第7期 期中复习(一)（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（青岛版）

书书书 １８． （２０２３ 肇 源 月 考 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １５ ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， △ ＡＢＣ 各 顶 点 的 坐 标 分 别 为 Ａ （４ ，０ ） ，Ｂ （ － １ ，４ ） ，Ｃ （ － ３ ，１ ）． （１ ） 在 图 中 画 出 △ ＡＢＣ 关 于 ｘ 轴 对 称 的 Ａ′Ｂ′Ｃ′，并 写 出 点 Ｂ′，Ｃ′ 的 坐 标 ；（２ ） 在 ｙ 轴 上 画 出 点 Ｐ ，使 △ ＰＢＣ 的 周 长 最 小 ． １９． （ 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １６ ，在 △ ＡＢＣ 中 ，∠ ＡＢＣ 的 平 分 线 与 △ ＡＢＣ 的 外 角 ∠ ＡＣＥ 的 平 分 线 交 于 点 Ｐ ，ＰＤ ⊥ ＡＣ 于 点 Ｄ ，ＰＨ ⊥ ＢＡ 交 ＢＡ 的 延 长 线 于 点 Ｈ ．试 说 明 ：点 Ｐ 在 ∠ Ｈ ＡＣ 的 平 分 线 上 ． ２０． （２０２３ 郑 州 中 原 区 期 中 ， 本 题 满 分 ７ 分 ） 如 图 １７ ， 在 △ ＡＢＣ 中 ， ∠ Ｃ ＝ ９０°，点 Ｐ 在 ＡＣ 边 上 运 动 ，点 Ｄ 在 ＡＢ 边 上 ，ＰＤ 始 终 保 持 与 ＰＡ 相 等 ，ＢＤ 的 垂 直 平 分 线 ＥＦ 交 ＢＣ 于 点 Ｅ ，交 ＡＢ 于 点 Ｆ ，连 接 Ｄ Ｅ．试 判 断 Ｄ Ｅ 与 Ｄ Ｐ 的 位 置 关 系 ，并 说 明 理 由 ． ２１． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １８ ，ＢＤ 是 △ ＡＢＣ 的 角 平 分 线 ，Ｄ Ｅ ∥ ＢＣ ， 交 ＡＢ 于 点 Ｅ． （１ ） 试 说 明 ：∠ ＥＢＤ ＝ ∠ ＥＤ Ｂ ； （２ ） 当 ＡＣ ＝ ＡＢ 时 ，请 判 断 ＣＤ 与 ＥＤ 的 大 小 关 系 ，并 说 明 理 由 ． ２２ ． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 １９ ，已 知 线 段 ＡＢ 的 同 侧 有 两 点 Ｃ ，Ｄ 满 足 ∠ Ｃ ＝ ∠ Ｄ ＝ ６０°，∠ ＡＢＤ ＝ ９０° － １２ ∠ Ｄ ＢＣ．试 说 明 ：ＡＣ ＝ ＡＤ ． ２３． （ 本 题 满 分 １０ 分 ） 如 图 ２０ ， 在 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，∠ Ａ ＝ ２∠ ＡＢＤ ，当 △ ＢＤ Ｃ 是 等 腰 三 角 形 时 ，求 ∠ Ｄ ＢＣ 的 度 数 ． ２４． （２０２３ 黄 石 期 末 ， 本 题 满 分 １０ 分 ） 已 知 △ ＡＢＣ 和 △ Ｄ ＥＦ 为 等 腰 三 角 形 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，Ｄ Ｅ ＝ Ｄ Ｆ ，∠ ＢＡＣ ＝ ∠ ＥＤ Ｆ ，点 Ｅ 在 ＡＢ 边 上 ，点 Ｆ 在 射 线 ＡＣ 上 ． （１ ） 如 图 ２１ － ① ，若 ∠ ＢＡＣ ＝ ６０°，点 Ｆ 与 点 Ｃ 重 合 ，试 说 明 ：ＡＦ ＝ ＡＥ ＋ ＡＤ ； （ ２ ） 如 图 ２１ － ② ，若 ＡＤ ＝ ＡＢ ，试 说 明 ：ＡＦ ＝ ＡＥ ＋ ＢＣ． !"# $ %&!' $ ()*+,-&./01234567 !"# 8 %&!' $ ()9+,-&./01234567 ! " # $ % & ' ! ! " " ( ' # $ % ! ! ! # " ' ! $ # ! ! $ " # $ ! ! ! % # $ ! " ! & ' ! ( # $ ' " # " ( # $ ! ' " ! & ! ! " ) ! ! ( * & ) * ( ! # " + & ) * ( ! + ) + & + ( + * ! & ) * ( + ! + & + ) + * + ( + ! ! 书 【知识回顾】 １．能够 的两个三角形叫做全等三角形． ２．全等三角形的对应边 ，对应角 ． ３．判定三角形全等的方法有： （１） ；（２） ； （３） ；（４） ． 【典型试题】 例１　（２０２３龙游一模） 如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＣＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＡＴ平分 ∠ＢＡＣ交ＣＭ于点Ｄ，交ＢＣ于 点Ｔ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ交ＢＣ 于点Ｅ．试说明：ＣＴ＝ＢＥ． 