基础，二是根据学生的心理特征和认识规律，力求创设一种引人入胜的教学情境，引起学生对“平均水平”的认知冲突，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生积极投入新知识的学习.） 二、学生探究，尝试解决 活动2 在学生讨论交流的基础上，教师进行点拨． 上述问题中，经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况： （1）月平均工资8000元，指所有员工工资的平均数是8000元，但只有正副经理的工资比平均工资高，是他两人的工资把平均工资“拉”高了. （2）职员C的工资是7200元，恰好居于所有员工工资的“正中间”（恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低），我们称7200元是这组数据的中位数． （3）9个员工中有3个人的工资为7100元，出现的次数最多，我们称7100元是这组数据的众数． 三、信息交流，得出新知 议一议：你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？ 让学生讨论，充分发表不同的观点，然后归纳出：用中位数7200元或众数7100元表示该公司员工收入的水平更合适些，因为平均数8000元受到了极端值的影响． 结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念： 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 教师指出：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”. 活动3 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋的销售量如表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 鞋的尺码／cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量／双 1 2 5 11 7 3 1 解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5cm的鞋销售量最大． 因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋． （设计意图：（1）通过本题应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数，它代表该型号的产品销售最好，以便给商家合理的建议．（2）本题也交代了众数的求法和解题步骤．（3）本题也反映了众数是数据代表的一种．） 结论：在上面问题的教学的基础上师生共同归纳平均数、中位数和众数的异同点： （1）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； （2）平均数、众数和中位数都有单位； （3）平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； （4）中位数不受个别偏大或偏小数据的影响； （5）众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据. 四、跟踪练习，巩固新知 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下. （1）月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均月销售额是多少？ （2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由. （3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由. 解：这组数据从小到大排列如下： 13 141515 15 1515 16 16 16 16 1717 17 1818 19 1919 22 23 24 26 262828 28 30 32 32 中位数 (18+18)÷2=18, 平均数 (17+18+16+13+24+15+28+26+18+19+22+17+16+19+32+30+16+14+15+26+15+32+23+17+15+15+28+28+16+19)÷30=609÷30≈20. （1）月销售额15万元的人数最多，中间的月销售额是18万元，平均月销售额是20.3万元． （2）如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元（平均数）．因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大．可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有的营业员获得奖励. （3）如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每月18万元（中位数）．因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16人，占总人数的一半左右，可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励. （设计意图：通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题.） 五、变式演练，深化成长 某公司有15名员工，它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示： 部门 A B D E F G 人数 1 1 2 4 2 2 3 每人所创的 年利润／万元 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 1.2 根据表中的信息填空： （1）该公司每人所创年利润的平均数是 万元．该公司每人所创年利润的中位数是 万元. （2）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？ 解： 4+1.2×3)=3.3.2(万元）；15个数据的中位数是第8个数，所以中位数为2.1万元； （2）应该使用中位数来描述公司每人所创年利润的一般水平.因为个别特殊的数值对平均数具有很大的影响. 六、交流分享，共同成长 1．结合本节内容谈谈你对平均数、众数、中位数三者的特点和意义的认识. 2．在选择适当的量时，你有什么样的心得体会？ 3．你有办法减少极端数据对平均数的影响吗？请举例说明. 七、反思小结，达标检测 平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同： 平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，都是主要描述一组数据集中趋势的量.平均数是应用较多的一种量. 平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大.众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响. 平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势. 实际问题中求得的平均数、众数、中位数应带上单位. 学科网（北京）股份有限公司 $$