第8期 23.2.2 关于原点对称的中点的坐标 23.3 课题学习 第二十三章整章复习（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 考点一：旋转的性质 旋转的一个重要性质就是旋转前后的两个图形全 等．解答与旋转有关的问题时，要特别注意旋转后得到 的一些特殊三角形，如等腰三角形、等边三角形、直角三 角形等性质的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１　（２０２３张家界）如图 １，ＡＯ为 ∠ＢＡＣ的平分线，且 ∠ＢＡＣ＝５０°，将四边形ＡＢＯＣ绕 点Ａ逆时针方向旋转后，得到四 边形ＡＢ′Ｏ′Ｃ′，且∠ＯＡＣ′＝１００°， 则四边形ＡＢＯＣ旋转的角度是 ． 解析：因为ＡＯ为∠ＢＡＣ的平分线，∠ＢＡＣ＝５０°，所 以∠ＢＡＯ＝∠ＯＡＣ＝２５°，由旋转的性质得 ∠ＢＡＣ＝ ∠Ｂ′ＡＣ′＝５０°，∠Ｂ′ＡＯ′＝∠Ｏ′ＡＣ′＝２５°，所以∠ＯＡＯ′ ＝∠ＯＡＣ′－∠Ｏ′ＡＣ′＝１００°－２５°＝７５°．故填７５°． 考点二：中心对称图形 中心对称图形上的每一对对称点都和对称中心在 同一条直线上，且对称点的连线被对称中心平分． 例２　（２０２３西宁）河湟剪纸被列入青海省第三批 省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文 化，创造出的独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是 轴对称图形又是中心对称图形的是 （　　） 解析：Ａ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选 项不符合题意；Ｂ．既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，故该选项不符合题意；Ｃ．既不是轴对称图形，也不 是中心对称图形，故该选项不符合题意；Ｄ．既是轴对称 图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．故选Ｄ． 考点三：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数． 例３　（２０２３泸州）在平面直角坐标系中，若点Ｐ（２， －１）与点 Ｑ（－２，ｍ）关于原点对称，则 ｍ的值是 ． 解析：因为点Ｐ（２，－１）与点Ｑ（－２，ｍ）关于原点对 称，所以ｍ＝１．故填１． 考点四：旋转作图 先确定旋转的角度和方向，然后找出与旋转中心距 离相等的对应点． 例４　如图２，在每个小正方形的边长为１个单位的 网格中，△ＡＢＣ的顶点均在格点（网格线的交点）上． （１）将△ＡＢＣ向右平移５个单位得到△Ａ１Ｂ１Ｃ１，画 出△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）将（１）中的△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点Ｃ１逆时针旋转９０°得 到△Ａ２Ｂ２Ｃ１，画出△Ａ２Ｂ２Ｃ１． 解析：（１）如图３，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求． （２）如图３，△Ａ２Ｂ２Ｃ１即为所求． 书 利用平移、轴对称及旋转可以设计出许多丰富多彩 的图案，请看下面的例题． 例１　用四块如图１所示的正方形瓷砖拼成一个新 的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图２、 图３、图４中各画一种拼法（要求三种拼法各不相同，且其 中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形）． 解析：如图５所示的图形既是轴对称图形也是中心 对称图形，如图６所示的图形是轴对称图形． 例２　用四块如图７所示的正方形瓷砖 拼成一个大正方形，形成轴对称图形． （１）与你的同伴比比，看谁的拼法多； （２）如果你家新房装修，请你选择四个拼成的大正 方形拼成中心对称图形，扩大规模，以观其效． 解析：（１）以正方形的对称轴作为分类准则，可以设 计许多不同的轴对称图形，如图８． （２）拼图：①“同花顺”拼法（利用图形的平移变换， 如图９）． ②“同花转”拼法（利用图形的旋转变换或轴对称 变换，如图１０）． ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" # $ ! " ! # ! $ ! % ! # ! # " # # & ! & " & # " ! # " ! ! $ 书 一、三角形与坐标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２４信阳一模）如 图１，在△ＯＡＢ中，∠ＡＯＢ＝６０°， ＯＡ＝５，点Ｂ的坐标为（８，０），将 △ＯＡＢ绕点 Ａ逆时针旋转得到 △ＣＡＤ，当点Ｏ的对应点Ｃ落在 ＯＢ上 时， 点 Ｄ 的 坐 标 为 ． 解析：过点Ｄ作ＤＥ⊥ｘ轴于点Ｅ．因为Ｂ（８，０），所 以ＯＢ＝８，由旋转的性质，得ＡＯ＝ＡＣ＝５，ＯＢ＝ＣＤ＝ ８，∠ＡＣＤ＝∠ＡＯＢ＝６０°，所以△ＡＯＣ是等边三角形， 所以ＯＣ＝ＯＡ＝５，∠ＡＣＯ＝６０°，所以∠ＤＣＥ＝６０°， ∠ＣＤＥ＝３０°，所以ＣＥ＝ １２ＣＤ＝４，ＤＥ＝ 槡４３，所以 ＯＥ＝ＯＣ＋ＣＥ＝９，所以点Ｄ（９，槡４３）．故填（９，槡４３）． 二、四边形与坐标 例２　（２０２３东营）如图２， 在平面直角坐标系中，菱形 ＯＡＢＣ的边长为 槡２６，点Ｂ在ｘ轴 的正半轴上，且∠ＡＯＣ＝６０°，将 菱形ＯＡＢＣ绕原点Ｏ逆时针方向 旋 转 ６０°， 得 到 四 边 形 ＯＡ′Ｂ′Ｃ′（点Ａ′与点 Ｃ重合），则 点Ｂ′的坐标是 （　　） Ａ．（槡３６，槡３２） Ｂ．（槡３２，槡３６） Ｃ．（槡３２，槡６２） Ｄ．（槡６２，槡３６） 解析：过Ｂ′作Ｂ′Ｄ⊥ｙ轴于Ｄ，连接ＯＢ′，因为将菱 形ＯＡＢＣ绕原点Ｏ按逆时针方向旋转６０°，得到四边形 ＯＡ′Ｂ′Ｃ′，∠ＡＯＣ＝６０°，菱形ＯＡＢＣ的边长为 槡２６，所以 ＯＣ′＝Ｃ′Ｂ′＝ 槡２６，∠ＣＯＡ＝∠Ｃ′ＯＣ＝６０°，Ｂ′Ｃ′∥ ＯＣ，所以∠ＤＣ′Ｂ′＝∠Ｃ′ＯＣ＝６０°，所以 ∠ＤＢ′Ｃ′＝ ３０°，所以Ｃ′Ｄ＝ １２Ｃ′Ｂ′＝槡６，所以 ＤＢ′＝ 槡３２，所以 ＯＤ＝ＯＣ′＋Ｃ′Ｄ＝ 槡３６，所以Ｂ′的坐标是（槡３２，槡３６）． 故选Ｂ． 例３　如图３，矩形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｂ在两坐标轴 上，ＯＡ＝ＯＢ＝２，ＢＣ＝ 槡３２．将矩形ＡＢＣＤ绕原点Ｏ顺 时针每次旋转９０°，则第８７５次旋转后点Ｃ的坐标是 （　　） Ａ．（３，－５） Ｂ．（－５，－３） Ｃ．（－３，５） Ｄ．（５，３） 解析：如图４，过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，连接ＯＣ， 因为ＯＡ＝ＯＢ＝２，所以∠ＡＢＯ＝∠ＢＡＯ＝４５°，因为 ∠ＡＢＣ＝９０°，所以∠ＣＢＥ＝４５°，因为ＢＣ＝ 槡３２，所以 ＣＥ＝ＢＥ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ＋ＢＥ＝５，所以Ｃ（５，３）． 因为矩形ＡＢＣＤ绕点Ｏ顺时针旋转，每次旋转９０°， 则第１次旋转结束时，点Ｃ的坐标为（３，－５）；第２次旋 转结束时，点Ｃ的坐标为（－５，－３）；第３次旋转结束 时，点Ｃ的坐标为（－３，５）；第４次旋转结束时，点Ｃ的 坐标为（５，３）；…，每旋转４次为一个循环，因为８７５÷４ ＝２１８……３，所以第８７５次旋转结束时，点Ｃ的坐标为 （－３，５）．故选Ｃ． 书 （上接２版参考答案） １９．（１）证明：由题 意知△ＡＢＭ≌△ＡＣＭ， △ＡＢＥ≌△ＤＣＥ， 所以 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ ＝ＣＤ， 所以ＡＣ＝ＣＤ． （２）∠Ｆ ＝ ∠ＭＣＤ．理由如下： 由（１）可得 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＥ ＝ ∠ＣＤＥ， ∠ＣＭＡ＝∠ＢＭＡ， 因 为 ∠ＢＡＣ ＝ ２∠ＭＰＣ，∠ＢＭＡ ＝ ∠ＰＭＦ， 所以设 ∠ＭＰＣ＝ α，则 ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ ＝∠ＣＤＥ＝α， 设 ∠ＢＭＡ＝β，则 ∠ＰＭＦ＝∠ＣＭＡ＝β， 所以∠Ｆ＝∠ＣＰＭ －∠ＰＭＦ ＝ α －β， ∠ＭＣＤ ＝ ∠ＣＤＥ － ∠ＤＭＣ＝α－β， 所 以 ∠Ｆ ＝ ∠ＭＣＤ． ２０．（１）ＡＤ′与 ＢＤ′ 的位置关系为 ＡＤ′⊥ ＢＤ′．理由如下： 因为 ＡＣ＝ＢＣ，Ｄ， Ｅ分别为 ＡＣ，ＢＣ的中 点， 所以ＣＤ＝ＣＥ，即 （下转２，３版中缝） ! " #! !!""" $"% ! #'(%&)'((( !"#$ !"#$%& !