专题01 有理数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版2024）

专题01 有理数 【考点01】正负数 【考点02】 相反意义的量表示 【考点03】有理数的概念辨析 【考点04】有理数的分类 【考点05】有理数的大小比较 【考点06】数轴的三要素及其画法 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【考点08】数轴上两点之间的距离 【考点09】数轴上的动点问题 【考点10】相反数的概念 【考点11】相反数的性质运用 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【考点13】化简绝对值 【考点14】非负性的性质 【考点15】有理数的加法运算 【考点16】有理数的减法运算 【考点17】有理数的加减运算 【考点18】 有理数乘法运算 【考点19】 有理数除法运算 【考点20】 有理数乘除法运算 【考点21】有理数的乘方 【考点22】有理数混合运算 【考点23】算“24”点 【考点24】科学计数法 【考点25】近似数的表示 【考点26】有理数实际应用 知识点1：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点4：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5：绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点6：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点7：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点2：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点8：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点9： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点10：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点12：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点13：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点01】正负数 【典例1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（      ） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【变式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影响，全球经济大幅下滑，经合组织预计，2020年全球经济下降为，记作，与此同时，经合组织预计2020年美国经济增速预期为，2020年欧元区经济增速为．按照经合组织的预期，2020年中国经济将实现的增长，应记作（    ），是二十国集团中唯一实现经济正增长的国家 A． B． C． D． 【变式1-2】在，，0，，11中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】在，，0，，11中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C． D．7 【考点02】 相反意义的量表示 【典例2】如果收入100元记作元，那么支出300元记作（　　） A．元 B．元 C．1300 元 D．元 【变式2-1】张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作分；小丽被记作分，则小丽的实际分数为（    ） A．93 B．92 C．87 D．88 【变式2-2】规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【考点03】有理数的概念辨析 【典例3】在数，，，，，中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-1】下列判断语句中，错误的是（    ） A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是 C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是0 【变式3-2】在，，，，中，有理数有（   ） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】零是（　　） A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数 【考点04】有理数的分类 【典例4】把下列各数分别填在相应的集合内：、4.8、73、、、3.1415926、、0 正数集合｛      ｝ 负分数集合｛      ｝ 非负整数集合｛      ｝ 【变式4-1】将有理数，0，，2024，，0.6（两数之间用逗号隔开）分别填在相应的括号里． 整数：{                          …}； 负数：{                          …}； 非负数：{                        …}． 【变式4-2】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，3.14，0，，，． 有理数数集合：{                                          } 整数集合：{                                             }； 负数集合：{                                             }； 分数集合：{                                             }； 【考点05】有理数的大小比较 【典例5】比较大小： （填“”、“”、“”号）． 【变式5-1】比较大小： （填“>”．“<”或“=”） 【变式5-2】比较大小： （填“”“”或“”） 【考点06】数轴的三要素及其画法 【典例6】下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【典例7】已知一组数：，，0，，． (1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来． 【变式7-1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ）      A． B． C． D． 【变式7-3】在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（　　） A．5个 B．6个 C．9个 D．8个 【变式7-4】（1）把数轴补充完整； （2）在数轴上表示下列各数：0，，，，； （3）用“>”将这些数连接起来，    【考点08】数轴上两点之间的距离 【典例8】同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1) ________； (2)找出所有符合条件的整数x，使得； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (4)若时，求x的值． 【变式8-1】点A，B是数轴上的两点，A，B两点之间的距离是5，若点A表示，则点B表示的数是 【变式8-2】数轴上的点到原点的距离是10，则点表示的数为（    ） A．10或 B．0 C． D．10 【变式8-3】数轴上点A表示，点B表示3，则A、B两点间的距离是（　　） A． B． C．7 D．1 【考点09】数轴上的动点问题 【典例9】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【变式9-1】如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题： 一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【变式9-2】如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【变式9-3】综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【考点10】相反数的概念 【典例10】2024的相反数是（   ） A．2024 B． C．1012 D． 【变式10-1】与互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列四组数中，互为相反数的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-3】如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是（　　） A． B． C． D． 【考点11】相反数的性质运用 【典例11】若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【变式11-1】（ ） A． B． C． D． 【变式11-2】数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式11-3】代数式与互为相反数，则= ． 【变式11-4】如果互为倒数，互为相反数，那么 ． 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式12-1】如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】绝对值大于小于8的所有整数的有 ． 【考点13】化简绝对值 【典例13-1】如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【典例13-2】若，则的最小值为 . 【变式13-1】若，则 ． 