精品解析：福建省泉州市安溪第六中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025安溪六中高一上学期数学第一次月考 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共40分） 1. 下列各组中的、表示同一集合的个数是（ ） ①，； ②，； ③， ④，. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 2. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，先化简集合，再利用子集个数计算公式，即可求解. 【详解】易知，所以的子集个数为. 故选：B. 3. 已知集合，若关系如图所示，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得集合，根据 题意转化为，结合集合的运算，即可求解. 【详解】由集合， 由给定关系图，可得，所以. 故选：D. 4. 已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将的充分不必要条件是转化为两集合的真包含关系，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为( ) A. B. C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由得，可变行为，利用基本不等式求最小值. 【详解】∵均为正数， ∴， 当且仅当即时取等号. 故选：B. 6. 已知，，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合，利用不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以由不等式的可加性可得， 故的最大值是2. 故选：B. 7. 时，不等式恒成立，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式恒成立，则得，即可得到取值范围. 【详解】时，不等式恒成立， 即，即，解得， 所以取值范围是. 故选：B. 8. 设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义一一列举即可. 【详解】对子集分类讨论： 若,此时集合可以为 共8个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共4个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共2个结果； 若,此时集合可以为共1个结果； 所以共有个结果， 故选:C. 二、多选题（本大题共3题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. 为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可. 【详解】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是； 对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是； 对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是； 对于D，该命题不是全称量词命题，D不是. 故选：AC 10. 已知集合，且，则实数可能的取值是（ ） A. B. 0 C. -1 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 11. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值 B. 的最小值为1 C. 的最小值 D. 的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，由，得，则， 所以， 对称轴为，所以当时，取得最小值为， 所以B选项错误. C选项， ，当且仅当时等号成立， 所以C选项正确. D选项，设， 则，解得，所以， 则， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以D选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 13. 某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票. 【答案】27 【解析】 【分析】根据韦恩图，即可求解总人数. 【详解】由题意可得韦恩图，如图所示， 参加数理化竞赛的学生有人， 所以需预购27张车票. 故答案为：27 14. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.若为真命题，则实数的取值范围是________；若p，q一真一假，则实数的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可；第二空：化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】第一空：因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； 第二空：若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，集合或． （1）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. （2）求出，结合已知可得，进而列式求解即可. 【小问1详解】 由是成立的必要不充分条件，得集合真包含于集合， 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 【小问2详解】 依题意，，由，得， 则，解得， 所以的取值范围是. 16. 利用函数与不等式的关系． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意知，求出，代入解不等式即可； （2）由题意知，代入化简，解不等式即可； 【小问1详解】 由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，解得， 则不等式 即，解得：或 所以不等式的解集为： 【小问2详解】 由题意知，方程的两个根分别为和，且 由韦达定理知，即， 则不等式，又， 则，解得：， 所以不等式的解集为： 17 已知函数. （1）若关于x的不等式的解集是.求实数a，b的值； （2）若，，，是关于x的的根，求的最小值； （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1），. （2）4 （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）问题转化为方程的两根为，利用韦达定理求. （2）利用韦达定理，表示出，利用基本（均值）不等式求最小值，需要分析等号成立的条件. （3）根据参数的不同取值，分情况讨论一元二次不等式解集的形式. 【小问1详解】 由题意：方程的两根为，且 所以；. 所以，. 【小问2详解】 由韦达定理可得：，， 所以. 因为，所以，（当且仅当时取“”）. 又当时，方程为，因为，所以方程由两个根. 所以的最小值为4. 【小问3详解】 当时，原不等式为：. 若，则原不等式可化为：； 若，则原不等式可化：. 当时，，因为，所以不等式的解为：或. 当时，原不等式可化为：. 由，此时原不等式的解为：； 由，此时原不等式的解为：； 由，此时原不等式的解为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解含参数的一元二次不等式的问题，要注意： （1）二次项系数是否可以为0； （2）二次想系数不为0时，不等式解集的形式及两根大小的比较. 18. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【答案】（1） （2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解； （2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元， 则月销量为万瓶， 所以提价后月总销售利润为万元， 因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来月总利润， 所以，即，解得， 所以售价最多为元， 故该饮料每瓶售价最多为元； 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元， 月销售量为万瓶， 设下月总利润为，， 整理得：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时取等号， 故当售价元时，下月的月总利润最大为万元. 19. 设集合，其中，正整数．若对任意，与至少有一个属于，则称具有性质． （1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； （2）当时，若具有性质，且，求集合； （3）记，若具有性质，求的值． 【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义证明即可. （2）利用给定条件结合集合的互异性求解即可. （3）利用给定定义得到，再结合题意求解即可. 【小问1详解】 在集合中，因为，，， ，，，所以集合具有性质． 而集合中，因为，，所以集合不具有性质． 【小问2详解】 因为，且具有性质， 所以，，则， 又因为，所以，则， 由集合的互异性知，，而， 所以．故． 【小问3详解】 因为具有性质，所以， 则，则． 又因为，所以， 又因为，所以，则， 所以，，，，． 所以， 即， 所以，则． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题关键是合理运用给定定义，然后对目标式进行变形求和，得到所要求的解析式即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025安溪六中高一上学期数学第一次月考 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共40分） 1. 下列各组中的、表示同一集合的个数是（ ） ①，； ②，； ③， ④，. A. B. C. D. 2. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若关系如图所示，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，：，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为( ) A. B. C. 8 D. 9 6. 已知，，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 时，不等式恒成立，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 二、多选题（本大题共3题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. 为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 10. 已知集合，且，则实数可能的取值是（ ） A. B. 0 C. -1 D. 11. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值 B. 的最小值为1 C. 的最小值 D. 的最小值 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且“若p，则q”为真命题，则实数取值范围是________________． 13. 某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_________张车票. 14. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.若为真命题，则实数取值范围是________；若p，q一真一假，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15. 已知集合，集合或． （1）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 利用函数与不等式的关系． （1）若不等式解集为，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求不等式的解集． 17. 已知函数. （1）若关于x不等式的解集是.求实数a，b的值； （2）若，，，是关于x的的根，求的最小值； （3）若，解关于x的不等式. 18. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 19. 设集合，其中，正整数．若对任意，与至少有一个属于，则称具有性质． （1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由； （2）当时，若具有性质，且，求集合； （3）记，若具有性质，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$