第2期 1.2 怎样判定三角形相似(第二课时～第四课时)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 １６．（１）证明：因为 ＥＦ∥ＣＤ，所以ＡＦ∶ＦＤ ＝ＡＥ∶ＥＣ．因为 ＤＥ∥ ＢＣ，所以 ＡＤ∶ＢＤ ＝ ＡＥ∶ＥＣ，所以 ＡＦ∶ＦＤ ＝ＡＤ∶ＢＤ． （２）因为 ＡＤ∶ＢＤ ＝２∶１，所以 ＢＤ ＝ １ ２ＡＤ，所以ＡＤ＋ １ ２ＡＤ ＝１５，所以ＡＤ＝１０．因 为ＡＦ∶ＦＤ＝ＡＤ∶ＤＢ， 所以ＡＦ∶ＦＤ＝２∶１，所 以ＡＦ＝２ＤＦ．因为ＡＦ＋ ＤＦ＝１０，所以 ２ＤＦ＋ ＤＦ＝１０，所以 ＤＦ＝ １０ ３． １７．（１）由已知得 ＭＮ ＝ＡＢ＝２，ＭＤ ＝ １ ２ＡＤ＝ １ ２ＢＣ，因为沿 长边对折后得到的矩形 与原矩形相似，所以矩 形ＤＭＮＣ与矩形 ＡＢＣＤ 相似，所以 ＤＭ ＡＢ ＝ ＭＮ ＢＣ， 所以 ＤＭ·ＢＣ＝ＡＢ· ＭＮ，即 １２ＢＣ ２＝４，所以 ＢＣ＝ 槡２２，即它的另一 边长为 槡２２． （２） 因 为 矩 形 ＦＥＣＤ与原矩形 ＡＢＣＤ 相似，所以 ＤＦ ＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ．因 为ＡＢ＝ＣＤ＝２，ＢＣ＝ ４，所以 ＤＦ＝ＡＢ·ＣＤＢＣ ＝１，所以矩形ＦＥＣＤ的 面积 ＝ＣＤ·ＤＦ＝２×１ ＝２． １８．（１）证明：因为 菱 形 ＡＢＣＤ ∽ 菱 形 ＡＥＦＧ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＥＡＧ，所以 ∠ＢＡＤ＋ ∠ＧＡＢ ＝ ∠ＥＡＧ ＋ ∠ＧＡＢ，所以 ∠ＧＡＤ ＝ ∠ＥＡＢ．因为 ＡＢ＝ＡＤ， ＡＥ＝ＡＧ，所以△ＡＧＤ≌ △ＡＥＢ，所以ＧＤ＝ＥＢ． （２）连接ＢＤ交ＡＣ 于点Ｐ，则ＢＰ⊥ＡＣ，因 为 ∠ＤＡＢ＝６０°，所以 ∠ＰＡＢ＝３０°．因为菱形 ＡＢＣＤ∽菱形ＡＥＦＧ，相 似比是 槡２∶３，ＡＢ＝２， 所以 ＡＥ ＝槡３，ＢＰ ＝ １ ２ＡＢ＝１，所以 ＡＰ＝ 书 上期２版 １．１相似多边形（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．是； ５．甲和丙． ６．相似．理由如下： 因为∠Ａ＝∠Ａ′＝６０°，∠Ｂ＝∠Ｂ′＝８２°，∠Ｃ＝ ∠Ｃ′＝７２°，所以∠Ｄ＝∠Ｄ′＝１４６°，又因为 ＡＢＡ′Ｂ′＝ ４ ３， ＢＣ Ｂ′Ｃ′＝ ３．２ ２．４＝ ４ ３， ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ２．８ ２．１＝ ４ ３， ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ２ １．５＝ ４ ３， 所以 ＡＢ Ａ′Ｂ′＝ ＢＣ Ｂ′Ｃ′＝ ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ４ ３，所以四边形 ＡＢＣＤ∽四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′． １．１相似多边形（第二课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．２；　４．１４． ５．设小路的宽为 ｘｍ，根据相似多边形的性质，得 ３０ １０＝ １０ ｘ，解得ｘ＝ １０ ３，即小路的宽为 １０ ３ｍ． 能力提高　６．四边形ＥＦＧＨ与四边形ＡＢＣＤ相似． 理由如下： 因为Ｅ，Ｆ是ＯＡ，ＯＢ的中点，所以ＥＦＡＢ＝ １ ２，∠１＝ ∠２． 又Ｆ，Ｇ分别是ＯＢ，ＯＣ的中点，所以∠３＝∠４．所以 ∠１＋∠３＝∠２＋∠４，即∠ＥＦＧ＝∠ＡＢＣ．同理，ＦＧＢＣ＝ ＧＨ ＣＤ ＝ ＨＥ ＤＡ ＝ ＥＦ ＡＢ ＝ １ ２，∠ＦＧＨ ＝∠ＢＣＤ，∠ＧＨＥ ＝ ∠ＣＤＡ，∠ＨＥＦ＝∠ＤＡＢ．所以四边形 ＥＦＧＨ与四边形 ＡＢＣＤ相似． １．２怎样判定三角形相似（第一课时） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．６；　４．３４． ５．证明：因为Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ的中点，所以ＡＤ ＝ＤＢ．因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＡＦＦＣ＝ ＡＤ ＤＢ＝１，所以ＡＦ＝ＦＣ． 因为ＣＥ∥ＡＢ，所以ＥＦＦＤ＝ ＦＣ ＦＡ＝１，所以ＤＦ＝ＥＦ，即Ｆ 是ＤＥ的中点． 