微专题Ⅱ 与斜面、曲线结合的平抛运动-2024-2025学年高一物理同步讲练（人教版2019必修第二册）

微专题Ⅱ 与斜面、曲线结合的平抛运动 掌握平抛运动与斜面、曲面结合的平抛运动分析思路 知识点一 与斜面有关的平抛运动 运动情形 题干信息 分析方法 从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ 从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ [例题1] （2024•镇海区校级开学）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0。则下列说法正确的是（　　） A．夹角α将变大 B．夹角α将变小 C．小球在空中的运动时间变为原来的2倍 D．小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍 [例题2] （2023春•温州期中）如图所示，在倾角为30°的斜面顶端以速度v1水平抛出一小球A，经过时间t1落在斜面的某点P；在另一个倾角为45°的斜面顶端以速度v2水平抛出另一个小球B，经过时间t2落在斜面的某点Q；小球A在P点的速率恰好和小球B在Q点的速率相等，不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． [例题3] 惊险而优美的跳台滑雪运动可抽象为质点在斜面上的平抛运动。如图所示，滑雪运动员从倾角为θ的倾斜滑道的顶端P处，以初速度v0水平飞出后，落回到滑道上的A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，若运动员在P点以水平飞出，将落回滑道B点（未画出），BP间距L1，在空中运动时间为t1。不计空气阻力，则关于L1、t1与L、t的关系，下列说法中正确的是（　　） A．t1t，L1 B．t1，L1 C．t1t，L1 D．t1，L1 [例题4] 如图所示，从倾角为α的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速水平抛出，均落到斜面上，当抛出的速度为υ1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为θ1，当抛出的速度为υ2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为θ2，若不考虑空气阻力，则（　　） A．θ1可能大于θ2 B．θ1可能小于θ2 C．θ1一定等于θ2 D．θ1、θ2的大小与斜面倾角α无关 知识点二 与曲面相关的平抛运动 已知速度方向 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 [例题5] （多选）如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当v0大小不同时，小球的落点B也不同。重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　） A．当时，小球可以经过O点 B．当时，A、B两点位于一条直径上 C．当v0取不同值时，小球从A点运动到B点的时间不可能相同 D．若B点在O点的正下方，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大 [例题6] （2024春•庐阳区校级期中）如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球甲、乙（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（　　） A．tanα B． C． D． [例题7] （多选）（2024春•福州期末）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球不会同时落到轨道上 B．v1：v2＝1：3 C．乙球与甲球的速度变化量相同 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 [例题8] 如图所示，在竖直放置的半圆形容器中心O点分别以水平速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA⊥OB，且OA与竖直方向夹角为α角，测两小球初速度大小之比值为（　　） A．tanα B．cosα C．tanα D．cosα [例题9] 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（　　） A．R B． C． D． 1. （2024春•遵义期末）在某次演习中，轰炸机在P点沿水平方向投放了一枚炸弹（炸弹可视为质点），经过时间t，炸弹恰好垂直山坡击中目标点Q，其简化示意图如图所示。已知山坡的倾角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　） A．炸弹投放时的速度大小v0＝gttanθ B．炸弹投放时的速度大小v0＝gtsinθ C．炸弹击中目标前瞬间的速度大小v＝gt D．