3.1 生活中的立体图形（2个知识点+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

3.1 生活中的立体图形 课程标准 学习目标 ①图形的认识 ②点、线、面、体的关系 1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类； 2．通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，了解有关点、线及某些平面图形的一些简单性质； 知识点01 立体图形的相关概念 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【即学即练1】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点、9条棱、5个面，如图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． (1)四棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (2)五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (3)你能由此猜想六棱柱、七棱柱各有几个顶点、几条棱、几个面吗？棱柱呢？ 知识点02 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【即学即练2】 （24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有，锥体有，球有_______； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有，无曲面的有_______． 题型01 常见的几何体及分类 【典例1】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，将几何体与它的名称连接起来． 【变式1】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）下面的几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ①________；②________；③________；④________； ⑤________；⑥________；⑦________；⑧________； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有________；含曲面的有__________． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将下列几何体分为三类，并说出它们的名称． 题型02 组合几何体的构成 【典例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【变式1】（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是______．（结果保留）    【变式3】（22-23六年级上·山东烟台·期中）如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 题型03 几何体中的点、棱、面 【典例3】（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）下列说法正确的有（    ）个． 长方体与正方体都有六个面；圆锥的底面是圆；棱柱的上下底面是完全相同的图形；五棱柱有五个面，五条棱． A．1个 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察如图所示的直四棱柱． (1)它有几个面？底面与侧面分别是什么图形？ (2)若底面的周长为，侧棱长为，则它的侧面积为多少？ 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是． (1)这个棱柱共有________顶点； (2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________； (3)这个棱柱的侧面积是________． 题型04 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例4】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为、宽为（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（    ） A．甲乙的侧面积相同，体积不同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 【变式2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是______立方厘米．（结果保留） 【变式3】（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如下图． (1)该“粮仓”的示意图可以由上面右侧四幅图中的第________幅图旋转而成；（填序号） (2)求该“粮仓”的体积．（提示：取3，，） 题型05 截一个几何体 【典例5】（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）用一个平面去截一个几何体，得到的截面形状是长方形，那么这个几何体可能是（　　） A．正方体、长方体、圆锥 B．圆柱、正方体、长方体 C．球、长方体、圆柱 D．长方体、圆柱、圆锥 【变式1】（23-24七年级上·全国·单元测试）一个几何体被一个平面所截后，得到一个七边形截面，则原几何体可能是（　　） A．六棱柱 B．正方体 C．长方体 D．球 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是下述哪些图形_________（填写序号）． 等边三角形，②等腰梯形，长方形，五边形，⑤六边形，七边形 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）长方体作为直棱柱，不具有以下（   ）特征 A．六个面都是长方形 B．相对面形状大小相同 C．侧棱等长且垂直底面 D．底面可能是五边形 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下面几何图形中，是棱柱的是（   ） A．   B．  C．   D．   4．（23-24六年级上·全国·单元测试）如图是将三角形绕直线旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体是如图中的（    ） A． B． C． D． 6．（17-18七年级上·陕西西安·阶段练习）用一个平面去截正方体，截面不可能是（    ） A．七边形 B．三角形 C．长方形 D．六边形 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一个长方形长，宽，以它的长所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）已知一个直棱柱共有10个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积（    ）． A．120 B．100 C．80 D．20 9．（2024七年级上·四川成都·专题练习）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）用一个平面截下面的几何体，截面总是能获得圆的是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 11．