微专题Ⅲ 其他平抛运动模型-2024-2025学年高一物理同步讲练（人教版2019必修第二册）

微专题Ⅲ 其他平抛运动模型 掌握其他几种平抛运动的模型分析思路 知识点一 台阶平抛运动 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 示意图 v0 h s v0 h s θ( )θ [例题1] （2024春•南岗区校级期末）如图，每一级台阶的高为5cm，宽为15cm，某同学用发射器（忽略大小）从第1级台阶边缘向右水平弹射一个可以看作质点的小球，要使小球能落到第4级台阶上（小球没有与台阶顶点接触），取重力加速度为g＝10m/s2，则弹射速度v可能是（　　） A．2.5m/s B．2m/s C．1.5m/s D．1m/s [例题2] （2024春•重庆期末）如图所示，工人站在第一级台阶上，手持水管水平向左喷出水柱冲洗操场看台的台阶，出水口在第一级台阶左边缘正上方0.9m的位置，每一级台阶的高度为0.3m，宽度为0.5m，要使水清洗到第四级台阶上表面，则水管口的出水速度可能为（5.47，g＝10m/s2）（　　） A．3.0m/s B．2.8m/s C．2.0m/s D．1.5m/s [例题3] （2024春•海珠区校级期中）一阶梯如图所示（有很多级台阶，图中只画出了一部分），每级台阶的高度和宽度均为0.4m，一小球（视为质点）以大小为5m/s的速度水平飞出，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，小球第一次将落在第n级台阶上，则n为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 知识点二 对着竖直墙壁的平抛 1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 2.撞墙平抛运动的时间的计算 v0 x 若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 v0 x x/2 [例题4] （2024春•深圳期中）如图所示某同学对着竖直墙面练习投篮，在同一高度的A、B两点先后将球斜向上投出，篮球均能垂直打在竖直墙上的同一点P点。不计空气阻力，则篮球投出后在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点投出打到P点的速度大小无法比较 B．B点投出打到P点的速度大 C．A点投出在空中的运动时间长 D．B点投出在空中运动的时间长 [例题5] （2024•宿迁一模）如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则（　　） A．两次击中墙时的速度相等 B．沿1轨迹打出时的初速度大 C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角大 D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长 [例题6] （2024春•潍城区校级月考）如图所示，将一篮球从地面上方的B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点。若抛射点B水平向左移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，不计空气阻力，则下列方法可行的是（　　） A．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0的大小 B．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0的大小 C．增大抛射角θ，同时减小抛射速度v0的大小 D．增大抛射角θ，同时增大抛射速度v0的大小 [例题7] （2024•重庆一模）一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示，第一次出手时，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角α＝60°；第二次出手时，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球与橙色篮球运动的高度之比为（　　） A． B． C． D． 知识点三 平抛运动中的相遇问题 平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速 v2 v1 v3 v4 x:l=vt; y:空中相遇t< 联立得 x:s=v1t; y:½gt2+v2t-½gt2=H, t=H/v2 联立得H/v2=s/t 球1比球2先抛 t1>t2、v1<v2； 球3、4同时抛 t1=t2、v3>v4； x:l=(v1-t2)t; y:t= [例题8] （2024春•济南期末）如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va、vb沿水平方向抛出，若不计空气阻力，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，下列关系正确的是（　　） A．ta＝tb B．ta＞tb C．va＝vb D．va＞vb [例题9] （2023春•大祥区校级期末）从高H处以水平速度v1平抛小球a，同时从地面以初速度v2竖直上抛小球b，两球在空中相遇，如图所示。下列说法中正确的是（　　） A．从抛出到相遇所用的时间为 B．从抛出到相遇所用的时间为 C．两球抛出时的水平距离为 D．两球抛出时的水平距离为H [例题10] （2023春•成都月考）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．初速度v1、v2大小之比为4：3 B．若仅增大v1，两球不可能相碰 C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D D．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC [例题11] （2024•莲湖区校级模拟）如图所示，光滑斜面固定，倾角θ＝37°，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为d，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。求： （1）小球从D点运动到P点的时间t及其抛出时距B点的高度h； （2）斜面的长度L。 1. （2023春•洛阳月考）在每级都相同的台阶中，台阶水平部分AB＝CD，竖直部分BC＝DE＝d＝0.21m，现在A点的正上方某处水平抛出一小球（视为质点），小球刚好能过B、D两点，如图所示。若不计空气阻力，则抛出点距A点的高度为（　　） A．cm B．cm C．7cm D．10cm 2. （2023春•道里区校级月考）“套圈儿”是许多人喜爱的一种游戏。如图所示，小孩和大人直立在界外同一位置，在同一竖直线上不同高度先后水平抛出小圆环，并恰好套中前方同一物体，假设圆环的运动可视为平抛运动，则（　　） A．大人与小孩抛出的圆环运动时间相同 B．小孩抛出的圆环运动时间较短 C．小孩抛出的圆环水平速度大小较小 D．两人抛出的圆环水平速度大小相等 3. （2023春•临沂期末）篮球是青少年喜爱的一项体育运动，集对抗和技巧于一体。如图所示，某同学在做投篮训练，篮球出手点离水平地面的高度h＝1.8m，篮筐离地面的高度为H＝3.05m。篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为x＝5m，篮球到达篮筐时，恰好速度水平。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。则出手时，篮球速度与水平方向夹角的正切值等于（　　） A．2 B． C． D． 4. （2024春•鼓楼区校级期末）如图所示，运动员两次罚球出手的位置相同，篮球历时ta、tb以速度va、vb垂直击中竖直篮板的a、b位置，若不计空气阻力，则（　　） A．ta＝tb B．ta＜tb C．va＝vb D．va＜vb 5. （2023春•黄浦区校级月考）如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1：2，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两球的初速度之比为1：4 B．A、B两球的位移相同 C．若两球同时抛出，则落地的时间差为 D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为 6. （多选）（2023春•河源期中）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中（　　） A．都做变加速运动 B．速度变化量的大小相等 C．相遇点在N点上方处 D．相遇点在N点上方处 7. （2022春•武汉期末）如图所示，A、B两小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出后，恰好在C位置相遇，已知A、B两球抛出时的速度分别为v1、v2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两球从抛出到运动至C点的时间相等 B．相遇时A球速度大于B球速度 C．A先抛出，且v1＜v2 D．B先抛出，且v1＞v2 8. （2022•保定一模）如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且PM长度等于MN的长度，不计黄豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（　　） A．两黄豆相遇时，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍 B．甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度不相等 C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍 D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度一半 9. 如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　） A．两球抛出时A的速度大于B的速度 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 10. 如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．乙同学抛出的篮球初速度一定大 C．