第3章 一次方程与方程组单元重点综合测试-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（沪科版2024）

第三章 一次方程与方程组单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 2．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，是解题的关键． 根据等式的性质解答． 【详解】解：A、当时，等式不成立，故本选项错误． B、的两边同时乘以3，等式才成立，即，故本选项错误． C、的两边同时除以m，只有时等式才成立，即，故本选项错误． D、的两边同时减去m，等式仍成立，即，故本选项正确． 故选：D． 3．下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：变形得，选项A错误，不符合题意； 变形得，选项B错误，不符合题意； 变形得，选项C错误，不符合题意； 变形得，选项D正确，符合题意； 故选D． 4．已知关于x的方程与方程的解相同，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】首先解第二个方程求得x的值，然后代入第一个方程得到一个关于a的方程，求得a的值． 【详解】解：解方程， 得，， 把代入， 得，， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法以及方程的解的定义，解决的关键是正确理解方程解的含义． 5．若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1成为解题的关键． 根据二元一次方程的定义得出且求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴且，解得：， ∴． 故选：A． 6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系，将关系具体化得到方程，联立即得方程组． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的布列是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得方程组为， 故选A． 7．小明发现关于的方程中的的系数被污染了，要解方程怎么办？他找到答案一看，此方程的解为，则★等于（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，将代入方程中，将看作未知数，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：C． 8．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 9．如果方程组的解也是方程的一个解，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，解二元一次方程组常用加减消元法和代入法，本题运用的是加减消元法．两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的x、y的值代入中，即可得出m的值． 【详解】解：联立方程组得，， ，得：， ∴， 把③代入①得，， ∴， 把代入得：， ∴． 故选：B． 10．有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的销售问题，找出等量关系是解题的关键，设进价为x，则定价为，再根据“后来老板按定价降价以96元出售，”中根据题意得到关于x的方程式，求得现价，比较可得答案． 【详解】解：设进价为x，则定价为， 根据题意得：，即， 解得：， 则， 则这次生意亏4元， 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．已知且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解二元一次方程，先求出，再代入，可求出n，然后代入求出m，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 12．在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 13．对于实数a，b，定义运算“”，，例如：因为，所以，若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算、解一元一次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分和两种情况分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：当时，由题意可得：，解得：，不符合题意； 当时，由题意可得：，解得：，符合题意； 综上，． 故答案为：0． 14．若关于x、y的方程的解满足， （1）y的值为 ； （2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的化简求值： （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意可知该图案的面积等于一个长方形面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形面积，据此先列出代数式，再把x、y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴该图案的面积 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练运用一元一次方程的解法是解题的关键． （1）经过移项，合并同类项，把未知数的系数化为一即可求得结果； （2）经过去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为一即可求得结果． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 16．解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程即可； 【详解】（1）解： 由①得  ③， 把③代入②得：， 解得： 把代入①得： ∴； （2） 整理得： 由①得  ③， 把③代入②得 解得：， 把代入得：， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键． 17．如图，若把一张正方形的纸片沿着各边都剪去3cm宽的一条，则所得小正方形的面积比原正方形的面积减少，求原正方形的边长． 【答案】 【分析】设出大正方形的边长为，用大正方形的面积减去小正方形的面积使其等于，即可求出的值．此题考查了正方形的剪纸问题，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．能够正确找到题目中的等量关系，是解决此题的关键． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 即， 解得：， 则原正方形的边长为． 18．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出的解，再化简，得出，则，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∵ 解得， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴把代入 得 19．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成，问乙做了几天？ 【答案】乙做了8天 【分析】设乙做了x天，根据“甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成”列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙做了x天，根据题意得： ， 解得， 答：乙做了8天． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． 20．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要216分钟． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，， ∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分钟 答：摩托车走完全程要216分钟． 21．在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【答案】(1) (2)至少开放5个检票口 【分析】（1）根据开放窗口与通过时间相等列方程组求解； （2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放x个检票口．根据开放窗口与通过时间相等列方程和不等式解答． 本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得． （2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得 ， 把，代入，得 ， ∵ ， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为5． 答：至少开放5个检票口． 22．我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于p，q的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）中， ∴方程是最佳方程； （2）关于的二元一次方程是“最佳”方程， ， 解得； （3）∵方程组是“最佳”方程组， ∴， ∴， ∴原方程组为， ∵是方程组的解， ∴， 解得， ． 23．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案： (1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个； (2)第n个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n的代数式表示） (3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)19；46 (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律探究，一元一次方程的应用，根据所给图形总结出规律是解答本题的关键． （1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论列方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第①个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第②个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第③个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； ， 所以第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个， 当时， 个， 个， 即第⑥个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个． 故答案为：，． （2）由（1）知， 第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个． 故答案为：，． （3）不能，理由： ∵， 解得， ∵n不是整数， ∴不存在某个图案中，白色正方形的个数能比黑色正方形的个数多2024． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程与方程组单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 4．已知关于x的方程与方程的解相同，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 5．若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 6．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．小明发现关于的方程中的的系数被污染了，要解方程怎么办？他找到答案一看，此方程的解为，则★等于（    ） A．4 B．3 C． D． 8．若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如果方程组的解也是方程的一个解，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．已知且，那么 ． 12．在方程中用含的式子表示，则 ． 13．对于实数a，b，定义运算“”，，例如：因为，所以，若，则 ． 14．若关于x、y的方程的解满足， （1）y的值为 ； （2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．    三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解方程： (1)； (2)． 16．解下列方程组 (1)； (2)． 17．如图，若把一张正方形的纸片沿着各边都剪去3cm宽的一条，则所得小正方形的面积比原正方形的面积减少，求原正方形的边长． 18．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 19．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成，问乙做了几天？ 20．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 21．在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 22．我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值． 23．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案： (1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个； (2)第n个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n的代数式表示） (3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$