第1期 1.1 分式 1.2 分式的乘法和除法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书 根据所给条件求分式 的值，是分式这部分内容 的一个重要考点．通常情 况，同学们解这类题的方 法是先将分式化简，再将 条件代入求值．但对于一 些特殊情况，同学们若能 采用适当的方法，会收到 事半功倍的效果． 例 如果 ａ ｂ ＝２，则 ａ２－ａｂ＋ｂ２ ａ２＋ｂ２ 的值为 （　　） Ａ．４５ Ｂ．１ Ｃ．３５ Ｄ．２ 根据题中条件，我们 不能确定ａ，ｂ的值，故不能用一般方法去求解．那么，有 什么好的方法呢？ １．分式的基本性质法 分析：由题意知ａｂ≠０，根据分式的基本性质，我们 把求值式的分子、分母分别除以ａｂ，使之出现 ａｂ和 ｂ ａ， 然后将条件代入求值式计算即可． 解：因为ａｂ≠０， 所以 ａ２－ａｂ＋ｂ２ ａ２＋ｂ２ ＝（ａ ２－ａｂ＋ｂ２）÷ａｂ （ａ２＋ｂ２）÷ａｂ ＝ ａ ｂ－１＋ ｂ ａ ａ ｂ＋ ｂ ａ ＝ ２－１＋１２ ２＋１２ ＝ ３ ２ ５ ２ ＝ ３５． 故选Ｃ． ２．消元法 分析：由条件得ａ＝２ｂ，我们将其代入求值式，消掉 ａ即可得解． 解：由 ａ ｂ ＝２，得ａ＝２ｂ． 所以 ａ２－ａｂ＋ｂ２ ａ２＋ｂ２ ＝４ｂ ２－２ｂ２＋ｂ２ ４ｂ２＋ｂ２ ＝３ｂ ２ ５ｂ２ ＝ ３５． 故选Ｃ． ３．特殊值法 分析： ａ ｂ ＝２，我们可以将其写作 ａ ｂ ＝ ２ １．不妨设 ａ＝２，ｂ＝１，把它们代入求值式即可得解． 解：由题意，知 ａ ｂ ＝ ２ １． 设ａ＝２，ｂ＝１， 则 ａ２－ａｂ＋ｂ２ ａ２＋ｂ２ ＝４－２＋１４＋１ ＝ ３ ５． 故选Ｃ． 编者语：由上例我们可以看出，在数学中，一道题目 往往有多种解法．亲爱的同学们，你们还有其他方法吗？ 在今后的数学学习中，若想培养自身的发散思维能力和 创新能力，那就多进行这样的训练吧！ 书 已知 ３ ａ ＝ ４ ｂ ＝ ５ ｃ，试用多种方法求分式 ａｂ－ｂｃ＋ａｃ ａ２＋ｂ２＋ｃ２ 的值． 书 学习分式时，正确理解其相关的概念对今后学习分 式的运算至关重要，也是学好分式的关键，怎样才能学 好分式的概念呢？应掌握以下几个要点． 要点一、需弄清判断分式的方法 判断一个代数式是否为分式，不是从原式的化简结 果来判断，而是只看原式的本来面目是否符合分式的定 义．分式必须同时满足以下两个条件：① 被除式（分子） 是整式（可含字母，也可不含字母）；②除式（分母）必须 是含有字母的整式． 例１　在代数式ｘ ２＋１ ２ ， ３ｘｙ π ， ３ ｘ＋ｙ，ａ＋ １ ｍ中，分式有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 分析：根据分式的定义进行判断即可得解．应注意， π是一个数，而不是字母，整式与分式的和仍是分式． 解：根据分式的定义可知代数式中是分式的为： ３ ｘ＋ｙ，ａ＋ １ ｍ． 所以有２个分式． 故选Ａ． 要点二、需掌握分式的值存在及不存在的条件 分式的值存在的条件只有一个，即分式的分母不能 为０，与分式的分子无关； 分式的值不存在的条件也只有一个，即分式的分母 等于０，同样与分式的分子无关． 例２　若代数式 １ｘ－７的值存在，则ｘ的取值范围是 ． 分析：根据分式的值存在的条件“分母不为零”列 出式子，解之即可． 解：因为代数式 １ ｘ－７的值存在，所以分母不能为０， 即ｘ－７≠０． 解得ｘ≠７． 故填ｘ≠７． 要点三、需掌握分式的值为零的条件 分式的值为零的条件是分式的分子为零，分母不 为零． 例３　当ｘ＝２时，下列各分式的值为零的是 （　　） Ａ． ｘ－２ ｘ２－４ｘ＋４ Ｂ． ２ｘ－２ Ｃ．２ｘ－４ ｘ２＋４ Ｄ．２－ｘ２ｘ－４ 分析：本题考查分式的值为零的条件，牢记“分式值 为零的条件是分子等于零且分母不等于零”是解题的关 键．将ｘ＝２逐一代入四个选项，在分子为０的前提下确 保分母不为０，由此即可得出结论． 解：Ａ选项，当ｘ＝２时，分母ｘ２－４ｘ＋４＝０，所以 分式的值不存在，此选项不符合题意； Ｂ选项，当ｘ＝２时，分母ｘ－２＝０，所以分式的值不 存在，此选项不符合题意； Ｃ选项，当ｘ＝２时，分子２ｘ－４＝０，此时分母ｘ２＋ ４＝８，所以分式２ｘ－４ ｘ２＋４ ＝０，符合题意； Ｄ选项，当ｘ＝２时，分母２ｘ－４＝０，所以分式的值 不存在，此选项不符合题意． 故选Ｃ． 书 分式的学习中经常会存在一些“病毒”，下面就让我 们一起目睹这些“病毒”的真面目吧！ 病毒一、对分式的定义理解不透致错 例１　 下列各式：ａ－ｂ２ ， ｘ＋３ ｘ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）， ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ中，不是分式的为 ． 错解：因为 ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ａ＋ｂ ＝ａ－ｂ，ａ－ｂ 是整式，所以填 ａ－ｂ ２ ， ３ ４（ｘ ２＋１），ａ ２－ｂ２ ａ＋ｂ． 剖析：出现错解的原因是对分式的定义理解不透， 分式是一种形式上的定义，不应该在变形或化简之后去 判断，即 ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ是分式； ５＋ｙ π 的分母是π，表示圆周率， 是常数，所以 ５＋ｙ π 不是分式． 正解：填 ａ－ｂ ２ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）． 病毒二、提前约分致错 例２　要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）的值存在，ｘ的取值 应该满足 （　　） Ａ．ｘ≠－１ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ≠－１或ｘ≠２ Ｄ．ｘ≠－１且ｘ≠２ 错解：因为 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）＝ １ ｘ＋１，所以要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）的值存在，则有ｘ＋１≠０．解得ｘ≠－１． 故选Ａ． 剖析：出现错解的原因是对原分式进行了约分．要 注意，在分式中，分子、分母都乘（或除以）同一个整式， 可能会改变字母的取值范围，在求使分式的值存在的字 母的取值范围时，必须根据原分式进行求解，而不能先 约分后再求解． 正解：要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）的值存在，则有（ｘ ＋１）（ｘ－２）≠０．所以ｘ＋１≠０且ｘ－２≠０．解得ｘ≠ －１且ｘ≠２． 故选Ｄ． 病毒三、忽略分母不能为０的条件致错 例３　若分式｜ｍ｜－５ｍ－５ 的值为零，则ｍ＝ （　　） Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．±５ Ｄ．０ 错解：根据题意，得｜ｍ｜－５＝０．解得ｍ＝±５． 故选Ｃ． 剖析：错解的原因是只考虑了分式的分子的值为０， 而忽略了分母的值不能为０． 正解：根据题意，得｜ｍ｜－５＝０，ｍ－５≠０．解得ｍ ＝－５． 故选Ａ． 书 分式的乘法运算是通过约分化简完成的，约分的理 论依据是分式的基本性质．分式的除法运算是将除法运 算转化为分式的乘法运算进行的．下面将对分式的乘除 运算的典型例题进行解析，供同学们参考． 一、分式的分子、分母都是单项式的乘除运算 例１　计算 －２ａｂ· ｂ２ ａ的正确结果是 （　　） 　　　　 　　　　 　　　　Ａ．２ Ｂ．２ｂ Ｃ．－２ｂ Ｄ．－２ａｂ２ 分析：根据分式的乘法法则即可求出答案． 解：原式 ＝－２ａｂ ２ ａｂ ＝－２ｂ．故选Ｃ． 例２　计算：ｘｙ ２ －６ｚ２ ÷－３ｘ ２ｙ３ ４ａｚ２ ． 分析：分式的除法运算，应把除式的分子、分母颠倒 位置后，与被除式相乘． 解：原式 ＝ ｘｙ ２ －６ｚ２ · ４ａｚ２ －３ｘ２ｙ３ ＝４ａｘｙ ２ｚ２ １８ｘ２ｙ３ｚ２ ＝２ａ９ｘｙ． 二、分式的分子、分母中含有多项式的乘除运算 例３　计算ｘ ２－ｘｙ ｘｙ５ · ｙ２ ｙ－ｘ的结果是 （　　） Ａ．１ ｙ３ Ｂ．－１ ｙ３ Ｃ．１ ｙ４ Ｄ．－１ ｙ４ 分析：分式的分子、分母中含有多项式，应先将分 子、分母中能因式分解的多项式因式分解，然后根据法 则进行计算． 