能力提高　６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＢＣ ∥ＡＤ，所以ＡＢＡＭ＝ ＮＣ ＮＭ．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以 ＡＤ ＡＮ＝ ＣＭ ＮＭ，所 以 ＡＢ ＡＭ＋ ＡＤ ＡＮ＝ ＮＣ ＮＭ＋ ＣＭ ＮＭ＝１．又因为ＡＢ＝ＡＤ＝１，所以 １ ＡＭ＋ １ ＡＮ＝１． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ 二、９．３．２；　１０．１８；　１１．８；　１２．１．５或９； １３．１５；　１４．４３或 ２ ３． 三、１５．（１）因为ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ４ ８＝ １ ２，所以ＤＥ＝ １ ２ＥＦ＝６． （２）因为ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，所以 ＤＥ ＥＦ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ２ ３，所以ＢＣ ＝ ３２ＡＢ＝９，所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝６＋９＝１５． 书 类型１：已知条件只涉及角 例１　（２０２４武汉口区 期末）如 图 １所 示， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝９０°， ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ，Ｄ分别是ＢＣ，ＡＣ 上的点，且 ∠ＡＥＤ＝４５°，求 证：△ＡＢＥ∽△ＥＣＤ． 证明：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ ＝４５°，因为 ∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以 ∠ＡＥＤ＋ ∠ＣＥＤ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ， 因为 ∠ＡＥＤ＝４５°，所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＤ，所以 △ＡＢＥ∽△ＥＣＤ． 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用“两角分别 相等的两个三角形相似”来证明两个三角形相似．解决 这类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件． 类型２：已知条件涉及平行线 例２　如图２，在△ＡＢＣ中，点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ边上，ＤＥ ∥ＡＣ，∠ＤＥＦ＝∠Ａ．求证：△ＢＤＥ ∽△ＥＦＣ． 证明：因为 ＤＥ∥ ＡＣ，所以 ∠ＢＤＥ ＝ ∠Ａ，∠ＤＥＢ ＝ ∠Ｃ， ∠ＥＦＣ＝∠ＤＥＦ．因为 ∠ＤＥＦ＝∠Ａ，所以 ∠ＢＤＥ＝ ∠ＥＦＣ，所以△ＢＤＥ∽△ＥＦＣ． 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可以得出两角 相等的条件，利用“两角分别相等的两个三角形相似”来 证明两个三角形相似． 类型３：已知条件既有角又有边 例 ３　 如图 ３，点 Ｄ为 △ＡＢＣ边ＡＢ上一点，ＡＤ＝２，ＢＤ ＝６，ＡＣ ＝４．求证：△ＡＣＤ∽ △ＡＢＣ． 证明：因为ＡＤ＝２，ＢＤ＝６，所以ＡＢ＝８． 因为ＡＣ＝４，所以ＡＤＡＣ＝ ２ ４ ＝ １ ２， ＡＣ ＡＢ＝ ４ ８ ＝ １ ２， 所以 ＡＤ ＡＣ＝ ＡＣ ＡＢ． 又因为∠Ａ＝∠Ａ，所以△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ． 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例 时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似”来证明三角形相似． 