专题01 集合与充要条件（13大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题01 集合与充要条件 考纲解析 · 了解集合的含义 · 理解元素与集合的关系 · 掌握集合的表示方法 · 理解集合的之间的包含与相等关系. · 能识别给定集合的子集和真子集. · 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 考点预测 · 集合的表示 · 集合之间的关系 · 集合的基本运算 · 充分条件和必要条件 要点自测 （一）集合的概念与表示 知识点01 元素与集合的概念 1.元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 知识点02 元素与集合关系 1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点03 集合中元素的特征 1.确定性：集合的元素必须是确定的. 2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的. 3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 知识点04 集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合. 2.无限集：含有无限个元素的集合. 知识点05 常见数集与符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点06 集合的表示方法 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念． ①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． ③特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ （二）集合的基本关系 知识点01 子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 知识点02 真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 知识点03 venn图与集合的相等关系、子集关系 1. Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 3.图形表示： 4.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B. 5.如果A=B则A⊆B且B⊆A. （三）集合的基本运算 知识点01 交集 自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)， 符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，且x∈B}, 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B. 知识点02 并集 自然语言 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)， 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质 ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 知识点03 全集与补集 1.全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2.补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 可用Venn图表示． 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 知识点04 充要条件 充分条件 如果 p⇒q ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 q⇒p ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 p⇔q ，那么p是q的充要条件. 考点突破 知识点01 元素与集合的概念 · 例：下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 变式探究1．若集合，则 . 【答案】 【分析】首先化简集合，再根据交集的定义计算可得， 【详解】因为，为自然数集， 所以. 故答案为： 知识点02 元素与集合关系 · 例：已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 变式探究2．若集合是16和24的公约数，则1 ，8 ． 【答案】 【分析】根据题意求得集合，即可得结果. 【详解】因为是16和24的公约数，所以． 故答案为：；. 知识点03 集合中元素的特征 · 例：若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 变式探究3．下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 【答案】（2）（3） 【分析】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解. 【详解】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合； 对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或； 对于（3），方程的所有解组成的集合是； 对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：（2）（3） 知识点04 集合的分类 · 例：设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【分析】根据集合A、B的元素的个数，判断集合的类型. 【详解】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确； 故选：C． 变式探究4．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 【答案】7 【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得. 【详解】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 知识点05 常见数集与符号 · 例： Q.（填“∈”或“”） 【答案】 【分析】由元素与集合的关系判断即可． 【详解】解：因为为无理数，所以， 故答案为： 变式探究5．若集合，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】6 【分析】根据已知中M满足条件，列举出所有满足条件的集合M，可得答案 【详解】若集合， 则M可能为： 共6个， 故答案为：6 知识点06 集合的表示方法 · 例：集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 变式探究6．用适当的方法表示下列集合． （1）若边形的内角和组成的集合为A，则 ； （2）若在平面直角坐标系中，位于第一象限的点组成的集合为，则 ； （3）若一元二次方程的所有实数根组成的集合为，则 ． 【答案】 （或） 【分析】根据题意结合集合的描述法或列举法即可得结果. 【详解】（1）因为边形的内角和为，所以集合； （2）因为第一象限的点满足，所以集合； （3）因为一元二次方程的所有实数根为，所以集合或； 故答案为：；；（或）. 知识点07 子集 · 例：写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【答案】(1)直角三角形（答案不唯一） (2)或 (3)（答案不唯一） 变式探究7．集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 知识点08 真子集 · 例：集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 变式探究8．若全集，则集合A的真子集共有 个． 【答案】7 【分析】根据真子集的计算公式计算即可. 【详解】，所以真子集． 故答案为：7. 知识点09 venn图与集合的相等关系、子集关系 · 例：，A、B、C之间有什么关系？ 【答案】（子集符号也可以写出真子集）. 【分析】根据包含关系分析判断. 【详解】因为，可知， 所以（子集符号也可以写出真子集）. 变式探究9．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得. 【详解】由，得，而，，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 知识点10 交集 · 例：若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 变式探究10．已知集合，则 . 【答案】 【分析】利用交集的意义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 知识点11 并集 · 例：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 变式探究11．已知集合，且，则 . 【答案】2 【分析】由题意可得，可求. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 知识点12 全集与补集 · 例：已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集和补集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：C. 变式探究12．设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据补集和并集的定义求解即得． 【详解】因为全集， 集合，所以， 又，所以 故答案为：. 知识点13 充要条件 · 例：已知或，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求解即可. 【详解】设或， 若q是p的充分不必要条件，则是的真子集，则， 故答案为：. 变式探究13．已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集，再根据集合关系求解即可 【详解】因为p是q的必要而不充分条件， 所以命题q中变量的取值集合是命题p中变量的取值集合的真子集， 即或， 故或 故答案为：或 模拟演练 一、单选题 1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可. 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 2．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 3．设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：C 4．若集合，则满足的实数a的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用交集的结果求出的值即可. 【详解】由，得，则， 由，得，于是或，则或， 所以实数a的个数为2. 故选：A 5．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并运算即可求解. 【详解】，， 则. 故选：. 6．“小明是成都人”是“小明是四川人”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】“小明是成都人”则一定有“小明是四川人”，反之不成立， 所以“小明是成都人”是“小明是四川人”的充分不必要条件. 