【解题方法提示】过点Ｔ作ＴＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，根据 “角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等”得到 ＦＴ＝ＣＴ，再根据角平分线的定义和“等角的余角相 等”得到∠ＣＤＴ＝∠ＤＴＣ，从而得到ＣＤ＝ＣＴ，再证明 △ＣＤＥ与△ＴＦＢ全等，然后根据“全等三角形的对应边 相等”得到ＣＥ＝ＴＢ，都减去ＴＥ即可得到ＣＴ＝ＢＥ． 解：如图１，过点Ｔ作ＴＦ⊥ＡＢ于点Ｆ． 所以∠ＴＦＢ＝９０°． 因为ＡＴ平分∠ＢＡＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， 所以ＦＴ＝ＣＴ． 因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＭ⊥ＡＢ， 所以∠ＡＤＭ＋∠ＤＡＭ ＝９０°，∠ＡＴＣ＋∠ＣＡＴ＝ ９０°． 因为ＡＴ平分∠ＢＡＣ， 所以∠ＤＡＭ ＝∠ＣＡＴ． 所以∠ＡＤＭ ＝∠ＡＴＣ． 由对顶角相等，得∠ＡＤＭ ＝∠ＣＤＴ． 所以∠ＣＤＴ＝∠ＤＴＣ． 所以ＣＤ＝ＣＴ． 又因为ＦＴ＝ＣＴ， 所以ＣＤ＝ＦＴ． 因为ＣＭ⊥ＡＢ，ＤＥ∥ＡＢ， 所以∠ＣＤＥ＝９０°，∠Ｂ＝∠ＤＥＣ． 在△ＣＤＥ与△ＴＦＢ中， 因为∠ＤＥＣ＝∠Ｂ，∠ＣＤＥ＝∠ＴＦＢ，ＣＤ＝ＴＦ， 由ＡＡＳ，所以△ＣＤＥ≌△ＴＦＢ． 所以ＣＥ＝ＴＢ． 所以ＣＥ－ＴＥ＝ＴＢ－ＴＥ， 即ＣＴ＝ＢＥ． 【知识回顾】 １．轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对 应点的连线被对称轴 ． ２．在直角坐标系中，点（ａ，ｂ）关于 ｙ轴的对称点是 ，关于ｘ轴的对称点是 ． ３．轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线 为 ，经过 能与图形的另一部分重合的 图形． 【典型试题】 例２　如图２，在平面直角 坐标系中，△ＡＢＣ的三个顶点 的坐标分别为 Ａ（１，３），Ｂ（２， １），Ｃ（５，１）． （１）作△ＡＢＣ关于ｘ轴的 对称图形 △Ａ１Ｂ１Ｃ１，并写出点 Ｂ１的坐标； （２）作出点 Ｂ关于 ｙ轴对称的对称点 Ｂ２，求 △ＡＢ１Ｂ２的面积． 【解题方法提示】（１）分别作出点 Ａ，Ｂ，Ｃ关于 ｘ轴 对称的点，然后顺次连接； （２）作出点Ｂ关于ｙ轴对称的点，利用补形法求出 △ＡＢ１Ｂ２的面积即可． 解：（１）所作图形如图３所示．点Ｂ１的坐标为（２，－１）． （２）所作Ｂ２点如图３所示．Ｂ２点的坐标为（－２，１）， 顺次连接点Ａ，Ｂ１，Ｂ２，则△ＡＢ１Ｂ２的面积为：４×４－ １ ２× ４×２－１２×３×２－ １ ２×４×１＝７． 【知识回顾】 １．（１）角平分线上的点，到这个角的两边的距离 ； （２）角的内部到角的两边距离相等的点在角的 上． ２．（１）线段垂直平分线上的点到线段 的 距离相等； （２）到线段两端 的点在线段的垂直平 分线上． 【典型试题】 例３　（２０２３青县模拟）如图４， 在△ＡＢＣ中，ＢＣ的垂直平分线ＥＦ交 ∠ＡＢＣ的平分线 ＢＤ于点 Ｅ．若 ∠ＢＡＣ ＝ ６０°，∠ＡＣＥ ＝ ２４°，则 ∠ＢＣＥ的大小是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２４° Ｂ．３０° Ｃ．３２° 　　　　　Ｄ．３６° 【解题方法提示】由ＥＦ是 ＢＣ的垂直平分线，得到 ＢＥ＝ＣＥ，根据等腰三角形的性质得到 ∠ＥＢＣ ＝ ∠ＥＣＢ，由 ＢＤ是 ∠ＡＢＣ的平分线，得到 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，最后根据三角形的内角和即可得出结论． 解：因为ＥＦ是ＢＣ的垂直平分线，所以ＢＥ＝ＣＥ． 所以∠ＣＢＥ＝∠ＢＣＥ． 因为ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线， 所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ． 所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝∠ＢＣＥ． 因为∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＡＣＥ＝２４°， 所以∠ＢＣＥ＝１３（１８０°－∠ＢＡＣ－∠ＡＣＥ）＝３２°． 故选Ｃ． 【知识回顾】 １．等腰三角形的性质： （１）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称 轴是底边的 ； （２）等腰三角形的底边上的 、底边上的 及顶角的 重合，它们所在的直线即为 等腰三角形的对称轴； （３）等腰三角形的的两个底角 ． ２．等腰三角形的判定： 有两个角 的三角形是等腰三角形． ３．等边三角形的性质： 等边三角形的各角都等于 ． ４．等边三角形的判定： （１）三个角都 的三角形是等边三角形； （２）有一个内角为 的等腰三角形是等边 三角形． 【典型试题】 例４　（２０２３伊通四模） 如图 ５，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＢＥ⊥ＡＣ 于点Ｄ，且ＤＥ＝ＤＢ，试判断 △ＣＥＢ的形状，并说明理由． 