第6期 3.1～3.3（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 ５期答案 一、１．Ｃ；　２．Ｂ； ３．Ｄ；　４．Ａ；　５．Ｃ； ６．Ｄ；　７．Ａ；　８．Ｂ； ９．Ａ；　１０．Ａ． 二、１１．４； １２．０（答案不惟一，ｋ ≥０即可）； １３．４；　１４．８； １５．４或 －２；　１６．５； １７．１；　１８．５． 三、１９．（１）ｘ１ ＝７，ｘ２ ＝－１． （２）ｘ１＝ ３＋槡３ ２ ，ｘ２＝ ３－槡３ ２ ． ２０．每人每周能够号召 １０人加入“志愿服务团”． ２１．（１）证明：因为 ｘ２ ＋（ｍ－４）ｘ－２ｍ＝０， 所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝ （ｍ－４）２－４×（－２ｍ）＝ ｍ２＋１６＞０， 所以该方程总有两个 不相等的实数根． （２）因为该方程的两 根互为相反数， 所以ｘ１＋ｘ２＝－（ｍ－ ４）＝０，所以ｍ＝４． ２２．（１）设全天包车数 的月平均增长率为 ｘ，根据 题意可得２５（１＋ｘ）２＝６４， 解得 ｘ１ ＝０．６＝６０％，ｘ２ ＝－２．６（舍去）． 答：全天包车数的月 平均增长率为６０％． （２）设租金降价ａ元， 则（１２０－ａ）（６４＋１．６ａ） ＝８８００， 解得 ａ１ ＝１０，ａ２ ＝ ７０． 因为要尽可能让利顾 客，所以ａ＝７０． 答：当租金降价７０元 时，公司将获利８８００元． ２３．①当ｘ－３≥０即ｘ ≥３时， 原方程化为 ｘ２－２（ｘ －３）＋７＝０， 即ｘ２－２ｘ＋１３＝０， 因为Δ＝ｂ２－４ａｃ＝４ －４×１３＝－４８＜０，所以 方程没有实数根； ②当ｘ－３＜０即ｘ＜ ３时， 原方程化为 ｘ２＋２（ｘ －３）＋７＝０， 即ｘ２＋２ｘ＋１＝０，即 （ｘ＋１）２ ＝０， 解得ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． 综上所述，原方程的 书 ４期２版 ２．３一元二次方程根的判别式 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｄ；　４．－３；　５．３． ６．（１）方程有两个不相等的实数根． （２）因为ａｘ２＋ｂｘ＋２＝０有两个相等的实数根，所以Δ＝ ｂ２－４ａ×２＝ｂ２－８ａ＝０，且ａ≠０，满足条件的ａ，ｂ的值不惟 一，满足ｂ２－８ａ＝０（ａ≠０）即可． 例如：令ａ＝２，ｂ＝４，则ｂ２－８ａ＝４２－８×２＝０，则原方 程为２ｘ２＋４ｘ＋２＝０，解得ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． 能力提高　７．（１）－３和４；７． （２）证明：依题意，得２ｘ２－ｘ＋１＝ｘ，即２ｘ２－２ｘ＋１＝０， 因为Δ＝（－２）２－４×２×１＝－４＜０，所以２ｘ２－ｘ＋１＝ｘ没 有实数根，所以代数式２ｘ２－ｘ＋１没有不变值． （３）依题意，得ｘ２－ｎｘ＋ｎ＝ｘ，即ｘ２－（ｎ＋１）ｘ＋ｎ＝０有 两个相等的实数根，所以Δ＝［－（ｎ＋１）］２－４×１×ｎ＝０，整 理得ｎ２－２ｎ＋１＝０，解得ｎ１ ＝ｎ２ ＝１． ２．４一元二次方程的根与系数的关系 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．－５；　５．１５． ６．（１）ｍ的值为 －６，方程的另一根为 －３． （２）由题意，得ｘ１＋ｘ２＝－２，ｘ１ｘ２＝ ｍ ２，又因为ｘ ２ １＋ｘ２２＋ ２ｘ１ｘ２－ｘ２１ｘ２２＝（ｘ１＋ｘ２）２－（ｘ１ｘ２）２＝０，所以４－ ｍ２ ４ ＝０，解得 ｍ＝±４，又因为Δ＝４２－８ｍ≥０，所以ｍ≤２，所以ｍ＝－４． ２．５一元二次方程的应用（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．２；　４．９． ５．（１）因为四边形ＥＣＤＦ是矩形，所以ＣＥ＝２６－ｘ２ ，由题意 得 ２６－ｘ ２ ·ｘ＝６０，解得ｘ１＝６，ｘ２＝２０，因为０＜ｘ≤８，所以ｘ＝ ２０不合题意舍去，所以ｘ＝６． 答：当苗圃园的面积为６０ｍ２时，ｘ的值为６． （２）当苗圃园的面积为６０ｍ２时，ｘ的值为１２． ２．５一元二次方程的应用（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．１０；　４．５． ５．（１）ｙ＝１０ｘ＋１００． （２）该商品的销售单价是３８元时，商家每天获利１７６０元． （３）由题意可得（５０－３０－ｘ）（１０ｘ＋１００）＝３０００，整理得ｘ２ －１０ｘ＋１００＝０，因为Δ＝（－１０）２－４×１×１００＝－３００＜０， 所以方程无实数解，所以商家每天的获利不能达到３０００元． ４期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ 二、９．