精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

兴宁一中2025届高三数学质检（二） 20241012 本试卷共4页19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：A. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择. 【详解】等价于，即， 因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足； 所以“”的一个必要不充分条件是． 故选：B． 3. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B 4. 已知向量，．若，则（ ） A. 1 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】（方法一）由的坐标，求得的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由化简，再代入得坐标计算即得. 【详解】（方法一）由，，得． 由，得，即，解得． 故选：C． （方法二）由，得，即， 将代入得，，解得． 故选：C． 5. 已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，结合分段函数的单调性的概念，得到不等式组，即可求解． 【详解】由题意，函数且在上单调递减， 则满足，解得，即实数的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记分段函数的单调性的概念，结合二次函数的性质和对数的运算，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6. 已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，求解即可. 【详解】由且x不为0，得 设切点为，则，即， 所以，可得. 故选：C 7. 已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先设出圆锥的底面半径和母线长，根据圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，求得.利用勾股定理求得圆锥的高，由此求得圆锥的体积.根据题意求得圆柱的底面半径，根据圆锥与圆柱的表面积相等，求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积.从而求得圆锥与圆柱的体积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，即，所以圆锥的高，圆锥的体积.由题意，知圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以，解得，所以圆柱的体，故. 故选：A 【点睛】本题考查简单几何体的表面积与体积，考查空间想象能力. 8. 已知函数（且），若对任意，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，不符合题意确定，按分段构造函数，结合导数探讨单调性求出最值，借助恒成立的条件求出的范围. 【详解】当时，在上单调递增，，而，不符合题意， 因此，当时，， 函数在上都递减，则函数在上递减， ，于是，即， 则，解得，从而； 当时，，即， 令，依题意，，， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 于是，解得，即有， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在内的零点个数为2 D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数为奇函数判断A，根据函数的周期判断B，利用图象平移得出，根据正弦函数性质求零点判断C，代入检验是否取最值判断D. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，故A错误； 因为的最小正周期为， 所以，解得，故B正确； 所以， 所以将的图象向左平移个单位长度得到函数， 令，即， 当时，，即在内的零点个数为2，故C正确； 当时，，所以是函数图象的对称轴，故D正确. 故选；BCD 10. 函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项. 【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点， A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误； B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确； C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确； D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误. 故选：BC 11. 已知为正实数，，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用可判断A项，由结合基本不等式可判断B项，令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项，由，结合换元法转化为求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】对于A项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A项正确； 对于B项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故B项正确； 对于C项，令，，则，（，）， 所以 ，当且仅当，，即，时取等号，故C项错误； 对于D项，， 令，由A项知，， 则，（）， 所以当时，取得最小值为，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用函数的导数，求出函数的最小值，然后求解实数的取值范围． 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以命题“，使得”是真命题， 即对，恒成立， 令，则， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 如果直线被圆截得的弦长为，那么实数_________. 【答案】5或 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 14. 若直线l既和曲线相切，又和曲线相切，则称l为曲线和的公切线．已知曲线和曲线，请写出曲线和的一条公切线方程：______． 【答案】（答案不唯一，或填） 【解析】 【分析】分别设公切线与两曲线相切切点的坐标，用坐标表示切线方程，由两切线为同一条直线可建立方程组求解可得. 【详解】设公切线与相切的切点为，与相切的切点为. 由，则，则公切线方程为， 即； 由，则，则公切线方程为， 即； 所以解得或. 故曲线和的公切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一，或填） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 16. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面， 于是，而，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d， 由，得， 而，，则的面积， 由，，得， 又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ， 所以点到平面的距离为. 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 18. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】(1)根据离心率公式、焦距以及之间的关系，列出等式即可求得； (2)设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到根的表达式，设出直线的方程。得到点的坐标，同理可求得点坐标，再根据向量的坐标运算进行求解即可. 【小问1详解】 依题意知：， 解之得：，，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由于B，D异于A，故设直线的方程为， 联立得： 设，，则 因为，，所以设直线的方程为， 联立得：，同理有 因为，所以， 所以 所以，即. 【点睛】关键点点睛：将直线和椭圆方程联立利用韦达定理求出相关点的坐标，进而可表达出向量，，再根据向量积的值可得结果. 19. 已知，，函数. （1）若，求； （2）设.记M为的所有零点组成的集合，为M的子集，它们各有n个元素，且.设.，且.证明：. 【答案】（1） （2） 由题设可知，由（1）可知，， 且在内单调递减，在内单调递增； 若有两个零点，则正､负各一个， 故共有个零点，即有个元素，且个是正数，个是负数. 又因为各有个元素，且，故的所有元素要么属于，要么属于. 若且，则且， 故至少有个零点是正数，这与恰有个零点是正数矛盾， 同理，也不能同为负数. 故与异号，， 由上不妨设，则， 设，则， 当且仅当，即可得时，等号成立， 可知在内单调递减， 则，即， 故. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数根据恒成立问题可得，设，利用导数判断其单调性和最值，进而可得结果； （2）构造恰当的函数，并利用导数工具证明的两个零点之和小于零，再利用函数证明相应的不等式. 【小问1详解】 根据题意有. 当时，，可知在内单调递减； 当时，，可知在内单调递增； 故. 设，则， 当时，，在内单调递增； 当时，，在内单调递减； 则， 故若，则. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造恰当的函数，并利用导数工具证明相应的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中2025届高三数学质检（二） 20241012 本试卷共4页19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，．若，则（ ） A. 1 B. C. 12 D. 5. 已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且），若对任意，，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在内的零点个数为2 D. 的图象关于直线对称 10. 函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为正实数，，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是__________. 13. 如果直线被圆截得的弦长为，那么实数_________. 14. 若直线l既和曲线相切，又和曲线相切，则称l为曲线和的公切线．已知曲线和曲线，请写出曲线和的一条公切线方程：______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 18. 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知，，函数. （1）若，求； （2）设.记M为的所有零点组成的集合，为M的子集，它们各有n个元素，且.设.，且.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $