第8期 23.3.3～23.4（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

书 一、求线段 例１　如图１，△ＡＢＣ中，ＡＤ 是中线，ＡＥ是角平分线，ＣＦ⊥ ＡＥ于Ｆ，若ＡＢ＝１３，ＡＣ＝８，则 ＤＦ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．１．５ Ｃ．２ Ｄ．２．５ 解析：如图１，延长 ＣＦ交 ＡＢ于点 Ｇ，因为 ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＧＡＦ＝∠ＣＡＦ，因为 ＣＦ⊥ ＡＥ，所以 ∠ＡＦＣ＝∠ＡＦＧ，所以ＡＧ＝ＡＣ，ＧＦ＝ＣＦ， 又因为点Ｄ是ＢＣ中点，所以ＤＦ是△ＣＢＧ的中位 线，所以ＤＦ＝ １２ＢＧ＝ １ ２（ＡＢ－ＡＧ）＝ １ ２（ＡＢ－ＡＣ） ＝２．５．故选Ｄ． 二、求角度 例２　如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中，Ｐ是对角线ＢＤ的中 点，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中 点，ＡＤ＝ＢＣ，∠ＥＰＦ＝１２０°， 则∠ＰＥＦ的度数是 （　　） Ａ．２０° Ｂ．３０° Ｃ．４０° Ｄ．５０° 解析：因为Ｐ是ＢＤ的中点，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的 中点，所以ＰＥ，ＰＦ分别是△ＡＢＤ，△ＢＣＤ的中位线，所以 ＰＥ＝ １２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ， 因为 ＡＤ ＝ＢＣ，所以 ＰＥ＝ＰＦ，所以 ∠ＰＥＦ＝ ∠ＰＦＥ，因为∠ＥＰＦ＝１２０°，所以∠ＰＥＦ＝３０°．故选Ｂ． 三、求最值 例３　 如图３，在平行 四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ ＝６， ＢＤ＝８，ＡＤ⊥ ＤＢ，点 Ｍ，Ｎ 分别是边 ＡＢ，ＢＣ上的动点 （不与Ａ，Ｂ，Ｃ重合），点Ｅ，Ｆ 分别为ＤＮ，ＭＮ的中点，连结ＥＦ，则ＥＦ的最小值为 （　　） Ａ．２．４ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．４．８ 解析：如图３，连结ＤＭ，因为点Ｅ，Ｆ分别为ＤＮ，ＭＮ 的中点，所以ＥＦ＝１２ＤＭ，当ＤＭ⊥ＡＢ时，ＤＭ最小，则 ＥＦ最小， 因为 ＡＤ ＝６，ＢＤ ＝８，ＡＤ⊥ ＤＢ，所以 ＡＢ ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２ ＝１０，设△ＡＢＤ中ＡＢ边上高为ｈ，则Ｓ△ＡＢＤ ＝ １２ＡＤ·ＢＤ＝ １ ２ＡＢ·ｈ，所以 １ ２×６×８＝ １ ２×１０ｈ， 所以ｈ＝４．８，所以ＤＭ最小值为４．８，则ＥＦ最小值为 １２ ×４．８＝２．４．故选Ａ． 【对应练习见《重点集训营》】 书 【提示】 １．以ＡＢ为斜边作等腰Ｒｔ△ＡＢＦ，延长ＡＦ至点 Ｅ，使ＡＦ＝ＥＦ，连结ＥＰ，ＢＥ，ＤＦ，根据等腰直角三角 形的性质和勾股定理得到ＢＣ ＢＤ＝ＢＡ ＢＦ＝槡２，∠ＣＢＤ＝ ∠ＡＢＦ＝４５°，根据相似三角形的性质得到ＤＦ＝槡２， ＥＰ＝２ＤＦ＝槡２２，根据线段垂直平分线的性质得到 ＢＡ＝ＢＥ，当Ｂ，Ｅ，Ｐ三点共线时，ＰＢ的值最大． ２．取ＣＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，过点Ｏ作ＯＮ⊥ＢＥ于 点Ｎ，证明四边形ＡＢＣＤ是菱形，进而得出ＣＥ＝ＯＣ ＝４，再利用相似三角形的性质，得到ＯＭ＝１ ２ＢＣ＝ ５ ２ ，ＯＭ∥ＢＣ，证明△ＦＯＭ∽△ＦＥＣ，推出ＯＦ ＯＥ＝５ １３ ， 最后利用勾股定理求解即可． 书 １．如图 １，ＤＥ是 △ＡＢＣ的中位线，若 ∠ＢＤＥ＝ １４０°，则∠Ｂ的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ２．如图２，四边形 ＡＢＣＤ是正方形，边长为６，Ｍ是 ＡＤ边上的动点，在正方形ＡＢＣＤ的外侧以ＡＭ为边作正 方形ＡＭＥＦ，连结ＢＥ，若Ｎ为ＢＥ的中点，连结ＭＮ，则线 段ＭＮ的最小值为 ． ３．如图３，已知矩形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ 分别为线段ＯＡ，ＯＤ的中点． （１）若ＡＯ＝１６，ＡＤ＝１２，求△ＯＥＦ的周长； （２）若Ｇ为边ＡＢ的中点，求证：四边形ＯＦＥＧ是平 行四边形． 书 相似三角形的知识在日常生活中有着十分广泛的 应用，尤其是在测量高度和距离方面．现从试题中选取 两例解析如下，供同学们学习时参考． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 在《数书九章》（宋· 秦九韶）中记载了一个测量塔高 的问题：如图１所示，ＡＢ表示塔的 高度，ＣＤ表示竹竿顶端到地面的 高度，ＥＦ表示人眼到地面的高 度，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ在同一平面内，点 Ａ，Ｃ，Ｅ在一条水平直线上．已知 ＡＣ＝２０米，ＣＥ＝ １０米，ＣＤ＝７米，ＥＦ＝１．４米，人从点Ｆ远眺塔顶Ｂ，视 线恰好经过竹竿的顶端 Ｄ，可求出塔的高度．根据以上 信息，塔的高度为 米． 