４；　１０．－１；　１１．２０％；　１２．４；　１３．３７或 ２ ５． 三、１４．方程的两个实数根为 －２和８，ｋ的值为１６． １５．（１）这两个月的月平均增长率是１０％． （２）６月份接待人数能突破４３５００人． １６．（１）当ｍ＝１时，方程为ｘ２－２ｘ＋３＝０，所以ａ＝１，ｂ ＝－２，ｃ＝３，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－２）２－４×１×３＝４－１２ ＝－８＜０，所以方程没有实数根． （２）当ｍ＝２时，方程为ｘ２－４ｘ＋３＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝３． １７．（１）该公司直接销售了６０吨农产品． （２）该批农产品储藏了１５个星期才出售． １８．（１）因为在方程ｘ２－（２ｋ＋３）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋２＝０中，Δ ＝ｂ２－４ａｃ＝［－（２ｋ＋３）］２－４（ｋ２＋３ｋ＋２）＝１＞０，所以方 程有两个不相等的实数根． （２）因为ｘ２－（２ｋ＋３）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋２＝（ｘ－ｋ－１）（ｘ－ ｋ－２）＝０，所以ｘ１ ＝ｋ＋１，ｘ２ ＝ｋ＋２． ①不妨设ＡＢ＝ｋ＋１，ＡＣ＝ｋ＋２，所以当斜边ＢＣ＝５时， 有ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２，即（ｋ＋１）２＋（ｋ＋２）２＝２５，解得ｋ１＝２， ｋ２ ＝－５（舍去）．所以当ｋ＝２时，△ＡＢＣ是以ＢＣ为斜边的直角 三角形． ②因为ＡＢ＝ｋ＋１，ＡＣ＝ｋ＋２，ＢＣ＝５，由（１）知ＡＢ≠ＡＣ， 故有两种情况： （Ⅰ）当ＡＣ＝ＢＣ＝５时，即ｋ＋２＝５，所以ｋ＝３，此时ＡＢ ＝３＋１＝４，因为４，５，５满足任意两边之和大于第三边，所以此 时△ＡＢＣ的周长为４＋５＋５＝１４； （Ⅱ）当ＡＢ＝ＢＣ＝５时，即ｋ＋１＝５，所以ｋ＝４，此时ＡＣ ＝ｋ＋２＝６，因为６，５，５满足任意两边之和大于第三边，所以此 时△ＡＢＣ的周长为６＋５＋５＝１６． 综上，当ｋ＝３时，△ＡＢＣ是等腰三角形，此时△ＡＢＣ的周长 为１４；当ｋ＝４时，△ＡＢＣ是等腰三角形，此时△ＡＢＣ的周长为１６． ４期４版 重点集训营 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．６；　４．１０． ５．（１）不存在．理由：过 Ｑ作 ＱＭ⊥ ＡＤ，交 ＡＤ于 Ｍ，则 ∠ＱＭＤ＝∠ＱＭＡ＝９０°，所以四边形ＡＢＱＭ是矩形，所以ＡＭ＝ ＢＱ＝ｔｃｍ，ＱＭ＝ＡＢ＝３ｃｍ，所以ＭＰ＝（６－２ｔ）ｃｍ，所以ＰＱ２ ＝（６－２ｔ）２＋３２，因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°，所 以ＰＣ２＝ｔ２＋３２，因为ＰＱ⊥ＰＣ，所以∠ＱＰＣ＝９０°，所以ＰＱ２ ＋ＰＣ２ ＝ＣＱ２，即（６－２ｔ）２＋３２＋ｔ２＋３２＝（６－ｔ）２，化简，得 ２ｔ２－６ｔ＋９＝０，因为Δ＝ｂ２－４ａｃ＝－３６＜０，所以方程无实 数根，故不存在某一时刻ｔ，使得ＰＱ⊥ＰＣ． （２）当ｔ等于１或３时，翻折后点Ｂ的对应点Ｂ′恰好落在ＰＱ 边上． 书 【提示】 １．过点Ｆ作ＢＣ的垂线交ＢＣ于点Ｈ，根据平行线 分线段成比例定理可得ＢＨ＝ＨＣ，再根据勾股定理 得ＢＣ，比例关系得ＡＥ，再通过直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半解题即可． ２．连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连接ＣＦ，ＤＦ，ＮＦ，过点 Ｃ作ＮＦ的垂线，交ＮＦ于点Ｈ，先根据折叠的性质以 及菱形的性质，得出△ＡＯＮ为等腰直角三角形，推出 四边形ＣＨＮＭ为正方形，进而得到△ＤＦＮ为等腰直 角三角形，ＦＮ＝２ＯＮ＝２ＯＡ，根据ＡＯ ＦＮ＝ＯＭ ＭＮ＝１ ２ ， 从而求出ＡＮ的长度． 书 平行线分线段成比例的基本事实及其推论是研究 相似形时最基本的理论，学习的关键是找准图形中的对 应线段．下面从两个方面说明，供同学们学习时参考． 一、“口诀”帮你找对应线段 １．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例． ２．如图１，当ｌ１∥ｌ２∥ｌ３时，都可得到 ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥＥＦ．由比例的性质，还可得到 ＢＣ ＡＢ＝ ＥＦ ＤＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ， ＡＣ ＡＢ＝ ＤＦ ＤＥ， ＢＣ ＡＣ＝ ＥＦ ＤＦ， ＡＣ ＢＣ＝ ＤＦ ＥＦ． 