类型４：已知条件只涉及边 例４　如图４，在△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，点Ｄ，Ｄ′分 别是ＡＢ，Ａ′Ｂ′上的点，ＡＤＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，当 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ 时，求证：△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 证明：因为 ＡＤ ＡＢ＝ Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′，所以 ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′． 因为 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′， 所以 ＣＤ Ｃ′Ｄ′＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′， 所以△ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′． 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用“三边成比 例的两个三角形相似”来证明两个三角形相似是常用 方法．判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大 小顺序排列． 书 【提示】 １．延长ＰＯ交ＡＣ于Ｍ，延长ＱＯ交ＡＢ于Ｎ，易证 得四边形ＡＮＯＲ、四边形ＣＭＯＱ为平行四边形，从而 可得线段关系，根据相似三角形的判定易得△ＲＯＭ ∽△ＡＢＣ，△ＮＯＰ∽△ＡＣＢ，利用相似比可得ＲＭ， ＡＲ，根据边的关系即可得ｘ． ２．取ＢＤ的中点为Ｆ，连接ＰＦ，ＱＦ，根据中位线 定理可得ＰＦ，ＱＦ的长，易得∠ＰＦＱ为直角．根据勾 股定理可得ＰＱ的值，取ＡＤ的中点为Ｇ，连接ＧＱ，推 出△ＰＭＦ∽△ＱＭＧ，根据相似三角形对应边成比例 即可求出ＰＭ，ＱＭ，即可解决问题． 书 １．如图１，点 Ｏ在 △ＡＢＣ内，点 Ｐ，Ｑ，Ｒ分别在边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ上，且ＯＰ∥ＢＣ，ＯＱ∥ＣＡ，ＯＲ∥ＡＢ，ＯＰ＝ ＯＱ ＝ＯＲ ＝ｘ，ＢＣ ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ ＝ｃ，则 ｘ＝ ． ２．如图２，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝ １２，ＣＯ⊥ＡＢ于点Ｏ，Ｄ是线段ＯＢ上一点，ＤＥ＝２，ＥＤ ∥ＡＣ（∠ＡＤＥ＜９０°），连接 ＢＥ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＤ的中点分 别为Ｐ，Ｑ．设ＰＱ与ＡＢ的交点为Ｍ，则｜ＰＭ－ＭＱ｜的 值为 ． 书 １．如图１，△ＡＢＣ中，ＣＥ⊥ ＡＢ，垂足为点 Ｅ，ＢＤ⊥ ＡＣ，垂足为点Ｄ，ＣＥ与ＢＤ交于点Ｆ，则图中相似三角形 有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６对 Ｂ．５对 Ｃ．４对 Ｄ．３对 ２．如图２，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，Ｅ是 ＢＣ的中 点，点Ｐ在射线ＡＤ上，过点Ｐ作ＰＦ⊥ＡＥ，垂足为Ｆ．当 点Ｐ在射线ＡＤ上运动时，若以Ｐ，Ｆ，Ｅ为顶点的三角形 与△ＡＢＥ相似，则ＰＡ的值为 ． ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｄ，Ｅ在边 ＢＣ 上，ＡＢ２ ＝ＢＤ·ＣＥ． （１）求证：∠ＥＡＤ＝∠Ｂ； （２）如果点Ｆ在边ＡＢ上，且ＥＦ∥ＡＤ，ＦＢＥＦ＝ ＢＥ ＤＥ， 求证：△ＢＡＥ∽△ＢＣＡ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % & ' ! ( $ ) * & ! ! ! " $ & ! % ) " ' * + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !"!#$%&' ()*+,-./0 ! " & % # $ " ! * ! # $ & ! "% 书 一、条件开放题 例１　 如图１，若ＡＢＢＣ＝ ＢＣ ＢＤ＝ｍ，请再添加一个条 件，使得 △ＡＢＣ∽ △ＣＢＤ， 你添加的条件是 （写出一个即可）． 