精品解析：广东省中山市共进联盟2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级十月数学单元练习试题 （测试时间： 120分钟， 满分： 120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一． 选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答：一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、不是整式方程，故错误； B、方程含有两个未知数，故错误； C、方程二次项系数可能为0，故错误； D、符合一元二次方程的定义，正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3. 抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为， 故选：B． 4. 已知二次函数 ，则 （ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 函数的最小值为 C. 当时， y随x的增大而增大 D. 函数图象与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、由可知，抛物线的对称轴为直线，故A错误； B、由可知，函数的最大值为，故B错误； C、因为，则抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，随的增大而增大，故C正确； D、令，则，方程无解，所以函数图象与轴没有交点，故D错误． 故选：C． 5. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 6. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝500 B. 100（1＋x）2＝500 C. 100＋100（1＋x）2＝500 D. 100（1＋x）＝500 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得二月份的营业额、三月份的营业额，再根据等量关系“一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=500万元”即可列出方程． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为100×（1+x）， ∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2， ∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=1000． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 7. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 8. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根来解决此题即可． 【详解】解：方程的一个根就是函数的图象与轴的一个交点， 即关于函数，时的值， 由表格可得：当的值是时，函数值与0最接近．因而方程的近似解是． 故选：C． 9. 如果，抛物线的顶点在第二象限，则方程的实根情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 以上三种均有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由得抛物线开口向上，又根据抛物线的顶点在第二象限可得，据此即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的顶点在第二象限， ∴， ∴方程无实数根， 故选：． 10. 定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（ ） A. 或 B. 或7 C. 或7 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义运算解方程，理解新运算，根据新定义的运算，分两种情况：①；②，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：分两种情况： ①， ，即， ， 解得：， 当时，，即，符合题意； 当时，，即，不符合题意； ； ②， ，即， ， 解得：， 当时，，即，不符合题意； 当时，，即，符合题意； ； 综上，的值是或7， 故选：B． 二． 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数 中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 一元二次方程 的二次项系数与常数项之积是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将化为一般式，根据一元二次方程二次项系数和常数项的定义分别求出二次项系数和常数项，然后求出对应的积即可． 【详解】解：化为一般式为， 其中二次项系数为，常数项为， ， 二次项系数与常数项之积是， 故答案为：． 13. 已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得 ， 关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点 ， ， ∴ ， 关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 14. 若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是___________． （用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴直线和开口方向，结合即可判断； 【详解】解：由题意得：二次函数 的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵，， ∴， 故答案为： 15. 抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线． 下列结论中： ①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点 在该抛物线上，则．其中正确的有_______________（填序号）． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①对称轴是轴的右侧， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故①错误； ②， ，即， 故②正确； ③由图象得，与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根； 故③正确； ④抛物线的对称轴，与轴交于， 另一个交点坐标， ∴4和是方程的两个根， ∴， ∴ 故④错误， ⑤∵抛物线的对称轴， ∴当时，二次函数由最大值， 点在该抛物线上， ， ， 故⑤正确； 综上，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 三． 解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 已知二次函数的图象经过点且顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若抛物线与y轴交于点 B， 求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，割补法求面积： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B坐标，再利用割补法求出对应的面积即可． 【小问1详解】 解：设这个二次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个二次函数的解析式为 【小问2详解】 解：在中， 当时，， ∴， ∴． 18. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）15米 （2）不能， 若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 ， 整理，得 ， ∵， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 【解析】 【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【小问1详解】 解：设边的长为米，则米， 根据题意可得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意， ∴米． 答：边的长为15米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 四． 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】（1）方程是“邻近根方程”； （2）48 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等： （1）利用公式法求出，则，据此可得答案； （2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， 解得， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； 【小问2详解】 解：设关于x的方程的两个实数根为， 则由根与系数的关系可得， ∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值48，即有最大值48． 20. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 【答案】（1） 证明： 所以此方程总有实根． （2）三角形另外两边长为2，2 【解析】 【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证． （2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则此方程有两个相等实根 此时，则， 原方程为：，， ∴另外两边长为2和2， ②若，则是方程的根， ∴， ∴， 原方程为， 解得：，， 而1、1、2为边不能构成三角形． 所以，三角形另外两边长为2，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 21. 综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1） （2）72m （3） 不会，理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【小问1详解】 设，将，，代入， 得，解得， 关于t的函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； 【小问3详解】 略 五． 解答题 （三）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分共27分． 22. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 【答案】（1）（） （2）第15天利润最大，最大值为25000元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格信息，得出两个变量为一次函数，利用待定系数法求解即可； （2）列出关于利润的二次函数，利用二次函数的性质求最值即可； （3）列出二次函数，根据二次函数的性质得出第20天利润最大，列出方程即可． 【小问1详解】 解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得y是x的一次函数， 设，把代入可得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为（）； 【小问2详解】 解：设总利润为w元，则 ； 当时，w取得最大值， 所以，第15天利润最大，最大值为：（元）． 【小问3详解】 由题意可得： 第20天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为：元，则 又∵－40＜0且， 随x的增大而减小 当时有最大值为， ∴， 解得：a＝． 综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出二次函数和一次函数解析式，利用函数的性质求解． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； （3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，过点P作直线轴，交x轴于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由抛物线的对称性可知，可得，可知当点M在直线上时，取最小值，因此求出直线与对称轴的交点坐标即可； （3）用含t的式子表示出P，M的纵坐标，分点P在y轴左侧，点P在y轴右侧两种情况，根据列式求解． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，，，， ， 当时，， ． 由抛物线的对称性可知， ， 当点M在直线上时，取最小值． 设直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 将代入，得， 点M的坐标为； 【小问3详解】 解：令， 得，， ， 点P是x轴上方抛物线上的动点，点P的横坐标为t， 点，， 点M在直线：上，点N在x轴上， ，， 当时，分两种情况： 当点P在y轴右侧时，如下图所示： ，， ， 解得或（舍）， 将代入，得， ； 当点P在y轴左侧时，如下图所示： ，， ， 解得或（舍）， 将代入，得， ； 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数图象上的点的坐标特征等，有一定难度，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第三问注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级十月数学单元练习试题 （测试时间： 120分钟， 满分： 120分） 温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷． 一． 选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数 ，则 （ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 函数的最小值为 C. 当时， y随x的增大而增大 D. 函数图象与x轴有两个交点 5. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 6. 某超市一月份的营业额为100万元，已知第一季度的总营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝500 B. 100（1＋x）2＝500 C. 100＋100（1＋x）2＝500 D. 100（1＋x）＝500 7. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 8. 根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（ ） A. B. C. D. 9. 如果，抛物线的顶点在第二象限，则方程的实根情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 以上三种均有可能 10. 定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（ ） A. 或 B. 或7 C. 或7 D. 或 二． 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数 中，自变量x的取值范围是________． 12. 一元二次方程 的二次项系数与常数项之积是 __________． 13. 已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 __________． 14. 若点， ， 均在二次函数 的图象上，则，，的大小关系是___________． （用“<”连接） 15. 抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线． 下列结论中： ①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点 在该抛物线上，则．其中正确的有_______________（填序号）． 三． 解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程：； 17. 已知二次函数的图象经过点且顶点坐标为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若抛物线与y轴交于点 B， 求的面积． 18. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 四． 解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 20. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 21. 综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 五． 解答题 （三）： 本大题共2小题， 第22题13分， 第23题14分共27分． 22. 中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（且x为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； （3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，过点P作直线轴，交x轴于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $