第01讲 圆的确定（九大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪教版）

第01讲 圆的确定（九大题型） 学习目标 1、 了解圆的定义及有关概念； 2、 掌握点与圆的位置关系； 3、会画圆，解圆的有关概念的几何应用． 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 考点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 【即学即练1】下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【即学即练2】下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【即学即练3】已知的半径为2，点P与在同一平面内，，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【即学即练4】如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【即学即练5】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 题型1：圆的基本概念 【典例1】．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】．下列说法正确的是（    ） A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆包括直径 D．弧是半圆 【典例3】．圆有（　　）条对称轴． A．0 B．1 C．2 D．无数 【典例4】．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 题型2：圆内最长弦问题 【典例5】．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【典例6】．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【典例7】．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【典例8】．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）   A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 题型3：圆中弦的条数问题 【典例9】．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【典例10】．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 题型4：圆的周长和面积 【典例11】．若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（　　　） A． B． C． D． 【典例12】．车轮转动一周所行的路程是车轮的（    ）． A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【典例13】．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型5：点与圆的位置关系 【典例14】．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【典例15】．在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【典例16】．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型6：确定圆的条件 【典例17】．下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【典例18】．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【典例19】．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【典例20】．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 题型7：与圆的基本概念有关的综合题 【典例21】．下列说法正确的是（    ） A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍 D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上 【典例22】．小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 题型8：圆的基本概念的几何应用 【典例23】．如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【典例24】．如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （   ） ① 和 都是劣弧； ②是 中最长的弦； ③，， 三点能确定一个圆； ④ 的半径为 ． A． B． C． D． 【典例25】．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 题型9：作图题 【典例26】．已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 【典例27】．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【典例28】．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【典例29】．在下面的正方形中画一个最大的圆形，请用字母标明圆的圆心、半径，再在所画的圆形中画一个最大的正方形． 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧． A． B． C． D． 3．已知是的弦，的半径为r，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧 5．下列说法，其中正确的有（    ） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（    ） A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5 9．周长是的圆，面积是（　　）平方厘米． A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26 10．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 二、填空题 11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 ，以点A为一个端点的优弧有 ． 12．以为半径可以画 个圆；以点为圆心可以画 个圆；以点为圆心，以为半径可以画 个圆． 13．如图，在中，半径有 ，直径有 ，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 14．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长 ． 15．判断： （1）直径是弦，弦是直径( ) （2）半圆是圆弧( ) （3）长度相等的弧是等弧( ) （4）能够重合的弧是等弧( ) （5）圆弧分为优弧和劣弧( ) （6）优弧一定大于劣弧 ( ) （7）半径相等的圆是等圆 ( ) 16．已知的半径为，如果点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 （选填“圆内”、“圆外”、或“圆上”）． 17． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是 ． 18．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中 ． 三、解答题 19．如图，已知是的弦，点C是圆上一点，请用尺规作图法作．（不写作法，保留作图痕迹） 20．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 21．如图，半径交于点D，若，，求的半径． 22．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，求的度数． 23．如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于点E，OE＝DE，∠BOD＝α，求∠AOC（用含α的式子表示）． 24．如图，点在以坐标原点为圆心、为半径的圆上，若，都是整数，请探究这样的点一共有多少个？写出这些点的坐标． 25．如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 26．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 27．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点． (1)如图1，若r为1． ①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是 　 　； ②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围； (2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 圆的确定（九大题型） 学习目标 1、 了解圆的定义及有关概念； 2、 掌握点与圆的位置关系； 3、会画圆，解圆的有关概念的几何应用． 