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小 D．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 11. （2022春•阎良区校级期中）如图所示，a、b两个小球在同一竖直平面内从不同高度沿相反方向水平抛出，在P点相遇但不相碰（理想化），不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．b球先落地 B．a、b两球同时落地 C．a球比b球先抛出 D．a、b两球在P点的速度大小相等 12. （多选）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹。A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇。不计空气阻力和球的大小，则（　　） A．两球抛出时的速度大小相等 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 13. 如图所示，一水平长木板的左端有一滑块，滑块正上方高h＝0.8m处有一小球，当滑块在长木板上以初速度v1＝3m/s向右滑出的同时，小球以初速度v0＝2m/s向右抛出，结果小球与滑块刚好能相遇，g＝10m/s2，求： （1）滑块与长木板间的动摩擦因数； （2）如果将长木板绕左端逆时针转动37°，再将小球以初速度v0＝4m/s水平抛出的同时，滑块从长木板的底端以一定的初速度沿长木板向上滑动，如果滑块在上滑的过程中与小球相遇，滑块的初速度多大？ 14. 如图所示，有一倾角为θ＝37°的粗糙斜面固定在地面上，底端A点竖直线上离底端高度为H处有一小球P以v0＝3m/s的速度水平抛出，小球P恰好垂直打在斜面上（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）。求： （1）小球从抛出到落到斜面上所经历的时间t； （2）小球P抛出点距离斜面底端A的高度H； （3）若小球从P点抛出的同时另有一小滑块Q从A点以初速度v1沿斜面方向上滑，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，若小滑块Q能在上升过程中与小球P在斜面上相遇，求v1的大小。 15. 有A、B、C三个小球，A距地面较高，B其次，C最低．A、C两球在同一竖直线上，相距10m，如图所示，三个小球同时开始运动，A球竖直下抛，B球平抛，C球竖直上抛，三球初速度大小相同，5s后三球相遇，不考虑空气阻力．求： （1）三球的初速度大小是多少； （2）开始运动时，B球离C球的水平距离和竖直高度各是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题Ⅲ 其他平抛运动模型 掌握其他几种平抛运动的模型分析思路 知识点一 台阶平抛运动 方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法 示意图 v0 h s v0 h s θ( )θ [例题1] （2024春•南岗区校级期末）如图，每一级台阶的高为5cm，宽为15cm，某同学用发射器（忽略大小）从第1级台阶边缘向右水平弹射一个可以看作质点的小球，要使小球能落到第4级台阶上（小球没有与台阶顶点接触），取重力加速度为g＝10m/s2，则弹射速度v可能是（　　） A．2.5m/s B．2m/s C．1.5m/s D．1m/s 【解答】解：根据平抛运动规律有x＝v0t，hgt2，联立解得v0＝x，落在第4级台阶上，每级台阶的高为5cm＝0.05m，宽为15cm＝0.15m， 根据题意，则最小速度满足vmin＝0.15×2m/s＝2.12m/s，最大速度满足vmax＝0.15×3m/s＝2.60m/s，所以落在第4级台阶的速度范围满足2.12m/s≤v≤2.60m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 [例题2] （2024春•重庆期末）如图所示，工人站在第一级台阶上，手持水管水平向左喷出水柱冲洗操场看台的台阶，出水口在第一级台阶左边缘正上方0.9m的位置，每一级台阶的高度为0.3m，宽度为0.5m，要使水清洗到第四级台阶上表面，则水管口的出水速度可能为（5.47，g＝10m/s2）（　　） A．3.0m/s B．2.8m/s C．2.0m/s D．1.5m/s 【解答】解：由题意可知，若要使水清洗到第四级台阶上表面，水柱落到台阶上时至少大于第三节台阶的外边缘，最多不能大于第四节台阶的外边缘，水流从出口出来之后做平抛运动，由此可得： 由题意可知 x1＝2×0.5m＝1m h1＝0.9m+0.3m×2＝1.5m x2＝3×0.5m＝1.5m h2＝0.9m+0.3m×3＝1.8m 当水柱刚好越过第三节台阶的外边缘时， x1＝v1t1 代入数据解得； 当水柱刚好落到第四节台阶的外边缘时 x2＝v2t2 代入数据解得v2＝2.5m/s， 要使水清洗到第四级台阶上表面，则水管口的出水速度应为v1＜v＜v2 代入数据解得1.826m/s＜v＜2.5m/s，故C正确，ABD错误； 故选：C。 [例题3] （2024春•海珠区校级期中）一阶梯如图所示（有很多级台阶，图中只画出了一部分），每级台阶的高度和宽度均为0.4m，一小球（视为质点）以大小为5m/s的速度水平飞出，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，小球第一次将落在第n级台阶上，则n为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：如图 设小球落到台阶边缘斜线上的时间t，水平方向x＝v0t 竖直方向 且 解得t＝1.0s 相应的水平距离x＝v0t＝5×1.0m＝5.0m 台阶数 知小球第一次将落在第13级台阶上。故ABC错误，D正确。 故选：D。 知识点二 对着竖直墙壁的平抛 1.如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝. 2.撞墙平抛运动的时间的计算 v0 x 若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间t=x/v0。，则竖直速度为v=gt、高度为h=½gt2. 3.撞墙平抛运动的推论 撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。 v0 x x/2 [例题4] （2024春•深圳期中）如图所示某同学对着竖直墙面练习投篮，在同一高度的A、B两点先后将球斜向上投出，篮球均能垂直打在竖直墙上的同一点P点。不计空气阻力，则篮球投出后在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点投出打到P点的速度大小无法比较 B．B点投出打到P点的速度大 C．A点投出在空中的运动时间长 D．B点投出在空中运动的时间长 【解答】解：AB．该运动可看作平抛运动的逆过程，根据平抛运动规律有 可知，水平位移越大初速度越大，则B点投出打到P点的速度大，故A错误，B正确； CD．篮球在空中的运动时间由竖直方向的高度差决定，根据位移—时间关系有 可知A点、B点投出的篮球在空中的运动时间相等，故CD错误； 故选：B。 [例题5] （2024•宿迁一模）如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则（　　） A．两次击中墙时的速度相等 B．沿1轨迹打出时的初速度大 C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角大 D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长 【解答】解：球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，则此时小球在竖直方向上的速度分量为0，两次运动可以逆向看成平抛运动，则有 因为球1与球2竖直方向上的位移h相等，所以运动时间相等，vy也相等。根据，则 vx1＞vx2 所以 v1＞v2 A.两次击中墙时的速度就等于初速度在水平方向上的分量，因为vx1＞vx2，所以两次击中墙时的速度不相等，故A错误； B.因为两球竖直方向上的速度分量相等，球1水平方向上的速度分量大于球2水平方向上的速度分量，则球1的初速度大于球2的初速度，故B正确； C.设球打出时速度方向与水平方向夹角为θ，则根据平抛运动的推论有 所以 tanθ1＜tanθ2 则 θ1＜θ2 故C错误； D.从打出到撞墙，两球在空中运动时间相等，故D错误； 故选：B。 [例题6] （2024春•潍城区校级月考）如图所示，将一篮球从地面上方的B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点。若抛射点B水平向左移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，不计空气阻力，则下列方法可行的是（　　） A．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0的大小 B．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0的大小 C．增大抛射角θ，同时减小抛射速度v0的大小 D．增大抛射角θ，同时增大抛射速度v0的大小 【解答】解：由于篮球始终垂直击中A点，可应用逆向思维，把篮球的运动看作从A开始的平抛运动。当B点水平向左移动一小段距离时，A点抛出的篮球仍落在B点，则竖直高度不变，水平位移减小。 球到B点的时间为：，所以时间t不变。 竖直分速度：，所以竖直分速度不变。 水平方向满足：x＝vxt，由于x减小，可知vx减小。 合速度：v0，在竖直速度不变时，合速度变小。 与水平方向的夹角：，当vy不变，而vx减小时，所以抛射角θ变大。 可知若要符合题意仍使抛出的篮球垂直击中A点，应减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ。故ABD错误，C正确。 故选：C。 [例题7] （2024•重庆一模）一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示，第一次出手时，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角α＝60°；第二次出手时，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球与橙色篮球运动的高度之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为C点是两个篮球斜抛运动的最高点，所以在C点两个篮球的速度都是水平方向，可用逆向思维，将该题看成从C点水平抛出红、橙两个篮球，当运动到虚线处时，速度方向与竖直方向的夹角分别为α、β 根据平抛运动的推论：做平抛运动的物体任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点。