解析：过Ｆ作ＦＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＣＤ于Ｈ，则ＦＨ＝ ＣＥ＝１０米，ＱＨ＝ＡＣ＝２０米，ＦＱ＝ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝ ３０米，ＥＦ＝ＣＨ＝ＡＱ＝１．４米，所以ＤＨ＝７－１．４＝ ５．６米， 因为ＤＣ∥ＢＡ，所以△ＦＤＨ∽△ＦＢＱ，所以ＤＨＢＱ＝ ＦＨ ＦＱ，所以 １０ ３０＝ ５．６ ＱＢ，解得ＱＢ＝１６．８（米）， 经检验符合题意，所以ＡＢ＝ＡＱ＋ＱＢ＝１．４＋１６８ ＝１８．２（米）． 故填１８．２． 例２　如图２是凸透镜成 像示意图，ＣＤ是蜡烛 ＡＢ通过 凸透镜ＭＮ所成的虚像，已知蜡 烛的高 ＡＢ为４．８ｃｍ，蜡烛 ＡＢ 离凸透镜 ＭＮ的水平距离 ＯＢ ＝６ｃｍ，该凸透镜的焦距ＯＦ为 １０ｃｍ，ＡＥ∥ＯＦ，则像ＣＤ的高为 ｃｍ． 解析：因为ＡＥ∥ＯＦ，所以△ＣＡＥ∽△ＣＯＦ，所以 ＡＥ ＯＦ＝ ＣＡ ＣＯ＝ ６ １０＝ ３ ５，所以 ＯＡ ＯＣ＝ ２ ５， 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以△ＯＡＢ∽△ＯＣＤ，所以ＯＡＯＣ＝ ＡＢ ＣＤ，所以 ２ ５ ＝ ４．８ ＣＤ，解得ＣＤ＝１２ｃｍ，所以像ＣＤ的高 为１２ｃｍ． 故填１２． 书 一、利用相似求运动时间 例１　如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ．动点 Ｍ 从点Ｃ出发，以１ｃｍ／ｓ的速度沿ＣＡ向 终点Ａ移动，同时动点Ｐ从点Ｂ出发，以 ２ｃｍ／ｓ的速度沿ＢＡ向终点 Ａ移动，连 结ＰＭ，设移动时间为ｔｓ（０＜ｔ＜２．５）， 求当ｔ为何值时，以Ａ，Ｐ，Ｍ为顶点的三角形与△ＡＢＣ相 似？ 解：在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＣ＝ ３ｃｍ，根据勾股定理，得ＡＢ＝５（ｃｍ），所以ＡＭ＝４－ｔ， ＡＰ＝５－２ｔ，① 当 △ＡＭＰ∽ △ＡＢＣ时，ＡＰＡＣ＝ ＡＭ ＡＢ，即 ５－２ｔ ４ ＝ ４－ｔ ５ ，解得ｔ＝ ３ ２；②当△ＡＰＭ∽△ＡＢＣ时， ＡＭ ＡＣ＝ ＡＰ ＡＢ，即 ４－ｔ ４ ＝ ５－２ｔ ５ ，解得ｔ＝０（舍去）． 综上所述，当ｔ＝３２时，以Ａ，Ｐ，Ｍ为顶点的三角形 与△ＡＢＣ相似． 二、利用相似求线段的长 例２　 如图 ２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，点 Ｅ 是ＡＣ上一个动点，点Ｄ在ＢＣ上，且 ＣＤ＝５，若以 Ｃ，Ｄ，Ｅ为顶点的三角 形与△ＡＢＣ相似，求ＣＥ的长． 　　　　　　　　　　　　　　　解：因为∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，所以ＢＣ＝ １０，①当∠ＥＤＣ＝９０°时，因为∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ，∠ＥＤＣ ＝∠Ａ，所以△ＣＤＥ∽ △ＣＡＢ，所以ＣＥＣＢ＝ ＣＤ ＣＡ，即 ＣＥ １０＝ ５ ８，解得ＣＥ＝ ２５ ４；②当∠ＤＥＣ＝９０°时，因为∠ＤＣＥ＝ ∠ＡＣＢ，∠ＤＥＣ＝∠Ａ，所以△ＣＥＤ∽△ＣＡＢ，所以ＣＥＣＡ＝ ＣＤ ＣＢ，即 ＣＥ ８ ＝ ５ １０，解得ＣＥ＝４． 综上所述，ＣＥ的长为４或２５４． 三、利用相似求函数表达式 例３　 如图 ３，梯形 ＡＢＣＤ 中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ⊥ＢＣ， ＡＤ＝９，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝１６，点Ｅ 是边ＢＣ上一个动点，∠ＥＡＦ＝ ∠ＢＡＣ，ＡＦ交ＣＤ于点 Ｆ、交 ＢＣ 延长线于点Ｇ，设ＢＥ＝ｘ． （１）用含ｘ的代数式表示ＦＣ； （２）设ＦＧＥＦ＝ｙ，求ｙ关于ｘ的函数表达式，并求ｘ的 取值范围． 解：（１）因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠ＡＣＢ＝９０°．因为ＡＤ ∥ＢＣ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°．因为ＡＤ＝９，ＡＣ＝ １２，ＢＣ＝１６，所以ＡＢ＝２０，ＤＣ＝１５．因为ＢＣＡＣ＝ ＡＣ ＤＡ＝ ４ ３，∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＣ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＣＡ，所以∠Ｂ＝ ∠ＡＣＤ．因为∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ，所 以△ＡＢＥ∽△ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＢＥ ＣＦ，所以 ２０ １２＝ ｘ ＣＦ，所以 ＣＦ＝ ３５ｘ． （２）因为 △ＡＢＥ∽ △ＡＣＦ，所以ＡＢＡＣ＝ ＡＥ ＡＦ，又因为 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ，所以△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ，所以ＥＦＡＦ＝ ＢＣ ＡＣ＝ １６ １２＝ ４ ３，所以ＥＦ＝ ４ ３ＡＦ．因为 ＡＤ∥ ＣＧ，所以 ＦＧ ＦＡ＝ ＣＦ ＤＦ，所以ｙ＝ ＦＧ ＥＦ＝ ＦＧ ４ ３ＡＦ ＝３４· ＣＦ ＤＦ＝ ３ ４· ３ ５ｘ １５－３５ｘ ，整 理得ｙ＝ ３ｘ１００－４ｘ（０＜ｘ≤１６）． 书 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应中线的 比、对应角平分线的比、对应高的比都等于相似比；面积 比等于相似比的平方”等性质，灵活运用上述性质，可 以帮助同学们解决许多相关问题． 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 若两个相似三角形周长的比为１∶４，则这两 个三角形对应边的比是 （　　） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶８ Ｄ．１∶１６ 解析：因为两个相似三角形周长的比为１∶４，所以 相似三角形对应边的比为１∶４．故选Ｂ． 应用二：相似三角形面积的比 等于相似比的平方 例 ２　 如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是线段ＡＢ上一点，连结 ＡＣ，ＤＥ交于点Ｆ．若ＡＥＥＢ＝ ２ ３，则 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝ ． 解析：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ ＣＤ，所以△ＥＡＦ∽△ＤＣＦ， 因为 ＡＥ ＥＢ＝ ２ ３，所以 ＡＥ ＡＢ＝ ＡＥ ＣＤ＝ ２ ５，所以 Ｓ△ＡＥＦ Ｓ△ＣＤＦ ＝ （ ＡＥ ＣＤ） ２ ＝ ４２５．故填 ４ ２５． 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 例３　已知 △ＡＢＣ∽ △ＤＥＦ（点 Ａ，Ｂ，Ｃ分别与点 Ｄ，Ｅ，Ｆ对应），且ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，ＢＣ与ＥＦ边上的高分 别记为ｈ１和ｈ２，则ｈ１∶ｈ２等于 ． 解析：因为△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３，所以 ｈ１∶ｈ２ ＝ＡＣ∶ＤＦ＝２∶３．故填２∶３． 书 １．如图１所示，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，以ＢＣ为底边向上 构造等腰直角三角形 ＢＣＤ，连结 ＡＤ并延长至点 Ｐ，使 ＰＤ＝ＡＤ，则ＰＢ的最大值为 ． ２．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于 点Ｏ，ＡＤ＝５，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６，延长ＢＣ至点Ｅ，连结ＯＥ 交ＣＤ于点 Ｆ，若 ∠Ｅ＝ １２∠ＡＣＤ，则线段 ＯＦ的长为 ． 书 上期２版 ２３．３．１相似三角形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．１２； 槡　４．２ １３． 能力提高　５．（１）因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 △ＡＢＥ∽ △ＤＣＥ，所以ＡＥＤＥ＝ ＡＢ ＤＣ＝ １０ １５＝ ２ ３，又因为ＡＢ∥ＥＦ，所 以 ＢＦ ＤＦ＝ ＡＥ ＤＥ＝ ２ ３． （２）因为ＣＤ∥ＥＦ，所以△ＢＥＦ∽△ＢＣＤ，所以ＥＦＣＤ ＝ＢＦＢＤ，又因为ＣＤ＝１５， ＢＦ ＤＦ＝ ２ ３，所以ＥＦ＝ＣＤ· ＢＦ ＢＤ＝ １５× ２２＋３＝６． ２３．３．２相似三角形的判定（第一课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．７０；　４．１４． 能力提高　５．（１）作图略． （２）证明：因为 ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＢＡＤ ＝ １ ２∠ＢＡＣ，因为∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ，所以∠Ｃ＝ １ ２∠ＢＡＣ，所 以∠ＢＡＤ＝∠Ｃ，又因为∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＡ，所以△ＡＢＤ ∽△ＣＢＡ． ２３．３．２相似三角形的判定（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２或８； ４．（１，４）或（３，４）． 能力提高 　５．（１）证明：因为正方形 ＡＢＣＤ，所以 ∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ，因为ＣＦ＝３ＦＤ，所以ＦＤ＝ １ ４ＣＤ，因为Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＥＤ＝ １ ２ＡＤ，所 以 ＡＥ ＡＢ＝ ＤＦ ＥＤ＝ １ ２，所以△ＡＢＥ∽△ＤＥＦ． （２）△ＡＢＥ与△ＢＥＦ相似，理由：设ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ ＝４ａ，因为Ｅ为边ＡＤ的中点，ＣＦ＝３ＦＤ，所以ＡＥ＝ＤＥ ＝２ａ，ＤＦ＝ａ，所以ＢＥ＝ 槡２５ａ，ＥＦ＝槡５ａ，ＢＦ＝５ａ，所 以ＢＦ２ ＝ＥＦ２ ＋ＢＥ２，即 ∠ＢＥＦ＝９０°，所以 ∠Ａ＝ ∠ＢＥＦ＝９０°，因为ＡＢＡＥ＝ ４ａ ２ａ＝２， ＢＥ ＥＦ＝ 槡２５ａ 槡５ａ ＝２，所以 ＡＢ ＡＥ＝ ＢＥ ＥＦ，所以△ＡＢＥ∽△ＥＢＦ． ２３．３．