九年级数学上学期期中模拟01（人教版九上：一元二次方程、二次函数、旋转、圆）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷01 满分：120分 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆 一、单项选择题。（每小题2分，共12分） 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为　　 A． B． C． D． 3．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面上升，水面宽度为　　 A． B． C． D． 4．在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 5．二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 二、填空题。（每小题3分，共24分） 7．已知点和点关于原点对称，则　　． 8．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的解析式为 　　． 9．一元二次方程配方为，则的值是 　　． 10．某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：　　． 11．如图，，是的直径，，若，则的度数是 　　． 12．若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：①；；．其中“弦长”最短的是抛物线 　　（填题序号即可）． 13．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　　米． 14．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则　　． 三、解答题。（每小题5分，共20分） 15．． 16．已知抛物线的顶点坐标为，求该抛物线与轴的交点坐标． 17．如图，在正方形中，点为上一点，把绕点顺时针旋转至的位置，，，求线段的长度． 18．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，．求的半径． 四、解答题。（每小题7分，共28分） 19．已知抛物线． （1）求抛物线的开口方向、对称轴； （2）当取何值时，随的增大而增大？ 20．关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于0，求的取值范围． 21．如图，平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，，，． （1）请在图中画出△，使它和关于原点对称，点，，的对应点分别为，，； （2）的坐标为 　　． 22．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 五、解答题。（每小题8分，共16分） 23．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 24．已知抛物线． （1）若抛物线过点，求抛物线的表达式及对称轴； （2）如图，若抛物线过点，点的横坐标为，平移抛物线，使平移后的抛物线仍过点，过点作轴，分别交两条抛物线于，两点，且，点在抛物线上，点在抛物线上，试判定与的大小关系，并说明理由． 六、解答题。（每小题10分，共20分） 25．如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 26．已知二次函数的图象过点，，． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）当时，函数的取值范围为，求的取值范围； （4）点的坐标为，点的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷01 满分：120分 测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆 一、单项选择题。（每小题2分，共12分） 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合． 2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为　　 A． B． C． D． 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【解答】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．水面上升，水面宽度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由已知可得，点在此抛物线上， 则， 解得， ， 当时，， 解得， 此时水面的宽度为， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系． 4．在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质可判断选项；由旋转的性质得，，由等边对等角得，根据平角的定义得，则，以此可判断选项；由三角形内角和定理得，即为等腰直角三角形，根据勾股定理即可判断选项；由旋转的性质可得，则，以此可判断选项． 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到， ，故选项正确，不符合题意； 由旋转的性质得，，， ， ，， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ， 为等腰直角三角形， ，故选项正确，不符合题意； 由旋转的性质可得，， ，故选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 5．二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线．下列结论中：①；②；③；④．正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据开口方向、与坐标轴交点个数以及位置、对称轴进行判断即可． 【解答】解：如图： 由图象开口向下， ； 图象交轴于正半轴， ， ，故①对； 根据图象可知对称轴为：， ， ， ， ， ，故③错； 图象与轴有两个交点， △，即，故②对； 对称轴为：，与一个交点为， 则与轴另一个交点为：， ，故④错；共两个正确， 故答案选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，会观察图象的特征是解决问题的关键． 6．如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 二、填空题。（每小题3分，共24分） 7．已知点和点关于原点对称，则　　． 【分析】根据点的坐标关于原点对称的特征可求出、的值，然后问题可求解． 【解答】解：点和点关于原点对称， ，， ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了点的坐标关于原点对称，掌握点的坐标关于原点对称的特征“横纵坐标互为相反数”是解题的关键． 8．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的解析式为 　　． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为将抛物线向右平移2个单位，再向下平移5个单位， 则根据“上加下减，左加右减”的平移法则可知， 平移后的抛物线的解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象的平移变换，熟知二次函数的平移法则是解题的关键． 9．一元二次方程配方为，则的值是 　1　． 【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值． 【解答】解：， ， ， ， 一元二次方程配方为， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 10．某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：　　． 【分析】利用经过两次降价后的出厂价原出厂价每次降价的百分率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．如图，，是的直径，，若，则的度数是 　　． 【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出，再根据对顶角相等，可推出，最后用即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键． 12．若抛物线与轴有两个交点，则这两个交点间的距离称为该抛物线在轴上截得的“弦长”．则下列抛物线：①；；．其中“弦长”最短的是抛物线 　③　（填题序号即可）． 【分析】解方程得到抛物线与轴的两交坐标为，，则该抛物线在轴上截得的“弦长”为5；解方程得到抛物线与轴的两交坐标为，，则该抛物线在轴上截得的“弦长”为6；解方程得到抛物线与轴的两交坐标为，，则该抛物线在轴上截得的“弦长”为4，从而得到“弦长”最短的抛物线． 【解答】解：① 当时，， 解得，， 抛物线与轴的两交坐标为，， 该抛物线在轴上截得的“弦长”为； ， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的两交坐标为，， 该抛物线在轴上截得的“弦长”为； ， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的两交坐标为，， 该抛物线在轴上截得的“弦长”为； “弦长”最短的是抛物线③； 故答案为：③． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 13．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 　　米． 【分析】设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，． 水管的长度是． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则　　． 【分析】利用正方形的面积求得，，根据旋转的性质得出，，从而求得． 【解答】解：正方形和正方形的面积分别为7和9， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键． 三、解答题。（每小题5分，共20分） 15．． 【分析】用一元二次方程的求根公式可求出方程的两根． 【解答】解：， ，，， ， ，． 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出，，的值，然后当时，将，及的值代入求根公式来求解． 16．已知抛物线的顶点坐标为，求该抛物线与轴的交点坐标． 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，可以得到，，然后即可写出该抛物线的解析式，再令求出相应的的值即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， ，， ， 当时，， 即该抛物线与轴的交点坐标为． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 17．如图，在正方形中，点为上一点，把绕点顺时针旋转至的位置，，，求线段的长度． 【分析】根据旋转的性质可得，，从而得到，，进而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【解答】解：把绕点顺时针旋转至的位置， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ． 【点评】本题主要考查了勾股定理，图形的旋转，直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，图形旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 18．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，．求的半径． 【分析】根据垂径定理得出，则，在中，有，进而可求得半径． 【解答】解：如图，连接， 是弦的中点，过圆心， ． ． ， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ． 解得． 的半径为13． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形． 四、解答题。（每小题7分，共28分） 19．已知抛物线． （1）求抛物线的开口方向、对称轴； （2）当取何值时，随的增大而增大？ 【分析】（1）把一般式配方成顶点式，确定开口方向和对称轴即可； （2）根据对称轴解答即可． 【解答】解：（1） ， 对称轴为直线， ， 开口方向向下； （2）抛物线开口向下，对称轴直线， 当时，随的增大而增大． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，能将二次函数解析式改写成顶点式是解题的关键． 20．关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于0，求的取值范围． 【分析】（1）计算根的判别式的值，再利用非负数的性质得到△，从而得到结论； （2）利用因式分解法解方程得到，，则． 【解答】（1）证明：，，， △， 不论为何实数，， △． 不论取何值，原方程必有两个实数根； （2）解：原方程可化为， ，， 该方程有一个根大于0， ． 【点评】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根． 21．如图，平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，，，． （1）请在图中画出△，使它和关于原点对称，点，，的对应点分别为，，； （2）的坐标为 　　． 【分析】（1）（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点即可得到△． 【解答】解：（1）如图，△就是所要求画的三角形； （2）根据图，可知． 故答案为：． 【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 22．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离． （1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【分析】（1）先求出点，点，点的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可； （2）求出当时的值，然后计算出两个对应的的值之间的差的绝对值即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，，，， 设抛物线解析式为， 把代入解析式得，， 解得， 此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）此船不能通过，理由： 当时，， 解得或， ， 此船不能通过桥洞． 【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 五、解答题。（每小题8分，共16分） 23．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； （2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价； （3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【解答】解：（1）依题意得：， 与的函数关系式为； （2）依题意得：， 即， 解得：，， ， 当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； （3）设每月总利润为元， 依题意得， ，此图象开口向下， 当时，有最大值为4500元， 为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 24．已知抛物线． （1）若抛物线过点，求抛物线的表达式及对称轴； （2）如图，若抛物线过点，点的横坐标为，平移抛物线，使平移后的抛物线仍过点，过点作轴，分别交两条抛物线于，两点，且，点在抛物线上，点在抛物线上，试判定与的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得对称轴； （2）通过题意求得抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【解答】解：（1）抛物线过点， ， ， 抛物线的表达式为， ， 对称轴为直线； （2）， 抛物线的对称轴为直线， ， 两抛物线的对称轴间的距离为4， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线上，点在抛物线上， 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点是， 由图象可知，当时，， ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键． 六、解答题。（每小题10分，共20分） 25．如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）是等腰直角三角形，证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）在中，， ， 在中，，， ． 即的长为：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 26．已知二次函数的图象过点，，． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值； （3）当时，函数的取值范围为，求的取值范围； （4）点的坐标为，点的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法把点，，代入二次函数求出、、的值即可； （2）根据抛物线的开口方向，对称轴以及最大值再结合函数的图象进行计算即可； （3）结合图形，当函数的取值范围为，即函数图象位于轴上方的部分所对应的自变量的取值范围即可； （4）由，可得，轴，再求出直线与抛物线两个交点之间的距离，结合图象得出答案． 【解答】解：（1）把点，，代入二次函数得， ， 解得， 二次函数的关系式为； （2）由于抛物线的开口方向向下，对称轴， 当时，的最大，最大， 当时，， 当时，， 时，函数的最大值是4，最小值是0； （3）函数的取值范围为，即函数图象位于轴上方的部分所对应的函数值， 当时，即， 解得或， 当时，即， 解得， 当，函数的取值范围为时，的取值范围为； （4），， 轴， 当时，即， 解得，， 直线与抛物线的两个交点分别为，，，， 这两个交点之间的距离为， ， 由直线与抛物线的图象可知， 当或时，线段与抛物线恰有一个交点． 【点评】本题考查二次函数的图形和性质，待定系数法求二次函数的关系式，掌握待定系数法求二次函数关系式的方法以及二次函数的图象和性质是正确解答的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$