第1期 1.1 相似多边形 1.2 怎样判定三角形相似(第一课时) （参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 １．如图１，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡２３，ＢＣ＝６，Ｐ为矩形内一点，连接 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，则ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ的最小 值是 ． ２．如图２，△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ 延长线上一点，且∠ＣＡＤ＝９０°－１２∠ＢＡＣ，过点Ｃ作 ＣＥ∥ＡＤ交ＡＢ于点Ｅ，且∠ＡＣＥ＝３∠ＢＣＥ，ＡＣ＝３，ＢＥ ＝２，则ＣＤ的长为 ． ３．如图３，在三角形 ＡＢＣ中，Ｄ 为 ＢＣ的中点，ＡＦ ＝２ＢＦ，ＣＥ ＝ ３ＡＥ，连接ＣＦ交ＤＥ于Ｐ点，则ＥＰＤＰ的 值为 ． 书 重点集训营 １．（２０２４深圳模拟）一段加固后的护栏如图１所示， 该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距 离相等）且平行的木条构成．已知ＡＣ＝５０ｃｍ，则ＢＣ的 长度为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．２０ｃｍ Ｂ．２５ｃｍ Ｃ．３０ｃｍ Ｄ．１００３ ｃｍ ２．如图２，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ，Ｅ是ＡＢ，ＢＣ上的 点，将△ＡＢＣ沿ＤＥ折叠，使点Ｂ落在ＡＣ边上点Ｆ处，并 且ＤＦ∥ＢＣ，若ＣＦ＝３，ＢＣ＝９，则ＡＢ的长是 （　　） Ａ．２５４ Ｂ．１５ Ｃ．４５４ Ｄ．９ ３．如图３，ＢＥ是△ＡＢＣ的中线，点Ｆ在ＢＥ上，延长 ＡＦ交ＢＣ于点Ｄ，若ＢＦ＝３ＥＦ，则ＢＤＤＣ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． ６ ５ Ｄ． ２ ３ ４．如图４，点Ｅ是矩形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，作ＡＦ ⊥ＢＥ于Ｆ，连接ＤＦ，若ＡＢ＝６，ＤＦ＝ＢＣ，则ＣＥ的长度 为 ． ５．如图５，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ的中点，△ＡＢＣ的角 平分线ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，若ＢＦ∶ＦＤ＝３∶１，ＡＢ＋ＢＥ＝ 槡３３，则△ＡＢＣ的周长为 ． ６．如图６，已知四边形 ＡＢＣＤ，点 Ｅ，Ｆ分别在ＢＣ，ＣＤ上，且ＣＥ∶ＢＥ＝ ２∶３，ＤＦ∶ＣＦ＝１∶２，ＢＦ与ＤＥ相交 于点Ｇ，则ＤＧ∶ＧＥ＝ ． ７．如图７，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ 与ＢＤ相交于点Ｏ，直线 ｌ平行于 ＢＤ，且与 ＡＢ，ＤＣ，ＢＣ， ＡＤ及ＡＣ的延长线分别相交于点Ｍ，Ｎ，Ｒ，Ｓ和Ｐ，求证： ＰＭ·ＰＮ＝ＰＲ·ＰＳ． ８．如图８，△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，∠Ｂ＝２∠Ｃ，Ｅ，Ｆ分 别是ＢＣ，ＡＣ的中点，若ＤＥ＝３，求线段ＡＢ的长                                                                                   ． 书 【提示】 １．将△ＢＰＣ绕点Ｃ逆时针旋转６０°，得到 △ＥＦＣ，连接ＰＦ，ＡＥ，ＡＣ，当Ａ，Ｐ，Ｆ，Ｅ共线时，ＰＡ＋ ＰＢ＋ＰＣ的值最小，即ＡＥ的长即为所求． ２．