专题01数轴中的动点问题（四大题型突破练） 压轴题常考题型突破分类专练 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题01 数轴中的动点问题（四大题型突破练） 【解题必备知识】 1.数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.有理数和数轴上的点的对应关系 有理数和数轴上的点是一一对应的，就是说任意一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。 3.数轴上点的移动规律 数轴上点的移动规律：“左减右加” （1）数轴上的点向左移动，则数变小（减小）；即当数a表示的点向左移动b个单位长度后到达的点表示的数就为a－b； （2）数轴上的点向右移动，则数变大（增加）；即当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达的点所表示的数就为a+b。 4.数轴上两点之间的距离 如图，数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|b－a|； （1）当a，b的大小已知时，则A与B间的距离就是用较大的数减去较小的数的差，即“大减小（右减左）”； （2）当a，b的大小未知时，则A与B间的距离就是两数差的绝对值，即AB=|b－a|； 5.数轴上两点间中点表示的数 如图，A、B表示的数为a、b，C是AB的中点，则C表示的数x= 6. 绝对值和平方的非负性 几个非负数相加的和为0，则这几个非负数分别为0。数学模块有： 若 |a|+|b|=0 或c2+d2=0 或|a|+c2=0 （|a|≥0 |b|≥0 c2≥0 d2≥0） 则有 a=0， b=0， c=0， d=0 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】数轴上的点的移动规律问题 【题型2】数轴中的求值问题（时间、速度、距离） 【题型3】数轴中的定值问题 【题型4】数轴上的规律和新定义问题 【题型1】数轴上的点的移动规律问题 【例1】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【解答】解：由题可得： = =， 故答案选：B． 【点评】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左减右加”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键． 【变式1-1】点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从点A出发，向右爬了3个单位长度到达点B，则点B表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或1 【答案】C 【分析】平移规律：向右加，向左减；据此即可求解． 【解答】解：设点A表示的数是， 所以， 当时，； 当时，； 所以点B表示的数或7； 故选：C． 【点评】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键． 【变式1-2】如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为17，当点移动到点时，点所对应的数为5，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】9 【分析】由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为4，然后结合图形即可求解． 本题考查了数轴，数形结合是解决本题的关键． 【解答】解：由数轴观察知三根木棒长是， 此木棒长为， ∴点在数轴上表示的数为， 故答案为9． 【变式1-3】如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每向左运动秒就向右运动秒，可得每经过秒就向左移动个单位，根据可得答案．正确得出数轴上动点的运动规律是解题关键． 【解答】解：∵动点每向左运动秒就向右运动秒， ∴每经过秒就向左移动个单位， ∴，即经过个秒后，又向左移动秒， ∴个单位， ∴动点运动到第秒时所对应的数是， 故选：B． 【变式1-4】如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）. A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，先求出圆的周长为，点沿数轴滚动周滚动的路程为圆的周长，分向左和向右两种情况讨论即可解答，理解点沿数轴滚动周滚动的路程为圆的周长是解题的关键． 【解答】解：∵圆的直径为个单位长度， ∴这个圆的周长为， ∵该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动周，点到达点的位置， ∴当圆沿数轴向左滚动一周时，点所表示的数是；当圆沿数轴向右滚动一周时，点所表示的数是，即， 故选：． 【变式1-5】一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【解答】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0 表示的数为-4 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159． 故选A． 【点评】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 【变式1-6】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论： ①； ②； ③； ④； 其中，正确的结论的序号是（ ） A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数字类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．由题意归纳可知，机器人每5秒为一个循环，完成一个前进或后退程序，每次循环的第一个数为循环的次数，即第次循环时，对应的数分别为、、、、，据此逐一判断，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，机器人每5秒为一个循环，完成一个前进或后退程序， 前10秒对应的数为1、2、3、2、1、2、3、4、3、2， ，，①②结论正确； 观察可知，每次循环的第一个数为循环的次数，即第次循环时，对应的数分别为、、、、， ， 秒对应的数为第22次循环第一个数，即， ， 秒对应的数为第21次循环第三个数，即， ，③结论正确； ， 秒对应的数为第406次循环第一个数，即； ， 秒对应的数为第405次循环第三个数，即， ，④结论正确． 故选：D． 【题型2】数轴中的求值问题（时间、速度、距离） 【例2】如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【解答】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【变式2-1】如图，已知，在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【解答】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 【变式2-2】已知数轴上点A表示的数为，点O表示的数为0． （1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为 ； （2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左作匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左作匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度． 【答案】 1或 1或4 【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，分情况求解是解题关键． （1）根据实际情况分两种情况进行求解即可； （2）小乌龟运动t秒的长度为，小白兔运动t秒的长度为，，根据题意分为小白兔在小乌龟的左边时，小白兔在小乌龟的左边时，分别进行求解即可． 【解答】解：（1）点A表示的数为，点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度， 当点B位于点A的右侧时，， 当点B位于点A的左侧时，， 故答案为：1或． （2）小乌龟运动t秒的长度为，小白兔运动t秒的长度为，， ①小乌龟在小白兔的左边时， 当时，小乌龟所在的表示为， 小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， ②小白兔在小乌龟的左边时， 时，小乌龟所在的表示为， 小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度， 时，小乌龟所在的表示为， 小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度， 时，小乌龟所在的表示为， 小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为， 小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， 时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况， 故综上所述，当或分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， 故答案为：1或4． 