解析：因为 ＡＢ ＢＣ＝ ＢＣ ＢＤ＝ ｍ，若∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＤ，可根 据“两边成比例，且夹角相 等的两个三角形相似”判定 △ＡＢＣ∽△ＣＢＤ；若ＡＣＣＤ＝ｍ，可根据“三边成比例的两 个三角形相似”判定△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ．故填∠ＡＢＣ＝ ∠ＣＢＤ或ＡＣＣＤ＝ｍ． 二、结论开放题 例２　如图２，在平面直角坐标系中，点 Ａ（０，２）， Ｂ（４，４），Ｃ（１，０），Ｄ（９，４），Ｅ（５，０），Ｆ（１１，２）． （１）判断由点 Ａ，Ｂ，Ｃ构成的三角形 ＡＢＣ与由点 Ｄ，Ｅ，Ｆ构成的三角形ＤＥＦ是否相似，并说明理由； （２）若点 Ｐ１（８，３），Ｐ２（７，２），Ｐ３（６，１），Ｐ４（８，１）， Ｐ５（１０，３），则在点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５，Ｄ，Ｆ这７个点中选 取３个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与 △ＡＢＣ相似（要求写出２个符合条件的三角形，并在图 中连接相应线段，不必说明理由）． 解析：（１）△ＡＢＣ和△ＤＥＦ相似． 理由：根据勾股定理，得ＡＢ＝ 槡２５，ＡＣ＝槡５，ＢＣ＝ ５；ＤＥ＝ 槡４２，ＤＦ＝ 槡２２，ＥＦ＝ 槡２ １０．因为 ＡＢ ＤＥ＝ ＡＣ ＤＦ＝ ＢＣ ＥＦ＝ 槡１０ ４ ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ． （２）答案不惟一．如图３，下面６个三角形中的任 意２个均可． △Ｐ２Ｐ５Ｄ，△Ｐ４Ｐ５Ｆ，△Ｐ２Ｐ４Ｄ，△Ｐ４Ｐ５Ｄ，△Ｐ２Ｐ４Ｐ５， △Ｐ１ＦＤ． 【练一练】如图４，在 △ＡＢＣ 中，ＡＢ＞ＡＣ，点Ｄ在ＡＢ边上，点Ｅ 在ＡＣ边上且ＡＤ＜ＡＥ．只需添加 一个条件即可证明 △ＡＢＣ∽ △ＡＥＤ，这个条件可以是 （写出一个即可）． 书 探究发现：如图１，将 △ＡＢＣ绕 点Ａ旋转至 △ＡＢ′Ｃ′的位置，点 Ｂ′ 恰好在ＢＣ上，ＡＣ与Ｂ′Ｃ′交于点Ｅ， 连接 ＣＣ′．求证：ＥＣ·ＥＡ＝ＥＢ′· ＥＣ′． 思路分析：根据比例的基本性 质，欲证ＥＣ·ＥＡ＝ＥＢ′·ＥＣ′，只需 证明 ＥＣ ＥＣ′＝ ＥＢ′ ＥＡ，而相似三角形的对应边成比例，所以只 需证明由这四条线段所确定的两个三角形相似即可．由 线段ＥＣ，ＥＢ′确定的三角形是 △ＣＥＢ′，由线段 ＥＡ，ＥＣ′ 确定的三角形是 △Ｃ′ＥＡ，根据题意和图形可知这两个 三角形已有两组对应角相等，于是问题得证（同学们自 己完成证明过程）． 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称之为“三 点定形法”，一般步骤是：（１）把等积式转化为比例式； （２）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角 形；（３）找出使这两个三角形相似的条件． 若在步骤（２）中，发现四条线段不在两个三角形 中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括 等比替换，等积替换等． 变式探究 一、等比替换 例１　（２０２４安徽模拟）如图２， 在四边形ＡＢＤＥ中，∠ＡＢＣ＝∠ＢＤＥ， 点Ｃ在边 ＢＤ上，且 ＡＣ∥ ＤＥ，ＡＢ∥ ＣＥ，点Ｆ在边ＡＣ上，连接ＢＦ，ＤＦ，ＤＦ 交ＣＥ于点Ｇ．若∠ＡＣＥ＝∠ＣＤＦ，求 证：ＣＥ·ＣＦ＝ＤＦ·ＤＧ． 证明：因为 ∠ＧＦＣ＝∠ＣＦＤ，∠ＦＣＧ＝∠ＣＤＦ，所 以△ＦＣＧ∽△ＦＤＣ，所以ＣＦＤＦ＝ ＧＦ ＣＦ， 又因为ＡＣ∥ＤＥ，所以△ＦＣＧ∽△ＤＥＧ，所以ＧＦＧＤ＝ ＣＦ ＥＤ，即 ＧＦ ＣＦ＝ ＧＤ ＥＤ，所以 ＣＦ ＤＦ＝ ＧＤ ＥＤ，又因为ＡＢ∥ＣＥ，∠ＡＢＣ ＝∠ＢＤＥ，所以∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ，所以ＥＣ＝ＥＤ，所以 ＣＦ ＤＦ＝ ＧＤ ＥＣ，所以ＣＥ·ＣＦ＝ＤＦ·ＤＧ． 二、等积替换 例 ２　 如 图 ３， 已 知 ＣＥ是 Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＡＢ上的高，点Ｐ是ＣＥ 的延长线上任意一点，ＢＧ⊥ＡＰ．求证： ＣＥ２ ＝ＥＤ·ＥＰ． 证明：因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边 ＡＢ上的高，ＢＧ⊥ ＡＰ，所以 ∠Ｐ＋ ∠ＰＡＥ＝９０°，∠ＤＢＥ＋∠ＰＡＥ ＝９０°，所以 ∠Ｐ ＝ ∠ＤＢＥ． 