第9期 3.1～3.3（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 上期２版 专题一　分类讨论思想 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２或 －２；　４．６５°或２５°； ５．（－１，１）或（－２，－２）或（－２，－３）或（０，２）． ６．（１）（１０－２ｔ）． （２）当△ＡＢＰ≌△ＤＣＰ时，ＢＰ＝ＣＰ． 所以２ｔ＝１０－２ｔ． 解得ｔ＝２．５． （３）因为∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°， 所以当ＡＢ＝ＰＣ，ＢＰ＝ＣＱ时，△ＡＢＰ≌△ＰＣＱ． 所以１０－２ｔ＝６，２ｔ＝ｖｔ，解得ｔ＝２，ｖ＝２． 当ＡＢ＝ＱＣ，ＢＰ＝ＣＰ时，△ＡＢＰ≌△ＱＣＰ． 此时点Ｐ为ＢＣ的中点，点Ｑ与点Ｄ重合， 所以２ｔ＝５，ｖｔ＝６，解得ｔ＝２．５，ｖ＝２．４． 综上所述，当ｖ＝２或ｖ＝２．４时，△ＡＢＰ与△ＰＱＣ 全等． 专题二　数形结合思想 １．Ｄ；　２．８；　３．（０，３）． ４．在ＡＣ上取一点Ｅ，使得ＡＥ＝ＡＢ，连接ＰＥ，图略． 因为ＡＤ平分∠ＢＡＣ，所以∠ＢＡＰ＝∠ＥＡＰ． 又因为ＡＰ＝ＡＰ，由ＳＡＳ，所以△ＢＡＰ≌△ＥＡＰ． 所以ＰＢ＝ＰＥ．在△ＰＣＥ中，因为ＥＣ＞ＰＣ－ＰＥ， 所以ＡＣ－ＡＥ＞ＰＣ－ＰＢ，即ＡＣ－ＡＢ＞ＰＣ－ＰＢ． ５．（１）①因为∠ＡＣＢ＝３５°， 所以∠２＝∠ＡＣＢ＝３５°． 所以∠Ａ′ＣＤ＝１８０°－∠２－∠ＡＣＢ＝１１０°． ②因为∠１＝∠ＤＣＥ＝ １２∠Ａ′ＣＤ， 所以∠１＝５５°． 又因为∠２＝３５°， 所以∠ＢＣＥ＝∠１＋∠２＝９０°． （２）∠ＢＣＥ的大小不改变，恒为９０°．理由如下： 因为∠１＝∠ＤＣＥ＝ １２∠Ａ′ＣＤ，∠２＝∠ＡＣＢ＝ １ ２∠Ａ′ＣＡ，所以 ∠ＢＣＥ＝∠１＋∠２＝ １ ２∠Ａ′ＣＤ＋ １ ２∠Ａ′ＣＡ＝ １ ２（∠Ａ′ＣＤ＋∠Ａ′ＣＡ）＝９０°． 上期３，４版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ 二、９．④；　１０．（－１，０）；　１１．１３；　１２．１００°； １３．３０°；　１４．１． 三、１５．∠Ｄ的度数是６０°． １６．ｘ的值为２． １７．∠ＢＯＣ的度数是３０°． １８．在△ＡＢＤ与△ＡＣＥ中， 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ＝ＡＥ， 由ＳＳＳ，所以△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ． 所以∠ＢＡＤ＝∠１，∠ＡＢＤ＝∠２． 所以∠３＝∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝∠１＋∠２． １９．因为ＡＢ＝ＡＣ，所以∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°． 所以∠ＢＡＣ＝１８０°－∠Ｂ－∠Ｃ＝１２０°． 因为∠ＤＡＢ＝４５°， 所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＢ＝７５°，∠ＡＤＣ＝ ∠Ｂ＋∠ＤＡＢ＝７５°． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＣ．所以ＡＣ＝ＤＣ． 所以△ＡＤＣ是等腰三角形． 书 ２０．（１）（２）图略． （３）图略（提示：作 ∠ＡＢＣ的平分线，与ＤＥ 的交点即为点 Ｐ的位 置）． ２１．连接ＡＥ，图略． 因 为 ∠ＡＣＢ ＝ ６６°，∠ＣＡＤ＝２４°， 所 以 ∠ＡＤＣ ＝ １８０°－∠ＡＣＢ－∠ＣＡＤ ＝９０°． 所以ＡＤ⊥ＥＣ． 因为点 Ｄ为 ＣＥ的 中点， 所以ＡＤ是线段ＣＥ 的垂直平分线． 所以ＡＥ＝ＡＣ． 因为 ＥＦ垂直平分 ＡＢ， 所以ＡＥ＝ＢＥ． 所以ＢＥ＝ＡＣ． ２２．（１）因为点 Ｅ 是ＣＤ的中点， 所以ＤＥ＝ＣＥ． 因为ＣＦ∥ＡＢ， 所 以 ∠ＡＤＥ ＝ ∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠Ｆ． 在 △ＡＤＥ 和 △ＦＣＥ中， 因 为 ∠ＤＡＥ ＝ ∠Ｆ，∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ， ＤＥ＝ＣＥ， 由 ＡＡＳ， 所 以 △ＡＤＥ≌△ＦＣＥ． （２）因 为 ＣＦ∥ ＡＢ，∠ＤＣＦ＝１２０°， 所 以 ∠ＢＤＣ ＝ １８０°－∠ＤＣＦ＝６０°． 由（１）知△ＡＤＥ≌ △ＦＣＥ， 所以ＡＤ＝ＣＦ． 因为ＣＤ＝ＣＦ， 所以ＡＤ＝ＣＤ． 所 以 ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＣＡＤ＝ １２∠ＢＤＣ＝ ３０°． ２３．（１）等边． （２）△ＢＥＦ是等腰 三角形．理由如下： 书 分式的约分是根据分式 的基本性质 ——— 分式的分 子与分母都除以同一个不等 于零的整式，即公因式，把复 杂分式化简成最简分式的一 种恒等变形，是进行分式运 算的一种重要手段．约分的 常见类型有以下三种． 一、分子、分母是单项式 的分式 当分式的分子、分母都 是单项式时，公因式的系数 应取分子、分母系数的最大 公约数，字母取分子、分母相 同的字母的最低次幂． 例１　约分：２４ａ １２ｘ３ｙ２ １８ａ６ｘ３ ． 分析：观察分子、分母都 是数字和字母的积，都是单 项式，只需要找到分子、分母 的公因式，约分即可．观察分 子与分母中的系数和相同字母可得公因式为６ａ６ｘ３． 解：原式 ＝６ａ ６ｘ３·４ａ６ｙ２ ６ａ６ｘ３·３ ＝ ４３ａ ６ｙ２． 二、分子、分母是含有因式的乘积的分式 当分子、分母是含有因式的乘积的分式时，可以把 每个因式看成一个字母，然后类比分子、分母都是单项 式的分式的情形确定公因式，即相同的因式取次数最 低的幂． 例２　约分：４ｃ ２（ａ－ｂ） ２ｃ（ｂ－ａ）２ ． 分析：因为（ｂ－ａ）２＝（ａ－ｂ）２，把（ａ－ｂ）看成一 个整体，所以分子、分母的公因式为２ｃ（ａ－ｂ）． 解：原式＝４ｃ ２（ａ－ｂ） ２ｃ（ａ－ｂ）２ ＝ ２ｃ（ａ－ｂ）·２ｃ２ｃ（ａ－ｂ）·（ａ－ｂ） ＝ ２ｃａ－ｂ． 三、分子、分母是多项式的分式 当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分 母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．确定公因 式的方法与上面相同． 例３　先约分，再求值： ａ ３－４ａｂ２ ａ３－４ａ２ｂ＋４ａｂ２ ，其中ａ＝ －２，ｂ＝ １２． 分析：先把分式的分子、分母分解因式，约分后把 ａ，ｂ的值代入即可求出答案． 解：原式 ＝ ａ（ａ ２－４ｂ２） ａ（ａ２－４ａｂ＋４ｂ２） ＝ａ（ａ＋２ｂ）（ａ－２ｂ） ａ（ａ－２ｂ）２ ＝ａ＋２ｂａ－２ｂ．当ａ＝－２，ｂ＝ １ ２时，原式 ＝ １ ３． 书 分式的乘法运算是通过约分化简完成的，约分的理 论依据是分式的基本性质．分式的除法运算是将除法运 算转化为分式的乘法运算进行的．下面将对分式的乘除 运算的典型例题进行解析，供同学们参考． 一、分式的分子、分母都是单项式的乘除运算 例１　计算 －２ａｂ· ｂ２ ａ的正确结果是 （　　） 　　　　 　　　　 　　　　Ａ．２ Ｂ．２ｂ Ｃ．－２ｂ Ｄ．－２ａｂ２ 分析：根据分式的乘法法则即可求出答案． 解：原式 ＝－２ａｂ ２ ａｂ ＝－２ｂ． 故选Ｃ． 例２　计算：ｘｙ ２ －６ｚ２ ÷－３ｘ ２ｙ３ ４ａｚ２ ． 分析：分式的除法运算，应把除式的分子、分母颠倒 位置后，与被除式相乘． 解：原式 ＝ ｘｙ ２ －６ｚ２ · ４ａｚ２ －３ｘ２ｙ３ ＝４ａｘｙ ２ｚ２ １８ｘ２ｙ３ｚ２ ＝２ａ９ｘｙ． 二、分式的分子、分母中含有多项式的乘除运算 例３　计算ｘ ２－ｘｙ ｘｙ５ · ｙ２ ｙ－ｘ的结果是 （　　） Ａ．１ ｙ３ Ｂ．－１ ｙ３ Ｃ．１ ｙ４ Ｄ．－１ ｙ４ 分析：分式的分子、分母中含有多项式，应先将分 子、分母中能因式分解的多项式因式分解，然后根据法 则进行计算． 解：原式 ＝ｘ（ｘ－ｙ） ｘｙ５ · ｙ２ ｙ－ｘ＝－ １ ｙ３ ． 故选Ｂ． 例４　计算ｘ ２＋４ｘ＋４ ｘ２－４ ÷ｘ ２＋２ｘ ｘ－２的结果是（　　） Ａ．１ｘ Ｂ． １ ｘ＋２ Ｃ． １ ｘ－２ Ｄ． ｘ ｘ＋２ 分析：先把分式的除法运算转化为乘法运算，再将 分式的分子、分母因式分解后计算． 解：原式 ＝ （ｘ＋２） ２ （ｘ＋２）（ｘ－２）· ｘ－２ ｘ（ｘ＋２）＝ １ ｘ． 故选Ａ． 三、分式的乘除混合运算 例５　化简 ｘ ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ÷ｘ＋１ｘ－１· １－ｘ １＋ｘ后的结果为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ＋１ｘ－１ Ｂ． ｘ－１ ｘ＋１ Ｃ． １－ｘ １＋ｘ Ｄ． １＋ｘ １－ｘ 分析：按照分式的乘除运算法则从左到右依次进行． 解：原式 ＝（ｘ＋１）（ｘ－１） （ｘ－１）２ · ｘ－１ ｘ＋１· １－ｘ １＋ｘ＝ １－ｘ １＋ｘ． 故选Ｃ． 书 学习分式时，正确理解其相关的概念对今后学习分 式的运算至关重要，也是学好分式的关键，怎样才能学 好分式的概念呢？应掌握以下几个要点． 要点一、需弄清判断分式的方法 判断一个代数式是否为分式，不是从原式的化简结 果来判断，而是只看原式的本来面目是否符合分式的定 义．分式必须同时满足以下两个条件：①被除式（分子） 是整式（可含字母，也可不含字母）；②除式（分母）必须 是含有字母的整式． 例１　代数式 ２５ｘ， １ π ， ２ ｘ２＋４ ，ｘ２－２３， １ ｘ， ｘ＋１ ｘ＋２中， 属于分式的有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 分析：根据分式的定义：一般地，用Ａ，Ｂ表示两个整 式，如果Ｂ中含有字母，那么称 ＡＢ为分式判断即可．