过点Ａ作ＡＦ⊥ＣＥ，垂足为Ｆ，延长ＡＦ交ＢＣ于 点Ｍ，作ＥＧ∥ＡＦ，交ＢＣ于点Ｇ，连接ＥＭ，根据角的 关系可以得到∠Ｂ＝∠ＢＭＥ；由垂直平分线的性质， 直角三角形斜边中线定理，平行线分线段成比例求 出ＢＣ的长度，即可得到答案． ３．作ＥＧ∥ＣＢ交ＡＢ于Ｇ，交ＣＦ的延长线于Ｈ． 根据ＥＰ∶ＰＤ＝ＥＨ∶ＣＤ，设ＥＧ＝ｍ，求出ＥＨ，ＣＤ即 可解决问题． 书 平行线分线段成比例的基本事实及其推论是研究 相似形时最基本的理论，学习的关键是找准图形中的对 应线段．下面从两个方面说明，供同学们学习时参考． 一、“口诀”帮你找对应线段 １．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例． ２．如图１，当ｌ１∥ｌ２∥ｌ３时，都可得到 ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥＥＦ．由比例的性质，还可得到 ＢＣ ＡＢ＝ ＥＦ ＤＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ， ＡＣ ＡＢ＝ ＤＦ ＤＥ， ＢＣ ＡＣ＝ ＥＦ ＤＦ， ＡＣ ＢＣ＝ ＤＦ ＥＦ． 为了便于记忆，上述６个比例可使用一些简单的形 象化的语言来表示： 上 下 ＝上 下 ， 下 上 ＝下 上 ， 上 全 ＝上 全 ， 全 上 ＝ 全 上 ， 下 全 ＝下 全 ， 全 下 ＝全 下 ．另外，根据比例的性质，还可得 到 ＡＢ ＤＥ＝ ＢＣ ＥＦ＝ ＡＣ ＤＦ，即满足“ 左 右 ＝左 右 ”． 例 １　（２０２４重庆大渡口区模 拟）如图２，ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ，若ＤＥ＝ ７，ＤＦ＝２１，ＡＢ＝６，则ＡＣ的长度是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１２ Ｂ．１８ Ｃ．１５ Ｄ．２１２ 解析：因为ＡＤ∥ＢＥ∥ＣＦ， 所以 ＡＢ ＡＣ＝ ＤＥ ＤＦ，所以 ６ ＡＣ＝ ７ ２１， 所以ＡＣ＝１８． 故选Ｂ． 二、基本图形帮你学推论 １．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的对应线段成比例． ２．已知△ＡＢＣ，ＤＥ是截线，上述推论包含了如图３ 所示的三种情况，可以简单称为“Ａ”型和“Ｘ”型，上面 的口诀同样适用于这些基本图形． 例２　如图４，在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ上的点，且 ＤＥ∥ＢＣ，ＥＦ∥ＡＢ，若ＢＦ∶ＦＣ＝ ２∶３，ＡＢ＝１５，则ＢＤ＝ ． 解析：因为 ＥＦ∥ ＡＢ，ＢＦ∶ＦＣ ＝２∶３， 所以 ＢＦ ＦＣ＝ ＡＥ ＥＣ＝ ２ ３，所以 ＡＣ ＥＣ＝ ５ ３． 因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＡＢＢＤ＝ ＡＣ ＥＣ， 所以 １５ ＢＤ＝ ５ ３， 所以ＢＤ＝９． 故填９． 书 例１　如图１，在矩形ＡＢＣＤ 中，点Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＡＤ上， 沿ＦＥ截去矩形 ＡＢＥＦ后，得到 的矩形ＥＣＤＦ与原矩形ＡＢＣＤ相 似，且矩形ＡＢＣＤ的面积是矩形 ＥＣＤＦ面积的３倍，ＡＢ＝４，求矩 形ＡＢＣＤ的面积． 解析：因为ＡＢ＝４，所以ＣＤ＝ＡＢ＝４． 因为Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３Ｓ矩形ＥＣＤＦ，所以ＡＤ＝３ＤＦ． 