【变式13-2】若，则的值为 ． 【变式13-3】有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【变式13-4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【考点14】非负性的性质 【典例14】若，则 ． 【变式14-1】若，则的值为 ． 【变式14-2】有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【考点15】有理数的加法运算 【典例 1】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【变式15-1】计算： (1) ； (2)； (3) ；(4)． 【变式15-2】定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 【考点16】有理数的减法运算 【典例16】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式16-1】计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【变式16-3】计算 (1) (2) (2) (4) (5)） 【考点17】有理数的加减运算 【典例17】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式17-1】计算下列各题： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式17-2】利用简便方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式17-3】计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【考点18】 有理数乘法运算 【典例18】计算： (1) ． (2)． (3)． 【变式18-1】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (2) ； (4)． (5) (6)． 【变式18-2】用简便方法计算： (1) ； (2)． 【变式18-3】计算下列各式： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【考点19】 有理数除法运算 【典例19】计算： (1) ； (2)； (2) ． 【变式19-1】计算： (1) ； (2)． 【变式19-2】【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 【考点20】 有理数乘除法运算 【典例20】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式20-1】计算： (1)； (2)． 【变式20-2】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【考点21】有理数的乘方 【典例21】下列各组式子中，运算结果相同的是（    ） A．和 B．与 C．和 D．与 【变式21-1】长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的小棒长（　　） A． B． C． D． 【变式21-2】下列各组中的两个数，运算后的结果相等的是（   ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【变式21-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 【考点22】有理数混合运算 【典例22】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式22-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式22-2】计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式22-3】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【考点23】算“24”点 【典例23】“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【变式23-1】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24． 【变式23-2】如果一个整数与，，这三个数，通过加、减、乘，除运算可以添加括号组成算式，能使结果等于，那么这个整数就称为可用的．在，，，，，，，，，这十个数中，可用的数有 个． 【变式23-3】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24． 【考点24】科学计数法 【典例24】据科学家估计，地球的直径大约是12700000米，将数据12700000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式24-1】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米秒，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式24-2】截至目前中国森林面积达到175000000公顷，森林覆盖率为，人工林面积居世界首位，其中数字175000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【考点25】近似数的表示 【典例25】用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是 ． 【变式25-1】用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 【变式25-2】78.9823亿，保留整数是 亿． 【考点26】有理数实际应用 【典例26】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【变式26-1】金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 超出或不足 (1)周六接待游客人数为_____________人； (2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人； (3)本周共接待游客多少人？ 【变式26-2】陶山甘蔗是瑞安的特产，每年十月是其盛产期．小瑞同学打算从瑞安寄箱甘蔗到杭州，以每箱千克为标准，实际重量统计如下表，记录如下：小瑞同学选择了某快递公司，收费标准如下：首重千克以内元（含千克），续重（超过千克的部分）元千克，不足千克按千克计． 每箱的重量（单位：千克） 箱数 (1)求这箱甘蔗的总重量． (2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分箱，每箱一个包裹．方案二：箱打包进一个大箱子，大箱子重千克，元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？ 【变式26-3】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米最重的为多少千克？最轻的为多少千克？ (2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？ (3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？ 【变式26-4】为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了 一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名 同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【变式26-5】股民曹先生上星期五买进某公司股票股，每股元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？如果曹先生卖出时需付成交额的手续费和的交易税，他的收益情况又如何？ 一、单选题 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果把收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 3．已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．根据国际排联的规定，排球的标注直径为（单位：），下图排球直径不合格的是（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 5．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（    ） A． B． C． D． 6．，这是根据______计算的．（    ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和结合律 7．一只蚂蚁沿数轴从点向一个方向移动了个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．有一段公路长480米，在这段公路两旁每隔4米种一棵树，井且两端都要种，一共可以种（    ）棵树． A．240 B．242 C．244 D．246 9．若a，b，c是有理数且，则的值是（        ） A． B．或1 C．或 D．或1或 10．若，，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算的结果等于 ． 12．已知有理数a，b满足，则 ． 13．某商店有三袋面粉，上面分别写着千克，千克，千克的字样，从中任意取出两袋面粉，它们质量相差最大的可能是 千克． 14．小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数和是 ． 15．假设，如：，则 ． 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．小华家今年收获10袋小麦，若每袋小麦质量以为标准，超过标准的用正数表示，不足标准的用负数表示，这10袋小麦的质量与标准质量比较如下：0.5，，1.2，，，，0，，，． (1)这10袋小麦中，质量最大的袋比质量最小的袋多多少？ (2)用两种方法计算这10袋小麦的总质量． 19．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值 (1)表示数轴上 ___________与 ___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ___________． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 20．根据中药材市场行情调研，某药材公司决定利用一周的时间大量收购白术，公司将工作人员分为六个收购小组，每个小组的收购任务为8000千克，一周后，六个小组完成情况如下表：（以为标准，超过为正，不足为负） 小组 一 二 三 四 五 六 完成情况 (1)6个小组完成的总量有没有超过计划数量？并说明理由； (2)若每个小组的基本奖金为500元，每超额完成100千克另奖10元，每少完成100千克，从基本奖金中扣8元，本次收购后，该公司要支付奖金多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 【考点01】正负数 【考点02】 相反意义的量表示 【考点03】有理数的概念辨析 【考点04】有理数的分类 【考点05】有理数的大小比较 【考点06】数轴的三要素及其画法 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【考点08】数轴上两点之间的距离 【考点09】数轴上的动点问题 【考点10】相反数的概念 【考点11】相反数的性质运用 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【考点13】化简绝对值 【考点14】非负性的性质 【考点15】有理数的加法运算 【考点16】有理数的减法运算 【考点17】有理数的加减运算 【考点18】 有理数乘法运算 【考点19】 有理数除法运算 【考点20】 有理数乘除法运算 【考点21】有理数的乘方 【考点22】有理数混合运算 【考点23】算“24”点 【考点24】科学计数法 【考点25】近似数的表示 【考点26】有理数实际应用 知识点1：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点4：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5：绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点6：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点2：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点7：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点2：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点8：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加 即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点9： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点10：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点12：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点13：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点01】正负数 【典例1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作元，那么元表示（      ） A．支出80元 B．收入 80元 C．支出1080元 D．收入1080元 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵支出1000元记作元， ∴元表示表示收入1080元， 故选：D． 【变式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影响，全球经济大幅下滑，经合组织预计，2020年全球经济下降为，记作，与此同时，经合组织预计2020年美国经济增速预期为，2020年欧元区经济增速为．按照经合组织的预期，2020年中国经济将实现的增长，应记作（    ），是二十国集团中唯一实现经济正增长的国家 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：下降记为“－”，则增长记为“＋”，所以增长，记为． 故选：A 【变式1-2】在，，0，，11中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，0，，11中，负分数有，共2个， 故选：B 【变式1-3】在，，0，，11中，负分数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，0，，11中，负分数有，共2个， 故选：B 【变式1-4】有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子都是1． 本题是信息给予题，认清规律是解题的关键． 【详解】解：∵第7个数，7是奇数， ∴应该是负数，即． 故选A． 【考点02】 相反意义的量表示 【典例2】如果收入100元记作元，那么支出300元记作（　　） A．元 B．元 C．1300 元 D．元 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．根据正负数的实际意义进行排除选项即可． 【详解】解：由收入100元记作元，那么支出300元记作元； 故选A． 【变式2-1】张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作分；小丽被记作分，则小丽的实际分数为（    ） A．93 B．92 C．87 D．88 【答案】C 【分析】本题考查了正数与负数表示意义相反的两种量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性． 【详解】解：∵以90分为标准计分，小明得95分，记作分； ∴小丽被记作分，则小丽的实际分数为分， 故选：C． 【变式2-2】规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可， 本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解： “正”和“负”相对， 如果表示向右移动，记作，则表示向左移动，记作， 故选：B． 【变式2-3】根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【答案】米 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果； 【详解】解：向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作米； 故答案为：米 【考点03】有理数的概念辨析 【典例3】在数，，，，，中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：有理数有，，，，，共5个． 故选：C 【变式3-1】下列判断语句中，错误的是（    ） A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是 C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是有理数的知识，解决本题的关键是熟记没有最大的有理数，也没有最小的有理数． 【详解】解：A. 最小的正整数是1，说法正确，不符合题意； B. 最大的负整数是，说法正确，不符合题意； C. 没有最大的有理数，说法正确，不符合题意； D. 没有最小的有理数，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】在，，，，中，有理数有（   ） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握有理数的概念．根据有理数的概念依次判断即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 故有理数有个， 故选：D． 【变式3-3】零是（　　） A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数 【答案】D 【分析】本题考查有理数，掌握最大的负整数是，最小的正整数是1．注意：有理数既没有最大也没有最小．熟练掌握0的特殊性十分重要． 根据0的特殊性，利用排除法进行选择． 【详解】解：A、没有最小的整数，故此选项不符合题意； B、没有最小的正数，故此选项不符合题意； C、有理数没有最大最小，故此选项不符合题意； D、非负整数就是正整数或0，所以0最小，故此选项符合题意． 故选：D． 【考点04】有理数的分类 【典例4】把下列各数分别填在相应的集合内：、4.8、73、、、3.1415926、、0 正数集合｛      ｝ 负分数集合｛      ｝ 非负整数集合｛      ｝ 【答案】见详解 【分析】本题考查了有理数的分类，涉及正分数、负数、整数以及非正整数的定义，难度较小；大于0的分数是正分数；小于0的分数是负分数；整数是包括正整数、零、负整数；非正整数包括零、负整数．根据正数、负分数、非负整数的定义进行作答即可． 【详解】解：正数集合｛  4.8、73、、3.1415926 ，…… ｝ 负分数集合｛、 ，…… ｝ 非负整数集合｛73、0 ，…… ｝ 【变式4-1】将有理数，0，，2024，，0.6（两数之间用逗号隔开）分别填在相应的括号里． 