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）用一个平面分别去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④球；⑤三棱锥；截面可能是三角形的有________（填序号） 12．（22-23七年级下·浙江宁波·开学考试）将棱长为8分米的正方体表面涂上红色，然后把正方体锯成棱长为1分米的小正方体，则这些小正方体中至少有一面涂漆的有________块 13．（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形，则该立体图形的体积为________．（结果保留π） 14．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）长方体的长、宽、高分别是、、，它的体积是________． 15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是______． 16．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）若一个直棱柱有十六个顶点，它的底面边长都是，且所有侧棱长的和为，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是_______． 17．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是_______．      18．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是_______平方厘米． 19．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则________． 20．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是_______． 21．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，至少找出下列几何体的四个共同点． 23．（23-24六年级上·山东烟台·期中）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）    (1)有顶点的几何体有________________； (2)截面可能为四边形的有________________； (3)能由平面旋转形成的有________________； (4)截面不可能是圆形的有________________． 24．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示的五棱柱的底面周长是，侧棱长，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？ 25．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知一个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，将这个直角三角形分别绕它的两条直角边旋转一周（如图），可以得到哪种几何体？这两个几何体的体积分别是多少？比一比，怎样旋转得到的几何体的体积较大？（取3） 26．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长． (1)该几何体的名称为______； (2)该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； (3)求它的所有侧面的面积之和． 27．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 28．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）不透明袋子中装有一个棱柱，小金告诉小林关于这个棱柱的一些信息：①共有18个顶点；②所有侧棱长的和为． 请回答以下问题： (1)该棱柱是_____棱柱； (2)求该棱柱每条侧棱的长； (3)若该棱柱的底面边长都为，则这个棱柱的底面周长是多少？ 29．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 30．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 生活中的立体图形 课程标准 学习目标 2点、 形的认识 ②点、线、面、体的关系 1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类； 2．通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，了解有关点、线及某些平面图形的一些简单性质； 知识点01 立体图形的相关概念 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【即学即练1】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点、9条棱、5个面，如图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． (1)四棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (2)五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (3)你能由此猜想六棱柱、七棱柱各有几个顶点、几条棱、几个面吗？棱柱呢？ 【答案】(1)8，12，6；(2)10，15，7；(3)六棱柱有12个顶点、18条棱、8个面；七棱柱有14个顶点、21条棱、9个面；n棱柱有个顶点、条棱、个面 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，几何体中点、面、棱的个数问题： （1）根据图形求出对应几何体的点、面、棱的个数即可； （2）根据图形求出对应几何体的点、面、棱的个数即可； （3）根据三棱柱，四棱柱，五棱柱中点，面，棱的个数可得规律n棱柱有个顶点，条棱，个面，据此规律求解即可． 【详解】（1）解：四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面， 故答案为：8，12，6； （2）解：五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面， 故答案为：10，15，7； （3）解：三棱柱有个顶点，条棱，个面， 四棱柱有个顶点，条棱，个面， 五棱柱有个顶点，条棱，个面， ……， 以此类推可知n棱柱有个顶点，条棱，个面， ∴六棱柱有12个顶点、18条棱、8个面；七棱柱有14个顶点、21条棱、9个面． 知识点02 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【即学即练2】 （24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有，锥体有，球有_______； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有，无曲面的有_______． 【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）； (2)（），（），（）；（），（），（）． 【分析】（）根据立体图形的分类即可求解； （）根据立体图形的分类即可求解； 本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键． 【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（）， 故答案为：（），（），（）；（）（）；（）； （2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（）， 故答案为：（），（），（）；（），（），（）． 题型01 常见的几何体及分类 【典例1】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，将几何体与它的名称连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了认识立体图形，根据常见立体图形的概念连线即可，注意正确区分各个几何体的特征可得答案． 【详解】 【变式1】（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）下面的几何体中，属于柱体的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是熟练的掌握认识立体图形． 根据柱体、锥体、球体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：图中的几何体从左到右依次是：长方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱， 因此柱体有：长方体、圆柱、四棱柱、三棱柱，共4个， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ①________；②________；③________；④________； ⑤________；⑥________；⑦________；⑧________； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有________；含曲面的有__________． 【答案】(1)圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱 (2)③④⑤⑥⑧；①②⑦ 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （1）根据几何体的特点回答即可； （2）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱． （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦； 故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦． 【变式3】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将下列几何体分为三类，并说出它们的名称． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何体的分类，解题的关键是掌握几何体分类的标准，根据几何体的特征写出名称，然后按柱体、锥体、球体为标准进行分类或按面的特征进行分类即可． 【详解】解：（1）是长方体；（2）是三棱柱；（3）是球体；（4）是圆柱；（5）是圆锥；（6）是三棱锥；（7）是六棱柱； 方法一：（1），（2），（4），（7）是一类，是柱体； （5），（6）是一类，是锥体； （3）是一类，是球体． 方法二：（1），（2），（6），（7）是一类，全是由平面构成的； （4），（5）是一类，既有平面，又有曲面； （3）是一类，只有曲面． 题型02 组合几何体的构成 【典例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 【变式1】（24-25七年级上·河南漯河·开学考试）如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是______．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查长方体体积和圆柱的体积，根据零件的体积长方体体积圆柱体积，列式求解即可，注意圆孔选择面积最小的一个面，即圆柱的高为． 【详解】解：由题知，零件的体积． 故答案为：． 【变式3】（22-23六年级上·山东烟台·期中）如图是由棱长为1厘米的小正方体木块搭成的几何体．至少还需要个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 【答案】 【分析】根据图形，可得搭成后的大正方体的每条棱长至少是由3个小正方体组成的，据此可以得出搭成后的大正方体中的小正方体的个数，再减去图中已有的小正方体的个数，即可得出答案． 【详解】解： （个）， ∴至少还需要个这样的小正方体才能搭成一个正方体． 故答案为： 【点评】本题考查了几何体的认识，解本题的关键在根据图形确定出搭成后的正方体的最小棱长． 题型03 几何体中的点、棱、面 【典例3】（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）下列说法正确的有（    ）个． 长方体与正方体都有六个面；圆锥的底面是圆；棱柱的上下底面是完全相同的图形；五棱柱有五个面，五条棱． A．1个 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的基本特征，根据立体图形的特征逐项分析即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：长方体与正方体都有六个面，说法正确； 圆锥的底面是圆，说法正确； 棱柱的上下底面是完全相同的图形，说法正确； 五棱柱有七个面，条棱，原说法错误； 综上所述，说法正确的有①②③，共个， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念． （1）观察几何体，补充表格即可； （2）通过观察，发现棱数顶点数面数． 【详解】（1）解： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）解：观察表得， 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）观察如图所示的直四棱柱． (1)它有几个面？底面与侧面分别是什么图形？ (2)若底面的周长为，侧棱长为，则它的侧面积为多少？ 【答案】(1)6个面，底面为梯形，侧面为长方形；(2)． 【分析】本题考查棱柱的特征，棱柱的侧面积： （1）根据直四棱柱的特征直接解答即可； （2）根据棱柱的侧面积公式：底面周长高，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：直四棱柱有6个面，底面为梯形，侧面为长方形； （2）它的侧面积为． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是． (1)这个棱柱共有________顶点； (2)这个棱柱共有________条棱，所有棱长的和________； (3)这个棱柱的侧面积是________． 【答案】(1)12；(2)18，96；(3)144 【分析】本题考查了认识立体图形．n棱柱的面是个，侧面是n个，棱是条，顶点是个，熟练掌握是解决问题的关键． （1）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点； （2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和； （3）运用底面周长乘以高即可得到侧面积． 【详解】（1）∵上下两个底面各有6个顶点， ∴（个）， ∴这个棱柱共有12个顶点， 故答案为：12个； （2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱， ∴（条）， ∴（）， ∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96， 故答案为：18，96； （3）∵侧面积等于底面周长乘高 ∴（）， ∴这个棱柱的侧面积是144． 故答案为：144． 题型04 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例4】（20-21七年级上·山东青岛·单元测试）如图所示，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了面动成体，根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 【详解】解：图（1）绕虚线旋转一周得到的几何体上部分是圆柱，下部分是圆锥； 图（2）绕虚线旋转一周得到的几何体是球体； 图（3）绕虚线旋转一周得到的几何体是上下两个圆锥； 图（4）绕虚线旋转一周得到的几何体是圆柱的下部分凹进去一个圆锥． 