为了便于记忆，上述６个比例可使用一些简单的形 象化的语言来表示： 上 下 ＝上 下 ， 下 上 ＝下 上 ， 上 全 ＝上 全 ， 全 上 ＝ 全 上 ， 下 全 ＝下 全 ， 全 下 ＝全 下 ．另外，根据比例的性质，还可得 到 ＡＢ ＤＥ＝ ＢＣ ＥＦ＝ ＡＣ ＤＦ，即满足“ 左 右 ＝左 右 ”． 例１　（２０２４商丘一模）一个三层折 叠花架如图２所示，已知ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ， ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ＝５０ｃｍ，ＢＤ＝４５ｃｍ，则 ＢＦ的长为 ｃｍ． 解析：因为ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，所以ＡＣＡＥ＝ ＢＤ ＢＦ，又因为ＡＣ＝３０ｃｍ，ＣＥ＝５０ｃｍ，ＢＤ ＝４５ｃｍ，所以 ３０３０＋５０＝ ４５ ＢＦ，所以ＢＦ＝１２０（ｃｍ）．故填 １２０． 二、基本图形帮你学推论 １．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的对应线段成比例． ２．已知△ＡＢＣ，ＤＥ是截线，上述推论包含了如图３ 所示的三种情况，可以简单称为“Ａ”型和“Ｘ”型，上面 的口诀同样适用于这些基本图形． 例２　（２０２４绥化一模）如图４，在 △ＡＢＣ中，∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，点 Ｄ为 ＡＢ边的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，若ＢＥ＝ １ ２，则ＡＣ的长为 ． 解析：作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，因为ＤＥ ⊥ＢＣ于点Ｅ，所以ＡＦ∥ＤＥ，所以ＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ，因为点Ｄ为 ＡＢ边的中点，所以ＢＤＡＤ＝ ＢＥ ＥＦ＝１，所以ＢＥ＝ＥＦ＝ １ ２， 因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°，所以△ＡＢＣ为等边三角形，所以 ＢＦ＝ＣＦ＝１，所以ＡＣ＝ＢＣ＝２．故填２． 书 １．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＡＢ上，且ＢＥ＝ ２ＡＥ，连接ＥＤ，点Ｆ为ＥＤ的中点，连接 ＡＦ，ＢＦ，ＦＣ，若 ∠ＢＦＣ＝９０°，ＢＦ＝５，则ＡＦ的长为 ． ２．如图２，四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｅ是ＣＤ的中点， 连接ＡＥ，将△ＡＤＥ沿ＡＥ折叠得△ＡＦＥ，连接ＢＤ，分别 交ＡＦ于点Ｍ，交ＡＥ于点Ｎ．若ＡＦ⊥ＣＤ于点Ｇ，ＭＮ＝ 槡２，则ＡＮ的长度为 ． ! ! ! " # $ % & 书 重点集训营 １．（２０２４长沙三模）如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，对角 线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＥ∥ＤＣ交ＢＣ于点Ｅ．若ＡＤ ＝８ｃｍ，则ＯＥ的长为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２．（２０２４河源期末）如图２，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ 是ＡＤ上一点，ＡＥ＝ １４ＡＤ，ＢＥ的延长线交ＡＣ于Ｆ，则 ＡＦ ＦＣ的值为 ． ３．如图３，正方形ＡＢＣＤ的边长为６，Ｅ为 ＣＤ边中 点，Ｇ为ＢＣ边上一点，连接 ＡＥ，ＤＧ，相交于点 Ｆ．若ＤＦＦＧ ＝ ４５，则ＦＥ的长度是 ． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，Ｅ是ＢＣ中点，ＡＤ是∠ＢＡＣ 的平分线，ＥＦ∥ＡＤ交ＡＣ于点Ｆ．若ＡＢ＝１１，ＡＣ＝１５， 则ＦＣ的长为 ． ５．（２０２４衡水一模）如图 ５，以 △ＥＢＣ的边ＢＣ为边作正方形 ＡＢＣＤ， ＡＤ与ＢＥ，ＣＥ分别交于点 Ｆ，Ｇ，若 ＢＦ ＝ＥＦ，ＡＦ＝１，ＢＣ＝１２，则ＣＥ的长为 ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ & ! " ! " # $& ! " # $ & ! ! ! " # $ & % ' ! ' # ' " "#$%&'()*+,-. ! $ % & $ # " ! ! % ! " # $ & /0!12345 6789:&;<= !