5.3.2 函数的极值与最大（小）值9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 5.3.2 函数的极值与最大（小）值9题型分类 一、函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 二、函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 三、函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 四、求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （一） 求导求函数的极值 函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤： (1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 题型1：由图象确定函数的极值 1-1．（2024高二·上海·专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 1-2．（2024高二下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 1-3．（2024高二下·广东中山·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ）    A．在区间上是增函数 B．在上是减函数 C．当时，取极大值 D．在上是增函数 题型2：求导求函数的极值 2-1．（2024高二下·河南驻马店·期末）函数的极值点为（    ） A．和 B．和 C． D． 2-2．（2024高三上·四川眉山·开学考试）若函数，为函数的极值点. (1)求的值； (2)求函数的极值. 2-3．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 2-4．（2024高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则 （    ） A．为极大值点 B．为极大值点 C．为极小值点 D．无极值点 2-5．（2024高二下·重庆江北·期中）已知是函数的极小值点． (1)求实数的取值范围； (2)求的极大值． 2-6．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的极值. (1)； (2). （二） 由极值点或极值求参数 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意： (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，用待定系数法求解； (2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 题型3：由极值点或极值求参数 3-1．（2024高二下·天津·期中）已知在区间上有极小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二下·江苏镇江·期末）若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ） A． B． C．2 D． 3-3．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高二下·北京大兴·期末）已知函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-5．（2024高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（    ） A．4 B．4或11 C．9 D．11 （三） 由极值解决函数的零点问题 1．函数零点的概念：对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数零点的判定：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根. 3．利用导数研究函数零点或方程根的方法 （1）通过极值判断零点个数的方法：借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. （2）数形结合法求解零点：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图，数形结合确定其中参数的范围. （3）构造函数法研究函数零点： ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法. 题型4：由极值解决函数零点问题. 4-1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4-2．（2024高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4-3．（2024高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4-4．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （四） 函数最值与极值的关系 求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 题型5：函数极值与最值的判断 5-1．（2024高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（　　） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 5-2．（2024高二下·江苏徐州·期中）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 5-3．（2024高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 5-4．（2024高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 （五） 不含参函数的最值问题 1、求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2、求函数最值的着眼点 1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值. 2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 题型6：不含参函数的最值问题 6-1．（2024高二下·全国·课后作业）函数在区间上的（    ） A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为0，最大值为2 6-2．（2024高三上·上海虹口·期中）函数在区间上的最大值是 . 6-3．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 6-4．（2024高二下·辽宁阜新·期末）设函数. (1)求的单调区间; (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 6-5．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)； (2). 6-6．（2024高二下·福建龙岩·期中）已知函数在处取得极值1. (1)求、b的值； (2)求在上的最大值和最小值. 6-7．（2024高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． （六） 含参函数的最值问题 1、含参数的函数最值问题的两类情况： (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 2、解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值． 3、由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是： 1求导数f′x，并求极值； 2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论； 3利用最值列关于参数的方程组，解方程组即可. 题型7：含参函数的最值问题 7-1．（2024高二下·湖北十堰·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 7-2．（2024高二下·广东潮州·阶段练习）已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 7-3．（2024高二下·江苏常州·开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值． 7-4．（2024高三上·北京东城·开学考试）设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 7-5．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 题型8：已知函数的最值求参数 8-1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8-2．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数，的最小值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 8-3．（2024高二下·山东枣庄·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上既有最大值又有最小值，求a的取值范围． 8-4．（2024高二下·重庆江北·阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9：函数极值与最值综合应用 9-1．（2024高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）设为实数，函数，． (1)求的极值； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围． 9-2．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上有零点，求实数a的取值范围． 9-3．