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " %& ' ( " )& * + ) *+ ,-. , ) *+ /01 , # - .+ 23. , ) *+ 4 5 , ) *+ 6 7 -./01+ 2 8 23/01+ 29: -4506+ ; < -4578+ =>? 0@A B C DEF G H I(J /KL GMN O > PQF RS- BTU VTW /-X Y7Z [\C ] J ^_` 0ab 91-.+ BTU 91:;+ RS- <=-.+ cTd >?-.+ efg @ABC+ hij k"lmnopq k"lnrstuvwxy k"lnz{|}~€p‚ ƒ„…†‡ˆ‰Š †‹Œ,-. Ž‘’‰Š“”Œ*+&%,'!'!-•.– —˜™”Œ(&,&/! $! #! !! # $ ! " ! & 0 1 * 2 % ! # & " ' $ ! & % ( # & ! $ " ' ! $ % ( # & ! $ " ' ! % % ! " ' $ #!"!" !! #! ! # ! ) ! 3 ! &' ! / ! 4 书书书 １８． （８ 分 ） 图 １５ － ① ，图 １５ － ② ，图 １５ － ③ 均 是 由 边 长 为 １ 的 正 三 角 形 构 成 的 网 格 ，每 个 网 格 图 中 有 ５ 个 正 三 角 形 已 涂 上 阴 影 ． 请 在 余 下 空 白 正 三 角 形 中 ，按 下 列 要 求 涂 上 阴 影 ： （１ ） 在 图 １５ － ① 中 涂 上 一 个 阴 影 正 三 角 形 ， 使 得 阴 影 部 分 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ，但 不 是 轴 对 称 图 形 ； （２ ） 在 图 １５ － ② 中 涂 上 两 个 阴 影 正 三 角 形 ， 使 得 阴 影 部 分 图 形 是 轴 对 称 图 形 ，但 不 是 中 心 对 称 图 形 ； （ ３ ） 在 图 １５ － ③ 中 涂 上 三 个 阴 影 正 三 角 形 ， 使 得 阴 影 部 分 图 形 既 是 中 心 对 称 图 形 ，又 是 轴 对 称 图 形 ． １９． （ ２０２４ 广 州 期 中 ， ８ 分 ） 如 图 １６ ，将 △ ＡＢＣ 绕 点 Ｃ 顺 时 针 旋 转 得 到 △ Ｄ ＥＣ ，使 点 Ａ 的 对 应 点 Ｄ 落 在 边 ＢＣ 上 ． （１ ） 若 ＡＣ ＝ ３ ，ＣＥ ＝ ５ ，求 ＢＤ 的 长 ； （２ ） 若 ∠ Ａ ＝ ７０°，∠ Ｂ ＝ ３０°，连 接 ＢＥ ，求 ∠ ＣＢＥ 的 度 数 ． ２０． （２０２３ 绵 阳 期 中 ，８ 分 ） 如 图 １７ ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 点 Ａ （ － ４ ，０ ） ，Ｂ （０ ，３ ） ，Ｐ （ｍ ，ｎ ） 三 点 ，线 段 ＣＤ 与 ＡＢ 关 于 点 Ｐ 中 心 对 称 ，其 中 Ａ ，Ｂ 的 对 应 点 分 别 为 Ｃ ，Ｄ ． （１ ） 当 Ｐ （ － １ ， － １ ） 时 ，画 出 线 段 ＣＤ ，并 写 出 Ｃ ，Ｄ 的 坐 标 ； （２ ） 若 四 边 形 ＡＢＣＤ 为 矩 形 ，且 其 中 Ｃ ，Ｄ 两 点 中 有 一 个 点 在 坐 标 轴 上 ，直 接 写 出 Ｐ 点 坐 标 ． ２１． （１０ 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，Ｏ 为 原 点 ，点 Ａ （１ ，０ ） ，点 Ｂ 在 ｙ 轴 的 正 半 轴 上 ，且 ∠ ＡＢＯ ＝ ３０°，把 △ ＡＢＯ 绕 点 Ｏ 顺 时 针 旋 转 ，得 △ Ａ′Ｂ′Ｏ ， 记 旋 转 角 为 α ． （１ ） 如 图 １８ － ① ，当 α ＝ ３０° 时 ，求 点 Ｂ′ 的 坐 标 ； （２ ） 如 图 １８ － ② ，当 α ＝ ９０° 时 ，设 直 线 ＡＡ′与 直 线 ＢＢ′相 交 于 点 Ｍ ， 求 点 Ｍ 的 坐 标 ． ２２ ．（２０２４ 乌 鲁 木 齐 期 中 ， １０ 分 ） 为 创 建 绿 色 校 园 ， 学 校 决 定 对 一 块 正 方 形 的 空 地 进 行 种 植 花 草 ，现 向 学 生 征 集 设 计 图 案 ． 图 案 要 求 只 能 用 圆 弧 在 正 方 形 内 加 以 设 计 ，使 正 方 形 和 所 画 的 圆 弧 构 成 图 案 ， 种 植 花 草 部 分 用 阴 影 表 示 ． 请 你 运 用 平 移 、 旋 转 、 轴 对 称 等 知 识 ， 在 图 １９ － ③ 、 图 １９ － ④ 、图 １９ － ⑤ 中 画 出 三 种 不 同 的 设 计 图 案 （ 温 馨 提 示 ： 在 两 个 图 案 中 ， 只 有 半 径 变 化 而 圆 心 不 变 的 图 案 属 于 同 一 种 ， 例 如 ： 图 １９ － ① 、 图 １９ － ② 只 能 算 一 种 ）． ２３．（１０ 分 ） 如 图 ２０ － ① ，Ｄ 是 △ ＡＢＣ 内 一 点 ，∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ ，将 ＡＤ 绕 点 Ａ 逆 时 针 旋 转 ９０ ° 得 到 Ａ Ｅ ，连 接 Ｄ Ｅ ，Ｃ Ｅ． （１ ） 求 证 ：ＢＤ ＝ ＣＥ ； （２ ） 设 Ｄ Ｅ 交 ＡＣ 于 点 Ｆ ，当 Ｂ ，Ｄ ，Ｅ 三 点 共 线 时 ，直 接 写 出 ∠ ＦＥＣ 的 度 数 ；（３ ） 若 将 图 ２０ － ① 中 的 点 Ｄ 移 至 ＢＣ 边 上 ，将 ＡＤ 绕 点 Ａ 逆 时 针 旋 转 ９０° 得 到 ＡＥ ，连 接 ＢＥ．将 ＡＣ 平 移 得 到 Ｄ Ｆ （ 点 Ａ 与 点 Ｄ 对 应 ） ，连 接 ＡＦ ， 如 图 ２０ － ② 所 示 ．请 判 断 ＢＥ ，ＡＦ 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ，并 说 明 理 由 ． ２４． （２０２４ 武 汉 期 中 ，１２ 分 ） 如 图 ２１ ，△ ＡＢＣ 中 ，∠ Ｂ ＝ ∠ Ｃ ＝ α （０° ＜ α ＜ ４５°） ，Ｍ 为 ＢＣ 的 中 点 ，Ｄ 为 线 段 ＣＭ 上 一 动 点 （Ｄ Ｍ ≤ ＣＤ ） ，将 线 段 Ｄ Ｍ 绕 Ｄ 点 顺 时 针 旋 转 ２α 得 到 线 段 Ｄ Ｅ ，点 Ｆ 是 线 段 ＢＭ 上 一 点 且 Ｄ Ｆ ＝ Ｄ Ｃ ，连 接 ＡＥ ，ＥＦ． （１ ） 小 亮 为 了 研 究 ∠ ＡＥＦ 的 度 数 ，将 图 ２１ － ① 中 的 点 Ｄ 移 至 到 ＣＭ 的 中 点 处 ，使 点 Ｆ 与 点 Ｍ 重 合 ，如 图 ２１ － ② ，请 直 接 写 出 ∠ ＡＥＦ 的 度 数 ； （２ ） 如 图 ２１ － ① ， （１ ） 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ？ 若 成 立 ， 请 给 出 证 明 ；若 不 成 立 ，请 说 明 理 由 ； （３ ） 如 图 ２１ － ③ ，若 α ＝ ３０°，ＡＢ ＝ 槡 ２ ３ ，延 长 ＡＥ 交 ＢＣ 于 点 Ｇ ，若 ＢＦ ＝ ２ＣＧ ，请 直 接 写 出 ＦＧ 的 长 ． !" #" $" %" &" ! & 3 !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ # ( ) " & ! # ) ( " & ! ! # ' ! " ! & / ' ( ) % $ ! ' " ! & ! # ( & * ) ! " # # ( & * ! ) " ! " # ( & * ) ! " # + !" #" $" ! # & % " ! $ " ! ! ! ' % " ! ! ! " $ ! ' * ! & ) !" #" ( # & ! " ! & 4 书 ２３．２．３关于原点对称的点的坐标 １．（２０２４南充月考）在平面直角坐标系中，点（２， －３）关于原点的对称点的坐标是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．（－２，３） Ｂ．（－２，－３） Ｃ．（２，－３） Ｄ．（－３，２） ２．已知点Ｅ（１，ａ）与Ｎ（ｂ，２）关于原点对称，则ａ的 值为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．２ ３．（２０２３陇南期末）已知点Ｍ（１－２ｍ，ｍ－１）关于 原点的对称点在第一象限，则 ｍ的取值范围在数轴上 表示正确的是 （　　） ４．（２０２４鞍山二模）已知点Ｐ１（ａ－１，１）和Ｐ２（２，ｂ －１）关于原点对称，则（ａ＋ｂ）２０２４的值为 ． ５．在平面直角坐标系中，点Ａ（８，６）关于原点Ｏ的 对称点是点Ａ′，则ＯＡ′＝ ． ６．（２０２４南通期中）若｜ａ－３｜＋（ｂ＋４）２ ＝０，则 点（ａ，ｂ）关于原点对称的点的坐标为 ． ７．如图，△ＡＢＣ三个顶点的坐标分别为 Ａ（１，１）， Ｂ（４，２），Ｃ（３，４）． （１）请画出△ＡＢＣ关于原点对称的△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）在ｘ轴上求作一点Ｐ，使△ＰＡＢ的周长最小，请 画出△ＰＡＢ，并直接写出Ｐ的坐标． ８．在直角坐标系中，已知点Ａ（３，０），点Ｂ（３，２），点 Ｃ和点Ａ关于ｙ轴对称，点Ｄ和点Ｂ关于原点Ｏ对称，依 次连接ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ． （１）四边形 ＡＢＣＤ是否为平行四边形？请说明理 由． （２）在ｘ轴上是否存在一点Ｐ，使得△ＢＤＰ的面积 等于四边形ＡＢＣＤ面积的一半？若存在，请求出点 Ｐ的 坐标；若不存在，请说明理由． ２３．３课题学习　图案设计 １．（２０２４石家庄期末）如图１，由图案①到图案② 再到图案③的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （　　） Ａ．轴对称 Ｂ．旋转 Ｃ．中心对称 Ｄ．平移 ２．如图２，将正方形图案绕中心Ｏ旋转１８０°后，得 到的图案是 （　　） ３．如图 ３，△Ａ′Ｂ′Ｃ′可由 △ＡＢＣ经过平移得到， △Ａ′Ｂ′Ｃ′还可以看作是△ＡＢＣ经过怎样的图形变换得 到？下列结论：①１次旋转；②１次旋转和 １次轴对称； ③２次旋转；④２次轴对称，其中所有正确结论的序号是 ． ４．如图４，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，△ＯＣＤ可以 看成是△ＡＯＢ经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转）得到的，写出一种由 △ＡＯＢ得到 △ＯＣＤ的过程 ． ５．把１８个边长都为１的 等边三角形拼接成如图５的 平行四边形，其中６个涂上了 阴影，可以旋转、翻折或平移 某一个阴影等边三角形到某 一个空白的等边三角形处，使新构成的阴影部分图案 是轴对称图形，共可得 种轴对称图形． ６．亦姝家最近买了一种如图６－①所示的瓷砖．请 你用４块如图６－①所示的瓷砖拼铺成一个正方形地 板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图６－②、图６ －③中各画出一种拼法（要求：① 两种拼法各不相同， ②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分 用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 上期２版 ２３．１图形的旋转 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．－２；　５．（４，２）； ６．４－ 槡２３． 能力提高　７．（１）∠ＤＡＯ＝９０°． （２）线段 ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ之间的数量关系是 ＯＡ２ ＋ ＯＢ２ ＝ＯＣ２．证明略． ２３．２．１中心对称 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．６；　４．５． ５．证明：因为△ＡＧＢ与△ＣＧＤ关于点Ｇ成中心对 称， 所以ＢＧ＝ＤＧ，ＡＧ＝ＣＧ， 因为ＡＥ＝ＣＦ， 所以ＡＧ－ＡＥ＝ＣＧ－ＣＦ，所以ＥＧ＝ＦＧ， 又因为∠ＤＧＥ＝∠ＢＧＦ， 所以△ＤＧＥ≌△ＢＧＦ，所以ＢＦ＝ＤＥ． 能力提高　６．（１）Ｂ１（２，０），Ｂ２（４，０），Ｂ３（６，０）． （２）Ａ１Ｂ２的长为 槡２３． ２３．２．２中心对称图形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．菱形；　４．３． ５．略． 能力提高　６．证明：（１）因为ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＢ， 所以四边形ＡＥＤＦ是平行四边形， 所以四边形ＡＥＤＦ是中心对称图形． （２）因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， 又因为ＤＥ∥ＡＣ， 所以∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＥ， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ， 所以ＡＥ＝ＤＥ， 又因为四边形ＡＥＤＦ是平行四边形， 所以四边形ＡＥＤＦ是菱形， 所以ＡＤ垂直平分ＥＦ， 所以点Ｅ，Ｆ关于直线ＡＤ对称． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｃ Ａ 二、９．４０°；　１０．３２．５°；　１１．４；　１２．３２； １３．（２，２）；　１４．７５或１． 三、１５．图略． １６．证明略． １７．（１）中点，Ｅ． （２）证明：因为ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ，ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ，ＡＤ ＝ＣＦ， 所以ＡＢ＝ＢＦ， 所以△ＡＢＦ是等腰三角形． １８．（１）证明：由旋转得 ＡＣ＝ＡＥ，∠ＣＡＥ＝９０°， ∠ＡＥＤ＝∠Ｃ， 所以∠Ｃ＝∠ＡＥＣ＝４５°＝∠ＡＥＤ， 所以∠ＤＥＣ＝∠ＡＥＤ＋∠ＡＥＣ＝９０°， 所以ＤＥ⊥ＢＣ． （２）因为ＡＣ＝ 槡５２２，由旋转可得ＡＥ＝ＡＣ＝ 槡５２ ２， 所以在 Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＥＣ ＝ ＡＣ２＋ＡＥ槡 ２ ＝５， 因为ＢＣ＝６， 所以ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ＝１， 由旋转可知ＤＥ＝ＢＣ＝６， 所以 ＢＤ＝ ＢＥ２＋ＤＥ槡 ２ ＝ 槡３７． （下转１，４版中缝） 书 （上接１，４版中缝） ＣＤ′＝ＣＥ′， 因为∠Ｃ＝９０°，即 ∠ＢＣＡ ＝ ∠Ｄ′ＣＥ′＝ ９０°， 所 以 ∠ＡＣＤ′ ＝ ∠ＢＣＥ′， 所 以 △ＣＤ′Ａ ≌ △ＣＥ′Ｂ， 所 以 ∠ＣＥ′Ｂ ＝ ∠ＣＤ′Ａ． 因 为 ∠ＢＣＡ ＝ ∠Ｄ′ＣＥ′＝９０°，ＣＤ′＝ ＣＥ′，ＡＣ＝ＢＣ， 所以 ∠ＣＤ′Ｅ′＝ ∠ＣＥ′Ｄ′＝ ∠ＣＡＢ ＝ ∠ＣＢＡ＝４５°， 所 以 ∠ＣＥ′Ｂ ＝ ∠ＣＤ′Ａ＝１３５°， 所 以 ∠ＡＤ′Ｂ ＝ １３５°－４５°＝９０°，所以 ＡＤ′⊥ＢＤ′． （２） 在 Ｒｔ△ＡＣＢ 中，因为ＡＣ＝ＢＣ＝２， 所 以 ＢＡ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２２， 同理可得 Ｄ′Ｅ′＝ 槡２， 由旋转的性质，得 ＡＤ′＝ＢＥ′， 设ＡＤ′＝ＢＥ′＝ｘ， 在Ｒｔ△ＡＤ′Ｂ中，由 勾股定理，得ｘ２＋（槡２＋ ｘ）２ ＝（槡２２） ２， 解 得 ｘ ＝ 槡１４－槡２ ２ （负值舍去）， 所 以 ＢＥ′ ＝ 槡１４－槡２ ２ ． （３）ＢＥ′长的所有 值 为 槡 ２＋槡１４ ２ 或 槡１４－槡２ ２ ． 上期４版 重点集训营 １．略． ２．（１）略 ． （２）作图略．旋转 中心点Ｍ的坐标为（１， ０）． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !"#$%&'"() ! * +,"-./01 23(4567*8 !9.:;:< !=B:C< !DEFGHI-"#.+#&'.&#( !9.JKLMNOPQRSTUVWX ."&YZ[.\]"Z$DEF !^_D`I-"---( !RaFbcdeI-"#.!#&'..&# -"#.!#&'.&"'fghi !jkIlm9.RaFKnopqrs^tfuv !^_bkdeL...)# !wxyzb{|b}~b !9cpqrOfR8€‚ƒ„c !…†‡ˆ‰wŠYL./----/---..- !…†FGHL-"#.!#&'.&## !-c‹ŒŽ‘’“”•–—f˜™Rš›UœžŸ ¡¢£ .. 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" & . +. +& % $ ! / . & 书书书 《 旋 转 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ３０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 １０ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ３０ 分 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． （ ２０ ２４ 晋 城 二 模 ） ２０ ２３ 年 ９ 月 ，第 十 九 届 亚 运 会 在 我 国 杭 州 举 办 ． 下 面 是 历 届 亚 运 会 的 会 徽 和 图 标 ，其 中 的 图 案 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ 　 　 ） ２． 