又因为 ∠ＡＥＰ＝∠ＤＥＢ＝９０°，所以 △ＡＥＰ∽ △ＤＥＢ，所以ＡＥＤＥ＝ ＥＰ ＥＢ，即ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ． 因为ＣＥ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的高，所以∠ＡＥＣ＝ ∠ＣＥＢ＝９０°． 因为∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°，∠ＣＡＥ＋∠ＡＣＥ＝９０°， 所以∠ＥＣＢ＝∠ＣＡＥ，所以△ＡＣＥ∽△ＣＢＥ，所以ＣＥＡＥ＝ ＢＥ ＣＥ，即ＣＥ ２ ＝ＡＥ·ＢＥ． 又因为ＡＥ·ＥＢ＝ＤＥ·ＥＰ，所以ＣＥ２ ＝ＤＥ·ＥＰ． 书 在近几年的各种考试中，网格中的格点三角形（顶 点在网格交点处）相似问题频频出现．这些试题，将相 似三角形的基础知识的考查寓于新颖的情境之中，既开 拓了同学们的视野，又考查了同学们知识的迁移、类比 能力，对培养同学们的创新意识和创新能力有很好的导 向作用．以下几例供同学们参考． 一、确定相似比 例１　如图１是一个４×４的正方 形网格，△ＡＢＣ与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１都是格点 三角形，并且 △ＡＢＣ∽ △Ａ１Ｂ１Ｃ１，则 △ＡＢＣ 与 △Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 相 似 比 是 ． 解析：由勾股定理，得 Ａ１Ｃ１ ＝１， Ａ１Ｂ１ ＝２，ＡＣ＝槡２，ＡＢ＝ 槡２２，由△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１可 知，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比 ＝ＡＣ∶Ａ１Ｃ１ ＝ＡＢ∶ Ａ１Ｂ１ ＝槡２∶１．故填槡２∶１． 二、识别相似三角形 例２　如图２，每个小正方形的边长均为１，则下列 图形中的三角形（阴影部分）与△Ａ１Ｂ１Ｃ１相似的是 （　　） 解析：观察图２，发现难以从三角形的内角入手，但可 以求边长．因为网格中小正方形的边长均为１，则图２中 三角形的边长分别为１，槡２，槡５．选项Ａ中三角形的边长分 别为槡２，槡５，３；选项Ｂ中三角形的边长分别为槡２，２，槡１０； 选项Ｃ中三角形的边长分别为１，槡５，槡２２；选项Ｄ中三角 形的边长分别为２，槡５，槡１３．因为 １ 槡２ ＝槡２２ ＝ 槡５ 槡１０ ，所以 选项Ｂ中的三角形与图２中的三角形相似．故选Ｂ． ! ! ! $ & $ ! ! ! & ! " 12 345 $ % & ' ! " & ! ! ! $ ! " ! " #! !"#$ " $"% ! !"#$ (.6 "7#89:0 ;9<=>?@9*A # / % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. %&'()* !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! % $ & " * , ! # " BC D5E !! &! ! % $ & ! ! ! & $ - % * ( # * ) * ! * " * # . ) ! " " ! & $ - % * ( # * )* ! * " * # . ) ! # " $ & ! " % ! " ! ( ! ! $ & ! " ! ( ! " $ & !! "! $! &! ! " % # ! " $ & "BF G H ! # ! " $ & $ & ! " % ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! IJK (8)*+,0 L.6 !7$89:M BFNOP=QR BFNPSTUVWXYZ BFNP[\]^_`abQc <d$efgh8 eijklm nopqrsh8tuj&*!(+,-,-.(/M & '( klm ) & '( vwx ) # * +, yzm ) & '( { | ) & '( 3 } -+./0, y ~ 12./0, y€ *34/5,  ‚ *3467( ƒ„… w†‡ G ˆ ‰Š‹ Œ  Ž5 v‘ Œ’ “ „ ”•‹ –—l G˜™ š˜› vlœ }9 žŸˆ   5 ¡¢£ w¤¥ 80-+(  ¦ 809:( w ¤ ;<-+( E˜§ =>-+, ¨ © ?