（2024高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 9-4．（2024高二下·内蒙古·期末）已知函数， (1)当，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：． 一、单选题 1．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·山西阳泉·期末）若函数在处取得极值1，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．2 3．（2024高二下·河北保定·期中）设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 4．（陕西省2024届高三上学期第一次联考理科数学试题）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）      A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 5．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 6．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·河南开封·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2024·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 10．（2024高三上·陕西·阶段练习）若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 11．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 12．（2024高一下·吉林四平·期中）已知函数，则的极大值点为（　　） A． B．2 C． D． 13．（2024高二下·广东云浮·期中）函数的极值情况是（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值 14．（2024高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 15．（2024高二下·北京丰台·期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（    ）    A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．为极小值 D．为极小值点 16．（2024高三·全国·专题练习）当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 17．（2024·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 18．（2024·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二下·陕西西安·期中）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二下·天津红桥·期中）函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 21．（2024高二下·广西钦州·期末）已知函数在处取得极值5，则（    ） A． B． C．3 D．7 22．（2024高三上·陕西咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 23．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在处有极小值 B．函数在处有极小值 C．函数在区间内有4个极值点 D．导函数在处有极大值 24．（2024高三上·新疆喀什·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 25．（江西省丰城中学2024届高三上学期入学考试数学试题）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 26．（2024高三上·江西宜春·开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 27．（2024高二下·甘肃临夏·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 28．（2024高二上·江苏常州·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 29．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递减 B．是函数的极小值点 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 30．（2024高二下·福建福州·期末）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（   ）    A．函数有极大值 B．函数有极小值 C．函数有极大值 D．函数有极小值 31．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．函数在区间上单调递减 C．当时，函数取得极小值 D．当时，函数取得极小值 三、填空题 32．（2024高二下·湖北十堰·期末）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 33．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 34．（2024高二下·陕西咸阳·期中）若函数在区间上存在极值，则实数a的取值范围是 ． 35．（2024高二下·全国·课后作业）函数的极小值为 ． 36．（2024高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 37．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 38．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围为 . 四、解答题 39．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 40．（2024高二下·重庆永川·阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 41．（2024高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值. 42．（2024高三上·辽宁鞍山·阶段练习）设函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最大值与最小值． 43．（2024高二上·安徽芜湖·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 44．（2024高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，且满足的导数的最小值为. (1)求值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值. 45．（2024高二下·北京丰台·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围. 46．（2024高二下·甘肃·期中）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值. 47．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + (1)写出的值，并说明理由； (2)求的值． 48．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的极值. (1)； (2). 49．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值． 50．（2024高三上·天津·期中）已知函数. (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值. 51．（2024·山东德州·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间有2个零点，求的取值范围． 52．（2024·甘肃临夏·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 53．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且是函数的两个极值点. (1)求与的值； (2)若函数在上有最小值为，在上有最大值，求的取值范围. 54．（2024高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值. 55．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数，求函数在区间上的最小值． 56．（2024高三上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)若曲线关于点对称，求a的值； (2)若在区间上的最小值为1，求a的取值范围． 57．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的极值. (1)； (2). 58．（2024高二下·安徽六安·期末）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若，，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 5.3.2 函数的极值与最大（小）值9题型分类 一、函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 二、函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 三、函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 四、求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （一） 求导求函数的极值 函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤： (1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 题型1：由图象确定函数的极值 1-1．