仅将炸弹投放时的速度变大仍能击中目标点Q 2. （2024春•越秀区校级期中）如图所示，将一小球（可视为质点）从斜面顶端A点水平抛出，第一次速度大小为v0，落在B点，小球在空中的运动时间为t；第二次仍从A点水平抛出，落在斜面底端C点，小球在空中的运动时间为2t，则第二次水平抛出的速度大小为（　　） A．2v0 B．2.5v0 C．3v0 D．4v0 3. （2024春•禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（　　） A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定 4. （2024春•泉州期中）如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则v1、v2大小之比为（　　） A．2：1 B．3：2 C．9：16 D．32：9 5. 如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α＝37°角；则两小球初速度之比（　　）（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） A．0.6 B． C． D．0.8 6. 如图，竖直平面内的四分之一圆弧，圆弧半径为R，O为圆心，一个可视为质点的小球从其边缘P点，以水平速度沿PO方向抛出，恰好击中最低点Q．设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法中错误的是（　　） A．小球从P到Q经过的时间为 B．小球的初速度大小为 C．刚要击中Q点时，速度方向与水平方向夹角为30° D．刚要击中Q点时，速度大小为 7. 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（　　） A． B． C． D．R 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题Ⅱ 与斜面、曲线结合的平抛运动 掌握平抛运动与斜面、曲面结合的平抛运动分析思路 知识点一 与斜面有关的平抛运动 运动情形 题干信息 分析方法 从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ 从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ [例题1] （2024•镇海区校级开学）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0。则下列说法正确的是（　　） A．夹角α将变大 B．夹角α将变小 C．小球在空中的运动时间变为原来的2倍 D．小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍 【解答】解：C、根据得，小球在空中运动的时间为：因为初速度变为原来的2倍，则小球运动的时间变为原来的2倍，故C正确； AB、速度与水平方向的夹角β的正切值为：，因为θ不变，则速度与水平方向的夹角β不变，可知α不变，与初速度无关，故AB错误； D、PQ的间距为：，所以当初速度变为原来的2倍，则PQ的间距变为原来的4倍，小球在空中运动的水平距离一定变为原来的4倍，故D错误。 故选：C。 [例题2] （2023春•温州期中）如图所示，在倾角为30°的斜面顶端以速度v1水平抛出一小球A，经过时间t1落在斜面的某点P；在另一个倾角为45°的斜面顶端以速度v2水平抛出另一个小球B，经过时间t2落在斜面的某点Q；小球A在P点的速率恰好和小球B在Q点的速率相等，不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对小球A，根据运动学公式分析可得： xPcos30°＝v1t1 同理，对小球B分析可得： xQcos45°＝v2t2 联立解得：；，故ABC错误，D正确； 故选：D。 [例题3] 惊险而优美的跳台滑雪运动可抽象为质点在斜面上的平抛运动。如图所示，滑雪运动员从倾角为θ的倾斜滑道的顶端P处，以初速度v0水平飞出后，落回到滑道上的A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，若运动员在P点以水平飞出，将落回滑道B点（未画出），BP间距L1，在空中运动时间为t1。不计空气阻力，则关于L1、t1与L、t的关系，下列说法中正确的是（　　） A．t1t，L1 B．t1，L1 C．t1t，L1 D．t1，L1 【解答】解：滑雪运动员从P点运动到A点的水平位移x，竖直位移为y，结合几何关系，有： 水平方向上：x＝Lcosθ＝v0t 竖直方向上：y＝Lsinθgt2 联立解得运动员在空中运动时间为：t，可知t与v0成正比，所以若初速度为v0，运动员在空中运动时间为：t1t 由上式可得，AP之间距离为：L，可知L与v02成正比，所以若初速度为v0，BP之间距离为：L1L，故C正确，ABD错误。 故选：C。 [例题4] 如图所示，从倾角为α的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速水平抛出，均落到斜面上，当抛出的速度为υ1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为θ1，当抛出的速度为υ2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为θ2，若不考虑空气阻力，则（　　） A．