专题3.1 椭圆（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 1 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 5 【考点3：椭圆的几何性质】 9 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 15 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 【知识点：椭圆的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 【知识点：椭圆的标准方程】 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2. (3)求椭圆标准方程的两种思路方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【答案】C 【分析】根据椭圆中的关系即可求解. 【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 故， 故选：C 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为， 所以，，则，， 椭圆的标准方程为. 故选：B. 3．（24-25高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆，若圆心在坐标原点，直径为a的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，则下列椭圆中是“圆椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，依次判断各选项即可得出结果． 【详解】根据题意可得：，即， 对于A选项，椭圆方程为，则，不符合，故A错误； 对于B选项，椭圆方程为，则，符合，故B正确； 对于C选项，椭圆方程为，则，不符合，故C错误； 对于D选项，椭圆方程为，则，不符合，故D错误. 故选：B． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则m的值为 . 【答案】或 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距是， 所以或， 解得或. 故答案为：或. 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由方程表示椭圆，得到不等式组，求解即可得到答案． 【详解】由题意，方程表示椭圆， 则满足，解得且， 则实数的取值范围是， 故答案为： 6．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 7．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上； (2)过点，离心率； (3)过点，且与椭圆有相同离心率. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据长轴及焦点在轴上，求出，，即可写出椭圆方程； （2）分焦点在轴，轴两种情形，结合几何性质列式求解； （3）利用离心率设，，再分焦点在轴，轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，，则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在轴上，设方程为. 则， ，，，方程为. 若椭圆的焦点在轴上，设方程为， 则， 解得，故方程为. 所以椭圆的标准方程为或 （3）离心率为.设，，则. 若焦点在轴上，方程为，代入(1,2)，得，所以方程为 若焦点在轴上，方程为，代入(1,2)，得，所以方程为. 所以椭圆的标准方程为或. 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 【知识点：椭圆的焦点三角形问题】 (1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． (2)以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc. ④焦点三角形的周长为2(a＋c)． 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 【答案】24 【分析】根据方程可知，利用椭圆的定义运算求解. 【详解】如图所示：      根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上， 所以的周长为 . 故答案为：24. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将点代入得出方程，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 如图所示，    易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为： . 3．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可. 【详解】因为, 所以, 所以椭圆方程为, 设,椭圆的上、下顶点, 所以且， 所以， 所以 即得. 故答案为：. 4．（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆得，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 5．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据椭圆的定义及余弦定理求出，即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， ， 即，所以， 所以.    故选：A. 【考点3：椭圆的几何性质】 【知识点：椭圆的几何性质】 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [方法技巧] 求椭圆离心率的三种方法 (1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． [提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　　 1．（24-25高二·全国·课堂例题）椭圆中，x，y的范围是什么？ 【答案】． 【详解】根据椭圆的性质可知，椭圆中，． 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解． 【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对； 故选：B 3．（24-25高三下·河南南阳·阶段练习）已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的对称性可知椭圆的长轴与短轴长，进而可得离心率. 【详解】由椭圆的对称性可知，，则，， 所以， 所以的离心率为， 故选：A. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 6．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】B 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由图象可得， ∴ ， 又，， ∴  ， ∴ 椭圆的长轴长为4，A对， 椭圆的离心率为，B错， 圆的方程可以为，C对， 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对， 故选：B. 7．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 8．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的方程为，焦距为，直线与椭圆交于，两点，，则椭圆的离心率为（      ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先设出点的坐标，根据直线与椭圆都关于原点对称可得：，由两点间的距离公式列出方程，再由点在直线和椭圆上，列出方程，即可解得离心率. 【详解】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，， 由，得，即，解得， 由点在椭圆上，得，即， 整理得，即，而，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D 9．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线AP，AQ的斜率之积列方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】，设，则，则，， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：C 10．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 . 【答案】/ 【分析】由通径的求法得出，再由为直角三角形得出，建立方程求出即可得解. 【详解】因为当时，代入椭圆方程可得， 所以，不妨设在第一象限，则， 因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，， 所以，故，即， 可得，解得或（舍去）， 所以椭圆M的长轴长为. 故答案为： 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 【知识点：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法】 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． [提醒]　求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及基本不等式求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 2．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据已知条件结合椭圆定义求出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】设，，根据椭圆定义得 ， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为. 故答案为： 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设，根据四边形的面积为即可求解最大面积． 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A．    4．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 5．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】 利用椭圆的几何性质得到点，再假设点，利用两点距离公式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为椭圆C的方程为：，则， 设，则，故，且， 所以， 当时，取得最大值，故. 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 【答案】D 【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出即可得出；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，根据的面积求出内切圆半径即可得出. 【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①， 在中，由余弦定理②， 由①②可得，所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误； 对D，设内切圆的半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故D正确. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 椭圆 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 1 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 3 【考点3：椭圆的几何性质】 4 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 6 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 【知识点：椭圆的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 【知识点：椭圆的标准方程】 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2. (3)求椭圆标准方程的两种思路方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 2．（24-25高二下·全国·课堂例题）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆，若圆心在坐标原点，直径为a的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，则下列椭圆中是“圆椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则m的值为 . 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 7．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上； (2)过点，离心率； (3)过点，且与椭圆有相同离心率. 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 【知识点：椭圆的焦点三角形问题】 (1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． (2)以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1|＋|PF2|＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc. ④焦点三角形的周长为2(a＋c)． 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知分别为椭圆的左，右焦点，为C上一点，内切圆的半径为 ． 3．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 . 4．（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 【考点3：椭圆的几何性质】 【知识点：椭圆的几何性质】 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [方法技巧] 求椭圆离心率的三种方法 (1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． [提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　　 1． （24-25高二·全国·课堂例题）椭圆中，x，y的范围是什么？ 2．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 3．（24-25高三下·河南南阳·阶段练习）已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 7．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 8．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的方程为，焦距为，直线与椭圆交于，两点，，则椭圆的离心率为（      ） A． B． C．或 D． 9．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 . 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 【知识点：与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法】 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． [提醒]　求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 2．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D．   4．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 5．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$