专题02 圆的切线的证明的三种类型-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题02 圆的切线的证明的三种类型 类型一：见半径，证明垂直 类型二：连半径，证明垂直 类型三：作垂直，证明半径 类型一：见半径，证明垂直 1．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝5，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径和线段BM的长 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当BE＝6时，求⊙O半径的长． 3．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切． （2）若CA＝4，CD＝6，求DE的长． 4．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一个动点，过点B作⊙O的切线，连接AD并延长，交过点B的切线于点C，E是BC的中点，连接OD、DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）连接OE交⊙O于点F，连接DF，当BC＝18，OA＝　 　时，四边形ADFO是菱形． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝2，BD＝4，求AB长． 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点D是的中点，点E是AB延长线上的一点，连接CE，∠E＝∠ADB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠ADB＝60°，，求BC的长． 7．如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝2，求线段AB的长． 类型二：连半径，证明垂直 8．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 9．如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 12．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O切线； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN． （1）求证：EN是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长． 类型三：作垂直，证明半径 15．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若正方形ABCD的边长为2，求⊙O的半径． 16．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线； （2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长． 19．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆的切线的证明的三种类型 类型一：见半径，证明垂直 类型二：连半径，证明垂直 类型三：作垂直，证明半径 类型一：见半径，证明垂直 1．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝5，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M． （1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径和线段BM的长 【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形性质外角的性质得∠DOB＝60°，∠ADO＝∠OAD＝30°，进而可求证∠ODB＝90°，进而可求证结论； （2）连接DM，利用三角形的特征得，进而可得OC＝BC＝5，则可求得⊙O的半径为5，进而可得DE＝10，，在Rt△BDE中和在Rt△BDM中利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝30°， ∴∠ADO＝∠OAD＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°， ∴OD⊥BD， ∵OD是半径， ∴BD是⊙O的切线． （2）解：连接DM，如图： 由（1）得：∠ODB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴， ∵OD＝OC，BC＝5， ∴OC＝BC＝5， ∴⊙O的半径为5， ∴DE＝10，， 在Rt△BDE中，∠EDB＝90°，DE＝10，， ∴， ∵DE为直径， ∴∠DME＝90°， ∴DM⊥BE， ∴DE•BD＝DM•BE，即：， 解得：， 在Rt△BDM中，∠BMD＝90°，，， ∴． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）当BE＝6时，求⊙O半径的长． 【分析】（1）先证∠BDE+∠ADC＝90°，再由AC＝AD，EB＝DB得∠ACD＝∠ADC，∠E＝∠BDE，进而得∠E+∠BCE＝90°，于是有∠EBC＝90°，从而即可证明结论成立； （2）设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，利用勾股定理得62+（r+3）2＝（2r）2，求得r＝5； 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDE+∠ADC＝90°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠ADC， ∵EB＝DB， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠E+∠BCE＝90°， ∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， ∵OC＝3， ∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r， ∵BE＝6， ∴BD＝BE＝6， 在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2， ∴36+（r+3）2＝（2r）2， ∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去）， ∴⊙O半径的长为5． 3．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE，OE∥AD交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切． （2）若CA＝4，CD＝6，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的性质可得∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，进而可得∠EOB＝∠DOE，则可以利用SAS证明△BOE≌△DOE，得∠OBE＝∠ODE＝90°，可以得到结论； （2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理进行列出方程进行求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵直线CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°， ∵OE∥AD， ∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB， ∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO， ∴∠EOB＝∠DOE， 在△BOE和△DOE中， ， ∴△BOE≌△DOE（SAS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°，即OB⊥BE， 又∵OB是⊙O半径， ∴直线BE与⊙O相切； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，即r2+62＝（r+4）2， 解得：r＝2.5， ∴AB＝2r＝5， ∴BC＝AC+AB＝4+5＝9， 由（1）得△BOE≌△DOE， ∴BE＝DE， 在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，即92+BE2＝（6+DE）2， ∴92+BE2＝（6+BE）2， 解得：， ∴DE的长为． 4．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一个动点，过点B作⊙O的切线，连接AD并延长，交过点B的切线于点C，E是BC的中点，连接OD、DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）连接OE交⊙O于点F，连接DF，当BC＝18，OA＝　9　时，四边形ADFO是菱形． 【分析】（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由直角三角形的性质得出DE＝BE＝CE＝BC，由等腰三角形的性质得出∠DBE＝∠BDE，∠OBD＝∠ODB，得出∠OBE＝∠ODE＝90°即可得出结论； （2）证出△AOD是等边三角形，得出∠A＝60°，由直角三角形的性质得出AB即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接BD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∵在Rt△BDC中，点E是BC的中点， ∴DE＝BE＝CE＝BC， ∴∠DBE＝∠BDE， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠DBE+∠OBD＝∠BDE+∠ODB， 即∠OBE＝∠ODE， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ODE＝∠OBE＝90°， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O切线； （2）解：∵四边形ADFO为菱形， ∴OA＝AD， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝AD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠ABC＝90°，BC＝18， ∴AB＝tan30°BC＝×18＝18， ∴OA＝AB＝9， ∴OA＝9时，四边形ADFO是菱形． 故答案为：9． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝2，BD＝4，求AB长． 【分析】（1）由等边对等角，角平分线可证OD∥AC，则∠BDO＝∠C＝90°，进而结论得证； （2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r，由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，计算求解，然后作答即可． 【解答】（1）证明：∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠OAD， ∴∠DAC＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠BDO＝∠C＝90°， ∵OD是半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r， 由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42， 解得，r＝3， ∴AB＝2+2×3＝8， ∴AB的长为8． 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点D是的中点，点E是AB延长线上的一点，连接CE，∠E＝∠ADB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠ADB＝60°，，求BC的长． 【分析】（1）首先根据等量代换得到∠E＝∠ACB，然后根据同角的余角相等得到∠ACE＝90°，进而证明即可； （2）连接DO，首先根据点D是的中点得到∠AOD＝90°，然后根据勾股定理求出AC＝2AO＝8，最后利用30°角直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图， ∵， ∴∠ADB＝∠ACB， ∵∠E＝∠ADB， ∴∠E＝∠ACB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠E＝90°， ∴∠ACE＝90°，即：AC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线， （2）解：连接DO， ∵点D是的中点，AC是⊙O的直径， ∴， ∴∠AOD＝90°，AD＝2， 在Rt△AOD中，设AO＝DO＝x， 由勾股定理可得：AD2＝AO2+DO2，（2）2＝x2+x2， 解得：x＝2， ∴AC＝2AO＝4， ∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝30°，则有BC＝， 故BC的长为2． 7．如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，PC＝2，求线段AB的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠OAC，∠BPA＝∠BAP，求得∠CPO＝∠BAP，推出∠BAO＝90°，根据切线判定定理得到AB是⊙O的切线； （2）根据勾股定理得到OP＝＝＝2，设BA＝BP＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵OA＝OC， ∴∠C＝∠OAC， ∵PB＝BA， ∴∠BPA＝∠BAP， ∵∠CPO＝∠BPA， ∴∠CPO＝∠BAP， ∵OP⊥OC， ∴∠COP＝90°， ∴∠C+∠CPO＝90°， ∴∠CAO+∠BAP＝90°， 即∠BAO＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵∠COP＝90°，OC＝4，PC＝2， ∴OP＝＝＝2， 设BA＝BP＝x， ∵∠BAO＝90°， ∴AB2+AO2＝OB2， ∴x2+42＝（2+x）2， ∴x＝3， ∴线段AB的长为3． 类型二：连半径，证明垂直 8．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 9．如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度． 【分析】（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明； （2）设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R＝4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH＝BH，再利用面积法计算出OH＝，然后根据勾股定理计算出AH＝，再利用垂径定理得出AB＝2AH＝． 【解答】（1）证明：连接OA； ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∴OA⊥OC； 又∵AD∥OC， ∴OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线． （2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2， 在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2， ∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4， 作OH⊥AB于H，如图，OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2， 则AH＝BH， ∵OH•AE＝•OE•OA， ∴OH＝＝＝， 在Rt△AOH中，AH＝＝， ∵OH⊥AB， ∴AB＝2AH＝． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长． 【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论； （2）设半径为x，在直角三角形ODC中，根据勾股定理列方程即可求出半径． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC． ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO． ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠ADC+∠BDO＝90°． ∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°． 又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵CD＝AC， ∴CD＝4， 设半径为x，则OC＝x+2， 在直角三角形ODC中， OC2＝OD2+CD2，即（x+2）2＝x2+42， ∴x＝3． ∴半径的长为3． 11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可； （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，再根据勾股定理可解决问题． 【解答】（1）如图，连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠OED＝∠FEC， ∴∠OED＝∠FCE， ∵AB是直径，D是的中点， ∴∠DOE＝90°， ∴∠OED+∠ODC＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°， ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2， 在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2 ∴42+r2＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴OB＝OD＝3， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴． 12．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O切线； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题； （2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE+∠ADE＝90°． ∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADO， 又∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠DAE+∠OAD＝90°， ∴OA⊥AE， ∴AE是⊙O切线； （2）解：如图，取CD中点F，连接OF， ∴OF⊥CD于点F． ∴四边形AEFO是矩形， ∵CD＝6， ∴DF＝FC＝3． 