已 知 点 Ａ（ ａ， ２） 与 点 Ａ′ （ ６， ｂ） 关 于 坐 标 原 点 对 称 ，则 实 数 ａ， ｂ的 值 是 （ 　 　 ） Ａ ．ａ ＝ ６， ｂ ＝ ２ Ｂ． ａ ＝ － ６， ｂ ＝ － ２ Ｃ． ａ ＝ ６， ｂ ＝ － ２ Ｄ ．ａ ＝ － ６， ｂ ＝ ２ ３． 如 图 １， 若 △ ＡＢ Ｃ 绕 点 Ａ 按 逆 时 针 方 向 旋 转 ４０ ° 后 与 △ ＡＢ １ Ｃ １ 重 合 ，则 ∠ ＡＢ １ Ｂ ＝ （ 　 　 ） Ａ ．４ ０° Ｂ． ５０ ° Ｃ． ７０ ° Ｄ ．１ ００ ° ４． 如 图 ２ 所 示 的 图 案 是 由 六 个 全 等 的 菱 形 拼 成 的 ，它 也 可 以 看 作 是 以 一 个 图 案 为 “ 基 本 图 案 ” ， 通 过 旋 转 得 到 的 ． 以 下 图 案 中 ，不 能 作 为 “ 基 本 图 案 ” 的 是 （ 　 　 ） ５． 若 点 （ １ － ２ｋ ，４ ＋ ２ｋ ） 关 于 原 点 对 称 的 点 在 第 三 象 限 ，则 ｋ 的 整 数 解 有 （ 　 　 ） Ａ ．１ 个 Ｂ． ２ 个 Ｃ． ３ 个 Ｄ ．４ 个 ６． （ ２０ ２４ 昆 明 月 考 ） 如 图 ３， 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 Ｂ 在 第 一 象 限 ， ∠ ＡＯ Ｂ ＝ ∠ Ｂ ＝ ３０ °， Ｏ Ａ ＝ ２． 将 △ ＡＯ Ｂ 绕 点 Ｏ 逆 时 针 旋 转 ９０ °， 点 Ｂ 的 对 应 点 Ｂ′ 的 坐 标 是 （ 　 　 ） Ａ ．（ － 槡 ３， ３） Ｂ． （ － ３， 槡 ３ ） Ｃ． （ － 槡 ３， ２ ＋ 槡 ３） Ｄ ．（ － １， ２ ＋ 槡 ３） ７． （ ２０ ２４ 上 海 杨 浦 区 一 模 ） 如 图 ４， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ≠ ＡＣ ， ∠ ＢＡ Ｃ ＝ １２ ０° ， 将 △ ＡＢ Ｃ 绕 点 Ｃ 逆 时 针 旋 转 ，点 Ａ， Ｂ 分 别 落 在 点 Ｄ ，Ｅ 处 ，如 果 点 Ａ， Ｄ ，Ｅ 在 同 一 直 线 上 ，那 么 下 列 结 论 错 误 的 是 （ 　 　 ） Ａ ． ∠ ＡＤ Ｃ ＝ ６０ ° Ｂ． ∠ ＡＣ Ｄ ＝ ６０ ° Ｃ． ∠ ＢＣ Ｄ ＝ ∠ ＥＣ Ｄ Ｄ ． ∠ ＢＡ Ｄ ＝ ∠ ＢＣ Ｅ ８． 如 图 ５， 两 个 边 长 都 为 槡 ２ 的 正 方 形 ＡＢ ＣＤ 和 Ｏ ＲＱ Ｐ， 如 果 Ｏ 点 正 好 是 正 方 形 ＡＢ ＣＤ 的 中 心 ，而 正 方 形 Ｏ ＲＱ Ｐ 可 以 绕 Ｏ 点 旋 转 ，那 么 它 们 重 叠 部 分 的 面 积 为 （ 　 　 ） Ａ ．４ Ｂ． ２ Ｃ． １ Ｄ ． １ ２ ９ ． （ ２０ ２３ 济 宁 期 末 ） 如 图 ６， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，将 等 边 △ Ｏ ＡＢ 绕 点 Ａ 旋 转 １８ ０° ， 得 到 △ Ｏ １ ＡＢ １ ， 再 将 △ Ｏ １ ＡＢ １ 绕 点 Ｏ １ 旋 转 １８ ０° ， 得 到 △ Ｏ １ Ａ １ Ｂ ２ ， 再 将 △ Ｏ １ Ａ １ Ｂ ２ 绕 点 Ａ １ 旋 转 １８ ０° ，得 到 △ Ｏ ２ Ａ １ Ｂ ３ ，按 此 规 律 进 行 下 去 ，若 点 Ｂ 的 坐 标 为 （ ２， ０） ，则 点 Ｂ ２ ０２ ４ 的 坐 标 为 （ 　 　 ） Ａ ．（ ２ ０２ ６， 槡 ２ ０２ ４ ３） Ｂ． （ ２ ０２ ４， 槡 ２ ０２ ６ ３） Ｃ． （ ２ ０２ ４， 槡 ２ ０２ ２ ３） Ｄ ．（ ２ ０２ ２， 槡 ２ ０２ ４ ３） １０ ．（ ２０ ２４ 重 庆 北 碚 区 期 中 ） 如 图 ７， 在 正 方 形 ＡＢ ＣＤ 的 边 ＢＣ 上 取 一 点 Ｅ， 连 接 ＡＥ 并 延 长 交 Ｄ Ｃ 的 延 长 线 于 点 Ｆ， 将 射 线 ＡＥ 绕 点 Ａ 顺 时 针 旋 转 ４５ ° 后 交 ＣＢ 的 延 长 线 于 点 Ｇ， 连 接 ＦＧ ，若 ∠ ＡＦ Ｄ ＝ α， 则 ∠ ＣＧ Ｆ 的 大 小 是 （ 　 　 ） Ａ ． α Ｂ． ４５ ° － α ２ Ｃ． ９０ ° － ２ α Ｄ ．６ ０° － α 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９０ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） １１ ．