θ1可能大于θ2 B．θ1可能小于θ2 C．θ1一定等于θ2 D．θ1、θ2的大小与斜面倾角α无关 【解答】解：设当将小球以初速度v0平抛时，在斜面上的落点与抛出点的间距为L，则由平抛运动的规律得： 水平方向：Lcosα＝v0t 竖直方向：Lsinαgt2 整理得：cotα，若设落到斜面上时小球速度方向与竖直方向的夹角为γ，则有tanγcotα是恒量，与初速度无关，θα﹣γ也是恒量，可知到达斜面时速度方向与斜面的夹角不变，θ1一定等于θ故C正确，A、B、D错误。 故选：C。 知识点二 与曲面相关的平抛运动 已知速度方向 情景示例 解题策略 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 [例题5] （多选）如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心O竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当v0大小不同时，小球的落点B也不同。重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　） A．当时，小球可以经过O点 B．当时，A、B两点位于一条直径上 C．当v0取不同值时，小球从A点运动到B点的时间不可能相同 D．若B点在O点的正下方，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大 【解答】解：A、要使运动过程中经过O点，由平抛运动的规律可得：，，联立解得：，故A正确； B、A、B两点位于一条直径上由平抛运动的规律可得：，，联立解得：，故B错误； C、当v0取不同值时，小球的落点B可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故C错误； D、假设B点位于O点正下方时，由平抛运动规律可得：，，联立解得：，此时小球运动的时间最长，则由 Δv＝gt，可知此时速度变化量最大，故D正确。 故选：AD。 [例题6] （2024春•庐阳区校级期中）如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球甲、乙（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（　　） A．tanα B． C． D． 【解答】解：根据平抛运动水平方向上为匀速直线运动，竖直方向上为自由落体运动可知； 甲小球水平方向的位移为xA＝Rsinα＝v1t1，竖直方向的位移为，联立解得； 乙小球水平方向的位移为xB＝Rcosα＝v2t2，竖直方向的位移为，联立解得， 所以有，故C正确，ABD错误； 故选：C。 [例题7] （多选）（2024春•福州期末）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球不会同时落到轨道上 B．v1：v2＝1：3 C．乙球与甲球的速度变化量相同 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 【解答】解：AB.由图可知，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，则两个小球下落的高度相等，根据hgt2可知，甲、乙两球下落到轨道的时间t相等，两小球同时水平抛出，所以两小球一定同时落到轨道上，且甲球水平位移x1＝R﹣Rsin30°＝RRR＝v1t，乙球的水平位移x2＝R+Rsin30°＝RRR＝v2t，则v1：v2＝1：3，故A错误，B正确； C.两个物体下落到轨道的时间相等，加速度都为g，根据速度变化量公式Δv＝g•Δt，两球速度变化量相同，故C正确； D.根据平抛运动规律，某点速度方向的反向延长线必过水平位移的中点，如果D点的反向延长线过O点，则D的水平位移必须等于2R，而x2R，所以D点的反向延长线一定不会过O点，故D错误。 故选：BC。 [例题8] 如图所示，在竖直放置的半圆形容器中心O点分别以水平速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA⊥OB，且OA与竖直方向夹角为α角，测两小球初速度大小之比值为（　　） A．tanα B．cosα C．tanα D．cosα 【解答】解：由几何关系可知，A的竖直位移hA＝Rcosα，水平位移xA＝Rsinα； B的竖直位移hB＝Rcos（90°﹣α）＝Rsinα，水平位移xB＝Rsin（90°﹣α）＝Rcosα 由平抛运动的规律可知，hgt2，x＝v0t，解得v0＝x， 则A、B两小球初速度之比tanα，故ABD错误，C正确； 故选：C。 [例题9] 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（　　） A．R B． C． D． 【解答】解：由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有 vy＝v0tan60° 小球从C到D，水平方向有 Rsin60°＝v0t 竖直方向上有 y， 联立解得 y， 故C点到B点的距离为 S＝y﹣R（1﹣cos60°）。 