第五章 计数原理（A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第五章 计数原理单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、加分原理和乘法原理 一、单选题 1．编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 【答案】C 【分析】根据题意因不能走与自己编号相同的门，所以每人都可从其它3个门进入，再由分步乘法计数原理从而可求解. 【详解】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为1的同学进入博物馆有3种选法； 同理编号为2，3，4的同学进入博物馆各有3种方法， 由分步乘法计数原理，共有种方法．故C正确. 故选：C. 2．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 3．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 4．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理可求结果. 【详解】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次， 则由分类加法计数原理可得共有种不同走法. 故选：B. 5．某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【详解】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 6．某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 【答案】C 【分析】相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类，再分别计算每一类的方法数，可求得结论. 【详解】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类； 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻， 分别有种选择，所以共计种； 第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法． 故选：C. 7．如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 【答案】C 【分析】根据题意，按甲乙是否放在同一排两种情况讨论，由加法原理计算即可． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙放在同一排，有种放法， ②甲乙不放在同一排，有种放法， 则有种不同的放法． 故选：C． 8．已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球．每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响．每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分甲获胜和乙获胜两种情况讨论即可. 【详解】若甲获胜，则第2次乙胜，第3次甲胜，第4次甲胜， 则其概率为， 若乙获胜，则第2次，3次，4次乙胜， 则其概率为， 则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为. 故选：D. 二、填空题 9．现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 【答案】260 【分析】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品，第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品，每一类中运用分步计数原理可求每一类的方法数，进而可求总的方法数. 【详解】分两类：第一类，2，3区域放同一兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2，3区域有4种摆法， 第三步，第4区域有4种摆法，共计有种摆法； 第二类，2，3区域摆放不同兴趣小组的手工艺品： 第一步，第1区域，有5种摆法， 第二步，第2区域，有4种摆法， 第三步，第3区域，有3种摆法，第四步，第4区域，有3种摆法， 共计有5×4×3×3=180种摆法． 故共有80+180=260种摆法． 故答案为：260. 10．已知自然界氧的同位素有，氢的同位素有（自然界中存在极微，可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为，则自然界中水分子共有 种． 【答案】9 【分析】根据组合数的概念和分类、分步计数原理列式求解. 【详解】由水分子的化学式可知，相同氢原子构成“”有种， 不同的氢原子构成“”有种，则“”的组成共有种， 所以水分子一共有种． 故答案为：9. 三、解答题 11．某位全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 【详解】因有两类途径可选，故运用分类加法计数原理，该代表共有（种）快捷途径可选． 12．某商场举行购物赠礼品活动，购物满100元不超过200元可从A组或B组礼品中取一件礼品（礼品种类互不相同，且A组礼品种类比B组礼品种类多），购物超过200元可从A组和B组中各选一个礼品．现顾客甲消费180元，可取不同礼品的情况数为9种，顾客乙消费300元可取两件礼品的不同情况数有20种．求A组、B组分别有多少种礼品？ 【详解】设组、组分别有种礼品， 由题意，结合分类加法计数原理可得，； 结合分步乘法计数原理可得，， 又组礼品种类比组多， 所以得， 故组、组分别有5种、4种礼品． 考点二、排列问题及其应用 一、单选题 1．已知，那么n＝（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列数的计算求解即可. 【详解】∵， ∴， ∴或（舍去）. 故选：D. 2．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（    ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】A 【分析】利用捆绑法求得正确答案. 【详解】将捆绑在一起，然后进行全排列， 故共有种排法. 故选：A 3．小明和爸爸、妈妈、爷爷四个人站成一排照全家福，小明要求必须和爷爷相邻，则有（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】相邻问题运用捆绑法，先将小明与爷爷当成一个元素，再进行全排列即可. 【详解】将小明与爷爷进行捆绑，再与剩余的2人进行全排列， 共有种方法. 故选：B. 4．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【分析】利用不相邻问题插空法即可求解. 【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法． 故选：B 5．为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 【答案】C 【分析】由排列的概念求解即可. 【详解】甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同， 则选法共有种． 故选：C 6．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 7．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 8．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【答案】D 【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 二、填空题 9．的值为 ． 【答案】18或22 【分析】根据排列数的含义求得m的范围，利用排列数公式即可求得答案. 【详解】由已知可得，结合，解得或3， 当时，， 当时，． 故答案为：18或22 10．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 【答案】72 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是35，24，1，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 三、解答题 11．计算下列各式． (1)； (2)． 【详解】（1）； （2）. 12．有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【详解】（1）甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． （2）甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 考点三、组合问题及其应用 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【答案】D 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 2．6个人分5张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是（    ） A． B． C．5! D． 【答案】A 【分析】由组合的概念求解即可. 【详解】6个人分5张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完， 所以从6个人中选5人即可，所以共有种分法. 故选：A 3．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意由组合数公式计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 4．某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【分析】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【详解】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 5．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（    ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，二是在三个城市各投资1个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案． 【详解】该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目，另外1个城市投资1个项目，有种投资方案； 若3个城市各投资1个项目，共有种投资方案， 由分类计数原理知，共有120种不同的投资方案． 故选：C． 6．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 7．暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【答案】D 【分析】根据排列组合知识结合分组问题求解即可. 