3.1 用树状图或表格求概率　知识清单　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

《1 用树状图或表格求概率》知识清单 一、概率的初步认识 1、 概率是什么 概率就是一件事情发生的可能性大小。比如说，你每天早上出门的时候，遇到晴天、阴天或者下雨天的可能性就是不同的概率。我有一次早上出门，看了看天气预报说有30%的概率下雨。这30%就是下雨这个事件发生的概率。那这个概率是怎么来的呢？它是根据以往的天气数据、当前的气象条件等很多因素算出来的。概率的值在0到1之间，0表示这个事情绝对不会发生，像太阳从西边出来这种事概率就是0；1表示这个事情肯定会发生，就像每天都有白天黑夜这种事概率就是1。 2、 简单概率的计算 如果一个试验所有可能的结果有n种，而事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A) ＝ m/n。例如，一个袋子里有5个红球和3个白球，从袋子里随便摸出一个球是红球的概率。这里n ＝ 5+3 ＝ 8（总共有8种摸球的结果），m ＝ 5（摸到红球有5种情况），所以摸到红球的概率P(摸到红球)＝ 5/8。 二、用树状图求概率 1、 树状图的概念 树状图就像一棵倒着的树，它能把一个试验中所有可能的结果一步一步清晰地展示出来。比如说，你和朋友玩猜硬币正反然后掷骰子的游戏。首先猜硬币正反有两种结果（正和反），这是树状图的第一层分支。然后掷骰子有6种结果（1、2、3、4、5、6），这就从猜硬币的每个结果再延伸出6个分支，这样就形成了一个树状图。 2、 如何画树状图 还是以刚才的猜硬币正反然后掷骰子的游戏为例。 第一步，先确定试验的第一步有哪些结果，在这里就是猜硬币的正反，我们把这两个结果写在树状图的第一层。 第二步，对于第一步的每个结果，再确定第二步有哪些结果，也就是掷骰子的6种结果。从猜硬币正面这个分支再画出6个分支表示掷骰子的6种结果，同样从猜硬币反面这个分支也画出6个分支表示掷骰子的6种结果。 第三步，把每个分支对应的结果都标清楚。这样一个完整的树状图就画好了。 3、 用树状图计算概率 从树状图中我们可以很容易地数出所有可能的结果数n，以及我们关心的事件所包含的结果数m。然后就可以用概率公式P(A)＝ m/n来计算概率了。例如在这个猜硬币正反然后掷骰子的游戏中，如果我们关心的事件是“猜硬币正面并且掷骰子掷出3”。从树状图中我们可以看到总共有2×6 ＝ 12种结果（n ＝ 12），而满足我们关心事件的结果只有1种（m ＝ 1），所以这个事件发生的概率P(猜硬币正面并且掷骰子掷出3)＝ 1/12。 三、用表格求概率 1、 表格的构建 表格是另一种用来表示试验结果求概率的好方法。比如说有两个转盘，一个转盘被分成3等份，分别标着1、2、3；另一个转盘被分成4等份，分别标着A、B、C、D。我们要计算两个转盘指针所指结果的组合概率。我们就可以构建一个表格，表格的行可以表示第一个转盘的结果，列可以表示第二个转盘的结果。 第一行我们写上第一个转盘的结果1，然后这一行对应的列分别写上和第二个转盘结果组合后的情况，也就是(1,A)、（1,B)、（1,C)、（1,D)；第二行写上2，对应的列也写出组合情况(2,A)、（2,B)、（2,C)、（2,D)；第三行写上3，对应的列写出(3,A)、（3,B)、（3,C)、（3,D)。这样就构建好了一个表格。 2、 用表格求概率的方法 从这个表格中我们可以数出所有可能的结果数n，在这个例子中n ＝ 3×4 ＝ 12。