【解题方法提示】因为 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝１２０°，由 ＢＥ⊥ ＡＣ得到 ∠ＣＢＥ＝ ６０°，再由等腰三角形的“三线合一”得到ＢＣ＝ＣＥ，即可 证明△ＣＥＢ是等边三角形． 解：△ＣＥＢ是等边三角形．理由如下： 因为 ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ ＝１２０°，ＢＥ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＣＢＥ＝１２∠ＡＢＣ＝６０°．因为ＤＥ＝ＤＢ，ＢＥ⊥ＡＣ，所 以ＣＢ＝ＣＥ．所以△ＣＥＢ是等边三角形． 书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ； ６．Ａ；　７．Ｄ；　８．Ａ． 二、９．②； １０．（２，－３）； １１．４；　１２．４； １３．２８； １４．９０° 或 １２０° 或 １５０°． 三、１５．图略． １６．∠ＤＢＣ的度数是 ３５°． １７．因为∠ＰＡＢ＝９０° －７５°＝１５°，∠ＰＢＣ＝９０° －６０°＝３０°，所以 ∠Ｐ＝ ∠ＰＢＣ－∠ＰＡＢ＝１５°．所 以ＢＰ＝ＡＢ＝２０×２＝ ４０（海里）． 答：此时小岛Ｐ到Ｂ处 的距离为４０海里． １８．因为ＤＥ垂直平分 ＢＣ，所以 ＢＥ＝ＣＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ．因为 ＢＥ ＝ＡＣ，所以ＣＥ＝ＡＣ．因为 ∠ＡＣＥ＝１２°，所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＥＣ ＝ １２（１８０° － ∠ＡＣＥ）＝８４°．因为∠ＡＥＣ ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ，所以 ∠ＥＢＣ＝４２°．因为ＢＦ平分 ∠ＡＢＣ，所 以 ∠ＥＢＦ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２１°． １９．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ 是ＢＣ边上的中线，所以 ＢＤ＝ＤＣ，ＡＤ⊥ ＢＣ．所以 ∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＦ＝９０°．因 为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＢＥ＋ＢＤ ＝ＣＦ＋ＤＣ，即ＤＥ＝ＤＦ． 在△ＡＤＥ与 △ＡＤＦ中，因 为 ＡＤ ＝ ＡＤ，∠ＡＤＥ ＝ ∠ＡＤＦ，ＤＥ＝ＤＦ，由ＳＡＳ， 所以 △ＡＤＥ≌ △ＡＤＦ．所 以∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＤ，即ＡＤ 平分∠ＥＡＦ． ２０．△ＢＣＥ为等边三 角形．证明如下： 因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ ＝９０°，所以 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＣＢ＝４５°．因为∠ＤＢＣ ＝３０°，所以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ＝１５°．因 为 △ＡＢＤ和 △ＡＢＥ关于 ＡＢ对称，所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＢＤ＝１５°，ＢＥ＝ＢＤ．所 以 ∠ＥＢＣ ＝ ∠ＡＢＥ ＋ ∠ＡＢＣ＝６０°．因为 ＢＤ＝ ＢＣ，所以 ＢＥ＝ＢＣ．所以 △ＢＣＥ为等边三角形． ２１．（１）图略． （２）（－１，－４），（ｍ， －６－ｎ）． （３）存在．找点Ａ关于 ｘ轴对称的点 Ｎ（２，－４）， 连接ＮＢ′，交ｘ轴于点Ｐ，连 接ＡＰ，ＡＢ′，此时△ＰＡＢ′的 周长最小，图略． ２２．（１）因为ＤＥ是ＡＢ 的垂直平分线，所以 ＡＤ＝ ＢＤ，即 △ＡＢＤ是等腰三角 ! " #! !"## " $"% ! !"#$ !"#$%&' !"#$%&'" ()*+,-'. ! ! !"#$%&' #$(), !"#$%&'()*+,-. /01 2. 34()56,-78569 :;<=>?4( )@ABC- ! *+ , - " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " # $ ' ( ! * ./0 &1) 2"3' ' ! "# $ ( , ! ! - + * * ) )&! ( +!+&+)+*+( +* +) +& +! +( ! & ) * ( ! " # ! & * * )&! (+!+&+)+*+( +* +) +& +! +( ! & ) * ( ! " # # ! " ! ! ! " & ! ) + ) ' ! " # $ ! ( *456789: *457;<=>?@AB *457CDEFGHIJ9K LMNOPQR2 OSTUVW XYZ&[\R2]^T./!