19.2.3 一次函数与方程、不等式 教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级下册

19.2.3 一次函数与方程、不等式（第1课时） 教材分析 本节课的主要内容是在对之前学过的知识进行回顾复习的同时，着重建立一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的有效联系，站在更高的角度进行动态分析，利用一次函数的图象求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集和二元一次方程组的解，使新旧知识融会贯通，加大学生对已经学过的相关内容之间联系的认识，进一步体验函数的重要性，其中渗透了数形结合的思想，为后继学习奠定基础，在初中阶段有着很重要的地位和作用. 学情分析 在本节课教学内容之前，学生已学过一元一次方程和一次不等式的代数解法以及一次函数的相关知识，但是把它们利用函数图象联系在一起，利用数形结合的思想，来理解它们之间的关系，这对于八年级学生来说，还是会有点困难，因此，在本节课的教学中，要让学生反复实践，引导学生观察、思考、探究、交流，然后再启发学生归纳得出结论，以发展学生数形结合的思想和方法. 教学分析 教学目标 1．数学运算目标： （1）理解一次函数与二元一次方程的关系，会用一次函数图象解二元一次方程组.（重点） （2）理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题. 2．逻辑推理目标：能综合应用一次函数及二元一次方程知识解决相关实际问题. 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 教学设计 一、设计问题，创设情境 1．一元一次方程的一般形式是 ，一元一次不等式的一般形式是 2．一次函数y=ax+b诊 时，函数值为0，其图象与x轴的交点为 .前面我们学习了一次函数，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种相互对应的关系，相互依存，它与我们前面学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等有着必然的联系. 这节课我们就来学习用函数的观点去看待方程与不等式，并充分利用函数图象的直观性、形象地看待方程、不等式的求解问题，这是我们学习数学的一种很好的思想方法. （设计意图：开门见山，直接引入，使学生明确本节课的学习方向.） 二、信息交流，得出新知 问题1 已知函数y=2x+和方程2x+1=3,，请比较它们二者的关系. 在一次函数y=2x+1中，当 时，该函数就变成了方程2x+1=3.所以解方程2x+1=3就相当于在函数y=2x+1中取 时，求x的值.或者，在函数y=2x+1图象上找出纵坐标为 的点，横坐标的值就是方程2x+1=3的解. 学生思考讨论回答 练习1 类似地，从函数的角度对方程2x+=0,2x+1=-1进行解释. 师生共同归纳：任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)形式.因此，解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b中取 时，求x的值.或者，在函数y=ax+b的图象上找出与 轴的交点，该交点横坐标的值就是该方程的解. 答案：0 x 问题2 已知函数y=3x+和不等式3x+2>2，请比较它们二者的关系. 在一次函数y=3x+2中，当y 时，该函数就变成了不等式3x+2>2.所以解不等式3x+2>2,，就相当于在函数y=3x+2中取y 时，求x的取值范围.或者，在函数y=3x+2图象上找出纵坐标 的部分，看这些点的横坐标满足什么条件. 练习2 类似地，从函数的角度对不等式3x+2<0,3x+2<-1进行解释. 师生共同归纳：任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.因此，解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值 时，求x的取值范围.或者，在函数y=ax+b的图象上找出纵坐标 的部分，看这些点的横坐标满足什么条件. 答案：大于0或小于0 大于0或小于0 （设计意图：点明学习本节内容的必要性，帮助学生在积累了一些理性认识的基础上，增加更多形象了解，用类似的观点处理问题，引导学生在讨论与思考中得出一般性的结论.） 三、变式演练，深化提高 1．利用一次函数图象解答： （1）求方程2x+6=的解； （2） 求不等式-3x＋2≤1的解集. 2．如图，直线与直线相交于点（6,4）， 那么方程的解是 不等式的解集是 答案：1．，图略.，图略. 2.x=6 x>6 （设计意图：从图象的角度加深一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，帮助学生在积累了一些理性认识的基础上，增加更多的形象了解.） 四、交流分享，共同成长 1．任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)的形式.因此，解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b中取y=0时，求x的值.或者，在函数y=ax+b的图象上找出与x轴的交点，该交点横坐标的值就是该方程的解. 2．任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.因此，解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求x的取值范围.或者，在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分，看这些点的横坐标满足什么条件． （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 五、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑惑和建议？ （设计意图：通过归纳总结，调动学生的参与意识，培养学生的归纳、表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 板书设计 19.2.3 一次函数与方程、不等式（第1课时） 1．任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)的形式.因此，解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b中取y=0时，求x的值.或者.在函数y=ax+b图象上找出与x轴的交点，该交点横坐标的值就是该方程的解. 2．任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<的形式.因此，解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时．求x的取值范围.或者，在函数y-ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分，看这些点的横坐标满足什么条件． 