【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法， 其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法； 当其余5名学生选4个景点时，有种选法. 故共有种不同的选法. 故选：D. 8．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可. 【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共种安排方法， 第二类，A场地安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B 二、填空题 9．某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种. 【答案】30 【分析】分只有同学A到甲学校、除同学A外还有一名同学去甲学校两种情况即可. 【详解】若只有同学A到甲学校，则有种可能， 若除同学A外还有一名同学去甲学校，则有种可能， 故共有种可能. 故答案为：30. 10．清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.    【答案】 35 14 【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果. 【详解】      从左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右， 故只需确定哪3步向上走即可，共有种不同的走法； 若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线）， 则由卡特兰数可知共有种不同的走法， 又到达右上角必须最后经过，所以满足题目条件的走法种数也是14. 故答案为：35；14 三、解答题 11．（1）解不等式； （2）解方程. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为. （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为 12．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 考点四、排列组合综合应用 一、单选题 1．用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（    ） A．120个 B．72个 C．60个 D．48个 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由题可知，不同的偶数共有个. 故选：D. 2．将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【分析】由题意，分末尾是或，末尾是，即可得出结果. 【详解】由题意， 末尾是或， 不同偶数个数为， 末尾是， 不同偶数个数为， 所以共有个. 故选：D 3．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有(   ) A．36种 B．78种 C．87种 D．90种 【答案】B 【分析】由题意得1名主唱只能从3人里面选,然后根据多面手进行分类即可得到结果. 【详解】根据题意有三种情况: (1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:种; (2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:种; (3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:种; 共有:种. 故选:B. 4．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 5．某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先把名大学生按照分成三组，再将三个组分到个班，计算可得答案． 【详解】将名大学生分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名， 则将名大学生分成三组，一组人，另两组都是人，有种方法， 再将组分到个班，共有种不同的分配方案， 故选：B． 6．2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 【答案】D 【分析】由条件求出所有满足条件的分堆方法数，再结合分步乘法计数原理求出安排方法的总数. 【详解】将5位工作人员分成三组，有两种类型，即1，1，3与1，2，2， 其中分成1，1，3三组的方法有种，分成1，2，2三组的方法有种， 一共有种分组方法，将分好的三组全排列有种方法， 则不同的分派方法有种. 故选：D. 7．某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（    ） A．15 B．18 C．22 D．26 【答案】D 【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况利用倍分法列式计算即得. 【详解】甲是特等奖，不考虑丙的位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种； 而丙在丁和戊之间占，所以5人的奖项的所有可能的种数是. 故选：D 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（    ） A．432种 B．240种 C．192种 D．96种 【答案】C 【分析】利用排列组合知识进行求解即可 【详解】根据题意，在“射”与“数”之间间隔一艺，先将“射”与“数”进行全排列， 从剩余的4艺中选择1个放在“射”与“数”中间，再将这三艺看做一个整体和剩余的3个元素进行全排列，这样的排课方法数为： 有种排课方法. 故选：C. 二、填空题 9．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ． 【答案】10 【分析】先考虑最后一棒的方案，再考虑中间两棒的方案即可. 【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种； 安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种， 由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种. 故答案为：10 10．百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 【答案】18 【分析】利用间接法即可求解. 【详解】百色起义纪念馆最后1次的方法共有， 故百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为． 故答案为：18 三、解答题 11．现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 【详解】（1）由题意可知：运用捆绑法，可得共有排法数为种. （2）由题意可知：运用插空法，可得共有排法数为种. （3）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种. 12．（1）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？ （2）用1，2，3，4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字，并且小于60000的正整数？ （3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数共有多少个？ 【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位置上任意排列，有种排法， 由分步乘法计数原理，得，共有四位偶数（个）. （2）根据题意，可得， 没有重复数字的一位正整数，共有， 没有重复数字的两位正整数，共有， 没有重复数字的三位正整数，共有， 没有重复数字的四位正整数，共有， 没有重复数字且小于60000的五位正整数，共有； 所以，小于60000的正整数共有（个）. （3）首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种， 再从剩余3个奇数中选择一个有种， 从2，4，6三个偶数中选择两个有种， 最后进行十位，百位，千位三个位置的全排列，则共有（个）. 考点五、二项式定理及其应用 一、单选题 1．在二项式的展开式中，第5项和第9项的系数相等，则（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，依题意，即可求出. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 依题意可得，则. 故选：C. 2．的展开式中所有项的系数和为（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．2024 【答案】B 【分析】直接由赋值法即可求解. 【详解】设，在该式中令， 可得. 故选：B. 3．若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 【答案】C 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 4．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．4 C． D．32 【答案】C 【分析】写出的展开式的通项，求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为 故选：C 5．在的展开式中，含的项的系数是7，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用多项式乘法法则对式子展开，合并同类项即可得到系数的值. 【详解】由题意可知展开式中含的项： ∴, 故选：D. 6．已知的展开式中，常数项为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，的通项公式为， 令，则， 令，则不符合题意， 所以的常数项为， 解得． 故选：. 7．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断A；根据排列数的定义即可判断B；根据新定义分别求出、展开式中求出的系数即可判断C；根据组合数的运算性质即可判断D． 【详解】对于A，在展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故A符合题意； 对于B，由“算两次”的定义知， 从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， 同时还可以分类考虑： 第一类：取出个元素不包括元素甲，则所有排列的个数为， 第二类：取出个元素包括元素甲，则先排元素甲，有m个位置， 然后从其余n个元素中抽出个元素全排列，则所有的排列个数为， 综上，从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数为， ∴，但是该等式不是由所给二项式得到，故B不符合题意； 对于C，对于，由“算两次”的定义知， 展开式中，的系数为， ， 其中的系数为， ∴，故C不符合题意； 对于D，由组合数的运算性质知， ， 当时，；当时，，故D不符合题意， 故选：A． 二、填空题 9．已知展开式中各二项式系数的和为128，则 ；若，则 . 