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ ( & ! & ! " # $ & % ) ! " % ! " # $ & ! $ ! " # $ % & * + ) ! $ ! ' ! " # $ % & ) " >? @AB 书 绝招一、运用比例的性质 对已知的等式，利用比例的性质进行变形，进而求 出所求式子的值． 例１　（２０２４杭州期末）若 ａｂ＝ １ ２，则 ａ ａ＋ｂ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１３ Ｂ． ２ ３ Ｃ．２ Ｄ．３ 解法一：因为 ａ ｂ ＝ １ ２，所以ａ＝ １ ２ｂ，所以 ａ ａ＋ｂ＝ １ ２ｂ １ ２ｂ＋ｂ ＝ １ ２ｂ ３ ２ｂ ＝ １３．故选Ａ． 解法二：因为 ａ ｂ＝ １ ２，所以 ｂ ａ＝２，所以 ｂ ａ＋１＝２ ＋１＝３，所以ａ＋ｂａ ＝３，所以 ａ ａ＋ｂ＝ １ ３．故选Ａ． 绝招二、等比设值法 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为ｋ，用含ｋ 的式子来表示未知数，然后将其代入所求式中求值即可． 例２　（２０２４苏州月考）已知 ａ３ ＝ ｂ ５，则 ３ａ ａ＋２ｂ的 值为 ． 解：设 ａ ３＝ ｂ ５＝ｋ，则ａ＝３ｋ，ｂ＝５ｋ，所以 ３ａ ａ＋２ｂ＝ ３×３ｋ ３ｋ＋２×５ｋ＝ ９ｋ １３ｋ＝ ９ １３．故填 ９ １３． 绝招三、代入消元法 在求一个比例式的值时，可根据已知等式，用其中 一个字母表示其他字母，并代人所求的比例式中，约去 这个字母，即可求出其值． 例３　（２０２４眉山期末）若 ｘ∶ｙ∶ｚ＝１∶２∶３，则 ２ｘ＋ｚ ｙ－ｚ的值是 ． 解：因为ｘ∶ｙ＝１∶２，所以ｙ＝２ｘ，因为ｘ∶ｚ＝１∶ ３，所以ｚ＝３ｘ， 所以 ２ｘ＋ｚ ｙ－ｚ＝ ２ｘ＋３ｘ ２ｘ－３ｘ＝－５．故填 －５． 绝招四、特殊值法 例４　（２０２４佳木斯期末）若 ａ３ ＝ ｂ ４ ＝ ｃ ５，则 ａ－ｂ ｃ ＝ ． 解：取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ＝５，易知 ａ，ｂ，ｃ满足已知条 件，所以原式 ＝３－４５ ＝－ １ ５．故填 － １ ５． 书 特殊矩形一：对折后与原矩形相似 例１　（２０２４枣庄月考）如 图１，一般书本的纸张是原纸张 多次对开得到的，矩形 ＡＢＣＤ沿 ＥＦ对开后，再把矩形 ＥＦＣＤ沿 ＭＮ对开，依此类推，若各种开本 的矩形都相似，那么 ＡＤ ＡＢ等于 （　　） Ａ．０．６１８　　　Ｂ．槡２２ 槡　　　Ｃ．２　　　Ｄ．２ 解析：设ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ｂ， 根据折叠的性质可得ＡＥ＝ ｂ２． 因为矩形ＡＥＦＢ∽矩形ＡＢＣＤ，所以ＡＥＡＢ＝ ＡＢ ＡＤ． 所以 ｂ ２ ａ ＝ ａ ｂ，即 １ ２ｂ ２ ＝ａ２． 所以 ｂ２ ａ２ ＝ ２１． 所以 ｂ ａ ＝ 槡２ １，即 ＡＤ ＡＢ＝ 槡２ １． 故选Ｃ． 特殊矩形二：截去一个矩形后与原矩形相似 例２　如图２，在矩形ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上， 沿ＦＥ截去矩形ＡＢＥＦ后，得到的 矩形 ＥＣＤＦ与原矩形 ＡＢＣＤ相 似，且矩形 ＡＢＣＤ的面积是矩形 ＥＣＤＦ面积的３倍，ＡＢ＝４，求矩 形ＡＢＣＤ的面积． 解析：因为ＡＢ＝４，所以ＣＤ＝ＡＢ＝４． 因为Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３Ｓ矩形ＥＣＤＦ， 所以ＡＦ＝２ＤＦ， 所以ＡＤ＝３ＤＦ． 因为矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＤＦＥＣ， 所以 ＡＢ ＤＦ＝ ＡＤ ＣＤ，即 ４ ＤＦ＝ ＡＤ ４， 所以３ＤＦ２ ＝１６， 解得ＤＦ＝ 槡４３３， 所以ＡＤ＝３× 槡４３３ ＝ 槡４３， 所以Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝ＡＢ·ＡＤ＝４× 槡４３＝ 槡１６３． 书 各角对应相等，各边对应 成比例的两个多边形叫做相似 多边形，相似多边形对应边的 比叫做相似比．由定义可知，两 个多边形相似需同时满足：① 对应角相等；②对应边成比例． 利用它可求相似多边形的边或 角，下面举例说明． 例 １　 如图 １，四边形 ＡＢＣＤ∽ 四边形 ＧＦＥＨ，且 ∠Ａ ＝∠Ｇ＝７０°，∠Ｂ＝６０°，∠Ｅ ＝１２０°，ＤＣ＝２４，ＨＥ＝１８，ＨＧ ＝２１．