（2024高二·上海·专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为 ．    ①当时函数取得极小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 【答案】②③④ 【分析】由导函数的图象判断出函数的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案. 【详解】由图象可知，当时，；当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有两个极值点，当时函数取得极大值，当时函数取得极小值， 故①错误，②③④正确. 故答案为：②③④ 1-2．（2024高二下·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】B 【分析】根据已知，利用图形以及导数与函数单调性、极值的关系进行判断. 【详解】由图可知，导函数在区间上满足， 所以在区间上单调递减，故A正确； 导函数在区间上满足， 所以函数在区间上单调递增，故B错误； 在附近，当时，导函数满足， 当时，导函数满足， 所以函数在处取得极大值，故C正确； 在附近，当时，导函数满足， 当时，导函数满足， 所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：B. 1-3．（2024高二下·广东中山·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ）    A．在区间上是增函数 B．在上是减函数 C．当时，取极大值 D．在上是增函数 【答案】D 【分析】 根据导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】    由导函数的图象可得， 当时，，函数单调递减，所以A不正确； 当时，，函数单调递增，所以B不正确； 当时，,函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以是函数的极小值点，为极小值，所以C不正确； 当时，，函数单调递增，所以D正确， 故选：D. 题型2：求导求函数的极值 2-1．（2024高二下·河南驻马店·期末）函数的极值点为（    ） A．和 B．和 C． D． 【答案】C 【分析】由可求得实数的值，再利用导数可求得函数的单调性验证极值点即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得或，令，可得或，列表如下： x 0 0 + 减 极小值 增 增 因此，函数的极值点为. 故选：C. 2-2．（2024高三上·四川眉山·开学考试）若函数，为函数的极值点. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，的极大值为 【分析】（1）先求出导函数，再由题意得求得，再进行检验即可； （2）根据（1）的结论即可得解. 【详解】（1）因为，所以. 因为是的一个极值点，所以，即，则， 当时，， 令，得或；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意，故. （2）由（1）知，且是的极小值点，是的极大值点， 所以的极小值为，的极大值为. 2-3．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值. 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，当时，，当时，，当时，，得到单调区间和极值情况. 【详解】（1）， ，， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）的定义域为， 故， 当时，， 当时，，当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 的极小值为，无极大值. 2-4．（2024高二下·宁夏石嘴山·期末）设函数，则 （    ） A．为极大值点 B．为极大值点 C．为极小值点 D．无极值点 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到极值点. 【详解】函数定义域为， 则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，即为极大值点. 故选：B 2-5．（2024高二下·重庆江北·期中）已知是函数的极小值点． (1)求实数的取值范围； (2)求的极大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断原函数的单调性，进而可得极值点，即可得结果； （2）根据（1）中的单调性可得函数的极大值. 【详解】（1）因为， 令，解得或， 当，即时，在上单调递增，无极值点，不合题意； 当，即时，令，解得或；令，解得； 则在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，不合题意； 当，即时，令，解得或；令，解得； 则在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围. （2）由（1）可知：在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为. 2-6．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的极值. (1)； (2). 【答案】(1)极小值为－22，极大值为10 (2)极大值为，无极小值 【分析】 确定函数定义域，求出函数的导数，判断导数的正负情况，根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1） 函数的定义域为R，且. 令，得. 当x变化时，与的变化情况如下表： x -1 3 + 0 - 0 + 增 10 减 -22 增 由表可知，是函数的极大值点，极大值为； 是函数的极小值点，极小值为. （2） 函数的定义域为，且， 令，即，得， 当x变化时，，y的变化情况如下表： x e ＋ 0 - y 增 减 由表可知，当时，函数的极大值是，无极小值. （二） 由极值点或极值求参数 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意： (1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，用待定系数法求解； (2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 题型3：由极值点或极值求参数 3-1．（2024高二下·天津·期中）已知在区间上有极小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值点，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】函数定义域为，， 所以时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值， 因为在区间上有极小值， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：D 3-2．（2024高二下·江苏镇江·期末）若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由对勾函数可知：的极小值，对求导，利用导数判断的单调性和极值，运算求解即可. 【详解】由对勾函数可知：在时取到极小值， 对于，则有： 当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意； 当时，， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：B. 3-3．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，由题意转化为有两个零点，令，求得，分和，两种情况讨论求得函数的单调性，得到若有两个零点，满足，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，且 因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点， 令，可得， 当时，在上，单调递增，不能有两个零点； 当时，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且当时，，当时，， 若有两个零点，则， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 3-4．（2024高二下·北京大兴·期末）已知函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有大于零的极值点转化为有正根，通过讨论此方程根为正根，求得实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 函数在上有大于零的极值点， 有正根， ①当时，由， 无实数根， 函数在上无极值点，不合题意； ②当时，由，解得， 则当时，；当时，， 为函数的极值点，， 因为，所以，解得， 实数的取值范围是. 故选：D. 3-5．（2024高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知函数在处有极值0，则实数的值为（    ） A．4 B．4或11 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据极值点列方程，结合函数的单调性确定其正确答案. 【详解】，则， 即，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 令，得或；令，得． 所以在上单调递增， 在上单调递减，符合题意，则． 故选：D （三） 由极值解决函数的零点问题 1．函数零点的概念：对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数零点的判定：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根. 3．