故选：D。 1. （2024春•遵义期末）在某次演习中，轰炸机在P点沿水平方向投放了一枚炸弹（炸弹可视为质点），经过时间t，炸弹恰好垂直山坡击中目标点Q，其简化示意图如图所示。已知山坡的倾角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（　　） A．炸弹投放时的速度大小v0＝gttanθ B．炸弹投放时的速度大小v0＝gtsinθ C．炸弹击中目标前瞬间的速度大小v＝gt D．仅将炸弹投放时的速度变大仍能击中目标点Q 【解答】解：AB、在Q点进行速度分解，如图所示： 炸弹击中目标时的竖直分速度大小为：vy＝gt 设炸弹被投出时的初速度大小为v0，根据几何关系得：tanθ 解得：v0＝gt•tanθ，故A正确，B错误； C、炸弹击中目标时的速度大小为：v，故C错误； D、仅将炸弹投放时的速度变大，则能击中目标点Q的上方，故D错误。 故选：A。 2. （2024春•越秀区校级期中）如图所示，将一小球（可视为质点）从斜面顶端A点水平抛出，第一次速度大小为v0，落在B点，小球在空中的运动时间为t；第二次仍从A点水平抛出，落在斜面底端C点，小球在空中的运动时间为2t，则第二次水平抛出的速度大小为（　　） A．2v0 B．2.5v0 C．3v0 D．4v0 【解答】解：小球沿竖直方向的位移：x＝v0t 沿竖直方向的位移：y 根据 联立可得 当速度加倍时，运动时间加倍，则当小球在空中的运动时间为2t时，则第二次水平抛出的速度大小为2v0。 故A正确，BCD错误。 故选：A。 3. （2024春•禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（　　） A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定 【解答】解：如图甲所示，小球从斜面上P点水平又落回到斜面上，其速度方向与斜面间的夹角为α， 则 而tanθ 即有tan（θ+α）＝2tanθ 可见小球落在斜面上时速度方向都相同，与初速度大小无关。 如图乙所示，连接P点到落点构造斜面，可得 tan（θA+αA'）＝2tanθA＝tan（θ+αA）、tan（θB+α'B）＝2tanθB＝tan（θ+αB） 因为θA＞θB 则tan（θ+αA）＞tan（θ+αB） 可得αA＞αB，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4. （2024春•泉州期中）如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则v1、v2大小之比为（　　） A．2：1 B．3：2 C．9：16 D．32：9 【解答】解：两球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，它们在竖直方向的位移相等，小球在竖直方向做自由落体运动，由于竖直位移h相等，它们的运动时间t相等； 对球Q：tanθ＝tan53°， 解得：v2gt， 球P垂直打在斜面上，则有：v1＝vytanθ＝gt•tan53°gt， 则：，故D正确，ABC错误； 故选：D。 5. 如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α＝37°角；则两小球初速度之比（　　）（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） A．0.6 B． C． D．0.8 【解答】解：对于小球1，根据Rcosα，解得t1，则v1Rsinα。 对于小球2，根据Rsinα，解得t2，则v2Rcosα。 则两小球的初速度之比．故B正确，A、C、D错误。 故选：B。 6. 如图，竖直平面内的四分之一圆弧，圆弧半径为R，O为圆心，一个可视为质点的小球从其边缘P点，以水平速度沿PO方向抛出，恰好击中最低点Q．设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法中错误的是（　　） A．小球从P到Q经过的时间为 B．小球的初速度大小为 C．刚要击中Q点时，速度方向与水平方向夹角为30° D．刚要击中Q点时，速度大小为 【解答】解：A、小球做平抛运动，则从P到Q经过的时间R得t，故A正确； B、由水平方向R＝v0t得小球的初速度大小为v0，故B正确； C、刚要击中Q点时，设速度方向与水平方向夹角为θ，则tanθ2，所以θ≠30°，故C错误； D、刚要击中Q点时，速度大小为v，故D正确； 此题选择错误的选项 故选：C。 7. 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（　　） A． B． C． D．R 【解答】解：由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有 vy＝v0tan60° 小球从C到D，水平方向有 Rsin60°＝v0t 竖直方向上有 y 联立解得 yR 故C点到B点的距离为 S＝y﹣R（1﹣cos60°） 故选：A。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$