*+'#'#0.1' & '( UVW ) & '( _`a ) # * +, bcW ) & '( d e ) & '( f g -+./0, b h 12./0, bij *34/5, k - *3467( lmn `op q r stu v w xyz _{| v}i ~ m €u ‚V qƒ„ …ƒ† _V‡ ˆg" ‰Šr ‹ z ŒŽ ` 80-+( q ‘ 809:( ’ u ;<-+( _ “ =>-+, ” • ?@AB, –(— 书 形．因为 ∠Ｃ＝９０°，所以 △ＡＣＤ是直角三角形．所 以ＡＤ是 △ＡＢＣ的一条等 直分割线段． （２）如图，ＡＤ，ＡＥ是 △ＡＢＣ的两条等直分割线 段．所以 ＡＤ＝ＢＤ，∠ＣＡＤ ＝９０°，ＡＥ＝ＣＥ，∠ＢＡＥ＝ ９０°．所以 ∠Ｂ＝∠ＢＡＤ， ∠Ｃ ＝ ∠ＣＡＥ，∠ＢＡＥ － ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ－∠ＤＡＥ， 即 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ．所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ．所以△ＡＢＣ是 等腰三角形． ２３．（１）因为 ＡＤ ＝ ２ＢＤ，Ｓ△ＢＤＣ ＝ ６， 所 以 Ｓ△ＡＣＤ ＝２Ｓ△ＢＣＤ ＝１２．因 为 Ｅ为 ＣＤ的中点，所以 Ｓ△ＡＣＥ ＝ １ ２Ｓ△ＡＣＤ ＝６．因 为ＥＨ⊥ ＡＣ，所以 １２ＡＣ· ＥＨ＝６．又因为ＥＨ＝２，所 以ＡＣ＝６．所以ＡＢ＝ＡＣ＝ ６． （２）延长 ＢＥ至点 Ｇ， 使 ＥＧ＝ＢＥ，连接 ＣＧ，图 略．因为 Ｅ是 ＣＤ的中点， 所以 ＤＥ＝ＣＥ．在 △ＢＥＤ 和 △ＧＥＣ中，因为 ＢＥ＝ ＧＥ，∠ＢＥＤ ＝ ∠ＧＥＣ，ＤＥ ＝ＣＥ，由ＳＡＳ，所以△ＢＥＤ ≌△ＧＥＣ．所以ＢＤ＝ＧＣ， ∠ＤＢＥ＝∠Ｇ．因为∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＥ，所以 ∠ＢＡＣ＝ ∠Ｇ． 因 为 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＣＢＦ， 所 以 ∠ＡＢＥ － ∠ＥＢＦ＝∠ＣＢＦ－∠ＥＢＦ， 即 ∠ＡＢＦ＝∠ＧＢＣ．因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ∠ＡＢＣ＝ ∠ＡＣＢ．因 为 ∠ＢＡＣ ＝ ∠ＣＢＦ， 所 以 ∠ＡＢＦ ＋ ∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＦ＋∠ＣＢＦ， 即 ∠ＢＦＣ＝∠ＡＢＣ．所以 ∠ＢＦＣ＝∠ＡＣＢ．所以 ＢＦ ＝ＢＣ．在△ＡＢＦ和△ＧＢＣ 中，因为 ∠ＢＡＦ ＝∠Ｇ， ∠ＡＢＦ ＝ ∠ＧＢＣ，ＢＦ ＝ ＢＣ，由ＡＡＳ，所以△ＡＢＦ≌ △ＧＢＣ．所以 ＡＦ＝ＧＣ．所 以ＡＦ＝ＢＤ．所以ＢＤ＋ＣＦ ＝ＡＦ＋ＣＦ＝ＡＣ＝ＡＢ． ２４．（１）因为 △ＡＢＣ， △ＣＤＥ都是等边三角形， 所以ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ， ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝６０°．所 以 ∠ＡＣＢ ＋ ∠ＢＣＤ ＝ ∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ．在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，因为 ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＢＣＥ，ＣＤ ＝ ＣＥ，由ＳＡＳ，所以△ＡＣＤ≌ △ＢＣＥ．所以ＡＤ＝ＢＥ． （２）由（１）知 △ＡＣＤ ≌ △ＢＣＥ．所以 ∠ＡＤＣ＝ ∠ＢＥＣ．因为 △ＣＤＥ是等 边三角形，所以 ∠ＣＥＤ＝ ∠ＣＤＥ＝６０°．所以∠ＯＤＥ ＋ ∠ＯＥＤ ＝ ∠ＡＤＣ ＋ ∠ＣＤＥ＋∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＣ ＋６０°＋∠ＢＥＤ＝∠ＣＥＤ＋ ６０°＝１２０°．所以∠ＤＯＥ＝ １８０°－（∠ＯＤＥ＋∠ＯＥＤ） ＝６０°． （３）由（１）知 △ＡＣＤ ≌ △ＢＣＥ．所以 ∠ＣＡＤ＝ ∠ＣＢＥ．因为点 Ｍ，Ｎ分别 是线段 ＡＤ，ＢＥ的中点，所 以 ＡＭ ＝ １２ＡＤ，ＢＮ ＝ １ ２ＢＥ．所以 ＡＭ ＝ＢＮ．在 △ＡＣＭ和 △ＢＣＮ中，因为 ＡＣ ＝ ＢＣ，∠ＣＡＭ ＝ ∠ＣＢＮ，ＡＭ＝ＢＮ，由ＳＡＳ， 所以 △ＡＣＭ≌ △ＢＣＮ．所 以 ＣＭ ＝ ＣＮ，∠ＡＣＭ ＝ ∠ＢＣＮ．所以 ∠ＭＣＮ ＝ ∠ＢＣＮ＋∠ＭＣＢ＝∠ＡＣＭ ＋∠ＭＣＢ＝∠ＡＣＢ＝６０°． 所以 △ＭＮＣ是等边三角 形． ! " # $ % 书 专题一　全等三角形的性质与判定 １．（２０２３海口龙华区期末）如图１，已知点 Ｂ，Ｃ，Ｄ 在同一直线上．若△ＡＢＣ≌△ＣＤＥ，ＡＢ＝９，ＢＤ＝１３， 则ＤＥ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．３．５ Ｃ．４ Ｄ．４．５ ２．