注 意：π是一个数，而不是字母． 解：根据分式的定义可知，上述代数式中是分式为： ２ ｘ２＋４ ， １ ｘ， ｘ＋１ ｘ＋２，共３个． 故选Ｂ． 要点二、需掌握分式有意义及无意义的条件 分式有意义的条件只有一个，即分式的分母不能为 ０，与分式的分子无关；分式无意义的条件也只有一个， 即分式的分母等于０，同样与分式的分子无关． 例２　分式 １３＋ｘ有意义的条件是 （　　） Ａ．ｘ＝－３ Ｂ．ｘ≠－３ Ｃ．ｘ≠３ Ｄ．ｘ≠０ 分析：根据分式有意义的条件“分母不为０”可得 ３＋ｘ≠０，然后进行计算即可解答． 解：由题意，得３＋ｘ≠０．解得ｘ≠－３． 故选Ｂ． 要点三、需掌握分式的值为零的条件 分式的值为零的条件是分式的分子为零，分母不为零． 例３　当ｘ＝ 时，分式 ２ｘｘ＋２的值为零． 分析：根据分式值为０的条件“分子为０，分母不为 ０”可得２ｘ＝０且ｘ＋２≠０，然后进行计算即可解答． 解：由题意，得２ｘ＝０且ｘ＋２≠０．解得ｘ＝０且ｘ ≠－２．所以当ｘ＝０时，分式 ２ｘｘ＋２的值为零． 故填０． 书 分式的分子与分母都 乘（或除以）同一个不等 于零的整式，分式的值不 变，这是分式的基本性质． 现就有关分式的基本性质 的题型讲解如下，供同学 们参考． 一、分式的变形 例１　不改变分式的 值，将分式 ０．０２ｘ＋０．５ｙ ｘ＋０．００４ｙ中 的分子、分母的系数化为 整数，其结果为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２０ｘ＋５００ｙ１０００ｘ＋４ｙ Ｂ．２０ｘ＋５００ｙ１００ｘ＋４ｙ Ｃ．２ｘ＋５０ｙ１０００ｘ＋４ｙ Ｄ．２ｘ＋５ｙｘ＋４ｙ 分析：利用分式的基 本性质把分式的分子、分 母同乘以１０００即可得解． 解： 原 式 ＝ （０．０２ｘ＋０．５ｙ）×１０００ （ｘ＋０．００４ｙ）×１０００ ＝ ２０ｘ＋５００ｙ １０００ｘ＋４ｙ． 故选Ａ． 例２　分式 － ａ２－３ａ可变形为 （　　） Ａ．－ ａ３ａ－２ Ｂ． ａ ３ａ－２ Ｃ． ａ３ａ＋２ Ｄ．－ ａ ３ａ＋２ 分析：根据分式的基本性质判断即可． 解：－ ａ２－３ａ＝－ ａ －（３ａ－２）＝ ａ ３ａ－２． 故选Ｂ． 二、判断分式的值的情况 例３　如果分式 ｘｙｘ＋ｙ中的ｘ，ｙ都扩大为原来的２ 倍，那么所得分式的值 （　　） Ａ．不变 Ｂ．缩小为原来的 １２ Ｃ．扩大为原来的２倍 Ｄ．无法确定 分析：先根据题意列出算式，再根据分式的基本性 质进行计算即可． 解：ｘ，ｙ都扩大为原来的２倍后的分式为２ｘ·２ｙ２ｘ＋２ｙ＝ ４ｘｙ ２（ｘ＋ｙ）＝ ２ｘｙ ｘ＋ｙ．所以分式的值扩大为原来的２倍． 故选Ｃ． 三、求分式的值 例４　已知ｘ－ｙ＝２ｘｙ（ｘ≠０），则５ｘ－５ｙ－４ｘｙｘ－ｙ 的 值为 （　　） Ａ．－１３ Ｂ．－３ Ｃ．１３ Ｄ．３ 分析：先将分子进行因式分解，然后把 ｘ－ｙ＝ ２ｘｙ（ｘ≠０）整体代入代数式，整理后约分即可得解． 解：因为 ｘ－ｙ＝２ｘｙ（ｘ≠ ０），所以原式 ＝ ５（ｘ－ｙ）－４ｘｙ ｘ－ｙ ＝ １０ｘｙ－４ｘｙ ２ｘｙ ＝ ６ｘｙ ２ｘｙ＝３． 故选Ｄ． 书 分式的学习中经常会存在一些“病毒”，下面就让我 们一起目睹这些“病毒”的真面目吧． 