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 考点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 【即学即练1】下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【答案】A 【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意； B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】C 【分析】此题考查了圆的轴对称性质和圆的旋转不变性，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解． 【解析】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，正确； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确； C、当圆绕它的圆心旋转时，会与原来的圆重合，错误； D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确． 故选：C． 【即学即练3】已知的半径为2，点P与在同一平面内，，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键，即点在圆外，点在圆上，点在圆内． 根据点到圆心的距离与半径的关系进行判断即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴点P在外． 故选：C． 【即学即练4】如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【解析】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【即学即练5】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解析】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 题型1：圆的基本概念 【典例1】．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键． 【典例2】．下列说法正确的是（    ） A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆包括直径 D．弧是半圆 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念进行分析，即可解答． 【解析】解：直径是弦，但弦不一定是直径，半圆不包括直径，弧不一定是半圆， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念——弦和弧的概念，半圆与弧的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典例3】．圆有（　　）条对称轴． A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】D 【分析】根据圆的基本特征即可直接得出答案． 【解析】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条， 所以，圆有无数条对称轴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的基本特征，掌握圆是轴对称图形是关键． 【典例4】．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【解析】圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键． 题型2：圆内最长弦问题 【典例5】．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【解析】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 【典例6】．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长． 【解析】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm， ∴⊙O的半径为4cm． 故选：B. 【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键． 【典例7】．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【解析】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条. 故选：A. 【典例8】．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）   A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 【答案】D 【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为cm. 故选D. 题型3：圆中弦的条数问题 【典例9】．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【解析】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 【典例10】．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解析】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 题型4：圆的周长和面积 【典例11】．若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式解答． 【解析】解：根据题意，得：S=π（r-8）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是掌握圆的面积公式：S=πR2（R是半径）． 【典例12】．车轮转动一周所行的路程是车轮的（    ）． A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】C 【分析】根据车轮的形状是圆可直接得出结果． 【解析】车轮转动一周所行路程是求车轮的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的认识，能够知道车轮的形状是圆是解决本题的关键． 【典例13】．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式可以得到解答 ． 【解析】解：由题意可得： 外圆周长=，内圆周长=， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周长的计算公式是解题关键． 题型5：点与圆的位置关系 【典例14】．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据的半径为，点P到圆心O的距离为，即可判定点P和的位置关系． 【解析】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断点与圆的位置关系，熟练掌握和运用判断点与圆的位置关系的方法是解决本题的关键． 【典例15】．在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】由点在以为圆心，2为半径的圆内知，据此可得答案． 【解析】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内， ∴， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 【典例16】．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系即可判断得到答案． 【解析】解：由题意可得， ，， ∴ ， ∴点A在圆上，B在圆外，C在园内，D是圆心， 故选B． 【点睛】本题考查矩形性质及点与圆的位置关系：在圆上，在园内，在圆外． 题型6：确定圆的条件 【典例17】．下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．三个点确定一个圆 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据三角形外心的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断． 【解析】解：、能够完全重合的弧叫等弧，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项错误，不符合题意； 、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，所以选项错误，不符合题意； 、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，三角形的外心，等弧的定义，解题的关键是掌握圆可以看做是所有到定点的距离等于定长的点的集合，掌握与圆有关的概念． 【典例18】．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【解析】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【典例19】．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【解析】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 【典例20】．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【解析】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 题型7：与圆的基本概念有关的综合题 【典例21】．