求∠Ｄ，∠Ｆ的大小和ＡＤ 的长． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ∽ 四边形 ＧＦＥＨ，∠Ｂ＝ ６０°，∠Ｅ＝１２０°，所以∠Ｃ＝∠Ｅ＝１２０°，∠Ｆ＝∠Ｂ＝ ６０°，因为∠Ａ＝∠Ｇ＝７０°，所以∠Ｄ＝１１０°，因为四边 形ＡＢＣＤ∽四边形 ＧＦＥＨ，所以ＤＣＨＥ＝ ＡＤ ＨＧ，所以 ２４ １８＝ ＡＤ ２１，解得ＡＤ＝２８．所以∠Ｄ＝１１０°，∠Ｆ＝６０°，ＡＤ＝ ２８． 例２　如图２，在四边形ＡＢＣＤ 的边ＡＢ上任取一点Ｏ（不与点Ａ，Ｂ 重合），连接 ＯＣ，ＯＤ，分别取 ＯＡ， ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ的中点 Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， 连 接 Ａ′Ｄ′，Ｄ′Ｃ′，Ｃ′Ｂ′， 四 边 形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′与四边形 ＡＢＣＤ相似吗？ 为什么？ 解：四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽ 四边形 ＡＢＣＤ，理由：因为 Ａ′，Ｄ′是 ＯＡ，ＯＤ的中点，所以 Ａ′Ｄ′∥ ＡＤ，Ａ′Ｄ′＝ １ ２ＡＤ，所以 Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２，同理 Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ １ ２， 所以 Ｃ′Ｄ′ ＣＤ ＝ Ｂ′Ｃ′ ＢＣ ＝ Ａ′Ｂ′ ＡＢ ＝ Ａ′Ｄ′ ＡＤ ＝ １ ２，因为 Ａ′Ｄ′∥ ＡＤ，所以 ∠ＯＡ′Ｄ′＝∠ＯＡＤ，∠ＯＤ′Ａ′＝∠ＯＤＡ，同理 ∠ＯＤ′Ｃ′＝ ∠ＯＤＣ，∠ＯＣ′Ｄ′＝ ∠ＯＣＤ，∠ＯＣ′Ｂ′＝ ∠ＯＣＢ，∠ＯＢ′Ｃ′＝∠ＯＢＣ，所以 ∠Ａ′Ｄ′Ｃ′＝∠ＡＤＣ， ∠Ｄ′Ｃ′Ｂ′＝∠ＤＣＢ，所以四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′∽ 四边形 ＡＢＣＤ． 例３　（２０２３杭州期末）如图 ３，把一个矩形 ＡＢＣＤ划分成三个 全等的小矩形． （１）若原矩形ＡＢＣＤ的长ＡＢ ＝６，宽ＢＣ＝４．问：每个小矩形与 原矩形相似吗？请说明理由． （２）若原矩形的长ＡＢ＝ａ，宽ＢＣ＝ｂ，且每个小矩 形与原矩形相似，求矩形长ａ与宽ｂ应满足的关系式． 解：（１）不相似．理由：因为原矩形 ＡＢＣＤ的长 ＡＢ ＝６，宽ＢＣ＝４，所以划分后小矩形的长为ＡＤ＝４，宽 为ＡＥ＝２，因为ＡＢＢＣ＝ ６ ４≠ ４ ２ ＝ ＡＤ ＡＥ，即原矩形与每个 小矩形的边不成比例，所以每个小矩形与原矩形不相 似． （２）因为原矩形的长ＡＢ＝ａ，宽ＢＣ＝ｂ，所以划分后 小矩形的长为ＡＤ＝ｂ，宽为ＡＥ＝ ａ３，又因为每个小矩形 与原矩形相似，所以 ＡＢ ＢＣ＝ ＡＤ ＡＥ，所以 ａ ｂ＝ ｂ ａ ３ ，即ａ２＝３ｂ２． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! & # % + $ & * " ! %! 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" # $ & % ! % 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４安徽二模）黄金矩形的宽、长之比为 槡５－１ ２ ，若一个黄金矩形的长为８，则宽ｍ的值最接近的 是 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ２．在比例尺为１∶３６０００的某市旅游地图上，某条道 路的长为５ｃｍ，则这条道路的实际长度为 （　　） Ａ．０．１８ｋｍ Ｂ．１．８ｋｍ Ｃ．１８ｋｍ Ｄ．１８０ｋｍ ３．如图１，某位同学用带有 刻度的直尺在数轴上作图，若 ＰＱ∥ＭＮ，点Ｑ，点Ｍ在直尺上， 且分别与直尺上的刻度１和３对 齐，在数轴上点 Ｎ表示的数是 １０，则点Ｐ表示的数是 （　　） Ａ．５２ Ｂ．３ Ｃ． １０ ３ Ｄ．５ ４．（２０２４合肥期末）如果ｘ∶ｙ＝１∶２，那么下列各式 中不成立的是 （　　） Ａ．ｘ＋ｙｘ ＝ ３ １ Ｂ． ｙ－ｘ ｙ ＝ １ ２ Ｃ．ｙｘ ＝ ２ １ Ｄ． ｘ＋１ ｙ＋１＝ ２ ３ ５．（２０２３济宁期中）已知成比例的四条线段的长度 分别为６ｃｍ，１２ｃｍ，ｘｃｍ，８ｃｍ，且△ＡＢＣ的三边长分别 为ｘｃｍ，３ｃｍ，５ｃｍ，则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．等边三角形 Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．无法判定 ６．（２０２４哈尔滨期中）如图２，Ｄ是 △ＡＢＣ的边 ＡＢ 的中点，过点Ｄ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ，连接ＢＥ，过 点 Ｄ作ＢＥ的平行线交ＡＣ于点Ｆ，若ＥＦ＝１，则ＡＣ的长 为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ７．如图３，矩形ＥＦＧＨ的四个顶点分别在菱形ＡＢＣＤ 的四条边上，ＢＥ＝ＢＦ．将△ＡＥＨ，△ＣＦＧ分别沿边ＥＨ， ＦＧ折叠，当重叠部分与菱形ＡＢＣＤ相似且相似比为１∶４ 时，则 ＥＢ ＡＥ的值为 （　　） Ａ．５３ Ｂ． ３ ５ Ｃ． １ ４ Ｄ．４ ８．（２０２３重庆沙坪坝区期 末）如图４，已知正方形ＡＢＣＤ的 边长为ａ，延长ＢＣ到点Ｅ，使ＣＥ ＝ＢＣ，取ＣＤ的中点Ｆ，连接ＤＥ， ＢＦ，ＤＥ与ＢＦ的延长线相交于点 Ｇ，则ＢＧ的长为 （　　） Ａ．槡５３ａ Ｂ． 槡２５ ３ａ Ｃ．槡６３ａ Ｄ． 槡２６ ３ａ 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．已知５ｘ＝７ｙ（ｘｙ≠０），则 ｘｙ ＝ ． １０．（２０２４盘锦模拟）五线谱是一 种记谱法，通过在五根等距离的平行 横线上标以不同时值的音符及其他记 号来记载音乐．如图５，Ａ，Ｂ，Ｃ为直线 与五线谱横线相交的三个点，若ＡＣ＝ １２，则ＡＢ的长为 ． １１．已知两个相似多边形的相似比为３∶４，且它们 的周长之差是６，则较小的多边形的周长是 ． １２．（２０２４成都月考）已知 ２ａｂ＋ｃ＋ｄ＝ ２ｂ ａ＋ｃ＋ｄ＝ ２ｃ ａ＋ｂ＋ｄ＝ ２ｄ ａ＋ｂ＋ｃ＝ｋ，则ｋ＝ ． １３．如图６是一张矩形纸片 ＡＢＣＤ，点 Ｅ为 ＡＤ中点，点 Ｆ在 ＢＣ上，把该纸片沿 ＥＦ折叠，点 Ａ，Ｂ的对应点分别为 Ａ′，Ｂ′，Ａ′Ｅ 与ＢＣ相交于点 Ｇ，Ｂ′Ａ′的延长 线过点 Ｃ．若ＢＦＧＣ＝ ２ ３，则 ＡＤ ＡＢ的 值为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（８分）如图７，点Ｅ是菱形ＡＢＣＤ对角线ＣＡ的延 长线上任意一点，以线段 ＡＥ为边作一个菱形 ＡＥＦＧ，且 菱形ＡＥＦＧ∽菱形ＡＢＣＤ，连接ＥＢ，ＧＤ，求证：ＧＤ＝ＥＢ． １５．（２０２４沧州模拟，８分）如图８，在四边形 ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＢ，ＣＤ上，连接 ＥＣ，ＥＦ，ＥＣ平分 ∠ＦＥＢ，ＥＦ∥ＢＣ． （１）求证：ＥＢ＝ＢＣ； （２）若ＡＤ∥ＥＦ，ＤＦ＝ＦＣ，请判断ＡＥ与ＢＣ的大小 关系，并说明理由． １６．（１０分）如图９，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线． （１）若Ｅ为ＡＤ的中点，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，求ＡＦＢＦ； （２）若Ｅ为ＡＤ上一点，且ＡＥＥＤ＝ １ ｋ，射线ＣＥ交ＡＢ 于点Ｆ，求ＡＦＢＦ． １７．（１０分）如图１０－①，将Ａ４纸进行２次折叠后， 第一次的折痕与 Ａ４纸较长的边重合，如图１０－②，将 １张Ａ４纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开， 可得２张Ａ５纸． （１）求Ａ４纸较长边与较短边的比； （２）Ａ４纸与Ａ５纸是否为相似图形？请说明理由． １８．（１２分）如图１１，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ为 ＢＣ上一 点，点Ｐ在ＡＤ上，过点Ｐ作ＰＭ∥ＡＣ交ＡＢ于点Ｍ，作ＰＮ ∥ＡＢ交ＡＣ于点Ｎ． （１）若点Ｄ是ＢＣ的中点，且ＡＰ∶ＰＤ＝２∶１，求ＡＭ∶ ＡＢ的值； （２）若点Ｄ是ＢＣ的中点，试证明ＡＭＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ； （３）若点Ｄ是ＢＣ上任意一点，试证明ＡＭＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ                                                                                                                                                                 ． 书 ３．１．１比例的基本性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３沈阳期末）已知３ａ＝４ｂ（ａ≠０，ｂ≠０），下 列变形正确的是 （　　） Ａ．