如 图 ８， 若 点 Ｍ （ － １， ２） 关 于 原 点 的 对 称 点 在 一 次 函 数 ｙ ＝ ２ｘ ＋ ｎ 的 图 象 上 ，则 ｎ 的 值 为 ． １２ ．如 图 ９， 在 等 边 三 角 形 网 格 中 ，每 个 等 边 三 角 形 的 边 长 都 为 １， 图 中 已 经 涂 黑 了 ３ 个 三 角 形 ，从 ① ， ② ， ③ 号 位 置 选 择 一 个 三 角 形 涂 黑 ， 其 中 不 能 与 图 中 涂 黑 部 分 构 成 轴 对 称 图 形 的 是 号 位 置 的 三 角 形 ． １３ ．（ ２０ ２３ 大 连 期 末 ） 如 图 １０ ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 （ 坐 标 系 中 每 个 小 正 方 形 单 位 长 度 为 １） ，画 △ ＡＢ Ｃ 关 于 点 Ｏ 成 中 心 对 称 的 图 形 时 ，小 明 由 于 紧 张 对 称 中 心 选 错 ，画 出 的 图 形 是 △ Ｄ ＥＦ ， 请 你 写 出 此 时 的 对 称 中 心 的 坐 标 是 ． １４ ．（ ２０ ２３ 石 嘴 山 模 拟 ） 如 图 １１ ，在 Ｒ ｔ △ ＡＢ Ｃ 中 ， ∠ ＡＣ Ｂ ＝ ９０ °， ＡＣ ＝ ５ ｃｍ ，Ｂ Ｃ ＝ １２ ｃｍ ，将 △ ＡＢ Ｃ 绕 点 Ｂ 顺 时 针 旋 转 ６０ °， 得 到 △ ＢＤ Ｅ， 连 接 Ｄ Ｃ 交 ＡＢ 于 点 Ｆ， 则 △ ＡＣ Ｆ 和 △ ＢＤ Ｆ 的 周 长 之 和 为 ｃｍ ． １５ ．如 图 １２ ，在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｂ Ｃ ＝ １０ ，Ｂ Ｃ 边 上 的 高 为 ３． 将 点 Ａ 绕 点 Ｂ 逆 时 针 旋 转 ９０ °得 到 点 Ｅ， 绕 点 Ｃ 顺 时 针 旋 转 ９０ °得 到 点 Ｄ． 沿 ＢＣ 翻 折 得 到 点 Ｆ， 从 而 得 到 一 个 凸 五 边 形 ＢＦ ＣＤ Ｅ， 则 五 边 形 ＢＦ ＣＤ Ｅ 的 面 积 为 ． １６ ．（ ２０ ２４ 辽 宁 一 模 ） 如 图 １３ ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，点 Ａ（ ０， ３） 在 ｙ 轴 上 ，点 Ｂ 在 ｘ轴 上 （ 不 与 原 点 Ｏ 重 合 ） ，连 接 ＡＢ ，将 线 段 ＡＢ 绕 点 Ｂ 顺 时 针 旋 转 ９０ °得 到 线 段 ＢＣ ，连 接 ＡＣ ，点 Ｄ 是 ＡＣ 的 中 点 ，连 接 Ｏ Ｄ ，当 △ ＡＯ Ｄ 是 等 腰 三 角 形 时 ，点 Ｂ 的 坐 标 是 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 ８ 个 小 题 ， 共 ７２ 分 ） １７ ．（ ２０ ２４ 昭 通 期 中 ，６ 分 ） △ ＡＢ Ｃ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 １４ 所 示 ． （ １） 画 出 △ ＡＢ Ｃ 关 于 原 点 对 称 的 △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ ； （ ２） 将 △ ＡＢ Ｃ 绕 点 Ｂ 顺 时 针 旋 转 ９０ ° 得 到 △ Ａ ２ ＢＣ ２ ，画 出 旋 转 后 的 △ Ａ ２ ＢＣ ２ ． ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / !"#$%&!' $ Ÿ ´ µ ¶ ? · ¸ ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / 7 8 0 9 & . " . & # " ! . & # " ' ( ! / % $ ) & % * + ! , ( $ ! ) % " # & - ! ( ' $ ! . - ! " # ! 5 " ( ' - # & - & ' # ( " ! . . ! . & % " & ' ! # $ ! . " 7 8 0 9 ! & # " # ! ! " ! % ! " $ % " # " & ! & ! . # . " " ! " . $ ! ( - & ' ( " # . ! ' ' # / ! &" 0 1 ! # ! " & ! . / + / + & / & + & + / & / # $ %