因为矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＤＦＥＣ，所以ＡＢＤＦ＝ ＡＤ ＤＣ，即 ４ ＤＦ＝ ＡＤ ４，所以３ＤＦ ２＝１６，解得ＤＦ＝ 槡４３３，所以ＡＤ＝ 槡４３，所以Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝ 槡１６３． 例２　 如图２，矩形 ＥＦＧＨ 的四个顶点分别在菱形 ＡＢＣＤ 的四 条 边 上，ＢＥ ＝ ＢＦ．将 △ＡＥＨ，△ＣＦＧ分别沿边ＥＨ，ＦＧ 折叠，当重叠部分与菱形 ＡＢＣＤ 相似且相似比为１∶４时，则ＥＢＡＥ 的值为 ． 解析：设重叠的菱形边长为ｘ，ＢＥ＝ＢＦ＝ｙ， 由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边 形ＡＨＭＥ、四边形ＢＥＮＦ是菱形，所以ＥＮ＝ＢＥ＝ｙ，ＥＭ ＝ＡＥ＝ｘ＋ｙ， 因为重叠部分与菱形ＡＢＣＤ相似且相似比为１∶４， 所以ＡＢ＝４ＭＮ＝４ｘ，所以ＡＥ＝４ｘ－ｙ，所以４ｘ－ｙ＝ ｘ＋ｙ，解得ｘ＝ ２３ｙ，所以ＡＥ＝ ５ ３ｙ，所以 ＥＢ ＡＥ＝ ３ ５． 故填 ３ ５． 例３　 如图 ３，将一张 ＡＢＣＤ（ＡＤ ＜ＡＢ＜２ＡＤ） 纸片，以它的一边为边长剪 去一个菱形ＡＤＥＨ，在余下的 平行四边形中，再以它的一 边为边长剪去一个菱形 ＦＥＣＧ，若剪去两个菱形后所剩下的 ＦＨＢＧ∽ ＡＢＣＤ，则 ＡＢＣＤ的相邻两边 ＡＤ与 ＡＢ的比值是 ． 解析：设ＡＤ＝ａ，ＡＢ＝ｂ．根据题意，得ＡＨ＝ＡＤ＝ ａ，所以ＨＢ＝ｂ－ａ， 因为ＨＢ＝ＦＧ＝ＧＣ，所以ＢＧ＝ＦＨ＝２ａ－ｂ， 因为剩下的ＦＨＢＧ∽ＡＢＣＤ，所以ＡＤＡＢ＝ ＦＧ ＦＨ，所 以 ａ ｂ ＝ ｂ－ａ ２ａ－ｂ，解得 ａ ｂ ＝ 槡２ ２． 所以ＡＢＣＤ的相邻两边ＡＤ与ＡＢ的比值是槡２２． 故填槡 ２ ２． ! " # $ % & ' ( ! ! ! " # $ % & ' ( ) * ! " 书 准确地找出两个相似三角形中的对应边和对应角 是学习三角形相似的前提． 相似三角形的对应边（或对应角），不像全等三角形 的对应边（或对应角）那么容易找，而要充分借助角（或 边）的关系来找．一般来说，两个相似三角形中，对应角 所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；反 过来，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角 是对应角；一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小） 的角是对应角． （１）如图１，一般来讲，△ＡＢＣ与 △ＡＥＤ的公共角 ∠Ａ一定是对应角，∠Ａ所对的边ＣＢ与ＤＥ一定是对应 边． （２）如图 ２，一般来讲，在 △ＡＢＯ与 △ＤＣＯ中， ∠ＡＯＢ和∠ＤＯＣ一定是对应角，因为它们是对顶角． （３）但要注意，两个相似三角 形中，公共边不一定是对应边．如图 ３，ＡＢ是△ＡＣＢ与△ＤＢＡ的公共边， 但它不是对应边．显然ＡＢ是△ＡＣＢ 的长边，当然不能对应 △ＤＢＡ的短 边． 在记两个三角形相似时，把表示对应顶点的字母写 在对应的位置上，这是一种切实可行的方法．但是在使 用符号“∽”来表示两个三角形相似时，要把记述对应 角（或对应边）的字母严格按照对应顺序写下来．如 △ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，就隐含了∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｅ，∠Ｃ ＝∠Ｆ，因此在书写时一定要规范． 【练一练】 １．（２０２４鞍山模拟）如图４，已知Ｄ，Ｅ分别在△ＡＢＣ 的ＡＢ，ＡＣ边上，△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ，则下列各式成立的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＡＤＢＤ＝ ＡＥ ＣＥ Ｂ． ＡＤ ＡＢ＝ ＤＥ ＢＣ Ｃ．