整数：{                          …}； 负数：{                          …}； 非负数：{                        …}． 【答案】0，2024；，；0，，2024，0.6 【分析】本题主要考查了有理数分类，理解并掌握有理数的概念和分类是解题关键．根据有理数的分类，逐一分类填写即可． 【详解】解：整数：{0，2024…}； 负数：{，…}； 非负数：{0，，2024，0.6…} 【变式4-2】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，3.14，0，，，． 有理数数集合：{                                          } 整数集合：{                                             }； 负数集合：{                                             }； 分数集合：{                                             }； 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类对各数进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：有理数数集合：{，，，，3.14，0，，} 整数集合：{，，0}； 负数集合：{，，，}； 分数集合：{，，3.14，，}． 【考点05】有理数的大小比较 【典例5】比较大小： （填“”、“”、“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较有理数的大小，化简多重符号和绝对值，先化简多重符号和绝对值求出两个数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】比较大小： （填“>”．“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两个负数，绝对值大的其值反而小是解答此题的关键．根据两负数比较大小的法则进行比较即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式5-2】比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点06】数轴的三要素及其画法 【典例6】下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、和标错了，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意； B．没有原点，故此选项不符合题意； C．没有正方向，故此选项不符合题意； D．数轴画法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【考点07】利用数轴比较有理数的大小 【典例7】已知一组数：，，0，，． (1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． （1）在数轴上根据有理数与数轴的对应进行画图即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号把各数连接起来即可． 【详解】（1），， 如图所示，即为所求； （2）从小到大的顺序排列如下： ． 【变式7-1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数轴可以得到，且，再利用实数的运算法则即可判断．本题主要考查了利用数轴来进行实数大小比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【详解】解：根据点在数轴的位置，知：，且． A、，且，，故本选项错误； B、，，故本选项正确； C、，，，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 【变式7-2】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出，，据此判断即可．解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴，故选项A不合题意； ∴，故选项B合题意； ∴，故选项C不合题意； ∴，故选项D符合题意． 故选：B． 【变式7-3】在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（　　） A．5个 B．6个 C．9个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，先画出数轴，根据数轴和绝对值的几何意义进行分析解答． 【详解】解：如图所示： 在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有．共9个． 故选：C． 【变式7-4】（1）把数轴补充完整； （2）在数轴上表示下列各数：0，，，，； （3）用“>”将这些数连接起来，    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点、单位长度；在数轴上表示有理数，根据数轴上左边的数总是小于右边的数进行判断，将题目所给的数字准确的表示在数轴上是解本题的关键． 【详解】解：（1）如图所示：   ； （2），， 在数轴上表示为：   ； （3）． 【考点08】数轴上两点之间的距离 【典例8】同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1) ________； (2)找出所有符合条件的整数x，使得； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (4)若时，求x的值． 【答案】(1)10 (2) (3)最小值为3 (4)或7 【分析】本题考查数轴和绝对值．理解并灵活运用“两数之差的绝对值表示这两个数对应的点之间的距离”是解题的关键． （1）表示7与-3的两点之间的距离，据此解答即可； （2）根据表示x与-4的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5可知，x表示的点位于-4表示的点与1表示的点之间，据此作答即可； （3）根据表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和可知，当x表示的点位于3表示的点与6表示的点之间时，有最小值，最小值为3表示的点与6表示的点之间的距离； （4）根据两点间的距离求解即可． 【详解】（1）∵表示7与的两点之间的距离， ∴． 故答案为：10； （2）∵的意义是：表示x与的两点之间的距离和x与1的两点之间的距离之和是5． ∴（x为整数）， ∴． （3）对于任何有理数x，有最小值． ∵的意义是：表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和． ∴当时，取最小值，最小值为3． （4）的意义是：表示x与的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和是9， ∵， ， ， ∴x的值为或7． 【变式8-1】点A，B是数轴上的两点，A，B两点之间的距离是5，若点A表示，则点B表示的数是 【答案】2或 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点间距离，解题的关键是能分类讨论求出符合条件的所有情况．根据题意得出两种情况，当点B在点A的右边时，当点B在点A的左边时，分别求出即可． 【详解】解：根据数轴的特点分两种情况讨论：①当点B在点A的右边时，；②当点B在点A的左边时，． ∴点B表示的数是2或． 故答案为：2或． 【变式8-2】数轴上的点到原点的距离是10，则点表示的数为（    ） A．10或 B．0 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分两种情况：当点在原点的左边时；当点在原点右边时；分别计算即可得出答案． 【详解】解：当点在原点的左边时，；当点在原点右边时，， 故选：A． 【变式8-3】数轴上点A表示，点B表示3，则A、B两点间的距离是（　　） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点的距离为较大的数减去较小的数成为解题的关键 数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值，即：较大的数减去较小的数即可． 【详解】解：，即A、B两点间的距离是7． 故选：C． 【答案】或4 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分两种情况考虑．分点B在点A的左侧和右侧两种情况即可完成． 【详解】当点B在点A的左侧时，此时点B表示的数是；当点B在点A的右侧时，此时点B表示的数是4； 故点B表示数是或4； 故答案为：或4 【考点09】数轴上的动点问题 【典例9】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点． (1)点表示的数是_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒． ①当时，求的值； ②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)①的值为0；②的值不随着时间的变化而改变．理由见解析 【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得点表示的数； （2）①根据题意可以用代数式表示点运动时间时表示的数；根据题意可以求得当秒时，的值；②先判断是否变化，然后求出的值即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：，B点表示的数为：，, 由， 故点表示的数为：． 故答案为：； （2） 解：①由题意可得，点移动秒时表示的数为，点P移动t秒时表示的数为，点M移动t秒时表示的数为， 当时， ； ②的值不随着时间的变化而改变， ， 的值不随着时间的变化而改变，的值为0． 【变式9-1】如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题： 一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小明的年龄差看做一个整体（木棒），而后转化为数轴上求点表示数的问题． （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120，所以可知爷爷比小明大，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是， 则此木棒长为． 故答案为：5； （2）解：图中点A所表示的数为，点B所表示的数为． 故答案为：10，15； （3）解：如图： 借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比小明大， 可知爷爷的年龄为（岁）． 故爷爷现在的年龄是65岁． 【变式9-2】如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又 ， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又 ，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 【变式9-3】综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【答案】（1）；   （2）  （3）或  （4），，， 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在的左边；点在的右边；分别列式计算便可； （4）确定与的距离加上与的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数． 【详解】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是： ； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； 故答案为: ； ； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）表示数的点与表示数的点距离为， 当表示数的点在的左边时，， 当表示数的点在的右边时，， 所以或, 故答案为：或； （4）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， ∴可取的整数有:，，，． 【考点10】相反数的概念 【典例10】2024的相反数是（   ） A．2024 B． C．1012 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：2024的相反数是； 故选B． 【变式10-1】与互为相反数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数的是， 故选：B ． 【变式10-2】下列四组数中，互为相反数的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是． 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是． 【详解】解：、的相反数是，错误； B、的相反数是，正确； C、的相反数是，错误； D、的相反数是，，错误． 故选：B． 【变式10-3】如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相反数的定义及互为相反数的两个数在数轴上的位置特点，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数，在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离的相等． 【详解】解：表示的相反数的点在原点的右侧，且到原点的距离为个单位长度的点，如图： 根据点，，，在数轴上的位置，可得点符合题意， 故选：C． 【考点11】相反数的性质运用 【典例11】若代数式和互为相反数，则（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 移项合并得：， 故选：B． 【变式11-1】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了相反数定义，根据题目中负号的个数确定正负，若负号个数为奇数个则结果为负，若负号的个数为偶数个则结果为正得到答案． 【详解】解：由题可知负号个数为奇数个，则. 故选：B． 【变式11-2】数轴上表示数a和的点到原点的距离相等，则a为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 根据相反数的几何意义可知：与互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答． 【详解】解：由题意知： 与互为相反数， ， 解得：． 故选：D． 【变式11-3】代数式与互为相反数，则= ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质、解一元一次方程，先根据互为相反数的两个数之和是零列方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴，即， 解得， 故答案为：． 【变式11-4】如果互为倒数，互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查倒数和相反数的概念，代数式求值；首先根据倒数的概念，可知，根据相反数的概念可知，然后把它们分别代入，即可求出代数式的值. 【详解】若，互为倒数，则， ，互为相反数，则， 那么， 故答案为：． 【考点12】绝对值定义、绝对值的性质 【典例12】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0． 【详解】解：∵， ∴绝对值等于2019的数有2个，即和， 故选：C． 【变式12-1】如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的意义；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴最接近标准质量的是A； 故选：A． 【变式12-2】绝对值大于小于8的所有整数的有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【详解】解：绝对值大于小于8的所有整数的有， 故答案为：． 【考点13】化简绝对值 【典例13-1】如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空：______0，______0，______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【答案】(1)<，<，< (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． （1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）由数轴得：， ∴， ∴原式 ． 【典例13-2】若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的最小值为：， 故答案为：． 【变式13-1】若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 【变式13-2】若，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的值为3或， 故答案为：3或． 【变式13-3】有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：，，， 原式 ． 故答案为：． 【变式13-4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负以及绝对值化简问题，得出a、b、c的正负情况是解题关键． （1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：由图可知，且， 所以，； 故答案为：； （2）解： 【考点14】非负性的性质 【典例14】若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 【变式14-1】若，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的值为3或， 故答案为：3或． 【变式14-2】有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：，，， 原式 ． 故答案为：． 【考点15】有理数的加法运算 【典例 1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加法法则进行计算即可； （2）根据有理数加法法则进行计算即可； （3）根据有理数加法法则进行计算即可； （4）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （5）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （6）先计算绝对值，再按照加法法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数的加法运算．两个有理数相加时，直接运用加法法则进行计算即可，多个有理数相加时可以运用加法的交换律和结合律进行简便运算．熟练掌握有理数的加法法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式15-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法的运算律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式15-2】定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)正，负，相加；相反数 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法，理解新定义是解答本题的关键． （1）观察已知运算的符号及数值，可归纳出运算法则； （2）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可； （3）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行“※”运算或任何数和0进行“※”运算，都得这个数的相反数； 故答案为：正，负，相加；相反数； （2）根据题意得， ； （3） ． 【考点16】有理数的减法运算 【典例16】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）先算括号里面的，再根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的加减法法则计算即可． 此题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式16-1】计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． (6)； (7)． 【答案】(1)3 (2) (3)168 (4) (5)7 (6)1 (7)31 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （6）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （7）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ． 【变式16-3】计算 (1) (2) (3) (4) (5)） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接运用有理数减法运算法则即可解答； （2）运用有理数加减混合运算解答即可； （3）运用有理数加法运算律简便运算即可； （4）运用有理数加减混合运算解答即可； （5）运用有理数加减混合运算解答即可. 【详解】（1）解： . （2）解： ， . （3）解： . （4）解： . （5）解： . 【点睛】本题主要考查了有理数加法、有理数减法、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律等知识点，掌握运算法则及运算律是解答此题的关键. 【考点17】有理数的加减运算 【典例17】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则即可求解； （2）把各数统一为小数，即可求解； （3）利用结合律即可求解； （4）先求绝对值，再各数统一为小数，即可求解． 本题考查了有理数的加减混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式17-1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式17-2】利用简便方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式17-3】计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分母为7的带分数进行运算，再加上6，即可作答． （2）先把分母为5的分数、把分母为7的带分数进行运算，最后进行减法运算； （3）先化简绝对值和去括号，再运算加减，即可作答． （4）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点18】 有理数乘法运算 【典例18】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键， （1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （3）观察发现因数中有0，故结果为零． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 【变式18-1】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式18-2】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式18-3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． （1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （4）先确定符号，再用约分即可得答案； （5）先确定符号，再用约分即可得答案； （6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【考点19】 有理数除法运算 【典例19】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式19-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式19-2】【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 【考点20】 有理数乘除法运算 【典例20】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数乘法计算，正确掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【变式20-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘除运算： （1）利用乘法法则及乘法运算律进行计算即可； （2）先将除法变成乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式20-2】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点21】有理数的乘方 【典例21】下列各组式子中，运算结果相同的是（    ） A．和 B．与 C．和 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的性质：乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．根据有理数的乘方的性质即可作出判断． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，，选项B错误； C、，，故选项C错误； D、，，故选项D错误． 故选：A． 【变式21-1】长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的小棒长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可得：第六次后剩下的小棒长为： ， 故选：C． 【变式21-2】下列各组中的两个数，运算后的结果相等的是（   ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断． 【详解】解：A． ∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵，， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式21-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是（    ）天． A．520 B．515 C．513 D．500 【答案】B 【分析】此题考查了用数字表示事件，以及有理数的乘方，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据图1的计算方法，表示出图2中的天数，计算即可得到结果． 【详解】解：根据图1的方法得： 图2中孩子出生后的天数是（天． 故选：B 【考点22】有理数混合运算 【典例22】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先算乘方和括号里边的，再算乘除，最后算加减； （3）先算出绝对值，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ． 【变式22-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘除法，再算加减法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后算加减法即可，注意乘法分配律的应用； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式22-2】计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)18 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法即可； （3）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （4）先计算小括号的乘法，再计算小括号内的减法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式22-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可； （3）根据幂的运算、有理数的混合运算法则计算即可； （4）根据幂的运算、有理数的混合运算法则计算即可； （5）根据幂的运算、有理数的混合运算法则计算即可； （6）根据幂的运算、有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：原式 ； （4） 解：原式 ； （5） 解：原式 ； （6） 解： ． 