病毒一、对分式的定义理解不透致错 例１　 下列各式：ａ－ｂ２ ， ｘ＋３ ｘ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）， ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ中，不是分式的为 ． 错解：因为 ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ａ＋ｂ ＝ａ－ｂ，ａ－ｂ 是整式，所以不是分式的为： ａ－ｂ ２ ， ３ ４（ｘ ２＋１），ａ ２－ｂ２ ａ＋ｂ． 故填 ａ－ｂ ２ ， ３ ４（ｘ ２＋１），ａ ２－ｂ２ ａ＋ｂ． 剖析：出现错解的原因是对分式的定义理解不透， 分式是一种形式上的定义，不应该在变形或化简之后去 判断，即 ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ是分式； ５＋ｙ π 的分母是π，表示圆周率， 是常数，所以 ５＋ｙ π 不是分式． 正解：填 ａ－ｂ ２ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）． 病毒二、提前约分致错 例２　要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）有意义，ｘ的取值应 该满足 （　　） Ａ．ｘ≠－１ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ≠－１或ｘ≠２ Ｄ．ｘ≠－１且ｘ≠２ 错解：因为 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）＝ １ ｘ＋１，所以要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）有意义，则有ｘ＋１≠０．解得ｘ≠－１． 故选Ａ． 剖析：出现错解的原因是对原分式进行了约分．要 注意，在分式中，分子、分母都乘（或除以）同一个整式， 可能会改变字母的取值范围，在求使分式有意义的字母 的取值范围时，必须根据原分式进行求解，而不能先约 分后再求解． 正解：要使分式 ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）有意义，则有（ｘ＋ １）（ｘ－２）≠０．所以ｘ＋１≠０且ｘ－２≠０．解得 ｘ≠ －１且ｘ≠２． 故选Ｄ． 病毒三、忽略分母不能为０的条件致错 例３　若分式｜ｍ｜－５ｍ－５ 的值为零，则ｍ＝ （　　） Ａ．－５　　　Ｂ．５　　　Ｃ．±５　　　Ｄ．０ 错解：根据题意，得｜ｍ｜－５＝０．解得ｍ＝±５．故选Ｃ． 剖析：错解的原因是只考虑了分式的分子的值为０， 而忽略了分母的值不能为０． 解：根据题意，得｜ｍ｜－５＝０，ｍ－５≠０．解得 ｍ ＝－５． 故选Ａ． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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６．根据分式的基本性质填空： （１）３ａｂａ＋ｂ＝ ６ａ２ｂ （ ） （ａ≠０）； （２） ａ＋ｂ （ａ－ｂ）３ ＝ （ ） （ｂ－ａ）３ ． ７．不改变分式的值，把分式的分子、分母的各项系 数都化成整数： ０．４ａ－１２ｂ １ ５ａ＋０．３ｂ ＝ ． ８．根据以下叙述列式： （１）甲车用ｖ千米 ／时的速度跑完Ａ，Ｂ两地的路程 用了１小时，乙车每小时比甲车慢５千米，乙车跑完Ａ，Ｂ 两地的路程需要多少小时？ （２）某批发商用ａ元 ／个的价格，共花６００元购进 一种畅销商品，然后以每个比进价高５元的价格全部卖 出，批发商共赚多少元？ ３．２分式的约分 １．３ｘｙ ｘ２ｙ３ 约分的结果是 （　　） Ａ．３ ｘｙ２ Ｂ．３ｙ ｘｙ３ Ｃ．ｙ ｘｙ２ Ｄ．ｘ ｘｙ２ ２．给 出 下 列 四 个 分 式：① ８ｂｃ６ｂ； ② ａ２＋ｂ２ ａ＋ｂ； ③４ａ ２－ｂ２ ２ａ－ｂ；④ ａ－ｂ ａ＋ｂ，其中是最简分式的是 （填序号）． ３．约分： （１）２４ａ ２ｂ －４ａｂ； （２）２ａ ２－ａｂ ２ａ２ｂ－ａｂ２ ； （３） ｘ ２－２ｘ＋１ （ｘ２＋１）２－４ｘ２ ． ４．已知ｘ＋ｙ＝６，ｘｙ＝９，求ｘ ２＋３ｘｙ＋２ｙ２ ｘ２ｙ＋２ｘｙ２ 的值． ３．３分式的乘法与除法 ３．３．１分式的乘除运算 １．计算 ａｂ· ｂ ａ２ 的结果为 （　　） Ａ．１ａ Ｂ． １ ｂ Ｃ．ｂａ Ｄ． ａ ｂ ２．关于式子ｘ ２＋２ｘ＋１ ｘ２－１ ÷ ｘｘ－１，下列说法正确的 是 （　　） Ａ．当ｘ＝１时，其值为２ Ｂ．当ｘ＝－１时，其值为０ Ｃ．当 －１＜ｘ＜０时，其值为正数 Ｄ．当ｘ＜－１时，其值为正数 ３．已知一个长方形的面积为４ａ ２－９ｂ２ ２ａｂ ，它的长为 ２ａ＋３ｂ，则这个长方形的宽为 ． ４．计算： （１） ａ ２－１６ ａ２－８ａ＋１６ · ２ａ ａ２＋４ａ ； （２） ｘ ２－９ｙ２ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ÷ｘ－３ｙｘ＋ｙ； （３）ｘ ２－４ ｘ＋２÷（ｘ－２）· １ ｘ－２． ３．３．２分式的乘方运算 １．化简（－３ｙｘ） ２的结果是 （　　） Ａ．３ｙ ２ ｘ２ Ｂ．９ｙ ２ ｘ２ Ｃ．６ｙ ２ ｘ２ Ｄ．－６ｙ ２ ｘ２ ２．若 □ ×（ｙ ２ ｘ） ２ ＝ ｙｘ，则“□”中的式子是 ． ３．计算： （１）（ｘ ２ －２ｙ） ３· ６ｘｙ２ ｘ４ ； （２）８ｘ２ｙ４·（－３ｘ ４ｙ３ ）２÷（－ｘ ２ｙ ２）． （上接第３版） （以下试题供各地根据实际情况选用） 观察下列等式： ３３＋１３ ３３＋２３ ＝３＋１３＋２； ５３＋２３ ５３＋３３ ＝５＋２５＋３； …．你见过这样的“约分”吗？面对这荒谬的“约分”，一 笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么 原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ ，并证明此猜想的正确性（提示：ａ３＋ｂ３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２）） 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 因 为 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＤＡＥ， 所 以 ∠ＢＡＣ － ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＤＡＥ － ∠ＢＡＤ，即 ∠ＤＡＣ ＝ ∠ＥＡＢ． 又因为 ＡＣ＝ＡＢ， ＡＤ＝ＡＥ， 由 ＳＡＳ， 所 以 △ＤＡＣ≌△ＥＡＢ． 所 以 ∠Ｃ ＝ ∠ＥＢＡ． 因为ＥＦ∥ＢＣ， 所 以 ∠ＥＦＢ ＝ ∠ＡＢＣ． 因为ＡＢ＝ＡＣ， 所 以 ∠ＡＢＣ ＝ ∠Ｃ． 所 以 ∠ＥＦＢ ＝ ∠ＥＢＡ． 所以ＥＦ＝ＥＢ． 所以 △ＢＥＦ是等 腰三角形． ２４． （１）△ＡＢＤ， △ＡＣＤ． （２）过点Ａ作ＡＧ∥ ＥＤ交ＢＥ于点Ｇ，图略． 所 以 ∠ＡＧＦ ＝ ∠ＤＥＦ，∠ＥＡＧ ＝ ∠ＣＥＤ，∠ＦＡＧ ＝ ∠ＦＤＥ． 因 为 ＥＤ 平 分 ∠ＢＥＣ， 所 以 ∠ＤＥＦ ＝ ∠ＣＥＤ． 所 以 ∠ＡＧＦ ＝ ∠ＥＡＧ＝∠ＣＥＤ． 所以 ＡＥ ＝ ＥＧ， １８０°－∠ＡＧＦ＝１８０°－ ∠ＣＥＤ，即 ∠ＡＧＢ ＝ ∠ＤＥＡ． 因为ＢＥ＝２ＡＥ， 所以ＡＥ＝ＢＧ． 因为 Ｆ是 ＡＤ的中 点， 所以ＡＦ＝ＤＦ． 在 △ＡＧＦ 与 △ＤＥＦ中， 因 为 ∠ＡＧＦ ＝ ∠ＤＥＦ，∠ＦＡＧ ＝ ∠ＦＤＥ，ＡＦ＝ＤＦ， 由 ＡＡＳ， 所 以 △ＡＧＦ≌△ＤＥＦ． 所以ＡＧ＝ＤＥ． 在△ＡＧＢ与△ＤＥＡ 中， 因为 ＢＧ ＝ ＡＥ， ∠ＡＧＢ＝∠ＤＥＡ，ＡＧ＝ ＤＥ， 由 ＳＡＳ， 所 以 △ＡＧＢ≌△ＤＥＡ． 所以 ＡＢ ＝ ＤＡ， ∠ＡＢＧ ＝ ∠ＤＡＥ， ∠ＢＡＧ＝∠ＡＤＥ． 所 以 ∠ＢＡＦ ＝ ２∠ＡＤＥ． 所 以 △ＡＢＦ 和 △ＡＤＥ是“等边倍角” 三角形． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．在代数式：１ａ， ２ｘｙ π ， ３ａｂｃ ４， ５ ６＋ｘ， ｘ ７＋ ｙ ８，９ｘ＋ １０ ｙ， ｘ２ ｘ中，分式有 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．５个 Ｂ．４个 Ｃ．３个 Ｄ．２个 ２．若分式 １ｘ＋５的值存在，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≠－５ Ｂ．ｘ≠０ Ｃ．ｘ≠５ Ｄ．ｘ＞－５ ３．某呼吸机厂接到一批生产１５０台 呼吸机（如图１）的订单，计划每天生产 呼吸机ａ台，为了尽快完成任务，改进 技术后实际提前２天完成任务，则实际 生产这批呼吸机的天数为 （　　） Ａ．１５０ａ－２ Ｂ． １５０ ａ＋２ Ｃ．１５０ａ －２ Ｄ． １５０ ａ ＋２ ４．若分式 ｘ ２－９ （ｘ－３）（ｘ－１）的值为零，则ｘ的值为 （　　） Ａ．０　 Ｂ．－３ Ｃ．３　 Ｄ．３或 －３ ５．不改变分式０．５ｘ－１０．３ｘ＋２的值，把它的分子和分母中 各项的系数都化为整数，结果为 （　　） Ａ．０．５ｘ－１３ｘ＋２ Ｂ． ５ｘ－１０ ０．３ｘ＋２ Ｃ．５ｘ－１３ｘ＋２ Ｄ． ５ｘ－１０ ３ｘ＋２０ ６．若分式“ｘ－１ ｘ２－○ · ｘ＋２ ｘ ”可以进行约分化简，则 “”不可以是 （　　） Ａ．１ Ｂ．ｘ Ｃ．－ｘ Ｄ．４ ７．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化 简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步 计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图 ２所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是 （　　） Ａ．