（２０２３太原万柏林区期中）如图２，已知 ＡＢ＝ ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝３０°，∠ＢＡＤ＝４６°，则∠ＡＣＤ的度 数是 （　　） Ａ．１２７° Ｂ．１２５° Ｃ．１２０° Ｄ．１０４° ３．（２０２３鞍山花山区二模）如图３，在△ＡＢＣ中，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，２∠Ｃ＝１８０°＋∠Ａ，则下列关 于ＡＢ，ＢＣ的关系描述正确的是 （　　） Ａ．ＡＢ＞２ＢＣ Ｂ．ＡＢ＝２ＢＣ Ｃ．ＡＢ＜２ＢＣ Ｄ．无法判断 ４．（２０２３天津西青区二模）如图４，在平面直角坐 标系中，已知△ＡＢＣ的顶点Ａ（３，０），Ｂ（０，－１），点Ｃ在 第四象限，且ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°，则点Ｃ的坐标是 ． ５．（２０２３靖江月考）如图５－①，已知ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 为∠ＢＡＣ平分线上的一点，连接ＢＤ，ＣＤ；如图５－②，已 知ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ为∠ＢＡＣ平分线上的两点，连接ＢＤ， ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ；如图 ５－③，已知 ＡＢ ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为 ∠ＢＡＣ平分线上的三点，连接 ＢＤ，ＣＤ，ＢＥ，ＣＥ，ＢＦ，ＣＦ； …，依此规律，则第 ｎ个图形中全等三角形的对数是 ． ６．如图６，在△ＡＢＣ中，ＤＧ＝ＤＣ，过点Ｇ作ＦＧ∥ ＢＣ交ＢＤ的延长线于点Ｆ，交ＡＢ于点Ｅ． （１）△ＤＦＧ与△ＤＢＣ全等吗？请说明理由． （２）连接ＤＥ，当∠Ｃ＝９０°，ＤＥ⊥ＢＤ，ＣＤ＝２时， 求点Ｄ到ＡＢ边的距离． 专题二　轴对称与轴对称图形 １．（２０２３佛山南海区一模）“嫦娥”奔月、“祝融”探 火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰…在浩瀚的宇宙中 谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考 虑字符与颜色）是轴对称图形的是 （　　） ２．（２０２３三亚崖州区一模）如图１，如果直线 ｌ是 △ＡＢＣ的对称轴，其中∠Ｂ＝７０°，则∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．２０° Ｃ．１１０° Ｄ．１４０° ３．（２０２３广水期末）如图２，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ４０°，将△ＡＢＣ沿着直线ｌ折叠，点Ｃ落在点Ｄ的位置，则 ∠１－∠２的度数是 （　　） Ａ．４０° Ｂ．８０° Ｃ．９０° Ｄ．１４０° ４．（２０２３成都青羊区模拟）已知点Ａ（ｍ－１，３）与 点Ｂ（２，ｎ－１）关于 ｘ轴对称，则（ｍ＋ｎ）２０２３的值为 ． ５．如图３，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１０，∠ＡＢＣ 的平分线交ＡＣ于点 Ｄ，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＢＤ，ＡＢ上的动点，则ＡＥ＋ＥＦ的最小值 为 ． ６．如图４，将已知四边形分别在格 点图中补成关于已知直线 ｌ，ｍ，ｎ，ｐ为 对称轴的轴对称图形． ７．如图５，点Ｐ是∠ＡＯＢ内任意一点，ＯＰ＝９，Ｍ，Ｎ 分别是射线ＯＡ和ＯＢ上的动点．若△ＰＭＮ周长的最小 值为９，求∠ＡＯＢ的度数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 ５期２版 ２．４线段的垂直平分线 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．１４． ４．图略． ５．设ＰＡ交直线ｌ于点Ｃ，连接ＢＣ，图略．因为直线ｌ是线段 ＡＢ的垂直平分线，所以ＣＡ＝ＣＢ．所以ＰＡ＝ＣＡ＋ＣＰ＝ＣＢ＋ ＣＰ＞ＰＢ． ６．连接ＯＡ，ＯＣ，图略．因为ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直 平分线，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＦＯ＝９０°．在△ＡＢＯ和 △ＣＤＯ中，因为 ＡＢ＝ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，由 ＳＳＳ，所以 △ＡＢＯ≌△ＣＤＯ．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ＝７９°．因为∠ＣＤＢ＝ ３８°，所以∠ＯＤＦ＝∠ＣＤＯ－∠ＣＤＢ＝４１°．所以∠ＤＯＦ＝９０° －∠ＯＤＦ＝４９°． ２．５角平分线的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ；　３．