@AB, ª«¬ $ & ! " % # ! 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Ａ，Ｂ两点，在第二象限内找一点 Ｐ，则使 △ＰＢＯ和△ＡＯＢ相似的点Ｐ的个数为 （　　） Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 ８．如图 ６，在四边形 ＡＢＣＤ 中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＤＦ∥ＢＣ， ∠ＡＢＣ的平分线 ＢＥ交 ＤＦ于点 Ｇ，ＧＨ⊥ＤＦ，点Ｅ恰好为 ＤＨ的 中点，若ＡＥ＝３，ＣＤ＝２，则ＧＨ 的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２３宿迁宿豫区期末）如 图７，要使△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，还需要 添加一个条件，你添加的条件是 （只写一种情况即可）． １０．（２０２３大庆）在综合与实践 课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数 学活动．有一张矩形纸片ＡＢＣＤ如图８所示，点Ｎ在边ＡＤ 上，现将矩形折叠，折痕为ＢＮ，点Ａ对应的点记为点Ｍ， 若点Ｍ恰好落在边ＤＣ上，则图中与△ＮＤＭ一定相似的 三角形是 ． １１．（２０２３宽城期末）如图９所示，棋盘上有Ａ，Ｂ，Ｃ 三个黑子与Ｐ，Ｑ两个白子，要使△ＡＢＣ∽△ＲＰＱ，则第 三个白子Ｒ应放的位置是 （填“甲”“乙”“丙” 或“丁”）． １２．如图 １０，△ＡＢＣ和 △ＤＥＣ是全等的三角形， ∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，点Ｆ是ＥＤ的中点，点Ｐ 是线段 ＡＢ上的动点，则线段 ＰＦ长度的最小值为 ． １３．如图１１，在菱形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＢＣ边上一点， ∠ＡＥＤ＝∠Ｂ，ＡＢ＝４，则ＡＥ·ＤＥ＝ ． １４．如图１２，等边△ＡＢＣ的边长为６，点Ｄ在ＡＣ上且 ＤＣ＝２，点Ｅ在ＢＣ上，连接ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，且∠ＡＦＤ ＝６０°，若点Ｍ是射线ＢＣ上一点，当以Ｂ，Ｄ，Ｍ为顶点的 三角形与△ＡＢＦ相似时，ＢＭ的长为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）如图１３，在 △ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′中，∠Ａ ＝５０°，∠Ｂ ＝ ∠Ｂ′＝ ６０°，∠Ｃ′＝ ７０°，△ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′相似吗？为什么？ １６．（１０分）如图１４，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＡＢ上的一点， ＢＤ＝ ４３，ＡＢ＝３，ＢＣ＝２． （１）△ＢＣＤ与△ＢＡＣ相似吗？请说明理由． （２）若ＣＤ＝ ５３，求ＡＣ的长． １７．（１２分）如图 １５，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，Ｅ为 ＡＢ的中点，连接 ＣＥ．求证： （１）ＡＣ２ ＝ＡＢ·ＡＤ； （２）△ＡＦＤ∽△ＣＦＥ． １８．（２０２３上海杨浦区期末，１２分）如图１６，已知等 腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ，Ｅ是边ＢＣ，ＡＣ上的点，且ＣＤ ＝３ＢＤ，连接ＡＤ，ＢＥ，交点为Ｆ． （１）若ＡＦ＝４ＤＦ，求ＡＥＥＣ的值； （２）若ＢＤ２ ＝ＤＦ·ＡＤ，求证：ＢＣ２ ＝４ＣＥ·                                                                                                                                                                 ＡＣ． 书 １．２怎样判定三角形相似（第二课时） １．如图１，Ｄ是ＢＣ上的点，∠ＡＤＣ＝∠ＢＡＣ，则下列 结论正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．