ＡＢ·ＡＤ＝ＡＥ·ＡＣ Ｄ．ＡＤ·ＤＥ＝ＡＥ·ＥＣ ２．（２０２３简阳期末）如图５，已知△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ， ∠Ｂ＝３７°，∠Ｄ＝１１６°，则∠ＢＡＤ的度数为 （　　） Ａ．３７° Ｂ．１１６° Ｃ．１５３° Ｄ．１４３° 答案：１．Ｃ；　２．Ｃ． ! " # $ % ! # ! " # $ ! $ 书 我们知道：（１）各角对应相等，各边对应成比例的两 个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做 相似比．（２）相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 根据以上知识点可解决与相似多边形相关的一些 问题，下面举例加以说明． 例１　若四边形ＡＢＣＤ与四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似，ＡＢ 与Ａ′Ｂ′，ＡＤ与 Ａ′Ｄ′分别是对应边，ＡＢ＝８ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝ ６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，则Ａ′Ｄ′等于 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５２ｃｍ Ｂ． １５ ４ｃｍ Ｃ．２０３ｃｍ Ｄ． ４８ ５ｃｍ 解析：因为四边形 ＡＢＣＤ与四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似， ＡＢ与Ａ′Ｂ′，ＡＤ与Ａ′Ｄ′分别是对应边，所以 ＡＢＡ′Ｂ′＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′． 因为ＡＢ＝８ｃｍ，Ａ′Ｂ′＝６ｃｍ，ＡＤ＝５ｃｍ，所以 ８６ ＝ ５ Ａ′Ｄ′，解得Ａ′Ｄ′＝ １５ ４（ｃｍ）．故选Ｂ． 例２　如图，矩形 ＡＢＣＤ∽ 矩形 ＢＣＦＥ，且 ＡＤ＝ ２ＢＥ，则ＡＥ∶ＡＤ的值是 （　　） Ａ．２∶１ Ｂ．３∶１ Ｃ．３∶２ Ｄ．２∶３ 解析：因为矩形ＡＢＣＤ∽矩形ＢＣＦＥ，所以ＡＤＢＥ＝ ＡＢ ＢＣ， 因为ＡＤ＝２ＢＥ，所以ＡＢ＝２ＢＣ＝２ＡＤ＝４ＢＥ， 所以ＡＥ＝３ＢＥ， 所以ＡＥ∶ＡＤ＝３ＢＥ∶２ＢＥ＝３∶２．故选Ｃ． 例３　两个相似多边形的一组对应边分别是３ｃｍ 和４．５ｃｍ，如果它们的周长之和是８０ｃｍ，那么较大的多 边形的周长是 （　　） Ａ．１６ｃｍ Ｂ．３２ｃｍ Ｃ．４８ｃｍ Ｄ．５２ｃｍ 解析：设较大多边形与较小多边形的周长分别是 ｍｃｍ，ｎｃｍ，则 ｎｍ ＝ ３ ４５＝ ２ ３，所以ｎ＝ ２ ３ｍ． 根据周长之和是８０ｃｍ，可得ｍ＋２３ｍ＝８０，解得ｍ ＝４８．故选Ｃ． " %! #& $ ! !" # $ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" %&'()*+,-./012 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! ! " #! !"#$ " $"% ! !"#$ 345 !6"789: ;8<=>?@8AB ! C % ! !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. <DE F<=>?@8A1 GHIJ B %C %&%!"#$% %&" &'()*+%! ",-./01 B " C %&" &'(2*+%! ",-3/0 ! -4/ 05 B ! C %&! !"*+%678 %&# 9%6:" B # C ;9%6!"