解：原式 ＝ｘ（ｘ－ｙ） ｘｙ５ · ｙ２ ｙ－ｘ＝－ １ ｙ３ ．故选Ｂ． 例４　计算ｘ ２＋４ｘ＋４ ｘ２－４ ÷ｘ ２＋２ｘ ｘ－２的结果是（　　） Ａ．１ｘ Ｂ． １ ｘ＋２ Ｃ． １ｘ－２ Ｄ． ｘ ｘ＋２ 分析：先把分式的除法运算转化为乘法运算，再将 分式的分子、分母因式分解后计算． 解：原式 ＝ （ｘ＋２） ２ （ｘ＋２）（ｘ－２）· ｘ－２ ｘ（ｘ＋２）＝ １ ｘ．故选Ａ． 三、分式的乘除混合运算 例５　化简 ｘ ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ÷ｘ＋１ｘ－１· １－ｘ １＋ｘ后的结果为 （　　） Ａ．ｘ＋１ｘ－１ Ｂ． ｘ－１ ｘ＋１ Ｃ． １－ｘ １＋ｘ Ｄ． １＋ｘ １－ｘ 分析：按照分式的乘除运算法则从左到右依次进行． 解：原式 ＝（ｘ＋１）（ｘ－１） （ｘ－１）２ · ｘ－１ ｘ＋１· １－ｘ １＋ｘ＝ １－ｘ １＋ｘ． 故选Ｃ． ! !" #$% 书 分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式 与原分式相等，这是分式的基本性质．现就有关分式的 基本性质的运用讲解如下，供同学们参考． 一、分式的变形 例１　不改变分式的值，把分式 ０．４ａ－１２ｂ １ ５ａ＋０．３ｂ 的分 子、分母的各项系数都化成整数，且系数的绝对值最小， 所得的结果为 （　　） Ａ．２ａ－ｂａ＋３ｂ Ｂ． ２ａ－ｂ ２ａ＋３ｂ Ｃ．４ａ－５ｂａ＋３ｂ Ｄ． ４ａ－５ｂ ２ａ＋３ｂ 分析：观察可知根据分式的基本性质，将分式的分 子与分母同乘以１０即可得解． 解：原式 ＝ （０．４ａ－１２ｂ）×１０ （ １ ５ａ＋０．３ｂ）×１０ ＝４ａ－５ｂ２ａ＋３ｂ． 故选Ｄ． 例２　不改变分式的值，使分子、分母的含ｘ项系数 都化为正数，且系数的绝对值最小，则 －２ｘ＋ｙ －ｘ－３ｙ＝ ． 分析：先将原分式的分子与分母都提取“－”号，然 后根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同除以 －１ 即可得解． 解：原式 ＝－（２ｘ－ｙ）－（ｘ＋３ｙ）＝ ２ｘ－ｙ ｘ＋３ｙ． 故填 ２ｘ－ｙ ｘ＋３ｙ． 二、判断分式的值的情况 例３　若将ａ＋ｂａｂ 中的字母 ａ，ｂ的值分别扩大为原 来的３倍，则分式的值 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．扩大为原来的３倍 Ｂ．缩小为原来的 １９ Ｃ．缩小为原来的 １３ Ｄ．不变 分析：此题考查分式的基本性质，解题的关键是抓 住分子、分母变化的倍数，解此类题应首先把字母变化 后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出 结论．依题意分别用３ａ和３ｂ去代换原分式中的ａ和ｂ， 利用分式的基本性质化简即可． 解：将ａ，ｂ的值分别扩大为原来的３倍后的分式为 ３ａ＋３ｂ ３ａ·３ｂ＝ ３（ａ＋ｂ） ９ａｂ ＝ １ ３· ａ＋ｂ ａｂ．所以分式的值缩小为 原来的 １ ３． 故选Ｃ．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`% 0 &$ 1 '!% _3T"#,%& -% 0 &+ 1 6 ' 7 (789 0 &-.!( 1 89ab (23 "#!#$"%!' ). 4()*+,-./5 06)1789: ! ! &,& ;< )=>?@ &, !"#$%&'() *+,-$./0/#$ , !, 1*+#$%23456#$%2 7 " %89 , ABCD@:;#$%<=>?@)AB #$%<C>?D#$EFG# , &,! ;<EFGHIJ )=>?@ :;#$%HIJ KIIL@M1NOEF#$%HPQH KRSTU , ABCD@NO#.Q#VW/ XY$%#$%HKITU! ! KL MNO """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! 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