３６． ４．因为ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ，所以∠ＤＰＥ＝∠ＢＡＤ，∠ＤＰＦ ＝∠ＣＡＤ．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ．所以∠ＤＰＥ＝∠ＤＰＦ．所以点Ｄ到ＰＥ和ＰＦ的距离相等． ５．过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＤ于点Ｆ，图略．因为∠Ｂ＝９０°，所以 ＥＢ⊥ＡＢ．因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，所以ＢＥ＝ＦＥ．因为Ｅ是ＢＣ的 中点，所以ＢＥ＝ＣＥ．所以ＣＥ＝ＦＥ．因为∠Ｃ＝９０°，所以ＥＣ ⊥ＣＤ．所以ＤＥ平分∠ＡＤＣ． 能力提高　６．Ａ． ２．６等腰三角形 ２．６．１等腰三角形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．４０°；　４．２；　５．７． ６．因为ＢＣ＝ＤＣ，所以 ∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ．因为∠ＥＢＣ＝ ∠ＥＤＣ，所以∠ＥＢＣ－∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＣ－∠ＣＤＢ，即∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以△ＥＢＤ是等腰三角形． ７．因为 ∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，所以 ∠ＣＡＢ＝∠Ｂ＝ １ ２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝４５°．因为 ＡＣ＝ＡＤ，ＡＥ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＥＡＤ＝ １２∠ＣＡＢ＝２２．５°．因为ＡＥ⊥ＣＤ，ＦＭ⊥ＣＤ，所以 ＡＥ∥ＦＭ．所以∠ＭＦＤ＝∠ＥＡＤ＝２２．５°． ２．６．２等边三角形 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．１３５°；　４．６０°． ５．因为△ＣＡＰ和△ＣＢＱ都是等边三角形，所以∠ＡＣＰ＝ ∠Ｂ＝６０°．因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＢＣＨ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＰ ＝３０°．在△ＢＣＨ中，∠ＢＨＣ＝１８０°－∠ＢＣＨ－∠Ｂ＝９０°．所 以ＢＱ⊥ＣＰ． ６．连接ＡＮ，并延长交ＢＣ于点Ｄ，图略．因为ＡＭ＝ＭＮ，所 以∠ＭＡＮ＝∠ＭＮＡ．因为ＭＮ∥ＡＢ，所以∠ＢＡＮ＝∠ＭＮＡ．所 以∠ＢＡＮ＝∠ＭＡＮ．又因为 ＡＢ＝ＡＣ，所以 ＡＤ⊥ ＢＣ，ＢＤ＝ ＣＤ．所以ＮＢ＝ＮＣ．因为ＮＢ＝ＢＣ，所以ＮＢ＝ＮＣ＝ＢＣ．所以 △ＮＢＣ是等边三角形． ５期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ 二、９．３０°；　１０．１；　１１．７５°；　１２．３２°；　１３．３ｃｍ； １４．５５°或７０°或１００°． 三、１５．（１）（２）图略． １６．因为ＡＤ垂直平分ＢＣ，所以ＢＤ＝ＤＣ，ＡＢ＝ＡＣ．因为 ＡＢ＋ＢＤ＝ＤＥ，所以ＡＣ＋ＤＣ＝ＤＥ．又因为ＤＥ＝ＤＣ＋ＣＥ， 所以ＡＣ＝ＣＥ．所以点Ｃ在线段ＡＥ的垂直平分线上． １７．△ＤＣＥ是等边三角形．理由如下： 因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝６０°． 在△ＡＤＣ和△ＢＥＣ中，因为ＡＣ＝ＢＣ，∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ，ＡＤ＝ ＢＥ，由ＳＡＳ，所以 △ＡＤＣ≌ △ＢＥＣ．所以 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ＝ ６０°，ＤＣ＝ＥＣ．所以△ＤＣＥ是等边三角形． １８．小虎说的正确．理由如下： 因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°．因为ＢＤ＝ＢＣ， 所以∠ＢＣＤ＝∠ＢＤＣ＝ １２（１８０°－∠Ｂ）＝９０°－ １ ２∠Ｂ．因 为ＡＥ＝ＡＣ，所以∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠Ａ）＝９０° －１２∠Ａ．所以 ∠ＤＣＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＣＤＥ＝１８０°－ （９０°－１２∠Ａ）－（９０°－ １ ２∠Ｂ）＝ １ ２（∠Ａ＋∠Ｂ）＝４５°． 所以∠ＤＣＥ的度数是一个定值，与∠Ｂ的度数无关，即小虎说 的正确． 附加题　连接ＡＤ，ＡＭ，图略．