△ＡＢＣ∽△ＤＡＢ Ｂ．△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ Ｃ．△ＡＢＤ∽△ＡＣＤ Ｄ．以上都不对 ２．（２０２３益阳期末）如图２，已知Ｄ是△ＡＢＣ的边 ＢＣ上的一点，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ，∠ＡＢＣ的平分线交边ＡＣ于 Ｅ，交ＡＤ于Ｆ，那么下列结论中错误的是 （　　） Ａ．△ＢＤＦ∽△ＢＥＣ Ｂ．△ＢＦＡ∽△ＢＥＣ Ｃ．△ＢＡＣ∽△ＢＤＡ Ｄ．△ＢＤＦ∽△ＢＡＥ ３．（２０２３北京密云区期末）如图３，矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，Ｅ是ＢＣ上一点，ＢＥ＝１，ＡＥ与ＢＤ交于 点Ｆ，则ＤＦ的长为 ． ４．如图４，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ，ＤＥ ⊥ＢＣ，垂足分别为点Ｄ，Ｅ，则图中与△ＡＢＣ相似的三角 形的个数有 个． ５．如图５，在△ＰＡＢ中，点Ｃ，Ｄ在ＡＢ上，ＰＣ＝ＰＤ ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠ＢＰＤ，△ＡＰＣ与△ＰＢＤ相似吗？为什么？ ６．（２０２３盐城亭湖区期末）如图６，在 △ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＥ，ＤＢ＝ＤＣ． （１）求证：△ＢＦＥ∽△ＣＡＢ； （２）若ＢＥＣＥ＝ ２ ３，ＡＢ＝５，求ＡＦ的长． １．２怎样判定三角形相似（第三课时） １．（２０２３重庆大渡口区期末）如图１，点Ｄ在△ＡＢＣ 的边ＢＣ上，添加下列条件，不能判断 △ＡＢＣ与 △ＡＢＤ 相似的是 （　　） Ａ．∠Ｃ＝∠ＢＡＤ Ｂ．∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ Ｃ．ＡＣＢＣ＝ ＡＤ ＡＢ Ｄ． ＡＢ ＢＣ＝ ＢＤ ＡＢ ２．如图 ２，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ ＤＣ，∠ＡＢＣ＝ ９０°，ＡＢ＝４，ＣＤ＝１，ＢＣ＝４．在边ＢＣ上取一点Ｐ，使得 以Ａ，Ｂ，Ｐ为顶点的三角形与以Ｃ，Ｄ，Ｐ为顶点的三角形 相似，甲认为这样的点Ｐ只存在１个，乙认为这样的点Ｐ 不止存在１个，则 （　　） Ａ．甲的说法正确 Ｂ．乙的说法正确 Ｃ．不确定 Ｄ．甲、乙的说法都不正确 ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１８，Ｄ为ＡＢ 上一点，且ＡＤ＝１０，在ＡＣ边上取一点Ｅ，使以Ａ，Ｄ，Ｅ为 顶点的三角形与△ＡＢＣ相似，则ＡＥ等于 ． ４．如图４，在已建立直角坐标系的４×４的正方形方 格中，△ＡＢＣ是格点三角形（三角形的三个顶点是小正 方形的顶点），若以格点 Ｐ，Ａ，Ｂ为顶点的三角形与 △ＡＢＣ相似（全等除外），则格点Ｐ的坐标是 ． ５．如图５，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＡＤ的中点，点 Ｆ在ＣＤ上，且ＣＤ＝４ＤＦ，连接ＥＦ，ＢＥ．求证：△ＡＢＥ∽ △ＤＥＦ． ６．如图６，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在边ＢＣ上，ＡＥ∥ＢＣ， ＢＥ与ＡＤ，ＡＣ分别相交于点Ｆ，Ｇ，ＡＦ２ ＝ＦＧ·ＦＥ． （１）求证：△ＣＡＤ∽△ＣＢＧ； （２）连接ＤＧ，求证：ＤＧ·ＡＥ＝ＡＢ·ＡＧ． １．２怎样判定三角形相似（第四课时） １．已知 △ＡＢＣ的三边长分别为 ６ｃｍ，７．５ｃｍ， ９ｃｍ，△ＤＥＦ的一边长为４ｃｍ，当△ＤＥＦ的另两边长是 下列哪一组时，这两个三角形相似 （　　） Ａ．２ｃｍ，３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ，５ｃｍ Ｃ．５ｃｍ，６ｃｍ Ｄ．６ｃｍ，７ｃｍ ２．（２０２３上海徐汇区期末）如图１，正方形ＡＢＣＤ与 △ＥＦＧ在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点 上，那么与△ＥＦＧ相似的是 （　　） Ａ．以点Ｅ，Ｆ，Ａ为顶点的三角形 Ｂ．以点Ｅ，Ｆ，Ｂ为顶点的三角形 Ｃ．以点Ｅ，Ｆ，Ｃ为顶点的三角形 Ｄ．以点Ｅ，Ｆ，Ｄ为顶点的三角形 ３．