教学反思 在本节课的教学过程中，学生对利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤还不很了解，教师可以归纳：求直线y=kx+b与x轴交点的坐标，可令y=0，得方程kx+b=0，解得，直线与x轴交点坐标为；求直线y=kx+b与y轴的交点纵坐标，可令x=0，得y=b，直线与y轴交点坐标为（0，b）．另外，在教学中，学生对以下几个问题也存在疑惑：（1）利用函数图象解不等式是要依据图象的相对位置回答，x轴上方的图象对应的函数值为正值，x轴上的点对应的函数值为0，x轴下方的图象对应的函数值为负：（2）两条直线，上方的直线对应的值比下方的直线对应的值大，对于一次函数y=kx+b(k≠0),y>0意味着kx+b>0;（3）两个函数值进行比较，确定自变量的取值范围时，要先求出两个函数图象交点的横坐标，再以此为界进行讨论.以上这些问题教师要进行适时地解释、点拨，授以学生学习方法，增强学生的学习信心. 19.2.3一次函数与方程、不等式（第2课时） 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标： （1）理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组.（重点） （2）能综合应用一次函数及二元一次方程组知识解决相关实际问题.（难点） 2．数学建模目标：学会用函数观点看待解方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法. 3．逻辑推理目标：经历图象法解方程组的探究过程，学会用联系的观点理解数学问题的辩证思想.（难点） 课前准备 教师准备：多媒体课件 学生准备：预习新课 一、设计问题，创设情境 我们已经学会了如何求二元一次方程组的解的方法，比如可以用代入法，也可以用加减法，那么我们要如何用函数的观点去看待解方程组的方法呢？ 首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合，比如： （1），对于（1），根据方 程组的意义和函数的观点，就是求x取什么值时，两个函数的y值相等.它反映在图象上，就是和y=2x -1的图象的交点坐标． 本节课我们就来一起学习如何利用函数图象来解二元一次方程组. （设计意图：通过方程组的变形训练，让学生初步感受到用函数的观点看待方程组的方法.） 二、信息交流，得出新知 我们要如何从函数的角度来看待解二元一次方程组呢？ 问题1 探究一次函数与二元一次方程（组）的关系： （1）方程x+y=5可化为y= 的形式，方程2x+y=8可化为 的形式. （2）直线y=5-x上任一点的坐标都是方程x+y=5的解吗？直线y=8-2x上任一点的坐标也都是方程2x+y=8的解吗？这两条直线的交点坐标与方程组的解有什么关系？ 让学生充分讨论，得出结论. 问题2 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m／min 的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m／min的速度上升．两个气球都上升了1h． （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系分别是：1号气球： ；2号气球： .自变量x的取值范围是 （2）“在某时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个对应的函数解析式中的x和y的值要满足什么关系？如何求出x和y的值？ （3）思考：如何用一次函数图象解答问题（2）？ 解：（1）气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5;- 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. （2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y时，则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组即解得 这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度 （3） 在同一坐标系中画出这两个函数的图象如图： 如上图交点为P（20,25），即表示当x=20min时，两个气球位于同一高度y=25m. 师生共同探讨总结：一般地，因为每个含有未知数x和y 的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解. 由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. （设计意图：通过问题的探究，帮助学生提高综合应用知识的能力，根据学生的反应能力，教师可分解问题或充分地延展问题，使学生有一个正确的认识.） 三、变式演练，深化提高 1．以方程3x-y=2的解为坐标的所有点都在一次函数 的图象上. 2．若方程组 的解为则直线y=-x+a与y=x-b的交点坐标为 3．利用图象法解方程组： 答案：V y=3x-2 2.(11,4) 3.（图略） （设计意图：从图象的角度加深一次函数与二元一次方程组的关系，帮助学生在积累了一些理性认识的基础上，增加更多的形象了解.） 四、交流分享，共同成长 用图象法解方程组的步骤：（1）将方程组中各方程化为y=ax+b的形式，（2）画出每个函数的图象，（3）由交点坐标得出方程组的解. （设计意图：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.） 五、反思小结，达标检测 教师从下面几个方面引导： 1．本节课你有哪些收获？ 2．你对自己本节课的表现有何评价？ 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑感和建议？ （设计意图：通过归纳尼结，调动学生的多与意识，培在学生的归纳、语言表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 板书设计 19.2.3 一次函数与方程、不等式（第2课时） 1．二元一次方程组的图象解法：每个二元一次方程组都对应两个一次函数，画出这两个一次函数的图象，找出它们的交点坐标，即为相应的二元一次方程组的解. 2．联系两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组可确定两直线的交点坐标. 教学反思 在本节课的教学过程中，教师要让学生明白：一次函数解析式y=kx+b(k≠0)本身就是关于x,y的二元一次方程，直线y=kx+b(k≠0)上的每个点的坐标都是二元一次方程y=kx+b(k≠0)的一个解，每个二元一次方程ax+by=c (a≠0,b≠0)都可以转化为y=kx+b(k≠0)的形式，所以每人一个二元一次方程都对应一个一次函数（或一条直线），因此，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（或两条直线）.从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组就相当于确定两条相应直线的交点坐标，所以可以利用一次函数的图象解方程组. 3．你在与同学的交流中有何感受？ 4．你对本节课还有哪些疑感和建议？ （设计意图：通过归纳尼结，调动学生的多与意识，培在学生的归纳、语言表达能力，互相取长补短，完善已有的知识结构.） 学科网（北京）股份有限公司 $$