利用导数研究函数零点或方程根的方法 （1）通过极值判断零点个数的方法：借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. （2）数形结合法求解零点：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图，数形结合确定其中参数的范围. （3）构造函数法研究函数零点： ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法. 题型4：由极值解决函数零点问题. 4-1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 4-2．（2024高二下·云南昆明·期末）已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】问题转化为在上有且仅有一个零点，构造函数，，对其求导，结合导数分析的性质，进而可求． 【详解】解：因为在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个实根， 令，， 则，令，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 故时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 因为， 故当与在上只有一个交点时，． 故选：B． 4-3．（2024高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 4-4．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令可得，令，即可求出，令，，则问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数说明的单调性，即可求出的取值范围. 【详解】令， 即． 令，定义域为，， 令，易知在上单调递增，且． 令，， 则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点， 则，当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增； 所以，当时，；当时，， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是得到，从而将问题转化为函数的图象与直线有两个交点. （四） 函数最值与极值的关系 求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 题型5：函数极值与最值的判断 5-1．（2024高二下·全国·课后作业）下列结论正确的是（　　） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【分析】根据函数极值与最值的关系可判断. 【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值，所以ABC错误，D正确. 故选：D. 5-2．（2024高二下·江苏徐州·期中）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 5-3．（2024高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 5-4．（2024高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C （五） 不含参函数的最值问题 1、求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2、求函数最值的着眼点 1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值. 2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 题型6：不含参函数的最值问题 6-1．（2024高二下·全国·课后作业）函数在区间上的（    ） A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为0，最大值为2 【答案】B 【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值. 【详解】，所以在区间上单调递增， 因此的最小值为，最大值为. 故选：B 6-2．（2024高三上·上海虹口·期中）函数在区间上的最大值是 . 【答案】 【分析】利用导数判断的单调性，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，得；令，得； 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故答案为：. 6-3．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求导得到的单调性，然后根据单调性求最大值即可. 【详解】，定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，单调递减， 所以在区间上的最大值为. 故选：D. 6-4．（2024高二下·辽宁阜新·期末）设函数. (1)求的单调区间; (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，递减区间为 (2)最大值，最小值 【分析】 （1）用导数的正负求单调区间即可； （2）求导，判断单调性，再求最值即可. 【详解】（1）由题意可得，定义域， 令，即，所以； 故的单调递增区间为，递减区间为. （2）因为， 故，定义域， 令，即， 故在单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 又因为， ， 故最大值为 6-5．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)； (2). 【答案】(1)最小值；最大值18. (2)最小值0；最大值π. 【分析】（1）（2）求出函数的导数，确定函数的单调区间及单调性，再求出最值即得. 【详解】（1）函数，求导得， 当或时，，函数在，上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 而，， 所以函数在处取得最小值，在取得最大值. （2）函数，求导得， 当或时，，函数在，上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 而，， 所以函数在处取得最小值，在取得最大值. 6-6．（2024高二下·福建龙岩·期中）已知函数在处取得极值1. (1)求、b的值； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）由题意，根据极值点、极值的含义得，可求出、的值，再利用导数与函数极值点之间的关系验证即可； （2）利用导数求出函数在区间上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值. 【详解】（1）因为，该函数的定义域为， 则， 因为函数在处取得极值1， 则，解得，，则， 所以，，令，可得，列表如下： 1 + 0 增 极大值 减 所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，. （2）由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，， 因为， 所以，故. 6-7．（2024高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为1 【分析】（1）第一问先对函数求导，然后分别求出的值，由此即可求解. （2）先根据导函数求出函数的单调区间，然后根据函数单调性确定其最值. 【详解】（1）对函数求导得，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 化简并整理得该切线方程为. （2）由（1）可知， 当时，随的变化情况如下表： 极大值 由上表可知函数在上单调递增，在上单调递减，且在时取得极大值， 所以在区间上的最大值， 而在区间上的最小值为中的较小者， 又，所以， 所以在区间上的最小值为. （六） 含参函数的最值问题 1、含参数的函数最值问题的两类情况： (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 2、解析式中含参数的最值问题应分析参数对函数单调性的影响，然后分类讨论确定函数的最值． 3、由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤是： 1求导数f′x，并求极值； 2利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论； 3利用最值列关于参数的方程组，解方程组即可. 题型7：含参函数的最值问题 7-1．（2024高二下·湖北十堰·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减． (2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为． 【分析】（1）求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；（2）结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值． 【详解】（1）因为，所以． ①当时，，则在R上单调递增； ②当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当时，或． ①当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时在上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减， 此时在上的最小值为． 7-2．（2024高二下·广东潮州·阶段练习）已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)答案见解析. 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号求单调区间即可； （2）讨论、，结合（1）所得函数的单调性求其最小值. 【详解】（1）由题设，， 令，解得； 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时在上单调递减， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， . 