故选：B 二、填空题 7．用列举法写出所有小于10的素数组成的集合 ． 【答案】 【分析】小于10的素数有：，写出集合的形式即可. 【详解】小于10的素数由2，3，5，7， 故答案为： 8．集合有 个子集. 【答案】4 【分析】根据子集的定义计算即可. 【详解】集合有四个子集. 故答案为：4 9．南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有 人. 【答案】45 【分析】引入参数，只参加数学的占参加了竞赛班的比例列方程即可求解. 【详解】设只参加物理的有个人，则只参加数学的有个人， 因为两科都不参加的占全班的，所以参加了竞赛班的占全班的， 所以只参加数学的占参加了竞赛班的， 解得，所以全班有人. 故答案为：45. 10．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，即可求解. 【详解】由于“”的充分不必要条件是“”，故， 故， 故答案为： 三、解答题 11．（1）方程的解是什么？ （2）集合且中有多少个元素？ 【答案】（1）无解；（2）　0个 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）直接判断即可. 【详解】（1）因为，所以方程无解； （2）因为且，所以集合有0个元素. 12．用列举法表示下列集合： (1)十二生肖组成的集合； (2)中国国旗上所有颜色组成的集合． 【答案】(1){鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪} (2){红色，黄色} 【分析】利用集合的列举法一一列举出来构成集合即可. 【详解】（1）十二生肖组成的集合为：{鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪} . （2）中国国旗上所有颜色组成的集合为：{红色，黄色}. 13．设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择①②③，均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）由集合知，，解得或，所以， 当时，结合图知. （2）选择①②③，均可得. 当时，，解得; 当时，或，解得或，即. 综上所述，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与充要条件 考纲解析 · 了解集合的含义 · 理解元素与集合的关系 · 掌握集合的表示方法 · 理解集合的之间的包含与相等关系. · 能识别给定集合的子集和真子集. · 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 考点预测 · 集合的表示 · 集合之间的关系 · 集合的基本运算 · 充分条件和必要条件 要点自测 （一）集合的概念与表示 知识点01 元素与集合的概念 1.元素：一般地，把 统称为元素，常用小写的拉丁字母 表示． 2.集合：把一些 组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母 表示． 3.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 知识点02 元素与集合关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 . 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 知识点03 集合中元素的特征 1.确定性：集合的元素必须是确定的. 2.互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的. 3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 知识点04 集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合. 2.无限集：含有无限个元素的集合. 知识点05 常见数集与符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点06 集合的表示方法 1.列举法：把集合的所有元素 出来，并用 起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 3.区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（interal）的概念． ①一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 ②实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． ③特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ （二）集合的基本关系 知识点01 子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. 6.图形表示： 知识点02 真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C；②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 知识点03 venn图与集合的相等关系、子集关系 1. Venn图：用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2.定义：如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 3.图形表示： 4.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B. 5.如果A=B则A⊆B且B⊆A. （三）集合的基本运算 知识点01 交集 自然语言 一般地，由 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作_ (读作“A并B”)， 符号语言 A∪B＝__ _ 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B. 知识点02 并集 自然语言 一般地，由 的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作 (读作“A交B”)， 符号语言 A∩B＝ 图形语言 可用Venn图表示． 2.性质 ①A∪B＝B∪A； ②A∪A＝A； ③A∪∅＝∅∪A＝A； ④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； ⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B. 知识点03 全集与补集 1.全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2.补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 可用Venn图表示． 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 知识点04 充要条件 充分条件 如果 ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 ，那么p是q的充要条件. 考点突破 知识点01 元素与集合的概念 · 例：下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式探究】1．若集合，则 . 知识点02 元素与集合关系 · 例：已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【变式探究】2．若集合是16和24的公约数，则1 ，8 ． 知识点03 集合中元素的特征 · 例：若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【变式探究】3．下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 知识点04 集合的分类 · 例：设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【变式探究】4．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 知识点05 常见数集与符号 · 例： Q.（填“∈”或“”） 【变式探究】5．若集合，则满足条件的集合的个数是 . 知识点06 集合的表示方法 · 例：集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【变式探究】6．用适当的方法表示下列集合． （1）若边形的内角和组成的集合为A，则 ； （2）若在平面直角坐标系中，位于第一象限的点组成的集合为，则 ； （3）若一元二次方程的所有实数根组成的集合为，则 ． 知识点07 子集 · 例：写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【变式探究】7．集合的非空真子集有 个． 知识点08 真子集 · 例：集合的所有真子集为 ． 【变式探究】8．若全集，则集合A的真子集共有 个． 知识点09 venn图与集合的相等关系、子集关系 · 例：，A、B、C之间有什么关系？ 【变式探究】9．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 知识点10 交集 · 例：若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】10．已知集合，则 . 知识点11 并集 · 例：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】11．已知集合，且，则 . 知识点12 全集与补集 · 例：已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】12．设全集，集合，，则 ． 知识点13 充要条件 · 例：已知或，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 ． 【变式探究】13．已知p：x＞m＋3或x＜m，q：－4＜x＜1，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 模拟演练 一、单选题 1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 2．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 3．设全集，则（    ） A． B． C． D． 4．若集合，则满足的实数a的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．“小明是成都人”是“小明是四川人”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．用列举法写出所有小于10的素数组成的集合 ． 8．集合有 个子集. 9．南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有 人. 10．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 . 三、解答题 11．（1）方程的解是什么？ （2）集合且中有多少个元素？ 12．用列举法表示下列集合： (1)十二生肖组成的集合； (2)中国国旗上所有颜色组成的集合． 13．设全集为，集合. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合; (2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$