２相似三角形的判定（第三课时） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．①③． 能力提高　５．证明：由Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标可以得到 ＯＡ＝３，ＯＢ＝４，ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，所以ＡＢ＝５，ＡＣ＝槡５， ＢＣ＝ 槡２５，在△ＡＢＣ和△ＡＣＤ中，因为 ＡＣ ＡＤ＝ 槡５ １ ＝槡５， ＢＣ ＣＤ＝ 槡２５ ２ ＝槡５， ＡＢ ＡＣ＝ ５ 槡５ ＝槡５，所以 ＡＣ ＡＤ＝ ＢＣ ＣＤ＝ ＡＢ ＡＣ， 所以△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．∠ＡＥＤ＝∠Ｂ（答案不惟一）；　１０．４３； １１．丁；　１２．３０°或６０°；　１３．（－４，０），（－１，０）或（１，０）； １４．４或７． 三、１５．证明：因为ＣＤ⊥ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＥ，所以∠ＦＤＧ ＝∠ＦＥＧ＝９０°，所以 ∠ＤＧＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°，因为 ∠ＢＦＥ＋∠ＤＦＥ＝１８０°，所以 ∠ＢＦＥ＝∠ＤＧＥ，又 ∠ＤＧＥ＝∠ＡＧＣ，所以 ∠ＡＧＣ＝∠ＢＦＥ，又 ∠ＡＣＢ＝ ∠ＦＥＧ＝９０°，所以∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＦ＝∠ＡＥＣ＋∠ＥＡＣ ＝９０°，所以∠ＥＡＣ＝∠ＢＥＦ，所以△ＡＧＣ∽△ＥＦＢ． １６．（１）证明：因为 ＡＤ，ＢＥ是 △ＡＢＣ的高，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ＝９０°，因为∠Ｃ＝∠Ｃ，所以△ＡＣＤ∽ △ＢＣＥ，所以ＣＤＣＥ＝ ＡＣ ＢＣ，即 ＣＤ ＡＣ＝ ＣＥ ＢＣ，又因为∠Ｃ＝∠Ｃ， 所以△ＣＡＢ∽△ＣＤＥ． （２）因为点Ｄ是ＢＣ的中点，ＡＤ⊥ ＢＣ，所以 ＡＢ＝ ＡＣ，在Ｒｔ△ＢＥＣ中，因为ＣＥ＝６，ＢＥ＝８，所以ＢＣ＝１０， 所以ＣＤ＝１２ＢＣ＝５，因为△ＡＣＤ∽△ＢＣＥ，所以 ＡＤ ＣＤ＝ ＢＥ ＥＣ，所以ＡＤ＝ ２０ ３，所以ＡＣ＝ ２５ ３，所以ＡＢ＝ＡＣ＝ ２５ ３． （下转１，４版中缝） 书 １７．证明：（１）因为 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＢ．因为 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°， 所以△ＡＤＣ∽△ＡＣＢ，所 以ＡＤ∶ＡＣ＝ＡＣ∶ＡＢ，所 以ＡＣ２ ＝ＡＢ·ＡＤ． （２）因 为 ＥＡ ＝ ＥＣ， 所 以 ∠ＥＡＣ ＝ ∠ＥＣＡ．因为 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＣＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＣＡ．又因为 ∠ＡＦＤ ＝∠ＣＦＥ，所以 △ＡＦＤ ∽△ＣＦＥ． １８．（１）证明：因为 ＡＢ ＡＤ＝ ＢＣ ＤＥ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 △ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，所以 ∠ＢＡＣ － ∠ＤＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ－∠ＤＡＦ，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ． （２）因为△ＡＢＣ∽ △ＡＤＥ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＤＥ．因为 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＢＥ＋∠ＥＢＣ，∠ＡＤＥ ＝∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＤ，所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＡＤ＝２１°． （３）证明：由（１）知 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．因为 ＡＢ ＡＤ ＝ ＡＣ ＡＥ，所以 ＡＢ ＡＣ ＝ ＡＤ ＡＥ， 所 以 △ＡＢＤ ∽ △ＡＣＥ． １９．（１）证明：因为 四边形 ＡＢＣＤ是正方 形，所以 ＡＢ ＝ ＢＣ， ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ４５°．因为 ＢＥ＝ＢＦ，所 以∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ．所 以∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＢ．所 以△ＡＢＥ≌△ＣＢＦ．所 以ＡＥ＝ＣＦ． （２）证 明：因 为 ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ＝４５°＋∠ＡＢＥ， ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＥＢＦ ＋ ! " #! !!"" " $"% ! !"