7-3．（2024高二下·江苏常州·开学考试）已知函数，求函数在区间上的最大值． 【答案】答案见详解 【分析】求导，分类讨论判断原函数的单调性，进而确定最值. 【详解】由题意可得：，则， ∵，则有： 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递增，则； 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递减，则； 当时，则， 令，解得，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且， ①当，即时，则在区间上的最大值为； ②当，即时，则在区间上的最大值为； ③当，即时，则在区间上的最大值为； 综上所述：当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为. 7-4．（2024高三上·北京东城·开学考试）设函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求证： (3)当时，求函数在上的最小值 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，，利用点斜式得到切线方程； （2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论； （3）求导，分和两种情况，求出函数在上的单调性，得到函数最小值. 【详解】（1）当时，，， 又，故， 所以函数在处的切线方程为； （2）当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，也是最小值， 且， 故在R上恒成立. （3）， ，， 令，解得，令，解得， 当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 此时在上取得极小值，也是最小值， 故在上的最小值为， 当时，，故在上单调递减， 此时在上的最小值为 综上：当时，在上的最小值为， 当时，在上的最小值为. 7-5．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)的极大值为，极小值为 (2) 【分析】 （1）求导，得到函数单调性，进而得到极值情况； （2）求导，得到导函数的两个零点，分和两种情况，求出函数的最大值. 【详解】（1）当时，，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 综上，的极大值为，极小值为； （2），， 故，， 令得或， 因为，当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以，所以； 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以； 综上： 题型8：已知函数的最值求参数 8-1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解. 【详解】，， 令得， 且时，；时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，令时，解得或， 所以其图象如下： 由图可知，时存在最小值， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选： 8-2．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数，的最小值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】求导，得到函数单调性，得到的最小值为，列出方程，求出答案. 【详解】，， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以的最小值为，令，解得. 故选：C 8-3．（2024高二下·山东枣庄·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上既有最大值又有最小值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）利用导数求出函数的极值点及极值，再求出函数值为极值时的x值，结合已知列出不等式作答. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 由，即，得，即，解得或， 由，即，得，即，解得或， 作出函数的部分图象，如图，    因为在区间上既有最大值又有最小值，则有，解得， 所以a的取值范围是. 8-4．（2024高二下·重庆江北·阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出的单调性，结合即可求解. 【详解】，令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 而，所以函数在区间上的最小值为2e， 必有，即. 故选：B 题型9：函数极值与最值综合应用 9-1．（2024高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）设为实数，函数，． (1)求的极值； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数的定义域为，， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 故函数的极大值为，极小值为. （2）解：对于，，都有，则. 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因为，且，则且不恒为零， 故函数在上单调递增，故， 由题意可得，故. 9-2．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上有零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】 （1）求定义域，求导，得到函数单调性； （2）参变分离，得到，构造，，求导得到单调性，得到，从而得到实数a的取值范围. 【详解】（1）定义域为， 当时，，， 时，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2） 由得， 设，，则， 在上单调递减，所以， 所以， 所以实数a的取值范围是． 9-3．（2024高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，根据a的范围讨论单调性，求极值； （2）根据单调性求函数在区间上的最值. 【详解】（1）定义域， ①时，成立，所以在上递减，所以无极值； ②时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，单调递减，所以的极大值为，无极小值； （2）时，在单调递减，所以； 时，在上单调递增，单调递减，所以； 时，在单增，所以； 综上：. 9-4．（2024高二下·内蒙古·期末）已知函数， (1)当，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，求出，，由导数的几何意义求解即可； （2）对求导，得到的单调性，即可求出，要证，即证，化简可得，令函数，证明即可. 【详解】（1）当时，，， ，， 曲线在处的切线方程为，即． （2）因为， 当时，由，解得，由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 要证，即证，即， 令函数，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，所以，即得证， 故得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 一、单选题 1．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】，其中 当时，，故在上单调递减， 此时在内无最值. 当时，若，则，若，则， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在处取最大值， 故选：A. 2．（2024高二下·山西阳泉·期末）若函数在处取得极值1，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意， ∴， 故选：D. 3．（2024高二下·河北保定·期中）设函数，则（    ） A．在区间递减 B．在区间上递增 C．在点处有极大值 D．在区间上递减 【答案】A 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】， 令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以在区间递减，A正确； 在区间递减，B错误； 在点处有极小值，C错误； 在区间递增，D错误； 故选:A. 4．（陕西省2024届高三上学期第一次联考理科数学试题）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）      A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意及图得， 在上单调递增，在上单调递减， ∴有一个极大值，没有极小值， ∴A，B，D错误，C正确， 故选：C. 5．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）若函数在上的最小值是1，则实数的值是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】，先求得极值，再求得端点值比较求解. 【详解】解：令， 解得或， 当时，，时，， 又，， 显然， 所以， 所以， 故选：B 6．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数，若有且只有1个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，得到不等式，解得答案. 【详解】函数有且只有1个极值点， 当时，没有极值点； 当时，，取，得到， 当时，函数为二次函数，则，故， 综上所述：. 故选：C. 7．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解. 【详解】∵， ∴， ∵函数既存在极大值，又存在极小值， ∴导函数有两个不相等的变号零点， ∴，即，解得或． ∴实数的取值范围是， 故选：B． 8．（2024高二下·河南开封·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】 先求导数，利用极小值可求答案. 【详解】因为，所以； 当时，，为减函数，没有极值. 当时，由得； 时，，为增函数； 时，，为减函数； 时，，为增函数； 所以当时，有极小值，，解得. 故选：C. 9．（2024·贵州遵义·三模）函数在处取得极值0，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据极值点的意义，列式求解即可. 【详解】， 所以，解得， 经检验，满足题意， 所以. 故选：A 10．（2024高三上·陕西·阶段练习）若函数在处取得极小值，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证. 【详解】由题意可得，则，解得. 当时，， 当或时，，则在，单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，函数在处取得极小值，此时. 故选：A 11．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处有极大值，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】 根据题意，列出方程求得的值，然后检验即可得到结果. 【详解】 ，， ∴或， 当时，， 令，得或；令，得； 从而在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，不合题意， 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 12．（2024高一下·吉林四平·期中）已知函数，则的极大值点为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导后，根据导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值点. 【详解】由，得 ， 由，得或，由，得， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值点为， 故选：A 13．（2024高二下·广东云浮·期中）函数的极值情况是（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值 【答案】D 【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】∵，∴， 由，得或， 时，；时，；时，， ∴函数的递减区间是，；递增区间是， ∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， ∴函数既有极大值又有极小值. 故选：D. 14．（2024高二下·河北邯郸·期中）已知函数，则的极值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】 求出函数导数，讨论a的正负，判断函数的单调性，即可得到答案. 【详解】由于，故， 当时，，则时，， 时，， 故在上都单调递增，在在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极小值点， 同理判断当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 故的极值点的个数为2， 故选：B 15．（2024高二下·北京丰台·期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（    ）    A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．为极小值 D．为极小值点 【答案】D 【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图象可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为，故A，B正确； 函数在处取得极小值，故C正确，1不是极值点，D错误； 故选：D. 16．（2024高三·全国·专题练习）当时，函数取得极值，则在区间上的最大值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据极值点与导数之间的关系求得，利用导数判断在区间上的单调性和最值. 【详解】因为，所以， 又因为在取极值，所以，解得， 若，则，， 令，得或；令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 可知在取极值，故满足题意， 若，则在和上单调递增，在上单调递减， 且， 所以在区间上的最大值为. 故选：C． 17．（2024·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，构造新的函数，应用导数求函数的最值即可. 【详解】由，知定义域为， 设切点为，，， 所以，故切点为，代入直线方程， 则， ， 令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 故的最小值为1. 故选：B 18．（2024·上海松江·二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数在，上递增函数，在上递减函数， 故时函数有极大值，且， 所以当函数在上有最大值，则且， 即，解得. 故选：B. 19．（2024高二下·陕西西安·期中）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】，其中， 当时，，故在上单调递减， 此时在内无最值， 当时，若，则，若，则， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在处取最大值， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：A. 20．（2024高二下·天津红桥·期中）函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用导数可判断在上的单调性，可得，据此可得答案. 【详解】，. 则在上单调递减，在上单调递增，则 . 故选：D 21．（2024高二下·广西钦州·期末）已知函数在处取得极值5，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值5， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：A 22．（2024高三上·陕西咸阳·期中）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，将函数有极大值和极小值问题转化导函数为有两个不相等正根问题，结合判别式和韦达定理求解即可. 【详解】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 故选：A. 二、多选题 23．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在处有极小值 B．函数在处有极小值 C．函数在区间内有4个极值点 D．导函数在处有极大值 【答案】BD 【分析】 根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案. 【详解】A选项，在左右两侧的，所以不是的极值点，A选项错误. B选项，在左右两侧，左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，B选项正确. C选项，根据图象可知，有个极值点，左右两侧的， 所以不是的极值点，C选项错误. D选项，的图象在左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减， 所以在处有极大值，D选项正确. 故选：BD 24．（2024高三上·新疆喀什·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在上为减函数 B．在处取极大值 C．在上为减函数 D．在处取极小值 【答案】BCD 【分析】根据图象得到的符号，从而求出函数的单调区间和极值点，得到答案． 【详解】由图像得：当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当时取得极大值，当时取得极小值. 故选：BCD 25．（江西省丰城中学2024届高三上学期入学考试数学试题）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）    A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】ABC 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减．故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误． 故选：ABC． 26．（2024高三上·江西宜春·开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 【答案】BC 【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当或时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.故A错误，C正确； 所以或是的极小值点；故B正确； 所以是取得极大值点；故D错误. 故选：BC. 27．（2024高二下·甘肃临夏·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 【答案】BCD 【分析】利用导函数的图象，根据导数的符号判断单调性，根据极值和极值点的概念可得答案. 【详解】当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故A错误； 当时，，所以函数在上单调递减，故B正确； 因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故C正确； 因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，则函数共有两个极小值点，故D正确. 故选：BCD 28．（2024高二上·江苏常州·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况. 