因为ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ边 的中点，ＢＣ＝４，所以ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ １２ＢＣ＝２．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２ ×４ＡＤ＝１２．解得ＡＤ＝６．因为ＥＦ是线 段ＡＢ的垂直平分线，所以ＡＭ＝ＢＭ．所以ＢＭ＋ＭＤ的最小值 为ＡＤ．所以△ＢＤＭ周长的最小值为：ＡＤ＋ＢＤ＝８． !" ! !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ !"#$%&'()*+ # , ! $ % ! " # $ ! " # $ ! & ! " # $ ! " ! # ! " # $ ! " # ! " $ % # ! # $ " % & " , - . / ! $ ! " # ' ' ! " # $ $ & ! & ! " # $ % & ! " ( ! " ) * + ! # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! -./ $001"23 ' , - . ! 0 ! 0 ( / 0 ! " # +$ " 45678 ! " # $ & 1 % ! ( 9: 2 ;<=:> -?@ABCD,3 书书书 期 中 综 合 质 量 检 测 卷 （ 一 ） ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １ ２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 选 择 题 （ 共 ２４ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答 案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ２４ 分 ） １． （ ２０ ２３ 深 圳 南 山 区 期 中 ） 下 列 四 个 选 项 中 ，不 是 全 等 图 形 的 是 （ 　 　 ） ２． 点 Ａ（ － ２， ４） 关 于 ｙ 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 （ 　 　 ） Ａ ．（ ２， ４） Ｂ． （ － ２， － ４） Ｃ． （ － ２， ４） Ｄ ．（ ２， － ４） ３． 如 图 １， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ，Ａ Ｄ 平 分 ∠ ＢＡ Ｃ， ∠ ＢＡ Ｄ ＝ ３５ °， 则 ∠ Ｂ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．３ ５° Ｂ． ４５ ° Ｃ． ５０ ° Ｄ ．５ ５° ４． （ ２０ ２３ 重 庆 南 岸 区 期 末 ） 如 图 ２， 若 △ ＡＢ Ｃ ≌ △ ＡＤ Ｅ， 点 Ｄ 在 ＢＣ 边 上 ，则 下 列 结 论 中 不 一 定 成 立 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．Ａ Ｂ ＝ ＡＤ Ｂ． ＡＣ ＝ Ｄ Ｅ Ｃ． ∠ ＡＤ Ｂ ＝ ∠ ＡＤ Ｅ Ｄ ． ∠ ＢＡ Ｄ ＝ ∠ ＣＡ Ｅ ５． 如 图 ３， 甲 、 乙 二 人 同 时 从 Ａ 地 出 发 ， 甲 沿 北 偏 东 ５０ ° 方 向 行 走 ２０ ０ ｍ 后 到 达 Ｂ 地 ，然 后 立 即 向 正 东 方 向 行 走 ２０ ０ ｍ ，二 人 恰 好 在 Ｃ 地 相 遇 ．若 乙 中 途 未 改 变 方 向 ，则 乙 的 行 走 方 向 为 （ 　 　 ） Ａ ．北 偏 东 ３０ ° Ｂ． 北 偏 东 ４０ ° Ｃ． 北 偏 东 ７０ ° Ｄ ．北 偏 东 ７５ ° ６． （ ２０ ２３ 定 远 模 拟 ） 如 图 ４， ＢＤ ＝ ＢＣ ，Ｂ Ｅ ＝ ＣＡ ， ∠ Ｄ ＢＥ ＝ ∠ Ｃ ＝ ６２ °， ∠ ＢＤ Ｅ ＝ ７５ °， 则 ∠ ＡＦ Ｅ 的 度 数 是 （ 　 　 ） Ａ ．１ ４８ ° Ｂ． １４ ０° Ｃ． １３ ５° Ｄ ．１ ２８ ° ７． 如 图 ５， 已 知 线 段 ＡＢ ，分 别 以 点 Ａ， Ｂ 为 圆 心 ，５ 为 半 径 作 弧 相 交 于 点 Ｃ， Ｄ ，连 接 ＣＤ ，点 Ｅ 在 ＣＤ 上 ，连 接 ＣＡ ，Ｃ Ｂ， ＥＡ ，Ｅ Ｂ． 若 △ ＡＢ Ｃ 与 △ ＡＢ Ｅ 的 周 长 之 差 为 ４， 则 ＡＥ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ ．４ ８． （ ２０ ２３ 南 召 期 末 ） 如 图 ６， 在 等 边 △ ＡＢ Ｃ 中 ，点 Ｅ 在 ＢＡ 的 延 长 线 上 ， ＥＦ ∥ ＡＣ ，交 ＢＣ 的 延 长 线 于 点 Ｆ， 点 Ｄ 在 ＢＣ 边 上 ，且 Ｄ Ｅ ＝ ＣＥ ．若 ＡＢ ＝ ４， ＡＥ ＝ ２， 则 ＢＤ ＝ （ 　 　 ） Ａ ．２ Ｂ． ３ Ｃ． １ Ｄ ．４ 非 选 择 题 （ 共 ９６ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） ９． 