连线如图所示． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为、宽为（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（    ） A．甲乙的侧面积相同，体积不同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 【答案】A 【分析】本题考查旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果． 【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为； 乙图圆柱的侧面积为：，体积为； 故甲乙的侧面积相同，体积不同；故选A． 【变式2】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是______立方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， 以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， ， 最大的立体图形的体积是立方厘米，故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如下图． (1)该“粮仓”的示意图可以由上面右侧四幅图中的第________幅图旋转而成；（填序号） (2)求该“粮仓”的体积．（提示：取3，，） 【答案】(1)②；(2)192 【分析】本题主要考查几何体的体积，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知该几何体是由第②幅图旋转而成的；故答案为②； （2）解：该“粮仓”的体积为． 题型05 截一个几何体 【典例5】（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）用一个平面去截一个几何体，得到的截面形状是长方形，那么这个几何体可能是（　　） A．正方体、长方体、圆锥 B．圆柱、正方体、长方体 C．球、长方体、圆柱 D．长方体、圆柱、圆锥 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单图形的识别，其中几何体的截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 根据正方体、长方体、圆锥、圆柱、球的形状判断即可，可用排除法． 【详解】解：∵圆锥，球的截面不可能是长方形， ∴A、C、D都是错误的，故选B． 【变式1】（23-24七年级上·全国·单元测试）一个几何体被一个平面所截后，得到一个七边形截面，则原几何体可能是（　　） A．六棱柱 B．正方体 C．长方体 D．球 【答案】A 【分析】此题考查了平面截几何体.根据几何体的截面的特征依次分析各选项即可作出判断． 【详解】解：∵球有一个曲面，长方体和正方体有6个面，六棱柱有8个面， ∴只有六棱柱可能得到一个七边形截面． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，根据平面截一个几何体的特点即可得． 【详解】解：用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状可能是三角形、四边形、五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是下述哪些图形_________（填写序号）． 等边三角形，等腰梯形，长方形，五边形，六边形，七边形 【答案】 【分析】本题考查了截一个几何体，充分发挥空间想象力，利用正方体的性质作出图形是解题的关键． 根据正方体的性质作出各截面图即可得解． 【详解】解：如图，用一个平面去截一个正方体，截面可能会出现： 等边三角形，等腰梯形，长方形，五边形，六边形， 正方体只有六个面，作不出七边形， 截面不可能是七边形， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点． 根据圆柱、圆锥、球体、正方体的主要特点判断即可； 【详解】解：A是正方体，B是球体，C是圆柱体，D是圆锥体， 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）长方体作为直棱柱，不具有以下（   ）特征 A．六个面都是长方形 B．相对面形状大小相同 C．侧棱等长且垂直底面 D．底面可能是五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了长方体和直棱柱的基本性质，根据长方体和直棱柱的特点可得答案． 【详解】解：A、长方体六个面都是长方形，A选项说法正确，不符合题意； B、长方体相对面形状大小相同，B选项说法正确，不符合题意； C、长方体六侧棱等长且垂直底面，C选项说法正确，不符合题意； D、长方体底面是长方形，D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下面几何图形中，是棱柱的是（   ） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了几何体的认识，根据球体，棱锥，棱锥，圆柱的概念逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 是圆柱，不合题意； B. 是球体，不合题意； C. 是棱柱，符合题意； D. 是圆锥，不合题意； 故选：C． 4．（23-24六年级上·全国·单元测试）如图是将三角形绕直线旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握平面图形旋转后所得的立体图形是解题的关键． 通过观察即可直接判断． 【详解】解：通过观察发现： 将平面图形绕着直线旋转一周即可得到如图所示的立体图形，故选：． 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体是如图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转体的结构特征，熟练掌握各种面动成体的结构特征是解题的关键，根据面动成体的原理：一个直角三角形绕它的最长边旋转一周，得到的是两个同底且相连的圆锥． 【详解】解：A、圆柱是由一长方形绕其一边长旋转而成的； B、圆锥是由一直角三角形绕其直角边旋转而成的； C、该几何体是由直角梯形绕其下底旋转而成的； D、该几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的； 故选：D． 6．（17-18七年级上·陕西西安·阶段练习）用一个平面去截正方体，截面不可能是（    ） A．七边形 B．三角形 C．长方形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题主要考查的是截一个几何体，根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可． 【详解】解：正方体最多有6个面，截面最多也经过6个面，得到的多边形的边数最多是六边形，所以不可能是七边形．故选：A 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一个长方形长，宽，以它的长所在直线为轴旋转一周，得到的圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱的体积，根据旋转方式，得到圆柱体的底面半径为，高为，利用体积公式进行计算即可． 【详解】解：；故选B． 8．