【详解】对于A项，由图象可知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知， 当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减. 所以，3不是函数的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，在上单调递减. 所以，1不是函数的极小值点.故D错误. 故选：AC. 29．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递减 B．是函数的极小值点 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】ACD 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案. 【详解】由的图象可知： 当，时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，故CD正确. 故选：ACD. 30．（2024高二下·福建福州·期末）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（   ）    A．函数有极大值 B．函数有极小值 C．函数有极大值 D．函数有极小值 【答案】AD 【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答. 【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点， 当或时，，当时，， 所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误. 故选：AD 31．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．函数在区间上单调递减 C．当时，函数取得极小值 D．当时，函数取得极小值 【答案】AD 【分析】 根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值. 【详解】由图知：，即，A对； 由上，故，则在区间上单调递增，B错； 和上，和上， 所以、上，、上， 故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对. 故选：AD 三、填空题 32．（2024高二下·湖北十堰·期末）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【分析】利用求导得出单调区间，即可得出最值，求出结果. 【详解】因为， ，或， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为， 所以，故. 故答案为： 33．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为 . 【答案】2 【分析】求导，得到的解，进而得到函数单调性，求出极大值点. 【详解】， 令，解得或6， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在取得极大值，故极大值点为2. 故答案为：2 34．（2024高二下·陕西咸阳·期中）若函数在区间上存在极值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 对函数求导后，由，求出方程的根，由题意可知方程的根在上，从而可求出a的取值范围 【详解】由，得， 令，得或， 当，即时，，则无极值， 当时，当或时，，当时，，所以的极值点为，， 当时，当或时，，当时，，所以的极值点为，， 因为函数在区间上存在极值， 所以或， 所以或， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 35．（2024高二下·全国·课后作业）函数的极小值为 ． 【答案】/ 【分析】对函数求导判断出其单调性，再根据极值的定义即可求得极小值为. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 则； 令，得或； 所以当或时，，即在，上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值， 即函数的极小值为. 故答案为：-0.5 36．（2024高二下·北京·期中）若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 对函数求导，结合题意根据函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，    结合图像可知：. 故答案为：. 37．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】 将函数转化为分段函数形式，分别求导，判断单调性与最值. 【详解】， 当时，，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 当时，，恒成立， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，的最小值为， 故答案为：. 38．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，按及分类讨论，求出极值点并建立不等式求出的范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点； 当时，由，解得，当时，，当时，， 因此为的极值小点，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 39．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，若的最大值为 (1)求的值； (2)若在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值； 分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 （2）由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 40．（2024高二下·重庆永川·阶段练习）已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2) 【分析】 （1）求导，即可得函数的单调性，进而可由极值点定义求解， （2）构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】（1） 当时，，∴， 由得，故的单调递增区间为；由得， 故的单调递减区间为； 所以函数有极小值为，无极大值． （2） 当时，不等式化简为，令，则； 令得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 又，所以． 41．（2024高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最值. 【答案】(1)函数递增区间为和，递减区间为 (2)最大值，最小值． 【分析】 （1）根据f(x)导数的正负即可求其单调区间； （2）根据f(x)在上的单调性即可求其最值． 【详解】（1）函数，． 当或时，；当， 故函数递增区间为和，递减区间为. （2） 由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 则在上的最大值，最小值． 42．（2024高三上·辽宁鞍山·阶段练习）设函数． (1)求的单调区间； (2)求在上的最大值与最小值． 【答案】(1)在，单调递增，在单调递减 (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）求出函数的导数，分析导数的符号即可得解； （2）利用函数单调性，确定函数的极大值可得最大值，比较端点即可得最小值. 【详解】（1）定义域为． 当时，；当时，． 所以的单调递增区间为，，单调递减区间． （2）令，得或． 因为， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为． 又， 因为， 所以在上的最小值为． 43．（2024高二上·安徽芜湖·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可； (2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，， 所以切点为， ，则， 所以切线方程为，即. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 44．（2024高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，且满足的导数的最小值为. (1)求值； (2)若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，求值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合二次函数的最值分析运算； （2）求导，利用导数求函数在区间上最值，分析运算. 【详解】（1）∵，则的最小值为， 由题意可得：. （2）由（1）可得：，则， 令，解得或；令，解得； 则在单调递增，在上单调递增， 且，， ，， 且， 所以函数在区间上的最大值，最小值， 又∵函数在区间上的最大值与最小值的和为7， 则，解得. 45．（2024高二下·北京丰台·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若在区间上的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数和单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】（1）由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，，要使在区间上的最小值为，则. 46．（2024高二下·甘肃·期中）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值. 【答案】a＝2，b＝9. 【分析】利用列方程组，结合函数的单调性求得的值. 【详解】因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以即，解之得或， 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3). 