下列说法正确的是（    ） A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍 D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上 【答案】D 【分析】根据圆的相关概念解答即可. 【解析】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条,故该选项不符合题意； B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意； C.如果的周长是周长的4倍,那么的面积是面积的16倍,故该选项不符合题意； D.已知的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在上，故该选项符合题意. 故选：D . 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键. 【典例22】．小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【解析】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 题型8：圆的基本概念的几何应用 【典例23】．如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【典例24】．如图，在 中，，，， 是 的外接圆，则下列说法正确的个数是 （   ） ① 和 都是劣弧； ②是 中最长的弦； ③，， 三点能确定一个圆； ④ 的半径为 ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的知识．根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可． 【解析】① 和 都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确； ②，是 的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确； ③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误； ④ ，，，， 的半径为 ，故④正确． 故选: C． 【典例25】．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【解析】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 题型9：作图题 【典例26】．已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 【答案】作图见解析，这样的圆能作1个或2个 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握五种基本作图方法，分，当，三种情况，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交的垂直平分线于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【解析】解：当时，则为的弦，如图所示，为所求： 故这样的圆能作2个； 当时，则为的直径，如图所示，为所求： 故这样的圆能作1个； 当时，点，不能同时在上； 则不能作出这样的； 综上，这样的圆能作1个或2个． 【典例27】．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【答案】见解析 【分析】本题考查基本作图，首先作出的角平分线，再作出的垂直平分线，两线的交点就是圆心，再以为圆心，长为半径画圆即可．掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键． 【解析】解：如图所示： 【典例28】．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】r3 ＜r2 ＜r1 【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可. 【解析】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径 ∴r3＜r2＜r1 故答案为：r3＜r2＜r1 【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键. 【典例29】．在下面的正方形中画一个最大的圆形，请用字母标明圆的圆心、半径，再在所画的圆形中画一个最大的正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形和圆的中心对称性，正方形对角线交点即为圆心，圆心到正方形边垂线段长即为最大圆半径，顺次连接圆与对角线的四个交点即为圆内最大正方形． 【解析】记正方形为， 连接对角线，交于点O， 分别以A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点N， 作射线交于点M，记， 以O为圆心，以r为半径画圆，即为正方形中最大的圆， 顺次连接与对角线的四个交点，即得中最大的正方形，如图． 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 【答案】C 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【解析】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意； D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆和弦的定义进行判断即可． 【解析】半圆是弧，故①错误，②正确； 弧不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的线段叫做弦，故④错误． ∴正确的有1个． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的认识．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键． 3．已知是的弦，的半径为r，下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“直径是最长的弦”进行解答即可． 【解析】解：若是的直径时，， 若AB不是的直径时，无法判定AB与的大小关系． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握“直径是圆中最长的弦” ． 4．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧 【答案】D 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意； B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意； C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意； D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大． 5．下列说法，其中正确的有（    ） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关概念进项分析即可． 【解析】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误； ②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确； ③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误； ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键． 6．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可． 【解析】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上， ∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键． 7．如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】利用最长距离减去最短距离即得圆的直径,从而得出圆的半径． 【解析】∵P为圆外一点，点P到圆的最短距离为3，最长距离为9， ∴圆的直径为：9−3=6， ∴圆的半径为3， 故选C. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系. 8．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（    ） A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5 【答案】C 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【解析】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外， ∴OA小于r，OB大于r， ∵OA＝3，OB＝5， ∴3＜r＜5． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 9．周长是的圆，面积是（　　）平方厘米． A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26 【答案】D 【分析】根据圆的周长公式，，得出，将周长18.84厘米代入，由此即可求出圆的半径，根据圆的面积公式，，将半径代入，即可求出圆的面积． 此题主要考查了圆的周长公式的灵活应用与圆的面积公式的实际应用．熟练掌握圆的周长公式和面积公式是解题的关键． 【解析】解：（厘米）， （平方厘米） 故选：D． 10．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【解析】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 二、填空题 11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 ，以点A为一个端点的优弧有 ． 【答案】 【分析】根据小于半圆的弧为劣弧，大于半圆的弧为优弧即可求解． 【解析】解：点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有， 以点A为一个端点的优弧有， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握优弧与劣弧的定义是解题的关键． 12．以为半径可以画 个圆；以点为圆心可以画 个圆；以点为圆心，以为半径可以画 个圆． 【答案】 无数 无数 1 【分析】根据圆的概念和性质分析即可． 【解析】以为半径，没有确定圆心，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，没有确定半径，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，以为半径可以画1个圆． 故答案为：无数，无数，1 【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握圆的基本概念是解题的关键． 13．如图，在中，半径有 ，直径有 ，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 【答案】 ，，， ， ，，，， ，，，， 【分析】根据圆的基本概念，即可求解． 【解析】解：在中，半径有，，，；直径有；弦有，；劣弧有，，，，；优弧有，，，，； 故答案为：，，，；；，；，，，，；，，，，． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键． 14．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长 ． 【答案】5 【分析】由ОA=OB，△OAB为等边三角形，即可求解． 【解析】解：如图， ∵OA=OB=5，∠AOB=60°， ∴△OAB为等边三角形， ∴AB=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同圆或等圆的半径相等是解题的关键． 15．判断： （1）直径是弦，弦是直径( ) （2）半圆是圆弧( ) （3）长度相等的弧是等弧( ) （4）能够重合的弧是等弧( ) （5）圆弧分为优弧和劣弧( ) （6）优弧一定大于劣弧 ( ) （7）半径相等的圆是等圆 ( ) 【答案】 × √ × × × × √ 【分析】根据直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念进行分析. 【解析】（1）直径是弦，弦不一定是是直径，故错误； （2）半圆是圆弧，正确； （3）能完全重合的弧是等弧，故错误； （4）能够完全重合的弧是等弧，故错误； （5）圆弧分为优弧和劣弧和半圆，故错误； （6）同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故错误； （7）半径相等的圆是等圆，正确. 故答案为(1). ×    (2). √    (3). ×    (4). ×    (5). ×    (6). ×    (7). √ 【点睛】本题考核知识点：直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念. 解题关键点：理解直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念. 16．已知的半径为，如果点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 （选填“圆内”、“圆外”、或“圆上”）． 【答案】圆外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外；点在园内，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：， 点与的位置关系是点在圆外， 故答案为：圆外． 17． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解． 【解析】解：∵的半径为3， ∴的直径为6， ∴的最长弦为6， ∵ ，是上两个不同的点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键． 18．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，圆的知识，根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令即可求得点的坐标，从而可求出的长，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标． 【解析】解：∵，是半圆的直径， ∴点坐标为，点坐标为， 将点坐标代入抛物线的解析式， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点坐标为， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，已知是的弦，点C是圆上一点，请用尺规作图法作．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径作圆． 【解析】解：如图： ⊙O即为所求． 【点睛】本题考查了作图，确定圆心是解题的关键． 20．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【解析】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 21．如图，半径交于点D，若，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，连接，根据题意可得，设，则，根据勾股定理可得，求解即可． 【解析】解：如图，连接， 可知． 设，则， ， ． 即的半径为． 22．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆相关概念的认识，等腰三角形的性质及三角形外角性质．根据，由是半径，把半径连起来，可得和都是等腰三角形，再根据三角形外角的性质即可求解． 【解析】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．如图，AB是⊙O直径，弦CD交AB于点E，OE＝DE，∠BOD＝α，求∠AOC（用含α的式子表示）． 【答案】∠AOC=3α 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠D=∠BOD=α，利用三角形外角性质得到∠CEO=2α，由于OC=OD，则∠C=∠D=α，然后根据三角形外角性质得到∠AOC=3α． 【解析】解：∵OE=DE， ∴∠D=∠BOD=α， ∵∠CEO=∠D+∠BOD， ∴∠CEO=2α， ∵OC=OD， ∴∠C=∠D=α， ∵∠AOC=∠C+∠CEO， ∴∠AOC=3α． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系． 24．如图，点在以坐标原点为圆心、为半径的圆上，若，都是整数，请探究这样的点一共有多少个？写出这些点的坐标． 【答案】这样的点有个，，，，，，，，，，，， 【分析】先为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由，可知在每个象限有两个，总共个，即可得出答案． 【解析】解：分为两种情况： ①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是，，，； ②若这个点在象限内， ∵，而都是整数点， ∴这样的点有8个，分别是，，，，，，，， ∴这些点的坐标共有个． 【点睛】主要考查坐标与图形性质；勾股定理；圆的认识，掌握勾股定理，圆的性质是解题的关键． 25．如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等． 【解析】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 26．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【解析】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 27．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点． (1)如图1，若r为1． ①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是 　 　； ②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围； (2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围． 【答案】(1)① ；②或 (2) 【分析】（1）由⊙O友好点的定义可判段出结果；点P应在半径为的圆环内． （2）根据定义可列出不等式组，解出可得到结果． 【解析】（1）①由题意知：当时，P为⊙O的友好点． ∴⊙O的友好点是． ②根据友好点的定义，只要点在半径圆环内都是⊙O的友好点， 或． （2）∵M（0，3），N（3，0）， ∴圆心O到线段MN的距离为 ∴在x轴上点N到⊙O最左侧的距离为 ∴根据题意可列不等式组得 解得 ∴不等式组解集为： ∴r的取值范围为： 【点睛】本题考查圆综合题，中心对称，列不等式组等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$