ａｂ ＝ ３ ４ Ｂ． ａ ３ ＝ ｂ ４ Ｃ．ｂａ ＝ ４ ３ Ｄ． ａ ４ ＝ ｂ ３ ２．（２０２４唐山期末）若线段ｂ是ａ，ｃ的比例中项，且 ａ＝４ｃｍ，ｃ＝９ｃｍ，则线段ｂ＝ （　　） Ａ．４ｃｍ Ｂ．６ｃｍ Ｃ．８ｃｍ Ｄ．３６ｃｍ ３．已知２ｂ＋ｃａ ＝ ２ｃ＋ａ ｂ ＝ ２ａ＋ｂ ｃ ＝ｍ，且ａ＋ｂ＋ｃ ≠０，则ｍ＝ ． ４．（２０２４成都月考）已知ａ，ｂ，ｃ三条线段满足 ａｂ＝ ｃ ｄ ＝ ｅ ｆ ＝２，若 ｂ＋ｄ＋ｆ＝３，则 ａ＋ｃ＋ｅ的值为 ． ５．已知 ａ，ｂ，ｃ是 △ＡＢＣ的三边，且满足ａ＋４３ ＝ ｂ＋３ ２ ＝ ｃ＋８ ４ ，若ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，试判断△ＡＢＣ的形状， 并说明理由． ３．１．２成比例线段 １．（２０２４天津一模）已知 ａ，ｄ，ｂ，ｃ依次成比例线 段，其中ａ＝３ｃｍ，ｂ＝４ｃｍ，ｃ＝６ｃｍ，则ｄ的值为 （　　） Ａ．８ｃｍ Ｂ．１９２ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．９２ｃｍ ２．（２０２３昆明模拟）在设计人体雕像时，为了增加 视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以 下）的高度比等于下部与全部的高度比等于 槡５－１ ２ （ 槡５－１ ２ ≈０．６１８，称为黄金分割比例），按此比 例设计一座高度为２ｍ的雷锋雕像，那么该雕像的下部 设计高度是 （　　） Ａ．（槡５－１）ｍ Ｂ．（ 槡３－ ５）ｍ Ｃ．（槡３－１）ｍ Ｄ．（ 槡３－ ３）ｍ ３．（２０２４上海宝山区模拟）在比例尺为１∶１０００００ 的地图上，Ａ，Ｂ两地的距离为２ｃｍ，那么Ａ，Ｂ两地的实 际距离为 ｋｍ． ４．（２０２４无锡一模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又 名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国 各地．若古筝上有一根弦ＡＢ＝９０ｃｍ，支撑点Ｃ是靠近 点Ａ的一个黄金分割点，则ＢＣ＝ ｃｍ（结果保 留根号）． ５．如图，在 △ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ上一点，若 Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＡＢＣ ＝ Ｓ△ＡＣＤ Ｓ△ＡＢＤ ，则称ＡＤ为△ＡＢＣ的黄金分割线． （１）求证：若ＡＤ为△ＡＢＣ的黄金分割线，则Ｄ是 ＢＣ的黄金分割点； （２）若Ｓ△ＡＢＣ ＝２０，求△ＡＣＤ的面积（结果保留根 号）． ３．２平行线分线段成比例 １．（２０２３渭南期末）如图１，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，两条直线 与这三条平行线分别交于点 Ａ，Ｂ，Ｃ和 Ｄ，Ｅ，Ｆ，已知ＡＢＢＣ ＝ ３２，若ＤＦ＝１０，则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６ ２．（２０２４长治期末）如图２，ＤＥ∥ＦＧ∥ＢＣ，若ＥＧ ＝３ＣＧ，则ＢＤ与ＢＦ之间的数量关系是 （　　） Ａ．ＢＤ＝３ＢＦ Ｂ．ＢＤ＝４ＢＦ Ｃ．ＢＤ＝ ５２ＢＦ Ｄ．ＢＤ＝２ＢＦ ３．（２０２３上海嘉定区期末）在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分 别在边ＢＡ，ＣＡ的延长线上，若ＡＤ∶ＡＢ＝１∶２，ＡＣ＝４， 那么当ＡＥ＝ 时，ＤＥ∥ＢＣ． ４．（２０２３长春期末）如图３，练习本中的横格线都 平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，若 ＡＢ＝ ２ｃｍ，则线段ＢＣ＝ ｃｍ． ５．作业本中有一道题：“如图４，在 △ＡＢＣ中，点 Ｄ 为 ＡＣ的中点，点Ｅ在ＢＣ上，且ＢＥ＝３ＣＥ，ＡＥ，ＢＤ交于 点Ｆ，求ＡＦ∶ＥＦ的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提 示他过点Ｅ作ＥＧ∥ＢＤ，交ＡＣ于点Ｇ．最后小明求解正 确，则ＡＦ∶ＥＦ的值为 ． ６．如图５，已知ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，它们依次交直线ｌ１， ｌ２，ｌ３于点Ａ，Ｂ，Ｃ和点Ｄ，Ｅ，Ｆ和点Ｑ，Ｈ，Ｐ，ｌ２与ｌ３相交 于ＤＥ的中点Ｇ，若ＡＢＡＣ＝ ２ ７． （１）如果ＥＦ＝１０，求ＤＥ，ＤＦ的长； （２）如果ＱＧ＝３，求ＰＨ的长． ３．３相似图形 １．