【答案】 7 2186 【分析】由二项式系数和计算，求解.分别令，计算即可得到答案. 【详解】由，可得. 令，得，令，得，所以. 故答案为：；. 10．已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m= ． 【答案】/ 【分析】根据二项式定理分别求出展开式中含的项，然后根据已知建立方程即可求解． 【详解】展开式中含的项为，含的项为， 所以由题意可得，解得. 故答案为：． 三、解答题 11．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 12．已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【详解】（1）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故. （2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得， 令，得，所以， 令，得，所以， 又，解得（舍去）或或， 所以或. （3）当 时二项式为， 由二项式定理通项公式得， 设第r项系数最大，则，即，故， 所以二项式的展开式中系数最大的项为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 计数原理单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、加分原理和乘法原理 一、单选题 1．编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（    ） A．12 B．16 C．81 D．256 2．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（    ） A． B． C．21 D．210 3．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 4．从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（    ） A．3 B．9 C．24 D．以上都不对 5．某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 6．某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 7．如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 8．已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球．每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响．每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有 种摆法． 10．已知自然界氧的同位素有，氢的同位素有（自然界中存在极微，可忽略不计），水由氧元素和氢元素组成，化学式为，则自然界中水分子共有 种． 三、解答题 11．某位全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 12． 某商场举行购物赠礼品活动，购物满100元不超过200元可从A组或B组礼品中取一件礼品（礼品种类互不相同，且A组礼品种类比B组礼品种类多），购物超过200元可从A组和B组中各选一个礼品．现顾客甲消费180元，可取不同礼品的情况数为9种，顾客乙消费300元可取两件礼品的不同情况数有20种．求A组、B组分别有多少种礼品？ 考点二、排列问题及其应用 一、单选题 1．已知，那么n＝（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为（    ） A．240 B．120 C．96 D．60 3．小明和爸爸、妈妈、爷爷四个人站成一排照全家福，小明要求必须和爷爷相邻，则有（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 4．某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 5．为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 6．学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 7．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 8．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 二、填空题 9．的值为 ． 10．如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 三、解答题 11．计算下列各式． (1)； (2)． 12．有6名同学站成一排． (1)甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ (2)甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ (3)甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 考点三、组合问题及其应用 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 2．6个人分5张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是（    ） A． B． C．5! D． 3．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 4．某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 5．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（    ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 6．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 7．暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 8．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 二、填空题 9．某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有 种. 10．清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.    三、解答题 11．（1）解不等式； （2）解方程. 12．现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 考点四、排列组合综合应用 一、单选题 1．用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（    ） A．120个 B．72个 C．60个 D．48个 2．将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （    ） A． B． C．216 D． 3．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有(   ) A．36种 B．78种 C．87种 D．90种 4．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 5．某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．2024年5月15日是全国低碳日，5月13-19日是全国节能宣传周．现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为（    ） A．92 B．108 C．124 D．150 7．某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（    ） A．15 B．18 C．22 D．26 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（    ） A．432种 B．240种 C．192种 D．96种 二、填空题 9．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ． 10．百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、红军长征湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点，某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游，则百色起义纪念馆不在最后1次去的方法总数为 ．（用数字作答） 三、解答题 11．现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (3)若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 12．（1）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？ （2）用1，2，3，4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字，并且小于60000的正整数？ （3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数共有多少个？ 考点五、二项式定理及其应用 一、单选题 1．在二项式的展开式中，第5项和第9项的系数相等，则（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 2．的展开式中所有项的系数和为（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．2024 3．若，则（   ） A．121 B．122 C． D． 4．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．4 C． D．32 5．在的展开式中，含的项的系数是7，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知的展开式中，常数项为，则（    ） A． B．2 C． D．1 7．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 8．这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范，再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知展开式中各二项式系数的和为128，则 ；若，则 . 10．已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m= ． 三、解答题 11．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 12．已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$