【变式2-3】如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600. (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 【答案】（1）；（2）120秒；（3）运动73.3或100秒时PQ距离为200. 【分析】(1)根据求数轴上两点之间的距离的方法计算. (2)根据追及问题的计算公式，路程差=速度差时间，直接计算或者列方程解答即可. (3)首先要想到问题P，Q两点的距离为200有两种情况，即P，Q相遇之前和相遇之后，再根据相遇问题的计算公式，路程和=甲运动路程+乙运动路程，路程=速度时间，直接计算或者列方程解答. 【解答】（1）由题意得，，所以点A所对应的数. （2）点 P 与点 Q 运动的路程差为 600，速度差为 5，故， 则120秒后P、Q两点重合. 另解：假设运动 x 秒时 P、Q 重合， 则有.解得 (3)PQ 距离为 200 时有两种情况： 相遇前（Q 在 P 的右边）： 相遇后（P 在Q的右边）： 故运动73.3或100秒时PQ距离为 200. 【点评】本题结合数轴考查了两点之间的距离，还有追及问题和相遇问题，点的运动问题一定要思考清楚其整个运动过程，化动为静，找到其符合题意的时刻，再寻找数量关系解答. 【变式2-4】我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P、Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从B出发以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发．小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决问题，小航同学设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足，且k为最大的负整数，． (1)则________，________． (2)如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位． (3)当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得，若存在求出t值，并求出点C所表示的数． 【答案】(1)；12 (2)4或 (3)t的值为2或14，点C所表示的数为10或70 【分析】（1）根据题意可求出k的值，进而求出a、b的值； （2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位，根据P、Q相遇之前以及相遇之后进行讨论列出方程，解方程即可； （3）根据题意分为当C还未追上Q和C追上Q后两种情况进行讨论，进而列出方程，解方程即可． 【解答】（1）解：∵k为最大的负整数 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为：；12． （2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位． 当P、Q两点相遇时， 根据题意，得 解得， P、Q相遇前 由题意，得 解得， ②P、Q相遇后 由题意，得 解得， 综上所述，当P、Q相向运动时，经过4或秒钟P、Q之间距离为4个单位 （3）由（1）可知A、B两点对应的数分别是、12 根据题意，可得P、Q、C三点对应的数分别是、、 当C追上Q时， 根据题意，可得 解得， ①C还未追上Q ∵ ∴ 解得， ∴ 即点C所表示的数为10． ②C追上Q后 ∵ ∴ 解得， ∴ 即点C所表示的数为70． 综上所述，t的值为2或14，点C所表示的数为10或70． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离以及分类讨论的思想是解题的关键． 【变式2-5】如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB． （1）a= ，b= ． （2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ=4； ②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数． 【答案】（1）﹣8；4；（2）①t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；②点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16． 【分析】（1）由AO=2OB可知，将12平均分为3份，其中AO占两份为8，BO占一份为4，同时注意A点在原点左侧，B点在原点右侧； （2）①先确定停止运动的时间，再分点P在原点左侧和右侧两种情况讨论；②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式2t-t=8求解即可. 【解答】（1）∵AB=12，AO=2OB， ∴AO=8，OB=4， ∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4， ∴a=﹣8，b=4． 故答案是：﹣8；4； （2）①当点P与点Q重合时，如图， 2t=12+t，t=12， 则，当0＜t＜4时，如图， AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t， ∵2OP﹣OQ=4， ∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4， t==1.6， 当4＜t＜12时，如图， OP=2t﹣8，OQ=4+t， 则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，解得t=8， 综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4； ②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，如图， 设点M运动的时间为t秒， 由题意得：2t﹣t=8，解得t=8， 此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16， ∴点M行驶的总路程为：3×8=24， 答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16． 【点评】本题考查了数轴上的动点问题，注意多种情况的分类讨论. 【变式2-6】综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 【答案】(1)，6； (2)动点从点运动至点需要19秒； (3)两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)存在，11． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】（1）点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是． 故答案为：，6； （2）点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）存在， 由题意可得：， 解得：， 答：的值为11 【题型3】数轴中的定值问题 【例3】如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒， (1)直接写____ ，____ ， (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时使得？ (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10， (2)①9②7或11 (3)存在常数使得的值为定值 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的非负性： （1）根据绝对值的非负性可得到结果； （2）先分别用t表示出点P和点Q，①根据距离相等可列得等式；②根据距离为4也可求得结果； （3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出，然后化简，根据是定值可求得结果； 用t表示出点所代表的数是解题的关键． 【解答】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：10，； （2）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为， 点P表示的数为， ①由题意可得， 解得：， ∴点P运动9秒时追上点Q； ②由题可得：， 即， 解得：， ∴点P运动7秒或者11秒时使得； （3）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为， 点P表示的数为， 点R表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值为定值，∴， 解得：， ∴存在常数使得的值为定值． 【变式3-1】 已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 (单位长度)，慢车长 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式的二次项系数和常数项.    （1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度? （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度? （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值(即为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由. 【答案】（1）24个单位长度 （2）2秒或4秒 （3）正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度 【分析】（1）根据题意，得到的值，再利用数轴上两点之间的距离公式，即可解答； （2）分类讨论，即相遇之前，相距8个单位；相遇之后，相距8个单位，分情况讨论即可解答； （3）根据，在之间时，是一个定值，求出这个定值和此时的时间即可。 【解答】（1）解：由题可知：      所以此刻快车头与慢车头之间的相距 （单位长度） 答：快车头与慢车头之间的相距个单位长度 （2）解：本题有两种可能， 第一种，相遇之前，相距8个单位 则列出算式：           第二种，相遇之后，相距8个单位 则列出算式： 答：在行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位 （3）解：正确，理由如下： 因为人坐在快车上，所以， 单位长度 当在之间时，（单位长度），此时                    此时，单位长度 答：正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度 【变式3-2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．    【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，，点A对应的数是40． 【综合运用】 (1)点B表示的数是 ． (2)若，则点C到原点的距离为 ． (3)如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度； (4)如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，m（）个单位长度秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点．若的值为定值，请求出m的值． 【答案】(1)； (2)100； (3)9个单位长度/秒； (4) 【分析】（1）根据，点A对应的数是40，即可得出点B对应的数； （2）根据，，得出，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数； （3）设点R速度为x个单位长度/秒，则P的速度为个单位长度/秒，Q的速度为个单位长度/秒；根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出x，即可得动点Q的速度； （4）设运动时间为t秒，分别表示出，及的值；由的值为定值即可求出m的值． 【解答】（1）∵，点A对应的数是40， ∴点B对应的数为：； 故答案为； （2）， ， ， ， ， ∵点A对应的数是40， ∴点C对应的数为； ∴C到原点的距离为100； 故答案为100； （3）（3）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则P的速度为个单位长度/秒，Q的速度为个单位长度/秒；    则5秒后，R对应的数为，    P对应的数为，   Q对应的数为， ， ∴或， ， ， 或， 解得：（不合题意，故舍去）或， ∴动点Q的速度是个单位长度/秒； （4）（4）如图3，设运动时间为t秒    P对应的数为， T对应的数为， R对应的数为， ， M对应的数为， N对应的数为， ， ， 的值是定值， ， ． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，能根据题意用代数式表示出每一个动点的值是解题的关键． 【变式3-3】如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．    （1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1），，4 （2）①或 ②不会随着t的变化而改变，为定值0 【分析】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可； （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案； ②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论． 【解答】 （1）解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4； 故答案为：，，4 （2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，   ∴， ∵， ∴， ∴或， ②不会随着t的变化而改变，理由如下： 由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是， ∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等， ∴点M表示的数是，   ∵， ∴， 即为定值． 【变式3-4】阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． （1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： （2）点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； （3）若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____ ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1）见解答 （2）6；或3 （3） （4）不会，的值恒为3 【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形； （2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【解答】（1）A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， A、B、C三点的位置如图所示： （2）（cm）； 设D表示的数为a， ， ，解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：6；或3； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： （4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 【变式3-5】若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． （1） ； ；线段的长 ； （2）点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； （3）在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1），，；（2）存在，点对应的数是或；（3）的值不随着时间的变化而变化，值为 【分析】（1）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （2）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （3）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【解答】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴ ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【变式3-6】预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 【答案】(1)，1，7 (2)点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， (3)9 【分析】（1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值； （2）根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数，得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值． （3）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解． 【解答】（1）解：∵数是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，7； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴t秒中后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∵的值保持不变， ∴的值与t无关，即， 解得：； （3）解：∵， ∴表示点Q和的距离， ∵表示点Q和7的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， 此时． 【点评】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法． 【题型4】数轴上的规律和新定义问题 【例4】数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)40或或 【分析】（1）根据题意求得与的关系，得出答案； （2）分点P为A、B的中点关联点，A为P、B的中点关联点，B为A、P的中点关联点列式解答即可． 【解答】（1）解：因为点A表示数，点表示数1，且点是点与点的中点， 所以， 所以点表示的数为； （2）解：分三种情况： ①若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ②若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ③若点是点，的“中点”则点表示的数是：． 故点表示的数为40或或． 【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离，理解新定义，分类讨论是解题关键． 【变式4-1】数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”． 图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ; 图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数. 图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【解答】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点评】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 【变式4-2】如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（   ）    A． B．505 C． D．506 【答案】B 【分析】由题意知，，由表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…，可推导一般性规律：表示的数为，则表示的数为1010，根据，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，， ∵表示的数为2，表示的数为4，表示的数为6，…， ∴可推导一般性规律：表示的数为， ∴表示的数为1010， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴上点的规律探究．解题的关键在于推导一般性规律． 【变式4-3】如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ． 【答案】7082 【分析】本题考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键． 根据长方形的周长及的长求出、的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，再计算，最后计算点所对应的数． 【解答】解：∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵点对应的数为， ∴点对应的数为5， 翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为 翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为 翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为 翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为19； ∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2， ∴， ∴翻滚2022次有1011个周期， ∴， ∴点所对应的数为， 故答案为：7082． 【变式4-4】点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】（）根据伴随点的定义，求出，进而得出点的值； （）根据伴随点的定义，列出关于点的方程 ，代入即可求的得值； （）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于的方程，求出值即可； 本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键． 【解答】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴点表示的数是 ∴点关于原点的伴随点表示的数是； （2）解：根据题意得，， 即， 根据数轴有， ∴可化为，， 解得； （3）解：根据题意得：点秒后的位置为，点秒后的位置为，点表示的数是， 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即 ， ∵， ∴， 解得不合，舍去， 故点关于点的伴随点是点不存在； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得； 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 当点关于点的伴随点是点时有， 即， 即， ∵， ∴， 解得， 故点关于点的伴随点是点，； 综上：或或． 【变式4-5】我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【解答】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点评】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 【变式4-6】在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段． 已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【解答】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段），解得：，∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间，∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点评】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴中的动点问题（四大题型突破练） 【解题必备知识】 1.数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.有理数和数轴上的点的对应关系 有理数和数轴上的点是一一对应的，就是说任意一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。 3.数轴上点的移动规律 数轴上点的移动规律：“左减右加” （1）数轴上的点向左移动，则数变小（减小）；即当数a表示的点向左移动b个单位长度后到达的点表示的数就为a－b； （2）数轴上的点向右移动，则数变大（增加）；即当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达的点所表示的数就为a+b。 4.数轴上两点之间的距离 如图，数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|b－a|； （1）当a，b的大小已知时，则A与B间的距离就是用较大的数减去较小的数的差，即“大减小（右减左）”； （2）当a，b的大小未知时，则A与B间的距离就是两数差的绝对值，即AB=|b－a|； 5.数轴上两点间中点表示的数 如图，A、B表示的数为a、b，C是AB的中点，则C表示的数x= 6. 绝对值和平方的非负性 几个非负数相加的和为0，则这几个非负数分别为0。数学模块有： 若 |a|+|b|=0 或c2+d2=0 或|a|+c2=0 （|a|≥0 |b|≥0 c2≥0 d2≥0） 则有 a=0， b=0， c=0， d=0 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】数轴上的点的移动规律问题 【题型2】数轴中的求值问题（时间、速度、距离） 【题型3】数轴中的定值问题 【题型4】数轴上的规律和新定义问题 【题型1】数轴上的点的移动规律问题 【例1】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从点A出发，向右爬了3个单位长度到达点B，则点B表示的数是（   ） A． B．7 C．或7 D．或1 【变式1-2】如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在点．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为17，当点移动到点时，点所对应的数为5，则点在数轴上表示的数为 ． 【变式1-3】如图，一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）. A． B． C．或 D．或 【变式1-5】一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【变式1-6】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论： ①； ②； ③； ④； 其中，正确的结论的序号是（ ） A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④ 【题型2】数轴中的求值问题（时间、速度、距离） 【例2】如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【变式2-1】如图，已知，在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】已知数轴上点A表示的数为，点O表示的数为0． （1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为 ； （2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左作匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左作匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度． 【变式2-3】如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是，且点 B 到点A、C的距离均为600. (1)写出点A所对应的数； (2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合； (3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200. 【变式2-4】我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P、Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从B出发以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发．小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决问题，小航同学设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足，且k为最大的负整数，． (1)则________，________． (2)如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位． (3)当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得，若存在求出t值，并求出点C所表示的数． 【变式2-5】如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的一点，且OA=2OB． （1）a= ，b= ． （2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动． ①当t为何值时，2OP﹣OQ=4； ②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数． 【变式2-6】综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 【题型3】数轴中的定值问题 【例3】如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为（）秒， (1)直接写____ ，____ ， (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， ①问点P运动多少秒时追上点Q？ ②问点P运动多少秒时使得？ (3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】 已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 (单位长度)，慢车长 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式的二次项系数和常数项.    （1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度? （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距8个单位长度? （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值(即为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由. 【变式3-2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．    【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，，点A对应的数是40． 【综合运用】 (1)点B表示的数是 ． (2)若，则点C到原点的距离为 ． (3)如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度； (4)如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，m（）个单位长度秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点．若的值为定值，请求出m的值． 【变式3-3】如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．    （1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ； （2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒； ① 当时，求t的值； ② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【变式3-4】阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． （1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： （2）点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； （3）若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____ ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【变式3-5】若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． （1） ； ；线段的长 ； （2）点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； （3）在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【变式3-6】预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示 如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．    (1) ， ， ； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值． (3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值． 【题型4】数轴上的规律和新定义问题 【例4】数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 【变式4-1】数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”． 图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ; 图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数. 图3 【变式4-2】如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上，向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则的面积是（   ）    A． B．505 C． D．506 【变式4-3】如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 ． 【变式4-4】点在同一条直线上，点在线段的延长线上，如果，那么我们把点叫做点关于点的伴随点． (1)如图，在数轴上，点表示的数是，点关于原点的伴随点表示的数是_________； (2)在（）的条件下，点表示的数是，若点关于点的伴随点是点，求的值； (3)如图，数轴上的三个点分别表示的数是．有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点运动至点处时，两动点同时停止运动．设动点的运动时间为秒，在运动过程中，若三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出的值． 【变式4-5】我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【变式4-6】在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段． 已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 学科网（北京）股份有限公司 $$