（２０２３六安期末）下列多边形一定相似的是 （　　） Ａ．两个等腰三角形 Ｂ．两个平行四边形 Ｃ．两个正五边形 Ｄ．两个六边形 ２．（２０２３石家庄模拟）如图 １，四边形 ＡＢＣＤ和 ＥＦＧＨ相似，则α和ｘ的大小分别为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７５°，３０ Ｂ．７５°，３３ Ｃ．８０°，３０ Ｄ．８０°，３３ ３．如图２，将一张ＡＢＣＤ（ＡＤ＜ＡＢ＜２ＡＤ）纸片， 以它的一边为边长剪去一个菱形ＡＤＥＨ，在余下的平行 四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形 ＦＥＣＧ， 若剪去两个菱形后所剩下的 ＦＨＢＧ∽ ＡＢＣＤ，则 ＡＢＣＤ的相邻两边ＡＤ与ＡＢ的比值是 ． ４．（２０２４临汾期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人 们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜 叶红于二月花．”如图３是两片形状相同的枫叶图案， 则ｘ的值为 ． ５．如图４，矩形相框的外框矩形的长为１２ｄｍ，宽为 ８ｄｍ，上下边框的宽度都为ｘｄｍ，左右边框的宽度都为 ｙｄｍ；若内边框矩形和外边框矩形相似，则 ｘ，ｙ应符合 的条件是 ． ６．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１６，Ｅ，Ｆ 分别是ＡＢ，ＣＤ上的点，且ＡＥ＝ＤＦ＝８，两动点Ｍ，Ｎ都 以２ｃｍ／ｓ的速度分别从Ｃ，Ｆ两点沿ＣＢ，ＦＥ向Ｂ，Ｅ两点 运动，判断当Ｍ，Ｎ运动多长时间能使矩形 ＣＦＮＭ与矩 形ＡＥＦＤ相似，并证明你的结论． ７．如图６，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ的平分线交ＢＣ于 点Ｅ，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＢＥＦ是菱形； （２）若ＡＢＣＤ∽ＥＣＤＦ，且ＡＤ＝４，求ＡＦ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 解为ｘ１ ＝ｘ２ ＝－１． ２４．（１）销售量ｙ与每 千克降价 ｘ的函数关系式 为ｙ＝１５ｘ＋３０． （２）４０５元． （３）设商店获利４８０元 需降价ｍ元，则单件利润为 （１０－ｍ）元，销售量为（１５ｍ ＋３０）千克． 由 题 意 得 （１０ － ｍ）（１５ｍ＋３０）＝４８０，解得 ｍ１ ＝６，ｍ２ ＝２（舍去）． 所 以 ３０ － ６ ＝ ２４（元）． 所以饼干的销售价应 定为每千克２４元． ２５．（１）① 不是“差 １ 方程”；②是“差１方程”． （２）整理方程得（ｘ－ ｍ）（ｘ＋１）＝０， 所以 ｘ＝ｍ或 ｘ＝ －１， 因为方程 ｘ２ －（ｍ－ １）ｘ－ｍ＝０（ｍ是常数）是 “差１方程”， 所以ｍ＝－１＋１或ｍ ＝－１－１， 所以ｍ＝０或 －２． （３）由题可得 Δ＝ｂ２ －４ａ×１＝ｂ２－４ａ≥０， 所以解方程得 ｘ＝ －ｂ± ｂ２－４槡 ａ ２ａ ， 因为关于ｘ的方程ａｘ２ ＋ｂｘ＋１＝０（ａ，ｂ是常数，ａ ＞０）是“差１方程”， 所以 －ｂ＋ ｂ２－４槡 ａ ２ａ －－ｂ－ ｂ ２－４槡 ａ ２ａ ＝１， 所以ｂ２ ＝ａ２＋４ａ， 因为ｔ＝１０ａ－ｂ２， 所以 ｔ＝６ａ－ａ２ ＝ －（ａ－３）２＋９≤９， 所以ｔ的最大值为９． ２６．（１）（４ａ２－２００ａ＋ ２４００）． （２）由题意得６０×４０ －（４ａ２－２００ａ＋２４００）＝ ３ ８ ×６０×４０，解得ａ１＝５， ａ２ ＝４５（舍去）． 答：此时通道的宽为 ５米． （３）当ａ＝１０时，花圃 面积为８００平方米，所以花 圃面积最少为８００平方米． 根据图象可设 ｙ１ ＝ ｍｘ，ｙ２ ＝ｋｘ＋ｂ， 将点（１２００，４８０００） 代 入 ｙ１ 得 １２００ｍ ＝ ４８０００，解得ｍ＝４０，所以 ｙ１ ＝４０ｘ， 将点 （８００，４８０００）， （１２００，６２０００）代入ｙ２得 ８００ｋ＋ｂ＝４８０００， １２００ｋ＋ｂ＝６２０００{ ，解 得 ｋ＝３５， ｂ＝２００００{ ， 所 以 ｙ２ ＝ ３５ｘ ＋ ２００００． 因为花圃面积为 ４ａ２ －２００ａ＋２４００， 所以通道面积为２４００ －（４ａ２ －２００ａ＋２４００） ＝－４ａ２＋２００ａ， 所以３５（４ａ２－２００ａ＋ ２ ４００） ＋ ２０ ０００ ＋ ４０（－４ａ２ ＋ ２００ａ） ＝ １０５９２０，解得ａ１＝２，ａ２＝ ４８（舍去）． 答：通道宽为２米时， 修建的通道和花圃的总造 价为１０５９２０元．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