!#&$'!!( !"#$%&'" ()*+,-'. !! ! !"#$ !"# !$"%&'( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !)* #%+,-.( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " /0 123 " 45 678 "9: 6;< !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ! " # ' ( ! % ! " ) $ % & # ! & ! % ! " # $ ' ! ! ! " # $ % * & " ! # $ % & ! % ! " # $ % & % ! * + ( ! ! ! 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" ) # * % & ! $ ! & )*#ª—+÷, +,-.-"E( 书 （满分：１２０分） 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，在△ＡＢＣ中，ＢＣ ＝６，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中 点，则ＥＦ的长为 （　　） Ａ．５ 　　　Ｂ．４ Ｃ．３ 　　　Ｄ．２ ２．如果两个相似三角形的相似比为１６∶９，那么这两 个三角形对应边上的高之比为 （　　） Ａ．１６∶９ Ｂ．４∶３ Ｃ．９∶１６ Ｄ．２５６∶８１ ３．如图２，嘉嘉要测量池塘两岸Ａ，Ｂ两点间的距离， 先在ＡＢ的延长线上选定点Ｃ，测得ＢＣ＝５ｍ，再选一点 Ｄ，连结ＡＤ，ＣＤ，作ＢＥ∥ＡＤ，交ＣＤ于点 Ｅ，测得 ＣＤ＝ ８ｍ，ＤＥ＝４ｍ，则ＡＢ＝ （　　） Ａ．３ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．５ｍ Ｄ．６ｍ ４．如图３，在△ＡＢＣ中，Ｄ在ＢＣ边上，连结ＡＤ，Ｇ在 线段ＡＤ上，ＧＥ∥ＢＤ且交ＡＢ于Ｅ，ＧＦ∥ＡＣ且交ＣＤ于 Ｆ，若 Ｓ△ＡＥＧ Ｓ四边形ＥＢＤＧ ＝ ４５，ＡＣ＝９，则ＧＦ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．９２ Ｄ．６ ５．如图４是一个铁夹子的侧面示意图，Ｃ是连结夹 面的轴上一点，ＣＤ⊥ＯＡ于点Ｄ．这个侧面图是轴对称图 形，直线 ＯＣ是它的对称轴．若 ＤＡ＝１５ｍｍ，ＤＯ ＝ ２４ｍｍ，ＤＣ＝１０ｍｍ，则点Ａ与点Ｂ之间的距离为 （　　） Ａ．２０ｍｍ Ｂ．３０ｍｍ Ｃ．４０ｍｍ Ｄ．５０ｍｍ ６．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｇ是△ＡＢＣ的 重心，点Ｄ在边ＢＣ上，ＤＧ⊥ＧＣ，如果ＢＤ＝５，ＣＤ＝３， 那么 ＣＧ ＢＣ的值是 （　　） Ａ．槡２２ Ｂ． 槡２ ４ Ｃ． 槡２ ５ Ｄ． 槡２ ３ ７．有一块锐角三角形余料 △ＡＢＣ，边 ＢＣ为１５ｃｍ， ＢＣ边上的高为１２ｃｍ，现要把它分割成若干个邻边长分 别为５ｃｍ和２ｃｍ的小长方形零件，分割方式如图６所示 （分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为 ５ｃｍ的边在ＢＣ上，则按如图方式分割成的小长方形零 件最多有 （　　） Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ８．如图７，ＤＥ平分等边△ＡＢＣ的面积，折叠△ＢＤＥ 得到△ＦＤＥ，ＡＣ分别与ＤＦ，ＥＦ相交于Ｇ，Ｈ两点．若ＤＧ ＝１，ＥＨ＝槡３，则ＧＨ的长为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２３ Ｄ．４ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图８，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｐ，Ｑ分别为ＡＯ，ＡＤ的中点，若ＰＱ＝２．５，则ＡＣ的长 度为 ． １０．如图９，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡 （看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形 成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面 半径大０．５米，桌面的直径为２米，桌面距离地面的高度 为１．５米，则灯泡到桌面的距离为 米． １１．如图１０，在平面直角坐标系中，ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ在坐标原点，点Ｅ是对角线ＡＣ上一点，过点Ｅ作ＥＦ∥ ＢＣ，交ＡＢ于点Ｆ，ＯＣ＝２，∠ＡＯＣ＝４５°，点Ａ的坐标为 （４，０），点Ｆ的横坐标为５，则ＥＦ的长为 ． １２．四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可 追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．