又因为红、橙篮球的水平位移相同，所以反向延长红、橙篮球的速度，会交于水平位移的中点，如下图： 设水平位移为x，红色篮球的竖直位移为h1，橙色篮球的竖直位移为h2，则有：， 解得：， 所以红色篮球与橙色篮球运动的高度之比为：，故ACD错误、B正确。 故选：B。 知识点三 平抛运动中的相遇问题 平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速 v2 v1 v3 v4 x:l=vt; y:空中相遇t< 联立得 x:s=v1t; y:½gt2+v2t-½gt2=H, t=H/v2 联立得H/v2=s/t 球1比球2先抛 t1>t2、v1<v2； 球3、4同时抛 t1=t2、v3>v4； x:l=(v1-t2)t; y:t= [例题8] （2024春•济南期末）如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点分别以初速度va、vb沿水平方向抛出，若不计空气阻力，经过时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，下列关系正确的是（　　） A．ta＝tb B．ta＞tb C．va＝vb D．va＞vb 【解答】解：AB.根据平抛物体的运动规律有hgt2，得t，由图可知ha＞hb，所以ta＞tb，故A错误，B正确； CD.在水平方向上，满足x＝vt，由于水平距离x相等，由ta＞tb，可以得出va＜vb，故CD错误。 故选：B。 [例题9] （2023春•大祥区校级期末）从高H处以水平速度v1平抛小球a，同时从地面以初速度v2竖直上抛小球b，两球在空中相遇，如图所示。下列说法中正确的是（　　） A．从抛出到相遇所用的时间为 B．从抛出到相遇所用的时间为 C．两球抛出时的水平距离为 D．两球抛出时的水平距离为H 【解答】解：AB．小球a在水平方向为匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球b做竖直上抛运动，则相遇时满足 解得 此过程中的时间也等于小球a在水平方向的位移与初速度v1的比值。故AB错误； CD．两球之间的水平距离为 故C正确，D错误。 故选：C。 [例题10] （2023春•成都月考）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．初速度v1、v2大小之比为4：3 B．若仅增大v1，两球不可能相碰 C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D D．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC 【解答】解：A．根据题意，作出轨迹图及速度的分解图，如下图： 甲、乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有： x乙＝v2t＝R 初速度v1、v2大小之比为3：4，故A错误； B．两球相碰，则满足，若仅增大v1，显然存在t满足方程，所以两球会相碰，故B错误； C．若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，下落高度减小时间减小，所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误； D．若甲球能垂直击中圆环BC，则甲球的落地速度的反向延长线通过圆心O点，根据平抛运动的推论，只要O点是甲球水平位移的中点即可，经分析可知适当增大甲球的水平初速度就有可能，故D正确． 故选：D． [例题11] （2024•莲湖区校级模拟）如图所示，光滑斜面固定，倾角θ＝37°，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为d，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。求： （1）小球从D点运动到P点的时间t及其抛出时距B点的高度h； （2）斜面的长度L。 【解答】解：（1）小球从D点运动到P点的过程做平抛运动，如图所示： 有dcosθ＝v0t； 解得：t 该过程中小球竖直方向上的位移大小为 解得： 又h＝y+dsinθ 解得：h （2）设物块沿斜面下滑的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得： mgsinθ＝ma 根据运动学公式可得： 解得： 又L＝d+d' 解得：L 答：（1）小球从D点运动到P点的时间为，其抛出时距B点的高度为； （2）斜面的长度为。 1. （2023春•洛阳月考）在每级都相同的台阶中，台阶水平部分AB＝CD，竖直部分BC＝DE＝d＝0.21m，现在A点的正上方某处水平抛出一小球（视为质点），小球刚好能过B、D两点，如图所示。若不计空气阻力，则抛出点距A点的高度为（　　） A．cm B．cm C．7cm D．10cm 【解答】解：设每级台阶的水平部分长为L，抛出点距A点的高度为h。 小球做平抛运动，小球经过B点，水平方向有L＝v0t1，竖直方向有 小球刚好经过D点，水平方向有2L＝v0t2，竖直方向有 联立解得：h＝0.07m＝7cm，故ABD错误，C正确。 故选：C。 2. （2023春•道里区校级月考）“套圈儿”是许多人喜爱的一种游戏。如图所示，小孩和大人直立在界外同一位置，在同一竖直线上不同高度先后水平抛出小圆环，并恰好套中前方同一物体，假设圆环的运动可视为平抛运动，则（　　） A．大人与小孩抛出的圆环运动时间相同 B．小孩抛出的圆环运动时间较短 C．小孩抛出的圆环水平速度大小较小 D．两人抛出的圆环水平速度大小相等 【解答】解：AB、圆环在空中做平抛运动，由得t，可知小孩抛出小圆环的高度低，抛出的圆环运动时间较短，故A错误，B正确； CD、两个圆环运动的水平位移相同，由可知，小孩抛出的圆环水平速度较大，故CD错误。 故选：B。 3. （2023春•临沂期末）篮球是青少年喜爱的一项体育运动，集对抗和技巧于一体。如图所示，某同学在做投篮训练，篮球出手点离水平地面的高度h＝1.8m，篮筐离地面的高度为H＝3.05m。篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为x＝5m，篮球到达篮筐时，恰好速度水平。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。则出手时，篮球速度与水平方向夹角的正切值等于（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意可知篮球到达篮筐上升的高度为 Δh＝H﹣h＝3.05m﹣1.8m＝1.25m 篮球到达篮筐时，恰好速度水平，故此时竖直速度为零，则 可得篮球运动时间为 故出手时，篮球速度的竖直分速度大小为 vy＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s 故出手时，篮球速度的水平分速度大小为 故出手时篮球速度与水平方向夹角的正切值为 ，故B正确，ACD错误。 故选：B。 4. （2024春•鼓楼区校级期末）如图所示，运动员两次罚球出手的位置相同，篮球历时ta、tb以速度va、vb垂直击中竖直篮板的a、b位置，若不计空气阻力，则（　　） A．ta＝tb B．ta＜tb C．va＝vb D．va＜vb 【解答】解：AB、将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，竖直方向为自由落体运动 由于ha＞hb 可得ta＞tb故AB错误； CD、水平方向有x＝vxt 由于xa＝xb ta＞tb 可得va＜vb 故D正确，C错误。 故选：D。 5. （2023春•黄浦区校级月考）如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1：2，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两球的初速度之比为1：4 B．A、B两球的位移相同 C．若两球同时抛出，则落地的时间差为 D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为 【解答】解：A、小球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向：x＝vt 竖直方向： 联立解得，小球的初速度为 则A、B两球的初速度之比为 故A错误； B、设A球的水平位移为x，B球的水平位移为2x，则A、B两球的位移分别为 则A、B两球的位移大小不一定相等，方向一定不同，故B错误； CD、由得，A球的运动时间为 B球的运动时间为 若两球同时抛出，则落地的时间差为 若两球同时落地，则两球抛出的时间差为 故C错误，D正确。 故选：D。 6. （多选）（2023春•河源期中）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中（　　） A．都做变加速运动 B．速度变化量的大小相等 C．相遇点在N点上方处 D．相遇点在N点上方处 【解答】解：A．由于两个球都只受到重力的作用，都做匀变速运动，故A错误； B．由Δv＝gt可知，在相同时间内，它们速度变化量的大小相等，方向都竖直向下，故B正确； CD．S1球做平抛运动，竖直方向有 S2球竖直上抛，到最高点速度为零，则有v2＝gt 根据位移—时间公式有： 由题意得h＝h1+h2 解得 所以相遇点在N点上方处，故C正确，D错误。 故选：BC。 7. （2022春•武汉期末）如图所示，A、B两小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出后，恰好在C位置相遇，已知A、B两球抛出时的速度分别为v1、v2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两球从抛出到运动至C点的时间相等 B．相遇时A球速度大于B球速度 C．A先抛出，且v1＜v2 D．B先抛出，且v1＞v2 【解答】解：两球在C点相遇，根据h知，下降的高度越高，时间越长，根据图可知，hA＞hB，则A球运动的时间长，B球运动的时间短，可知A球一定是早些抛出的，水平位移相等，根据x＝v0t知，A球的运动时间长，则A球的初速度小，即v1＜v故ABD错误，C正确； 故选：C。 8. （2022•保定一模）如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且PM长度等于MN的长度，不计黄豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（　　） A．