视 力 表 中 的 字 母 “ Ｅ” 有 各 种 不 同 的 摆 放 形 式 ，如 图 ７， 下 面 每 种 组 合 的 两 个 字 母 “ Ｅ” 不 能 关 于 某 条 直 线 成 轴 对 称 的 是 （ 填 序 号 ） ． １ ０． 已 知 一 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 ２４ ｃｍ ， 底 边 长 是 １０ ｃｍ ， 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 腰 长 是 ． １１ ．如 图 ８， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ｂ Ｄ 是 △ ＡＢ Ｃ 的 角 平 分 线 ．如 果 ＡＢ ＝ ４， ＢＣ ＝ ６， △ ＡＢ Ｄ 的 面 积 为 ６， 则 △ ＡＢ Ｃ 的 面 积 为 ． １２ ．（ ２０ ２３ 抚 远 三 模 ） 如 图 ９， ＡＢ 与 Ｏ Ｍ 相 交 于 点 Ａ， 与 Ｏ Ｎ 相 交 于 点 Ｂ， Ｏ Ｐ ⊥ ＡＢ ， 垂 足 为 点 Ｐ， 添 加 一 个 条 件 ， 使 △ ＡＯ Ｐ ≌ △ ＢＯ Ｐ（ 填 一 个 即 可 ） ． １３ ．如 图 １０ ， △ ＡＢ Ｃ 中 ， ∠ Ａ ＝ ２３ °， ∠ Ｂ ＝ ５７ °， 以 点 Ａ 为 圆 心 ，Ｂ Ｃ 长 为 半 径 作 弧 ； 以 点 Ｂ 为 圆 心 ，Ａ Ｃ 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 Ｄ ， 则 ∠ Ｄ ＢＣ 的 度 数 为 ． １４ ．如 图 １１ ，在 四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ， ∠ ＡＣ Ｂ ＝ ∠ ＢＡ Ｄ ＝ １０ ５° ， ∠ Ｂ ＝ ∠ Ｄ ＝ ４５ °， 则 ＣＤ 与 ＡＢ 的 数 量 关 系 为 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 １０ 个 小 题 ， 共 ７８ 分 ） １５ ．（ 本 题 满 分 ６ 分 ） 请 仅 用 无 刻 度 的 直 尺 完 成 下 列 作 图 ，不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ． （ １） 如 图 １２ － ① ，四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＤ ， ∠ Ｂ ＝ ∠ Ｄ ，画 出 四 边 形 ＡＢ ＣＤ 的 对 称 轴 ｍ ； （ ２） 如 图 １２ － ② ，四 边 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｄ ∥ ＢＣ ， ∠ Ａ ＝ ∠ Ｄ ，画 出 边 ＢＣ 的 垂 直 平 分 线 ｎ． １６ ．（ ２０ ２３ 东 明 二 模 ， 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １３ ，点 Ｅ， Ｄ ，Ｂ ，Ｆ 在 同 一 条 直 线 上 ，Ａ Ｄ ∥ ＣＢ ， ∠ Ｅ ＝ ∠ Ｆ， Ｄ Ｅ ＝ ＢＦ ．试 说 明 ：Ａ Ｅ ＝ ＣＦ ． １７ ．（ 本 题 满 分 ６ 分 ） 如 图 １４ ，已 知 直 线 ｌ是 正 五 边 形 ＡＢ ＣＤ Ｅ 的 对 称 轴 ，且 直 线 ｌ过 点 Ｄ ，与 对 角 线 ＢＥ 相 交 于 点 Ｏ ，求 ∠ ＡＯ Ｅ 的 度 数 ． ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - & . / 0 1 2 3 4 5 6 7 !"#$%&!' ! " # 8 % & ! ' $ ( ) 9 + , - & . / 0 1 2 3 4 5 6 7 $ E F G H I J K , - . / # $ ! " ! $ ! " ( ) # " ! ! & % " # $ ! ( # % & ! $ " ! 0 $ % " ! # ! # ! " # $ ! ' ! ) # $ ! " " # $ ! ! $ $ ! $ * " # ! # ! $ " # ! $ " ! " ! $ & % $ ! " # & ! $ " ! " # $ ! $ 0 ( % ' " ! % # $ ! & ( ! " ) * + ! 1 ";<LMLN "OSTUN "VWXYZQ*"#$+#&'$&#( "[\]^Q_`abcdefghij $"&klm !"l$VWX "opVqr*"***( "dsXt<uvr*"#$!#&'$$&# *"#$!#&'$&"'4wx8 "yzr{|;<dsX^}~5€o‚ƒ„8 "optzuvr$$$)# "…†‡ˆy‰Št‹Œy ";<5€a4d8*Ž‘< "’“”•–…—kr$0****0***$$* "˜“XYZr*"#$!#&'$&## ";<™š›œžŸ ¡¢£¤¥-¦§d¨©gª«¬E­®¯° $$ k3± ²³¢ ´µ¶·:²{|;<dsX^}¸¹