如图１１是古代 测量员用四分仪测量一方井深度的示意图，将四分仪置 于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点 Ｆ，窥衡杆与 四分仪的一边ＢＣ交于点 Ｈ，四分仪为正方形 ＡＢＣＤ，方 井为矩形ＢＥＦＧ．若测量员从四分仪中读得 ＡＢ为１，ＢＨ 为０．５，实地测得ＢＥ为２，则井深ＢＧ为 ． １３．如图１２，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，Ｅ，Ｆ分别为 边ＡＢ，ＢＣ的中点，连结ＡＦ，ＤＥ，点Ｇ，Ｈ分别为ＤＥ，ＡＦ的 中点，连结ＧＨ，则ＧＨ的长为 ． １４．如图１３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点 Ｄ为ＡＣ边的中点，点Ｅ为ＢＣ边上一动点，连结ＥＤ并延 长，交ＢＡ的延长线于点Ｆ，当点Ａ恰好为ＢＦ的中点时， ＤＥ的长为 ． 三、耐心解一解（本大题６小题，共６４分） １５．（１０分）如图１４，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为 ＢＣ边的中点，ＤＦ⊥ＡＥ于点Ｆ，Ｇ为ＤＦ的中点，分别延长 ＡＥ，ＤＣ交于点Ｈ，求证：ＣＧ⊥ＤＦ． １６．（１０分）小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光 都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的 准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己 可以解决这个问题了！如图１５，路灯顶部Ａ处发光，光线 透过窗子ＢＣ照亮地面的长度为ＤＥ，小言测得窗户距离 地面高度ＢＦ＝０．７ｍ，窗高ＢＣ＝１．４ｍ，某一时刻，ＦＤ ＝０．７ｍ，ＤＥ＝２．１ｍ，请你根据小言测得的数据，求出 路灯的高度ＯＡ． １７．（１０分）如图１６，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，ＢＥ与ＣＤ 交于点Ｏ，ＡＯ与ＤＥ，ＢＣ分别交于点Ｎ，Ｍ． （１）若点Ｍ是ＢＣ的中点，求证：ＤＮ＝ＥＮ； （２）若ＯＮ∶ＯＭ＝２∶５，四边形ＢＣＥＤ的面积为４２， 求△ＡＢＣ的面积． １８．（１０分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发 现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有 关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源 到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （１）如图１７－①，垂直于地面放置的正方形框架 ＡＢＣＤ，边长ＡＢ为３０ｃｍ，在其上方点 Ｐ处有一灯泡，在 灯泡的照射下，正方形框架的横向影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度 和为６ｃｍ．那么灯泡离地面的高度ＰＭ为多少？ （２）不改变图１７－①中灯泡的高度，将两个边长为 ３０ｃｍ的正方形框架按图１７－②摆放，请计算此时横向 影子Ａ′Ｂ，Ｄ′Ｃ的长度和为多少？ １９．（１２分）如图１８，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｍ为ＡＤ的中 点，ＢＭ与ＡＣ的交点为Ｅ，点Ｆ在边ＢＣ上，ＡＦ交ＢＭ于 点Ｇ，且∠ＢＧＦ＝∠ＡＢＣ． （１）求证：△ＢＡＧ∽△ＢＭＡ； （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，连结ＣＧ，求证：ＣＧ⊥ＢＭ． ２０．（１２分）如图１９，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｆ，延长ＢＣ到点Ｅ，使ＣＥ＝ＢＣ，连结ＤＥ，连结ＡＥ 交ＢＤ于点Ｇ，交ＣＤ于点Ｈ． （１）求证：ＤＧ２ ＝ＦＧ·ＢＧ； （２）若ＡＢ＝１４，ＢＣ＝２４，求线段ＧＨ的长度                                                                                                                                                                 ． 书 ２３．３．３相似三角形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １．若两个相似三角形的相似比为２∶３，其中较小的 三角形的周长为８，则较大的三角形的周长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１６３ ２．两个相似三角形的面积之比为１∶４，小三角形一 条边上的中线长为４，则另一个三角形对应边上的中线 长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．５ ３．如图１是某家用晾衣架的侧面示意图，已知 ＡＢ ∥ＰＱ，根据图中数据，Ｐ，Ｑ两点间的距离是 （　　） Ａ．０．６ｍ Ｂ．０．８ｍ Ｃ．０．９ｍ Ｄ．１ｍ ４．如图２，Ｄ，Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＢＣ上的点， ＤＥ∥ＡＣ，若Ｓ△ＢＤＥ∶Ｓ△ＣＤＥ ＝１∶３，则Ｓ△ＤＯＥ∶Ｓ△ＡＯＣ的值 为 ． ５．