<=>?@ A B $ C "&%B+*+C "&" !'#D#$#D()#+E* +C "&! FGHIJB+* +C B (C "&# KL+*+% "&$ KL+*+%6M F B *C ;KL+*+%<=>N @A B +C !,%O6PQ7 !&" R2O6ST !&! OU+ B -C !&# LVWO6:XY Z !&$ *+%6[\O B %)C !&( ]^_`%ab6 GH !&*c#d%WO B %%C ;PO6e.fgh<= >?@A B %" C #&%.i3jkl #&" FmknK.i3 okp #&! FqrnK.i3 jkp B %! C #&# FsrtKnK. i3jkp %&'()* KL"MENOP 3QARST4C: " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" !UV WXY # % ! $ " ! % # $ + " ! ! " $ " # ! ! ! # $ % & ! " ! % ! Z[ W \ ! " # $ % & ! " ! " # $ % ! ! ! " # $% ! " # $ % ! % ! " # $ % & , % , " , ! " & # % $ ! ! # ! " # $ % & - ! ! ! % " # $ ! " ! % # $ ! " - ! ! ! " # $ % & ! " ' " ( $ % & ! $ # % & $ ! " # % $ & ! " ! # ! ( # % ( & $ ! " ! + ! 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" 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在下列各组图形中，一定相似的是 （　　） ２．（２０２４武威一模）两个相似多边形一组对应边分 别为３ｃｍ，４．５ｃｍ，那么它们的相似比为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． ４ ９ Ｄ． ９ ４ ３．如图 １，在 △ＡＢＣ中，ＤＥ∥ ＢＣ，ＤＦ∥ＡＣ，ＥＧ∥ＡＢ，且ＡＥ∶ＥＣ ＝３∶２，若ＢＣ＝１０，则ＦＧ的长为 （　　） Ａ．１ 　　　　Ｂ．２ Ｃ．３ 　　　　Ｄ．４ ４．如图２－②中的矩形是由图２－①中的矩形将长 拉长ｘ，宽拉长２ｘ得到的，若两个矩形相似（不全等），则 ｘ的值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ５．如图３，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，则下列结论不正确的是 （　　） Ａ．ＡＣＣＥ＝ ＢＤ ＤＦ Ｂ． ＡＣ ＡＥ＝ ＢＤ ＢＦ Ｃ．ＢＤＣＥ＝ ＡＣ ＤＦ Ｄ． ＡＥ ＣＥ＝ ＢＦ ＤＦ ６．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，点 Ｆ为边ＣＤ上一点，且ＦＥ⊥ＡＢ交ＡＢ于点Ｅ，若ＡＤ＝２， ＢＣ＝８，四边形ＡＥＦＤ∽四边形ＥＢＣＦ，则ＤＦＦＣ的值是 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ２ Ｃ． １ ５ Ｄ． ４ ５ ７．如图５，在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｅ为ＡＣ的 中点，延长ＢＣ到点Ｄ，使得ＣＤ＝ＣＥ，延长ＤＥ交ＡＢ于 点Ｆ，若∠Ａ＝６０°，ＥＦ＝２ｃｍ，则ＤＦ的长为 （　　） Ａ．１２ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ Ｃ．８ｃｍ Ｄ．６ｃｍ ８．