当ｘ＝ 时，边长分别为３，４，６和边长分 别为８，１２，ｘ的两个三角形相似． ４．（２０２３石家庄裕华区期末）如图２所示，网格中 相似的两个三角形是 （填序号）． ５．（２０２４晋中月考）如图３，在平面直角坐标系中， 已知Ａ（３，０），Ｂ（０，４），Ｃ（４，２），作ＣＤ⊥ｘ轴，垂足为点 Ｄ，连接ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ．求证：△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． ６．如图４，ＡＢＢＤ＝ ＢＣ ＢＥ＝ ＣＡ ＥＤ，那么△ＡＢＤ与△ＢＣＥ相 似吗？为什么？ 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘 积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”． （１）如图１，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＡＢ，对角线 ＤＢ平分∠ＡＤＣ，∠ＤＡＣ＝∠ＡＢＣ．求证：△ＡＣＤ是“比例 三角形”； （２）如图２，在（１）的条件下，当∠ＡＢＣ＝９０°时， 求 ＡＣ ＢＤ的值 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ＡＢ２－ＢＰ槡 ２ ＝槡３，所 以ＥＰ＝ 槡２３，所以 ＥＢ ＝ ＥＰ２＋ＢＰ槡 ２ ＝ １２＋槡 １＝槡１３，所以 ＧＤ＝槡１３． 附加题　（１）过点 Ｄ作ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于 Ｅ，因为点Ｄ为ＢＣ中点， 所以点Ｅ是ＡＢ中点，且 ＡＭ ＡＥ＝ ＡＰ ＡＤ，所以 ＡＭ ＡＢ ＝ ＡＭ ２ＡＥ＝ １ ３． （２）证明：延长 ＡＤ 至点Ｑ，使ＤＱ＝ＡＤ，连 接 ＢＱ，ＣＱ，则四边形 ＡＢＱＣ是平行四边形， 所以 ＰＭ∥ ＢＱ，ＰＮ∥ ＣＱ，所以ＡＭＡＢ＝ ＡＰ ＡＱ， ＡＮ ＡＣ ＝ＡＰＡＱ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＮ ＡＣ． （３）证明：过点 Ｄ 作ＤＥ∥ＰＭ交ＡＢ于Ｅ， 所以 ＡＭ ＡＥ ＝ ＡＰ ＡＤ．又因为 ＰＭ∥ ＡＣ，所以 ＤＥ∥ ＡＣ，所以ＡＥＡＢ＝ ＣＤ ＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＝ ＡＭ ＡＥ× ＡＥ ＡＢ＝ ＡＰ ＡＤ× ＣＤ ＢＣ．同理可得 ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ ×ＢＤＢＣ，所以 ＡＭ ＡＢ＋ ＡＮ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＤ×（ ＣＤ ＢＣ＋ ＢＤ ＢＣ）＝ ＡＰ ＡＤ． 上期４版 重点集训营 １．Ａ；　２．Ｃ； ３．Ｂ；　４．３； ５．槡５３；　６．５∶６． ７．证明：因为直线ｌ 平行于 ＢＤ，所以ＰＮＯＤ＝ ＣＰ ＣＯ＝ ＰＲ ＯＢ， ＰＭ ＯＢ＝ ＡＰ ＡＯ＝ ＰＳ ＯＤ，所以 ＰＮ ＰＲ＝ ＯＤ ＯＢ①， ＰＳ ＰＭ ＝ ＯＤ ＯＢ②， 由 ①，② 得ＰＮＰＲ ＝ ＰＳ ＰＭ，即ＰＭ·ＰＮ＝ＰＲ· ＰＳ． ８．过点 Ｂ作 ＢＨ平 分∠ＡＢＣ交ＡＣ于Ｈ，连 接 ＨＥ，因为 ＢＨ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＣＢＨ＝ １ ２∠ＡＢＣ．因为 ∠ＡＢＣ ＝２∠Ｃ，所以∠ＣＢＨ＝ ∠Ｃ，所以 △ＨＢＣ为等 腰三角形．因为点 Ｅ为 ＢＣ的中点，所以 ＨＥ⊥ ＢＣ．因为 ＡＤ⊥ ＢＣ，所 以ＨＥ∥ＡＤ，所以ＡＨＨＣ＝ ＤＥ ＥＣ．因为 ＢＨ为 ∠ＡＢＣ 的平分线，过点Ａ作ＢＨ 的平行线交 ＣＢ的延长 线于点 Ｉ，则 ∠Ｉ＝ ∠ＨＢＣ，∠ＩＡＢ ＝ ∠ＡＢＨ．因为 ∠ＡＢＨ＝ ∠ＣＢＨ，所 以 ∠Ｉ＝ ∠ＩＡＢ，所以ＡＢ＝ＩＢ，所 以 ＡＨ ＨＣ＝ ＢＡ ＢＣ，所以 ＤＥ ＥＣ＝ ＢＡ ＢＣ，即 ３ ＥＣ＝ ＢＡ ２ＥＣ，所以 ＡＢ＝６． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123"45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= ! 4 %&'( ! 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