【考点23】算“24”点 【典例23】“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式23-1】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式 ，使其结果等于24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，利用混合运算的特点构建是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个算式为：， 故答案为： 【变式23-2】如果一个整数与，，这三个数，通过加、减、乘，除运算可以添加括号组成算式，能使结果等于，那么这个整数就称为可用的．在，，，，，，，，，这十个数中，可用的数有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，把每个数与，，这三个数，通过加、减、乘、除运算，把能等于的找出即可． 【详解】解：，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； ，可用； 不可用， 个数中，共有个数可用，个不可用； 故答案为：． 【变式23-3】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的四则混合计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ， ∴满足题意的式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【考点24】科学计数法 【典例24】据科学家估计，地球的直径大约是12700000米，将数据12700000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式24-1】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米秒，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：C． 【变式24-2】截至目前中国森林面积达到175000000公顷，森林覆盖率为，人工林面积居世界首位，其中数字175000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：175000000用科学记数法表示为． 故选：B． 【考点25】近似数的表示 【典例25】用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是 ． 【答案】34.9 【分析】本题考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的一种常用的表示形式, 解题的关键是正确理解近似数的精确度． 把百分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：34.945取近似数精确到十分位，得到的数为34.9， 故答案为：34.9． 【变式25-1】用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到十分位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】此题考查了近似数，根据四舍五入进行判断即可. 【详解】A. 精确到是，故选项正确，不合题意； B. 精确到千分位是，故选项错误，符合题意； C.精确到十分位是，故选项正确，不合题意；     D. 精确到是，故选项正确，不合题意. 故选：B 【变式25-2】78.9823亿，保留整数是 亿． 【答案】 【分析】本题考查了四舍五入以及近似数，根据第一位小数9大于5，进一位，即可作答． 【详解】解：∵78.9823亿的第一位小数9大于5 ∴78.9823亿，保留整数是亿 故答案为：． 【考点26】有理数实际应用 【典例26】“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午一共收入多少元？ 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米 (2)汽车共耗油21.2升 (3)沈师傅在上午一共收入156元 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以0.4，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米的费用总额，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离是5千米； （2）解： ， ∴（升）， ∴汽车共耗油21.2升． （3）解：∵共营运十批乘客， ∴起步费为：（元）， 超过3千米的收费总额为：（元）， ∴（元）， ∴沈师傅在上午一共收入156元 【变式26-1】金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 超出或不足 (1)周六接待游客人数为_____________人； (2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人； (3)本周共接待游客多少人？ 【答案】(1) (2)1800 (3)本周共接待游客人 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的实际应用及加减运算的实际应用． （1）用10000加上周六超出的量即可求解； （2）用游客人数最多的一天超出量减去游客人数最少的一天的不足量即可求解； （3）将七天的接待游客人数情况相加，再加上七天的总预计接待游客的人数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：（人）， 故周六接待游客人； （2）解： 游客人数最多的一天是周四，最少的一天是周日， （人） 故游客人数最多的一天比最少的一天多1800人； （3）解：根据题意得： （人） 答：本周共接待游客人． 【变式26-2】陶山甘蔗是瑞安的特产，每年十月是其盛产期．小瑞同学打算从瑞安寄箱甘蔗到杭州，以每箱千克为标准，实际重量统计如下表，记录如下：小瑞同学选择了某快递公司，收费标准如下：首重千克以内元（含千克），续重（超过千克的部分）元千克，不足千克按千克计． 每箱的重量（单位：千克） 箱数 (1)求这箱甘蔗的总重量． (2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分箱，每箱一个包裹．方案二：箱打包进一个大箱子，大箱子重千克，元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？ 【答案】(1)（1） (2)方案二更省钱，省元． 【分析】（）求出记录数字之和，确定出总重即可； （）根据两种寄件方式及快递收费标准分别求出两种方案的费用，再比较即可； 本题考查了有理数四则运算实际应用，正确理解题意并灵活运用相关知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）； （2）方式一：（元），（元）， 方式二：元， ∴方案二更省钱，省元． 【变式26-3】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米最重的为多少千克？最轻的为多少千克？ (2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？ (3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？ 【答案】(1)最重的为53千克；最轻的为48千克 (2)多9千克 (3)7545元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键． （1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解； （2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解； （3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解． 【详解】（1）解：（千克），（千克）， 答：这30袋大米最重的一袋为53千克，最轻的一袋重量为48千克； （2）解：（千克）， 答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克； （3）解：这30袋大米的总重量为（千克）， 食堂购进大米总共花了（元）． 答：食堂购进大米总共花了元． 【变式26-4】为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【详解】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 【变式26-5】股民曹先生上星期五买进某公司股票股，每股元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算） (2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？如果曹先生卖出时需付成交额的手续费和的交易税，他的收益情况又如何？ 【答案】(1)周三收盘时股价为元 (2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元 (3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元；卖出时付手续费和交易税后他的收益元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题； 【详解】（1）解：周三收盘时股价为∶ (元)． 答∶周三收盘时股价为元． （2）周一股价为∶(元)； 周二股价为∶(元)； 周三股价为∶(元)； 周四股价为∶(元)∶ 周五股价为∶(元)； 答∶本周内最高股价是每股元，最低价是每股元． （3）根据题意得∶（元） 卖出时需付手续费和交易税共：（元） 卖出时付成交额的手续费和的交易税，他的收益情况是： （元） 答∶如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元；卖出时付手续费和交易税后他的收益元． 