两黄豆相遇时，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍 B．甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度不相等 C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍 D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度一半 【解答】解：B、设甲黄豆做平抛运动的时间为t，那么乙黄豆做斜抛运动的时间也为t，根据斜抛运动的对称性可知：乙黄豆从M点运动至最高点的时间为，乙黄豆从M点运动至最高点的水平位移为MN的一半，设PM＝MN＝L，甲黄豆在P点的速度为v1，乙黄豆到达最高点的速度为v′，在水平方向上有运动学规律，对甲黄豆：L＝v1t，对乙黄豆从M点运动至最高点有：，联立解得：v1＝v′，故B错误； ACD、对甲黄豆到达N点时，在竖直方向上：L，v1y＝gt， 在水平方向：v1； 甲黄豆到达N点时的速度为：v甲， 对乙黄豆在从M点运动至最高点的过程中，由逆向思维得上升的最大高度为：h，所以乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度的； 乙黄豆在M点的竖直方向分速度为：，则：， 由运动的合成与分解得乙黄豆在N点的速度为：，所以两黄豆相遇时甲的速度大小不是乙的两倍； 两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角正切值为：tanα2， 乙的速度与水平方向的夹角正切值为：tanβ，所以两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角不是乙的两倍，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍；故A正确，CD错误。 故选：A。 9. 如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　） A．两球抛出时A的速度大于B的速度 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 【解答】解：A．两个小球都做平抛运动，水平方向都做匀速直线运动，根据x＝v0t，根据题意，A运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，x和t都相等，所以v0相等，故A错误； B．因为水平速度相等，台阶的宽度也相等，所以两个小球在空中运动的总时间之比为2：1，所以相遇时两球竖直速度之比为2：1，合速度v，其比值一定不等于2：1，故B错误； C．根据平抛运动竖直方向： 水平方向：x＝v0t 联立解得： 台阶1、3的高度差与台阶2、3高度差之比为 所以，台阶1、2的高度差与台阶2、3高度差之比为 故C错误； D．设2、3台阶的高度差为h0，则1、3台阶的高度差为4h0，设台阶的宽度x0，根据平抛运动的推论tanα＝2tanβ 得 两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值与B的速度与水平方向的夹角的正切值之比为 故D正确。 故选：D。 10. 如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．乙同学抛出的篮球初速度一定大 C．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小 D．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 【解答】解：AD、两篮球在空中做平抛运动，在P点相遇时，甲同学抛出的篮球下落高度较大，根据hgt2，解得：t，则两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长，所以甲同学比乙同学先将篮球抛出，故A错误，D正确； B、两篮球相遇时两篮球水平位移关系不能确定，甲同学抛出的篮球运动时间较长，由x＝v0t可知，根据题中条件无法判断两个篮球初速度的大小关系，故B错误； C、设初速度大小为v0时，水平方向的位移x＝v0t＝v0，由于初速度大小不知道，无法判断水平位移的大小，故C错误； 故选：D。 11. （2022春•阎良区校级期中）如图所示，a、b两个小球在同一竖直平面内从不同高度沿相反方向水平抛出，在P点相遇但不相碰（理想化），不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．b球先落地 B．a、b两球同时落地 C．a球比b球先抛出 D．a、b两球在P点的速度大小相等 【解答】解：ABC、a、b两个小球都做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，由h得t，两球在P点相遇，则a球比b球先抛出。到达P点时，a球的竖直分速度比b球的大，则a球先落地，故AB错误，C正确； D、由x＝v0t得v0，a球的水平位移大，运动时间也长，所以不能比较初速度大小，也就不能比较两球在P点的速度大小，故D错误。 故选：C。 12. （多选）如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹。A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇。不计空气阻力和球的大小，则（　　） A．两球抛出时的速度大小相等 B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍 C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍 D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍 【解答】解：A、B球从台阶2的右端水平抛出时，A球运动到台阶2右端正上方，即两球运动到水平方向同一位置，之后两球能够相遇，所以在相同时间内两球运动了相同的水平位移，则两球的初速度相等，故A正确； B、由A项分析可知两球水平速度相等，且每个台阶宽度相等，则A、B两球运动的总时间之比为2：1， 所以相遇时两球竖直速度之比为2：1，而水平速度相等，故合速度并非2：1，故B错误； C、两球运动的总时间之比为2：1，由竖直位移与时间的关系可知两球下落的高度之比为4：1， 所以台阶1、2的高度差与台阶2、3的高度差之比为3：1，故C错误； D、设两球相遇时A球竖直速度为v1，B球竖直速度为v2，两球水平速度相等均为v0， 由题意知，A球的速度与水平方向夹角的正切值为，B球的速度与水平方向夹角的正切值为， 且两球运动的总时间之比为2：1，由v＝gt可知竖直方向上的速度之比也为2：1，即v1：v2＝2：1，所以A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍，故D正确。 故选：AD。 13. 如图所示，一水平长木板的左端有一滑块，滑块正上方高h＝0.8m处有一小球，当滑块在长木板上以初速度v1＝3m/s向右滑出的同时，小球以初速度v0＝2m/s向右抛出，结果小球与滑块刚好能相遇，g＝10m/s2，求： （1）滑块与长木板间的动摩擦因数； （2）如果将长木板绕左端逆时针转动37°，再将小球以初速度v0＝4m/s水平抛出的同时，滑块从长木板的底端以一定的初速度沿长木板向上滑动，如果滑块在上滑的过程中与小球相遇，滑块的初速度多大？ 【解答】解：由平抛运动规律，竖直方向上有：h 得：t0.4s 小球的水平位移为：x＝v0t＝2×0.4m＝0.8m， 由匀变速直线运动规律得：x＝v1t， 得：加速度a＝5m/s2 根据牛顿第二定律得：μmg＝ma 解得动摩擦因数为：μ0.5； （2）当长木板沿逆时针转动37°时，球以初速度v0做平抛运动打到长木板上，如图所示： 由平抛运动规律及几何关系有： x＝v'0t'， ygt′2 tan37° 求得t'＝0.2s 滑块沿斜面上滑，设初速度为v2，则根据牛顿第二定律有： mgsin37°+μmgcos37°＝ma' 由位移—时间关系有： v2t'a′t′2 求得：v2＝6m/s； 答：（1）滑块与长木板间的动摩擦因数为0.5； （2）如果将长木板绕左端逆时针转动37°，再将小球以初速度v0＝4m/s水平抛出的同时，滑块从长木板的底端以一定的初速度沿长木板向上滑动，如果滑块在上滑的过程中与小球相遇，滑块的初速度为6m/s。 14. 如图所示，有一倾角为θ＝37°的粗糙斜面固定在地面上，底端A点竖直线上离底端高度为H处有一小球P以v0＝3m/s的速度水平抛出，小球P恰好垂直打在斜面上（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2）。求： （1）小球从抛出到落到斜面上所经历的时间t； （2）小球P抛出点距离斜面底端A的高度H； （3）若小球从P点抛出的同时另有一小滑块Q从A点以初速度v1沿斜面方向上滑，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，若小滑块Q能在上升过程中与小球P在斜面上相遇，求v1的大小。 【解答】（1）小球落在斜面上的速度与竖直方向夹角为θ，由平抛运动规律得v0＝vytanθ，vy＝gt， 解得ts＝0.4s； （2）小球下落的高度：h1gt2， 小球的水平位移：x＝v0t， 小球的落点到斜面底端的竖直高度：h2＝xtanθ， 综上可得，小球抛出点到斜面底端的竖直高度：H＝h1+h2gt2+v0t•tanθ10×0.42m+3×0.4m＝1.7m； （3）滑块加速度为a＝gsinθ+μgcosθ＝10m/s2， 在t＝0.4s内位移为xm＝1.5m， 由v1tat2＝x得v1＝5.75m/s 答：（1）小球从抛出到落到斜面上所经历的时间t为0.4s； （2）小球P抛出点距离斜面底端A的高度H为1.7m； （3）若小滑块Q能在上升过程中与小球P在斜面上相遇，则v1的大小为5.75m/s。 15. 有A、B、C三个小球，A距地面较高，B其次，C最低．A、C两球在同一竖直线上，相距10m，如图所示，三个小球同时开始运动，A球竖直下抛，B球平抛，C球竖直上抛，三球初速度大小相同，5s后三球相遇，不考虑空气阻力．求： （1）三球的初速度大小是多少； （2）开始运动时，B球离C球的水平距离和竖直高度各是多少？ 【解答】解：（1）取向下为正方向，设在D点相遇 对A球： 对C球： 因为hAD＝hAC+hCD 且hAC＝10m 所以 所以2v0t＝10 故 （2）B球与C球的水平距离为sBC＝v0t＝1×5m＝5m B球与C球的竖直距离为v0t＝1×5m＝5m 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$