如图６，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝１，ＢＣ＝２，连接ＡＣ，以对角线ＡＣ 为边，按 逆 时 针 方 向 作 矩 形 ＡＣＣ１Ｂ１，使矩形 ＡＣＣ１Ｂ１∽ 矩形 ＡＤＣＢ；再连接 ＡＣ１，以对角线 ＡＣ１ 为边，按 逆 时 针 方 向 作 矩 形 ＡＣ１Ｃ２Ｂ２，使矩形ＡＣ１Ｃ２Ｂ２∽矩形ＡＣＣ１Ｂ１，…，按照此规 律作下去，则边ＡＣ２０２４的长为 （　　） 槡Ａ．５×（槡 ５ ２） ２０２４ Ｂ．２×（槡５２） ２０２３ 槡Ｃ．５×２ ２０２４ 槡Ｄ．５×（槡 ５ ２） ２０２３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．（２０２３富平月考）如图７，已知五边形ＡＢＣＤＥ∽五边 形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′，且五边形ＡＢＣＤＥ与五边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′Ｅ′的相 似比为３∶４，若ＣＤ＝２．４ｃｍ，则Ｃ′Ｄ′的长为 ｃｍ． １０．已知两个相似多边形的相似比为３∶４，且它们 的周长之差是６，则较小的多边形的周长是 ． １１．（２０２３上海徐汇区期末）如图８，已知ＡＤ∥ＥＢ∥ ＦＣ，ＡＢ＝４，ＥＦ＝２，则ＢＣ·ＤＥ＝ ． １２．如图９，ＣＤ与Ｃ′Ｄ′，ＡＢ与Ａ′Ｂ′之间的距离为１， ＡＤ与Ａ′Ｄ′，ＢＣ与Ｂ′Ｃ′之间的距离为ｘ，矩形ＡＢＣＤ的长 ＡＢ＝３０，宽ＢＣ＝２０，当ｘ＝ 时，图中的两个矩 形ＡＢＣＤ与Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′相似． １３．（２０２４吕梁一模）如图 １０，△ＡＢＣ的角平分线ＣＤ与中 线ＡＥ相交于点Ｐ，若ＡＥ⊥ＣＤ， ＡＥ＝８，ＣＤ＝１２，则ＡＢ的长为 ． １４．在△ＯＡＢ中，点Ｃ在直线ＡＢ上，ＢＣ＝３ＡＣ，点Ｅ 为ＯＡ边的中点，连接ＯＣ，射线ＢＥ交ＯＣ于点Ｇ，则ＯＧＧＣ的 值为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）如图１１，已知直线ｌ１，ｌ２，ｌ３分别截直线ｌ４ 于点Ａ，Ｂ，Ｃ，截直线ｌ５于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，且ｌ１∥ｌ２∥ｌ３． （１）如果ＡＢ＝４，ＢＣ＝８，ＥＦ＝１２，求ＤＥ的长； （２）如果ＤＥ∶ＥＦ＝２∶３，ＡＢ＝６，求ＡＣ的长． １６．（１０分）如图１２，在△ＡＢＣ中，ＥＦ∥ＣＤ，ＤＥ∥ ＢＣ． （１）求证：ＡＦ∶ＦＤ＝ＡＤ∶ＤＢ； （２）若ＡＢ＝１５，ＡＤ∶ＢＤ＝２∶１，求ＤＦ的长． １７．（１２分）一个矩形ＡＢＣＤ的较短边长为２． （１）如图１３－①，若沿长边对折后得到的矩形与原 矩形相似，求它的另一边长； （２）如图１３－②，已知矩形ＡＢＣＤ的另一边长为４， 剪去一个矩形ＡＢＥＦ后，余下的矩形 ＦＥＣＤ与原矩形相 似，求余下矩形ＦＥＣＤ的面积． １８．（１２分）如图１４，点Ｅ是菱形ＡＢＣＤ对角线ＣＡ的 延长线上任意一点，以线段 ＡＥ为边作一个菱形 ＡＥＦＧ， 且菱形ＡＢＣＤ∽菱形ＡＥＦＧ，相似比是 槡２∶３，连接ＥＢ， ＧＤ． （１）求证：ＥＢ＝ＧＤ； （２）若∠ＤＡＢ＝６０°，ＡＢ＝２，求ＧＤ的长                                                                                                                                                                 ． ! 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