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，符合题意. 因此a＝2，b＝9. 47．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数在处取得极小值，其导函数为．当变化时，变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + (1)写出的值，并说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】（1）根据函数极小值点的定义求解即可； （2）根据题意得，进而解方程即可得答案. 【详解】（1）解：，理由如下： 由表格中的数据可知， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极大值，       当时，函数取得极小值. 所以，为函数的极小值点. （2）解：由题知， 所以，结合（1）有：，即，解得. 所以， 48．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的极值. (1)； (2). 【答案】(1)极小值为-2，无极大值 (2)极小值为-6，无极大值 【分析】求出函数的导数，判断导数的正负情况，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，, 令，解得. 因为当时，，当时，， 所以函数在处有极小值，且，无极大值. （2），, 令，解得. 所以当x变化时，的变化情况如下表： x 0 1 - 0 ＋ 0 ＋ 极小值 无极值 所以当时，函数取得极小值，且，无极大值. 49．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值． 【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用点斜式写出直线方程； （2）求出导数方程的根，再讨论根左右的单调性得出结果. 【详解】（1）依题意，，． ，， 故所求切线方程为，即． （2）令，解得， 故当时，，当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 则的极小值为，无极大值． 50．（2024高三上·天津·期中）已知函数. (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)最大值为54，最小值为. 【分析】（1）利用导数研究的单调性，并求出极值即可； （2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值. 【详解】（1）由题设，令，得或， 当时，即，解得或，单调递增区间为和. 当时，即，解得，单调递减区间为. 函数的极大值为，极小值为. （2）由，，，则 且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为. 51．（2024·山东德州·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在处取极大值 (2) 【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减： 所以当时，在处取极大值，无极小值； （2）， 令，得，令，在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， ，，， 当，，在上单增， 当，，在上单减， ，的最大值为，， 与在区间有2个交点，则． 52．（2024·甘肃临夏·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）研究函数的定义域，导数的符号，确定函数的单调性； （2）分离参数，然后构造函数，利用导数研究该函数的最大值即可． 【详解】（1） 定义域为，， 令， ①当时，恒成立，，是增函数； ②时，， 当，即时，由得，， 由或，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当，即时，恒成立，是增函数， 综上可知： 时，是增函数，时，的单调递减区间为，单调递增区间为， （2） 不等式恒成立，即恒成立， 整理得恒成立， 令， 则，易知， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 故， 故即为所求，故的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，研究参数的取值范围，能分离参数的一定要分离参数， 分离参数是本题的关键，分离参数后转化为求函数最大值问题，一般需要利用导数求最大值得解. 53．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且是函数的两个极值点. (1)求与的值； (2)若函数在上有最小值为，在上有最大值，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据是函数的两个极值点.可列出方程组，求得答案； （2）判断函数在上的单调性，确定极值，进而根据最大值求得c，作出函数的图象，数形结合，即可确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由条件知， 即， 解得，经检验适合题意； （2）由（1）可知，则， 令，得或， 和随的变化情况如下表： -2 -1 1 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增    因为 所以函数在上的最小值为， 所以，解得， 所以， 因为函数在和上递增，在上递减，且， 画出函数图象如图所示，由于函数在区间上有最大值， 根据图象可知，即. 54．（2024高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数在区间上的最小值. 【详解】因为，则，          由，得， 当时，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. ①当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ③当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为. 综上，当时，的最小值为0； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 55．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数，求函数在区间上的最小值． 【答案】答案见解析 【分析】先求得函数的导函数，再按a分类讨论，分别求得函数在区间 上的单调性，进而求得函数在区间 上的最小值. 【详解】， 令，得，. ①当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. ②当时，，在区间 上单调递增， 所以. ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 56．（2024高三上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)若曲线关于点对称，求a的值； (2)若在区间上的最小值为1，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，若曲线关于点对称，则是奇函数，利用等式可求出的值； （2）法1：先通过特值缩范围，因为在上的最小值为1，所以，解出，在的范围内求，讨论单调性，确定最小值为1，确定的范围； 法2：在上的最小值为1，等价于恒成立且有最小值为1，对不等式变形可得到恒成立，结合二次函数列不等式组可求出的范围. 【详解】（1）设． 由题意知，是奇函数，所以， 即对任意，有，化简得， 所以，即． （2）方法1：因为在上的最小值为1， 故，解得． 当时，． 若，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 而，，因此在上的最小值为1，满足题意． 若，则，当时，，所以在上单调递增， 故在上的最小值为，满足题意． 综上所述，a的取值范围为． 方法2：由题意知，即， 又，时，， 所以等价于， 令，分情况讨论， ①，即，故； ②，即，无解； ③，即，无解． 综上所述，a的取值范围是． 57．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的极值. (1)； (2). 【答案】(1)极大值为54，极小值为-54 (2)极大值为，无极小值 【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，判断导数的正负情况，即可确定极值点，进而求得极值. 【详解】（1）函数的定义域为R， ， 令，得或. 当x变化时，变化情况如下表： x -3 3 + 0 - 0 +  54  -54  从表中可以看出，当时，函数有极大值，且. 当时，函数有极小值，且. （2）∵函数的定义域为，且， 令，得，， ∴当x变化时，，y的变化情况如表： x -1 2 y′ + 0 - + 0 + y    3  故当时，y有极大值，无极小值. 58．（2024高二下·安徽六安·期末）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 （1）求导，利用导数结合分类讨论即可求解， （2）构造函数，，求导即可利用单调性求解最值求解. 【详解】（1）函数定义域为R，， 令，则， 当，即时，，所以在定义域R上单调递增； 当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增， 令，则，即， 当，即，此时恒成立，所以在R上单调递增， 当，即时，恒成立，所以在定义域上单调递减， 令，则，即，解得， 所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上可得：当时在R上单调递增；当时在R上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，即，即， 令，，则，所以在上单调递减，则，所以，则，令，，则， 因为，所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即． 【点睛】方法点睛： 1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$