一、单选题 1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果把收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】此题考查了相反意义的量和正负数的意义，根据相反意义的量和正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：如果把收入元记作元，那么支出元记作元， 故选：D． 2．一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了运用数轴表示数，结合数轴得出墨迹在的范围内，且要求找出整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，墨迹在的范围内， ∵要求是整数， ∴满足的数：，共有13个， 故选：B． 3．已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，根据数轴上a、b的位置可以判定a与b大小与符号，然后据此解答． 【详解】解：由数轴知， ，，， ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选D． 4．根据国际排联的规定，排球的标注直径为（单位：），下图排球直径不合格的是（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的知识，要能读懂题意，正确理解的实际意义，分别计算最大值和最小值来确定合格范围． 【详解】解：∵排球的标注直径为（单位：）， ∴排球的直径最大值为， 排球的直径最小值为， 这种排球直径在之间都是合格的， ∴排球直径不合格的是，排球直径合格的是、、． ∴排球直径不合格的是号，排球直径合格的是号、号、号， 故选：． 5．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，有理数的加法运算，解题关键能够类比题干中的信息从而解决问题．观察图①发现上半部分2个白色的表示，4个黑色的表示，最后结果是，由此图②中上半部分3个黑色的表示，4个白色的表示，得出图2表示的算式． 【详解】解：图②中表示的算式为， 故选：C． 6．，这是根据______计算的．（    ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律，等号左边是先算，再与相乘，等号右边加上括号后是先算，再与相乘，由此判断是根据乘法结合律计算的，据此即可作答． 【详解】解：依题意，，这是根据乘法结合律计算的， 故选：C． 7．一只蚂蚁沿数轴从点向一个方向移动了个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据点表示的数，分向左和向右两种情况讨论即可求出答案，明确数轴的特点，分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴当蚂蚁沿数轴从点向左移动了个单位长度时，点所表示的数是， 当蚂蚁沿数轴从点向右移动了个单位长度时，点所表示的数是， ∴点所表示的数是或， 故选：． 8．有一段公路长480米，在这段公路两旁每隔4米种一棵树，井且两端都要种，一共可以种（    ）棵树． A．240 B．242 C．244 D．246 【答案】B 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用．解题的关键是弄懂题意，找准题中的关系，即植树的棵树间隔数，据此求解即可． 【详解】 解：由题意得：（棵）， 所在一共可以种242棵树． 故选：B 9．若a，b，c是有理数且，则的值是（        ） A． B．或1 C．或 D．或1或 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，求一个数的绝对值，根据乘法计算法则可得a、b、c中负数的个数为偶数个，再分当a、b、c三个都为正时，当a、c为负，b为正时，当a、c中一个为负，b为负时，不妨设a为负，三种情况化简绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负数的个数为偶数个， 当a、b、c三个都为正时，则， 当a、c为负，b为正时，则； 当a、c中一个为负，b为负时，不妨设a为负，则， 综上所述，的值为或1， 故选：B． 10．若，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数大小比较，有理数乘方运算，先根据有理数的乘方计算各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．已知有理数a，b满足，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查平方数和绝对值的非负性．根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：9． 13．某商店有三袋面粉，上面分别写着千克，千克，千克的字样，从中任意取出两袋面粉，它们质量相差最大的可能是 千克． 【答案】0.5/ 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．分别求出各自的质量差即可解决． 【详解】解：从中任意取出两袋，它们质量相差最大的是千克或千克． 故答案为：0.5 14．小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的加法运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法运算是解题的关键；根据数轴可知被墨迹盖住的整数是，然后进行相加即可． 【详解】解：由数轴可知被墨迹盖住的整数是， ∴； 故答案为． 15．假设，如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，读懂题意，理解，按照公式代值求解即可得到答案，熟记有理数加减乘除运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是 ． 【答案】 【分析】考查了考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计算读书的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是： 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）将所有带分数都化成假分数，然后再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）将小数化成分数，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （4）先将括号里数通分，再根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18．小华家今年收获10袋小麦，若每袋小麦质量以为标准，超过标准的用正数表示，不足标准的用负数表示，这10袋小麦的质量与标准质量比较如下：0.5，，1.2，，，，0，，，． (1)这10袋小麦中，质量最大的袋比质量最小的袋多多少？ (2)用两种方法计算这10袋小麦的总质量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意列出算式计算即可求解，正确列出算式是解题的关键． （1）用超过标准的质量最大值的袋减去质量最小的袋即可求解． （2）方法一∶先求用平均数乘以10再加上超过标准的质量的和，方法二：先分别求出每袋的质量，然后相加即可． 【详解】（1）解：， 答：质量最大的袋比质量最小的袋多． （2）解：方法一： 方法二： 答：10袋小麦的总质量为． 19．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值 (1)表示数轴上 ___________与 ___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 ___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ___________． (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值． 【答案】(1)4，1； (2)5，； (3)，，0，1，2，3，4，5； (4)5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质， （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，进而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数x到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）由题意得：表示数轴上有理数x所对应的数到数轴上与5的距离之和等于7， 又∵， ∴. 又∵x为整数， ∴x表示的数为：，，0，1，2，3，4，5． 故答案为：，，0，1，2，3，4，5． （4）由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 20．根据中药材市场行情调研，某药材公司决定利用一周的时间大量收购白术，公司将工作人员分为六个收购小组，每个小组的收购任务为8000千克，一周后，六个小组完成情况如下表：（以为标准，超过为正，不足为负） 小组 一 二 三 四 五 六 完成情况 (1)6个小组完成的总量有没有超过计划数量？并说明理由； (2)若每个小组的基本奖金为500元，每超额完成100千克另奖10元，每少完成100千克，从基本奖金中扣8元，本次收购后，该公司要支付奖金多少元？ 【答案】(1)超过，见解析 (2)3150元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据超额的奖金单价乘以超额的数量，可得超额奖金，根据有理数的加减法，可得答案． 【详解】（1）解：， 答：6个小组完成的总量超过了计划的数量； （2）由题意得（元）． 答：该公司将要支付3150元奖金． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，解题的关键是要理解题意，灵活运用运算法则列式计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$