如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，棱长为１的立 方体的表面展开图有两条边分别在 ＡＣ，ＢＣ上，有两个 顶点在斜边ＡＢ上，则△ＡＢＣ的面积为 ． ６．如图 ４，有一块三角形余料 ＡＢＣ，它的边 ＢＣ＝１８ｃｍ，高 ＡＤ＝ １２ｃｍ，现在要把它加工成长与宽的 比为３∶２的矩形零件ＥＦＣＨ，要求一 条长边在ＢＣ上，其余两个顶点分别 在ＡＢ，ＡＣ上，则矩形ＥＦＧＨ的周长为 ｃｍ． ７．如图５，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上 的点，ＤＥ∥ＡＢ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ．若ＢＤＣＤ＝ ２ ３，Ｓ△ＡＢＣ ＝５０， 求四边形ＡＦＤＥ的面积． ２３．３．４相似三角形的应用 １．如图１－①，“矩”在古代指两条边成直角的曲 尺，它的两边长分别为 ａ，ｂ．中国古老的天文和数学著 作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如 “偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的 高度，如图１－②，从“矩”ＡＦＥ的一端Ａ望向树顶端的 点Ｃ，使视线通过“矩”的另一端 Ｅ，测得 ＡＢ＝１．５ｍ， ＢＤ＝６．２ｍ．若“矩”的边ＥＦ＝３０ｃｍ，边ＡＦ＝６０ｃｍ， 则树高ＣＤ为 （　　） Ａ．３．１ｍ Ｂ．４．６ｍ Ｃ．５．３ｍ Ｄ．４．２ｍ ２．如图２，数学兴趣小组下午测得一根长为０．８ｍ 的竹竿影长是１ｍ，同一时刻测量树高时发现树的影子 有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影 高１．２ｍ，地面上的影长为３ｍ，请你帮算一下，树高是 ｍ． ３．如图３，ＡＤ，ＢＣ为两路灯， 身高均为１．８ｍ的小明、小亮站 在两路灯之间，两人相距６．５ｍ， 小明站在Ｐ处，小亮站在Ｑ处，小 明在路灯Ｃ下的影长ＡＰ为２ｍ， 路灯ＢＣ高９ｍ，则路灯ＡＤ的高为 ｍ． ４．龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动 物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙 年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴 趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图４， 雕像的高度为ＡＢ，在地面ＢＣ上取Ｅ，Ｇ两点，分别竖立 两根高均为１．５ｍ的标杆ＥＦ和ＧＨ，两标杆间隔ＥＧ为 ８ｍ，并且雕像ＡＢ，标杆ＥＦ和ＧＨ在同一竖直平面内．从 标杆ＥＦ后退２ｍ到Ｄ处（即ＥＤ＝２ｍ），从Ｄ处观察Ａ 点，Ａ，Ｆ，Ｄ三点在一条直线上；从标杆ＧＨ后退３ｍ到Ｃ 处（即ＣＧ＝３ｍ），从Ｃ处观察Ａ点，Ａ，Ｈ，Ｃ三点也在一 条直线上．已知 Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｇ，Ｃ在同一直线上，ＡＢ⊥ ＢＣ， ＥＦ⊥ＢＣ，ＧＨ⊥ＢＣ，请你根据以上测量数据，帮助兴趣 小组求出该龙形雕像的高度． ２３．４中位线 １．如图１，Ｄ是△ＡＢＣ内一点，ＢＤ⊥ＣＤ，ＡＤ＝６， ＢＤ＝４，ＣＤ＝３，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＡＣ，ＣＤ，ＢＤ的中 点，则四边形ＥＦＧＨ的周长是 （　　） Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２ ２．如图２，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＡＢ，ＢＭ ⊥ＡＤ于点Ｍ，Ｎ是ＡＣ的中点，连结ＭＮ，若ＡＢ＝６，ＢＣ ＝１０，则ＭＮ为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．１ Ｄ．２ ３．如图３，在ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＣＤ上一点，连结ＡＥ， ＢＥ，若点Ｆ是△ＡＢＥ的重心，则Ｓ△ＡＥＦ∶ＳＡＢＣＤ的值为 （　　） Ａ．１４ Ｂ． １ ６ Ｃ． ２ ５ Ｄ． １ １２ ４．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ， ＡＤ的中点，ＢＣ＝１０，ＣＤ＝６，ＥＦ＝４，∠ＡＦＥ＝５２°，则 ∠ＡＤＣ的度数为 °． ５．如图５，点Ｇ是△ＡＢＣ的重心，延长ＡＧ交ＢＣ于 点Ｆ，ＧＤ∥ＢＣ，ＧＤ交ＡＣ于点Ｄ，若ＡＤ＝６，则ＤＣ的长 为 ． ６．如图 ６，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ 槡３３，ＡＤ＝３，Ｍ，Ｎ分别是线段 ＢＣ，ＡＢ上的动点（含端 点，但点 Ｍ不与点 Ｂ重合），Ｅ，Ｆ分别为 ＤＭ，ＭＮ的中 点，则线段ＥＦ的最大值为 ． 能力提高 ７．如图７，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４，ＡＢ＝６，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别是ＣＤ，ＤＡ延长线上的点， 且ＤＥ＝３，ＡＦ＝２，连结 ＥＦ，点 Ｇ为 ＥＦ的中点．连结 ＯＥ，交ＡＤ于点Ｈ，连结ＧＨ． （１）猜想：Ｈ是ＯＥ的中点吗？请加以证明． （２）求ＧＨ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ∠ＡＢＥ＝４５°＋∠ＡＢＥ， 所以 ∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＦ． 因为 ∠ＢＡＦ ＝∠ＢＣＥ ＝４５°，所以 △ＡＢＦ∽ △ＣＥＢ． （３）ＥＢ ＝ ＥＧ，ＢＥ ⊥ＥＧ．理由如下： 因 为 ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＧＣＦ＝４５°，∠ＥＦＢ＝ ∠ＧＦＣ，所以 △ＢＥＦ∽ △ＣＧＦ，所以ＥＦＧＦ＝ ＢＦ ＣＦ， 即 ＥＦ ＢＦ ＝ ＧＦ ＣＦ． 因 为 ∠ＥＦＧ＝∠ＢＦＣ，所以 △ＥＦＧ∽ △ＢＦＣ．所以 ∠ＥＧＦ ＝ ∠ＢＣＦ ＝ ４５°．所 以 ∠ＥＢＦ ＝ ∠ＥＧＦ＝４５°．所以 ＥＢ ＝ＥＧ，∠ＢＥＧ＝９０°，所 以ＢＥ⊥ＥＧ． ２０．（１）证明：因为 在 △ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ ＝∠Ｃ＝４５°．因为∠Ｂ ＋∠ＢＰＥ＋∠ＢＥＰ ＝ １８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝１３５°．因为 ∠ＥＰＦ＝４５°，∠ＢＰＥ＋ ∠ＥＰＦ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝１３５°，所以 ∠ＢＥＰ＝∠ＣＰＦ，又因 为 ∠Ｂ ＝∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽△ＣＦＰ． （２）△ＢＰＥ ∽ △ＣＦＰ．理由如下： 因为在 △ＡＢＣ中， ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ４５°．因为 ∠Ｂ＋∠ＢＰＥ ＋∠ＢＥＰ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＢＥＰ ＝ １３５°．因为 ∠ＥＰＦ ＝ ４５°，∠ＢＰＥ＋∠ＥＰＦ＋ ∠ＣＰＦ ＝１８０°，所以 ∠ＢＰＥ ＋ ∠ＣＰＦ ＝ １３５°，所以 ∠ＢＥＰ ＝ ∠ＣＰＦ，又因为 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，所以 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ． （３）动点Ｐ运动到 ＢＣ中点位置时，△ＢＰＥ 与△ＰＦＥ相似，理由如 下： 同 （２）， 可 证 △ＢＰＥ∽ △ＣＦＰ，得 ＣＰ∶ＢＥ＝ＰＦ∶ＰＥ，而 ＣＰ＝ＢＰ，因此ＰＢ∶ＢＥ ＝ＰＦ∶ＰＥ．又因为 ∠ＥＢＰ＝∠ＥＰＦ，所以 △ＢＰＥ∽△ＰＦＥ． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．２或１２７． ３．证明：（１）因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，因为ＣＥ＝ＢＦ，所以 △ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ． （２）因为△ＡＣＥ≌ △ＡＢＦ，所以 ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＦ，因为 ＡＥ２ ＝ＡＱ·ＡＢ，ＡＣ＝ ＡＢ，所以ＡＥＡＱ ＝ ＡＢ ＡＥ，即 ＡＥ ＡＱ＝ ＡＣ ＡＦ，所以 △ＡＣＥ ∽△ＡＦＱ． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !" #$ %& %&'( ! " !"# !$" %&'( . )*+,-.!"#"#"$!"#%/ ! , ! " #$% & ' ( ) ! # ! " # $ % ' ! - ! .- # $ % ' ! " ( ) ! & ! " # $ ' ! " ( ! " #$ % ' ! , ! " # $ * ! ( ! " # ! $* ! " # % ' * + , ! $$ ! " # $ % ' ( ) ! $" ! " # $ % ' ! $# - ! " # $% * ' ! $( ! " # $ * ' & - ! $) ! " # $ % ' & ( ! " ! " # ! & # $ * ' ! " ! & ! " ! " # $ % ' . / ! $ ! " . * / */'# 0 .1&# 0 21, 0 ! , ! " # $ % (' ) ! " ! " # $ & !! - . $! ! " # $ & !! - . $! ! $' ! ' ! " # $ % ( ' ) 0&1234567&89 ! : 0&1234567&89 ! : # ( ) % $ ! ' " ! $ # - $ & " ! ! & " #' % $ ! ! " # $ % ! ' " ! , # $ ! ( % " ! # # " * $ ) ! % ( ' ! ' # % ! ' " ! $ # ! ( $ " ! # # $ * / . " ! ! ) # % " ) ' ( $ ! ! $& ) # $ ( ' % ! " ! $, "- ! % & ' # $ ! ( ! $ ! " ! " # $ % ' ) 0 1 ;<"=>?@A BC8DEFG:H ;<#=>?@A BC8DEFG:H