然后如果我们关心的事件是“第一个转盘指针指向1并且第二个转盘指针指向A”，从表格中我们可以看到满足这个事件的结果只有1种（m ＝ 1），所以这个事件发生的概率P(第一个转盘指针指向1并且第二个转盘指针指向A)＝ 1/12。 四、树状图和表格求概率的比较 1、 相同点 树状图和表格都是用来帮助我们求出一个试验中某个事件发生的概率的工具。它们都能把试验的所有可能结果清晰地展示出来，然后我们可以通过数结果的数量来计算概率。不管是用树状图还是表格，计算概率的公式都是P(A)＝ m/n，这里的n是所有可能的结果数，m是我们关心的事件所包含的结果数。 2、 不同点 树状图更适合于那种分步骤进行的试验，就像我们前面说的猜硬币然后掷骰子的游戏，每一步都有不同的结果，用树状图可以很清楚地看到每一步的分支情况。而表格更适合于那种两个因素相互组合的试验，比如两个转盘的组合情况。树状图看起来更像一个动态的过程展示，表格则更像是一个静态的结果组合展示。 五、实际应用中的概率计算 1、 抽奖问题 我有一次去参加商场的抽奖活动，抽奖箱里有100个小球，其中10个是红色的，代表一等奖；20个是蓝色的，代表二等奖；30个是绿色的，代表三等奖；剩下40个是白色的，没有中奖。抽奖规则是从抽奖箱里随机摸出一个球。我们可以用树状图或者表格来计算中奖的概率。如果用表格的话，我们可以把奖项作为行（一等奖、二等奖、三等奖、不中奖），把摸球这个事件作为列（只有1次摸球）。从表格中我们可以看到总共有100种可能的结果（n ＝ 100），而中奖（包括一、二、三等奖）的结果有10 ＋ 20+30 ＝ 60种（m ＝ 60），所以中奖的概率P(中奖)＝ 60/100 ＝ 0.6。 2、 摸球放回与不放回问题 比如说有一个盒子里有3个红球和2个白球。 如果是摸球放回的情况，每次摸球的概率都不变。我们要计算连续两次摸到红球的概率。用树状图的话，第一次摸球有两种结果（摸到红球或者摸到白球），因为是放回，所以第二次摸球又有两种结果。从树状图中可以看到总共有5×5 ＝ 25种结果（n ＝ 25），连续两次摸到红球的情况有3×3 ＝ 9种（m ＝ 9），所以连续两次摸到红球的概率P(连续两次摸到红球)＝ 9/25。 如果是摸球不放回的情况，第一次摸球有5种可能，摸到红球有3种可能，概率是 3/5。第二次摸球的时候，因为已经摸走了一个球（假设第一次摸到红球），所以剩下4个球，其中红球有2个，那么第二次摸到红球的概率就是 2/4。要计算连续两次摸到红球的概率，根据分步乘法计数原理，P(连续两次摸到红球)＝ 3/5×2/4 ＝ 6/20 ＝ 3/10。 六、典型问题 1、 问题一 一个口袋里有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4。从口袋里随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球。求两次摸出的小球数字之和为5的概率。 我们可以用树状图来解决这个问题。第一次摸球有4种结果（1、2、3、4），因为是放回，第二次摸球也有4种结果。画出树状图后，我们可以看到总共有4×4 ＝ 16种结果（n ＝ 16）。两次摸球数字之和为5的情况有(1,4)、（4,1)、（2,3)、（3,2)这4种（m ＝ 4），所以两次摸球数字之和为5的概率P(两次摸球数字之和为5)＝ 4/16 ＝ 1/4。 2、 问题二 有A、B两个不透明的盒子，A盒中有2个红球和1个白球，B盒中有1个红球和2个白球。从A盒中随机取出一个球放入B盒，然后再从B盒中随机取出一个球。求从B盒中取出红球的概率。 我们可以分情况用表格来计算。 如果从A盒中取出的是红球（概率为 2/3），放入B盒后，B盒中有2个红球和2个白球，此时从B盒中取出红球的概率为 2/4。 如果从A盒中取出的是白球（概率为 1/3），放入B盒后，B盒中有1个红球和3个白球，此时从B盒中取出红球的概率为 1/4。 根据全概率公式，从B盒中取出红球的概率P ＝ 2/3×2/4+1/3×1/4 ＝ 4/12 ＋ 1/12 ＝ 5/12。 3、 问题三 同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为7的概率。 我们可以用表格来计算。第一枚骰子掷出的结果有1、2、3、4、5、6这6种情况，作为表格的行；第二枚骰子掷出的结果也有1、2、3、4、5、6这6种情况，作为表格的列。构建表格后，我们可以看到总共有6×6 ＝ 36种结果（n ＝ 36）。两枚骰子点数之和为7的情况有(1,6)、（6,1)、（2,5)、（5,2)、（3,4)、（4,3)这6种（m ＝ 6），所以两枚骰子点数之和为7的概率P(两枚骰子点数之和为7)＝ 6/36 ＝ 1/6。 习题： 1、 一个袋子里有3个黄色球，4个蓝色球，5个红色球。从袋子里随机取出一个球，记录颜色后放回，再随机取出一个球。求两次取出的球颜色相同的概率。 2、 有甲、乙两个盒子，甲盒中有5个黑球和3个白球，乙盒中有4个黑球和4个白球。从甲盒中随机取出2个球放入乙盒，然后从乙盒中随机取出一个球。求取出的球是黑球的概率。 3、 同时掷三枚质地均匀的骰子，求三枚骰子点数之和为10的概率。 答案： 1、 首先用树状图分析（也可以用表格）。第一次取球有3种颜色（黄色、蓝色、红色），因为放回，第二次取球也有3种颜色。 总共有(3 ＋ 4+5)×（3 ＋ 4 ＋ 5)＝12×12 ＝ 144种结果（n ＝ 144）。 两次取出黄色球的情况有3×3 ＝ 9种；两次取出蓝色球的情况有4×4 ＝ 16种；两次取出红色球的情况有5×5 ＝ 25种。 两次取出球颜色相同的结果数m ＝ 9+16 ＋ 25 ＝ 50种。 所以两次取出的球颜色相同的概率P ＝ 50/144 ＝ 25/72。 2、 分情况计算。 从甲盒中取出2个球的情况有： 取出2个黑球的概率为 C(5,2)／C(8,2)＝（5×4)／（8×7)＝20/56 ＝ 5/14，此时乙盒中有6个黑球和4个白球，从乙盒中取出黑球的概率为 6/10。 取出1个黑球1个白球的概率为 C(5,1)×C(3,1)／C(8,2)＝（5×3×2)／（8×7)＝30/56 ＝ 15/28，此时乙盒中有5个黑球和5个白球，从乙盒中取出黑球的概率为 5/10。 取出2个白球的概率为 C(3,2)／C(8,2)＝（3×2)／（8×7)＝6/56 ＝ 3/28，此时乙盒中有4个黑球和6个白球，从乙盒中取出黑球的概率为 4/10。 根据全概率公式，从乙盒中取出黑球的概率P ＝ 5/14×6/10+15/28×5/10+3/28×4/10=（30 ＋ 75+12)／（14×10)＝117/140 ＝ 117/140。 3、 用表格法的扩展来解决（比较复杂，这里简单描述思路）。 第一枚骰子有6种结果，对于第一枚骰子的每个结果，第二枚骰子又有6种结果，对于前两枚骰子的每种组合结果，第三枚骰子又有6种结果。 总共有6×6×6 ＝ 216种结果（n ＝ 216）。 然后找出三枚骰子点数之和为10的所有情况（例如(1,3,6)、（1,4,5)、（2,2,6)等多种组合情况），经过仔细分析共有27种（m ＝ 27）。 所以三枚骰子点数之和为10的概率P ＝ 27/216 ＝ 1/8。 学科网（北京）股份有限公司 $$