在Rt△OFD中，OF＝AE＝4， ∴OD＝＝＝5， 在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2， ∴AD＝， ∴AD的长是． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长． 【分析】（1）连接OD，连接OC交BD于M，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COD＝∠COB，由OD＝OB，得到OC⊥BD，又CF∥BD，因此半径OC⊥CF，即可证明CF是⊙O的切线； （2）设OM＝x，由勾股定理得到62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，求出x＝1.4，由三角形中位线定理，得到AD＝2OM＝2x＝2.8． 【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M， ∵CD＝CB， ∴＝， ∴∠COD＝∠COB， ∵OD＝OB， ∴OC⊥BD，DM＝BM， ∵CF∥BD， ∴半径OC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：设OM＝x， ∵OC＝AB＝5， ∴MC＝5﹣x， ∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， ∴x＝1.4， ∵AO＝OB，DM＝BM， ∴OM是△BAD的中位线， ∴AD＝2OM＝2x＝2.8． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN． （1）求证：EN是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEM+∠AEO＝90°即可； （2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵MN是AB的中垂线， ∴NE＝NB， ∴∠B＝∠NEB， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠NEB+∠OEA＝90°， ∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°， 即OE⊥EN， ∵OE是半径， ∴EN是⊙O的切线； （2）解：如图，连接ON， ∵MN是BE的中垂线， ∴NE＝NB， 设EN＝x＝BN， 在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2， 在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2， ∴OC2+CN2＝OE2+EN2， 即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2， 解得x＝， 即EN＝． 类型三：作垂直，证明半径 15．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若正方形ABCD的边长为2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，根据正方形性质推出∠ACB＝∠ACD，根据角平分线性质推出OM＝ON即可； （2）若正方形的边长为2，则对角线AC的长为2，可用⊙O的半径表示出OA、OM、OC的长，然后根据AC的长度求出⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N， ∵⊙O与BC相切于M， ∴OM⊥BC， ∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD， 又∵ON⊥CD，OM⊥BC ∴OM＝ON ∴CD与⊙O相切． （2）解：设⊙O的半径为R，则OM＝R． ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AC＝2，OC＝2﹣R． 在Rt△OMC中， ∵sin∠OCM＝， ∴sin45°＝， 解之，得R＝4﹣2． 16．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接EM，若EM∥BC，求∠ABC的度数． 【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥BC于N，先根据切线的性质得OM⊥AB，再由角平分线的性质得ON＝OM，进而根据切线的判定可得出结论； （2）设∠ABE＝α，根据角平分线的定义得ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2α，再由EM∥BC得∠MEB＝∠CBE＝α，由OE＝OM得∠MEB＝∠OME＝α，由此得∠MOB＝2α，然后根据∠MOB+∠MBE＝90°求出α＝30°，进而可得∠ABC的度数． 【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥BC于N，如图所示： ∵点O为⊙O的圆心，AB为⊙O的切线，切点为M， ∴OM为⊙O的半径，且OM⊥AB， ∵BD为∠ABC平分线，点O为BD上的点，且OM⊥AB，ON⊥BC， ∴ON＝OM， 即ON为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设∠ABE＝α， ∵BD为∠ABC平分线， ∴∠ABE＝∠CBE＝α，∠ABC＝2∠ABE＝2α， ∵EM∥BC， ∴∠MEB＝∠CBE＝α， ∵OE＝OM， ∴∠MEB＝∠OME＝α， ∴∠MOB＝∠MEB+∠OME＝2α， ∵OM⊥AB， ∴∠MOB+∠MBE＝90°， 即2α+α＝90°， ∴α＝30°， ∴∠ABC＝2α＝60°． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，∠BAD的角平分线交DE于点O，以点O为圆心，OD为半径的圆经过点C，交BC于另一点F． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若CF＝24，OE＝5，求CD的长． 【分析】（1）过点O作AB的垂线，证明出OG＝OD即可； （2）利用勾股定理求出半径，再利用勾股定理求出CD即可． 【解答】解：（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G， ∵AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD， 又∵∠BAD的角平分线交DE于点O， ∴OG＝OD， 又∵OG⊥AB， ∴AB与⊙O相切； （2）连接OC． ∵DE⊥CF， ∴， 在Rt△OEC中，＝OD， ∴DE＝OD+OE＝13+5＝18， 在Rt△DEC中，． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线； （2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD＝DF．根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到AB＝FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F， ∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC， ∴AD＝DF． ∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC， ∴BC是⊙D的切线； （2）解：∵∠BAC＝90°． ∴AB与⊙D相切， ∵BC是⊙D的切线， ∴AB＝FB． ∵AB＝5，BC＝13， ∴CF＝8，AC＝12． 在Rt△DFC中， 设DF＝DE＝r，则 r2+64＝（12﹣r）2， 解得：r＝． ∴CE＝12﹣2×＝． 19．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求OD的长． 【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，根据切线的性质由AM切⊙O于点A得OA⊥AD，再根据角平分线定理得到OE＝OA，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）过D作DF⊥BC于F，根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，则得到四边形ABFD为矩形，得到BF＝AD＝4，所以CF＝BC﹣BF＝5，再利用切线长定理得DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，所以DC＝AD+BC＝13，在Rt△DCF中，利用勾股定理计算出DF＝12，则AB＝12，所以OA＝6，然后在Rt△OAD中，利用勾股定理可计算出OD． 【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图， ∵AM切⊙O于点A， ∴OA⊥AD， ∵DO平分∠ADC， ∴OE＝OA， ∵OA为⊙O的半径， ∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过D作DF⊥BC于F，如图， ∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴四边形ABFD为矩形， ∴BF＝AD＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝5， ∵DC、AM、BC为圆的切线， ∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9， ∴DC＝AD+BC＝13， 在Rt△DCF中，DF＝＝12， ∴AB＝12， ∴OA＝6， 在Rt△OAD中，OD＝＝＝2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$