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）已知一个直棱柱共有10个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积（    ）． A．120 B．100 C．80 D．20 【答案】B 【分析】根据题意，判断这个直棱柱是五棱柱，利用直棱柱侧面积公式即可解答．本题考查了直五棱柱侧面积的计算，熟记侧面积计算公式是解答此题的关键． 【详解】解：∵一个直棱柱共有10个顶点， ∴这个直棱柱是五棱柱， ∵它的底面边长都是，侧棱长都是， ∴它的侧面积是，故选：B． 9．（2024七年级上·四川成都·专题练习）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，关键要注意观察，培养空间想象力，解题的关键是要掌握面动成体的原理；根据面动成体的原理以及空间想象力即可得到答案． 【详解】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体． 故选：D． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）用一个平面截下面的几何体，截面总是能获得圆的是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的截面，解题的关键要理解面与面相交得到线．根据圆柱、圆锥、球、圆台的形状特点判断即可． 【详解】解：A、对于圆柱，如果截面与上、下底面平行，那么截面就是圆，否则是椭圆或长方形等，故不符合题意； B、对于圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆，否则截面可以是三角形、椭圆或其它平面图形，故不符合题意； C、对于球，用平面任意截，截面一定是圆，故符合题意； D、对于圆台，如果截面与底面平行，那么截面就是圆，否则截面可能是梯形、椭圆或其它平面图形，故不符合题意； 故选：C． 11．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）用一个平面分别去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④球；⑤三棱锥；截面可能是三角形的有________（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了截一个几何体，正确认识几何体的形状是解题的关键．本题根据各立体图形的形状结合实际操作进行判断即可． 【详解】解：由题意得，截面的形状可能是三角形的有①正方体；③圆锥；⑤三棱锥；用一个平面截②圆柱；④球；截面不可能是三角形， 故答案：①③⑤． 12．（22-23七年级下·浙江宁波·开学考试）将棱长为8分米的正方体表面涂上红色，然后把正方体锯成棱长为1分米的小正方体，则这些小正方体中至少有一面涂漆的有________块 【答案】296 【分析】本题主要考查了正方体的组合与分割，根据题意可发现一共可以切出个小正方体，顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此先计算出最中间没有涂色的小正方体一共有个，再用总个数减去没有涂色的小正方体个数，即可解答. 【详解】解： (个)， 答：这些小正方体中至少有一面涂漆的共有296块． 故答案为：296． 13．（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）已知长方形的长为，宽为，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形，则该立体图形的体积为________．（结果保留π） 【答案】48π或 【分析】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．分长方形的长为轴旋转和以长方形的宽为轴旋转两种情况根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】解：当以长方形的宽为轴旋转时， 体积为： （）； 当以长方形的长为轴旋转时， 体积为：（）． 综上，这个几何体的体积为或． 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）长方体的长、宽、高分别是、、，它的体积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的底面积和体积，根据长方体的底面积和体积公式计算即可，准确计算是解题的关键． 【详解】解：长方体的底面积长宽（）， 长方体的体积底面积高（）， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是______． 【答案】60 【分析】本题考查棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键．五棱柱有5个面为侧面，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵该棱柱是五棱柱， ∴侧面积的和为：， 故答案为：60． 16．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）若一个直棱柱有十六个顶点，它的底面边长都是，且所有侧棱长的和为，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是_______． 【答案】480 【分析】本题考查了直棱柱的性质，理解直棱柱的侧面积的计算方法是解题的关键． 根据直棱柱的顶点数确定出是八棱柱，求出侧棱长，再根据棱柱的侧面积底面周长乘侧棱长，列式计算即可得解． 【详解】解：一个直棱柱有十六个顶点， 该棱柱是八棱柱， 它的底面边长都是， 它的底面周长， 所有侧棱长的和是， 侧棱长， 所有侧面面积之和． 故答案为：480． 17．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是_______．      【答案】 【分析】从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【详解】解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何体体积、表面积的计算，明确挖去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 18．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是_______平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查立体图形，解题的关键是根据切割方法和小正方体的个数，明确切割方法以及原长方体的长宽高的值．一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割，正好是切了6刀，得到24个小正方体，因为每个小正方体的棱长是1厘米，所以原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米，据此利用长方体的表面积公式计算即可解答问题． 【详解】解：一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割， ∴原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米， 所以表面积是： （平方厘米） 答：原长方体的表面积是52平方厘米． 故答案为：52． 19．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则________． 【答案】14 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理．得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 故答案为：14． 20．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是_______． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点评】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 21．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：柱体为：①②⑤⑦⑧； 锥体为：④⑥； 球体为：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【点评】本题主要考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，至少找出下列几何体的四个共同点． 【答案】见解析，答案不唯一 【分析】本题考查了几何体的定义．熟练掌握几何体的定义是解题的关键． 根据几何体的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，三个几何体都由平面组成，侧面都是长方形，都有上下底面，都有侧棱． 23．（23-24六年级上·山东烟台·期中）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）    (1)有顶点的几何体有________________； (2)截面可能为四边形的有________________； (3)能由平面旋转形成的有________________； (4)截面不可能是圆形的有________________． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（）根据所给的图形的特点即可得出答案； （）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案； （）根据平面旋转形特点，即可得出答案； （）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案； 此题考查了平面图形和立体图形，解题的关键是正确理解它们之间的联系和区别． 【详解】（1）有顶点的几何体有（1）（2）（5）（6）（7）； （2）截面可能为四边形的有 （1）（2）（4）（6）（7）； （3）能由平面旋转形成的有 （3）（4）（5） ； （4）截面不可能是圆形的有  （1）（2）（6）（7）． 24．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示的五棱柱的底面周长是，侧棱长，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】个面；． 【分析】本题考查了几何体及其侧面积，根据五棱柱的概念和侧面展开图是一个长方形即可解答，掌握五棱柱的侧面展开图是一个长方形是解题的关键． 【详解】解：五棱柱有个侧面，上下个面，一共个面； ∵五棱柱的侧面展开图是一个长为，宽为的长方形， ∴它的所有侧面的面积之和是． 25．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知一个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，将这个直角三角形分别绕它的两条直角边旋转一周（如图），可以得到哪种几何体？这两个几何体的体积分别是多少？比一比，怎样旋转得到的几何体的体积较大？（取3） 【答案】圆锥；；；绕直角边旋转一周得到的几何体的体积较大 【分析】本题考查的是将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，即面动成体，解题的关键是掌握圆锥的体积计算公式． 根据题意分别求出绕直角边旋转一周的体积和绕直角边旋转一周的体积求解即可． 【详解】解：可以得到圆锥． ∵绕直角边旋转一周的体积：， 绕直角边旋转一周的体积：， ∵， ∴绕直角边旋转一周得到的几何体的体积较大． 答：可以得到圆锥；绕直角边旋转一周得到的几何体的体积是；绕直角边旋转一周得到的几何体的体积是，绕直角边旋转一周得到的几何体的体积较大． 26．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长． (1)该几何体的名称为______； (2)该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； (3)求它的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)五棱柱；(2)7，10，15；(3)它的所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查几何体及几何体的表面积． （1）根据图形知几何体的名称为五棱柱； （2）五棱柱的概念作答即可； （3）根据长方形的面积作答即可． 【详解】（1）解：根据图形知几何体的名称为五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：该几何体有7个面，10个顶点，15条棱； 故答案为：7，10，15； （3）解：侧面积之和：． 答：它的所有侧面的面积之和是． 27．（24-25七年级上·河南·阶段练习）如图①，是一个两直角边长分别为3，4的直角三角形，按如图②以边长为4的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为3的直角边所对的顶点且与边长为3的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小即可. 【详解】解：图3中圆锥的体积更大． 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴， ∴图③中圆锥的体积更大． 28．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）不透明袋子中装有一个棱柱，小金告诉小林关于这个棱柱的一些信息：①共有18个顶点；②所有侧棱长的和为． 请回答以下问题： (1)该棱柱是_____棱柱； (2)求该棱柱每条侧棱的长； (3)若该棱柱的底面边长都为，则这个棱柱的底面周长是多少？ 【答案】(1)九；(2)；(3) 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）根据棱柱顶点的个数确定出是九棱柱； （2）根据棱柱的每一条侧棱都相等即可求出答案； （3）底面周长用底面边长乘9即可． 【详解】（1）解：由一个棱柱共有18个顶点可得该棱柱是九棱柱， 故答案为：九； （2）解：九棱柱有9条侧棱长，所有的侧棱长的和是， 每条侧棱长为； 答：该棱柱每条侧棱的长； （3）解：这个棱柱的底面有9条边长，则底面周长是， 答：这个棱柱的底面周长是． 29．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 【答案】(1)小红；(2)甲的体积为；乙的体积；它们的比值是 【分析】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高． （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，再求解比值即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等； 所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）解：甲的体积：， 乙的体积：， ∴． 30．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5；(2)21，50；(3)正四面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体． 故答案为：正四面体． 【点评】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$