只有乙 Ｂ．甲和丁 Ｃ．乙和丙 Ｄ．乙和丁 ８．如图３，将面积为１２，长、 宽分别为ａ，ｂ的长方形硬纸片拼 成一个“带孔”的正方形．已知 拼成的大正方形的面积为４９，则 （ａ４－ｂ４）÷ａ ２＋ｂ２ ａｂ ÷（６ａ－６ｂ） 的值为 （　　） Ａ．１４ Ｂ．１２ Ｃ．１０ Ｄ．８ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．化简： ａ ａ２－２ａ ＝ ． １０．对于分式ｘ＋ａ３ｘ＋ｂ，当ｘ＝３时，它的值为０；当ｘ＝ １时，它无意义，则ａ＋ｂ＝ ． １１．若ｍ为非零实数，分式ｘ（ｘ＋２） ｘ２＋ｍ 不是最简分式， 则ｍ＝ ． １２．已知分式ｘ ２－ｙ２ ｘ 乘以一个分式 Ａ后的结果为 －ｘ ２－２ｘｙ＋ｙ２ ｘ２ ，则这个分式Ａ为 ． １３．当ｘ＝ 时，ｘ ２＋１－２ｘ ｘ２－１ · ２ｘ＋２ ｘ２－ｘ 的值是 正整数． １４．已知 ａ，ｂ，ｃ均为非零实数，且满足ａ＋ｂ－ｃｃ ＝ ａ－ｂ＋ｃ ｂ ＝ －ａ＋ｂ＋ｃ ａ ，则 （ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ） ａｂｃ 的值 为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１２分）计算： （１）（ｂ ３ａ２ ）２÷（－ｂ ３ ６ａ）； （２）４ｘ ２－９ ２ｘ－１÷ １ ４ｘ－２· １ ２ｘ－３； （３） ｘ ２－ｙ２ ｘ２＋６ｘｙ＋５ｙ２ ÷ｘ ２－２ｘ－ｙ２＋２ｙ ｘ＋５ｙ ． １６．（８分）先化简，再求值：（ａ＋ｂａ－ｂ） ２· ２ａ－２ｂ ３ａ＋３ｂ÷ ａｂ ａ２－ｂ２ ，其中ａ＝２，ｂ＝－１． １７．（１０分）已知ａｂｃ＝１，不改变分式的值，使分式 １ ａｂ＋ｂ＋１， １ ｂｃ＋ｃ＋１的分母与 １ ａｃ＋ａ＋１的分母相同． １８．（１４分）已知Ａ，Ｂ两地相距ａｋｍ，甲、乙两人分 别从Ａ，Ｂ两地同时匀速出发．若相向而行，则经过ａｍｉｎ 后两人相遇；若同向而行，则经过ｂ（ｂ＞ａ）ｍｉｎ后甲追上 乙． （１）试用含ａ，ｂ的代数式表示甲、乙两人的速度ｖ甲， ｖ乙； （２）若 ｖ甲 ｖ乙 ＝ ７３，求 ａ ｂ的值； （３）若甲从Ａ地到Ｂ地的时间为ｔ１ｍｉｎ，乙的速度变 为原来的２倍，此时乙从Ｂ地到Ａ地的时间为ｔ２ｍｉｎ，求 ｔ１ ｔ２ 的值                                                                                                                                                                 ． !" !" ! ! !" ! #$%"& '()*+,-./ !" #$ %& ! 012345!"#$!%!6 "#$%&'()*+, &!'()'*+(*,- "#-.&'()*+, .!'#)'*+##*' ! ! !"#$ 789:;<=>?@A # . %&'( ! 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