专题14.5 乘法公式（6大知识点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题14.5 乘法公式（6大知识点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平方差公式 (1)平方差公式的推导： (a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， (a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (3)公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 【知识点2】完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. （2）语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 【知识点3】添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【特别提示】添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的． 【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式． (1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式． (2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式． 【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单． 【知识点6】运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用． 知识点与题型目录 【知识点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析...................................................3; 【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................3; 【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................3; 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................3; 【题型5】平方差公式的逆运算.................................................4; 【题型6】平方差公式与规律问题...............................................4; 【题型7】平方差公式与几何图形...............................................5; 【知识点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析.................................................6; 【题型9】运用完全平方公式进行运算...........................................6; 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值......................................7; 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算..............................7; 【题型12】求完全平方公式的字母系数..........................................7; 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值......................................8; 【题型14】完全平方公式与规律问题............................................8; 【题型15】完全平方公式与几何问题............................................9; 【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算.................................10; 【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................11; 【直通中考与拓展延伸】 【题型18】直通中考.........................................................12; 【题型19】拓展延伸.........................................................12. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平方差公式的辨析 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列多项式的乘法中，能用平方差公式进行计算的是（　） A． B． C． D． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例2】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（    ） A． B．－32 C．0 D．78 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： ． 【题型3】运用平方差公式进行有理数简便运算 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）的计算结果是（   ）． A． B．0 C．1 D． 【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【题型4】运用平方差公式进行化简求值 【例4】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的值（    ） A． B．8 C．13 D．15 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知，则代数式值为 ． 【题型5】平方差公式的逆运算 【例5】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）若，，则代数式的值是 ． 【变式1】（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 【题型6】平方差公式与规律问题 【例6】（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个“智慧数”． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2024·山东菏泽·一模）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将如图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和 …… 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【题型7】平方差公式与几何图形 【例7】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，且． (1)这张长方形大铁皮的长为____，宽为_____；（用含a、b的代数式表示） (2)①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）； ②若一个小长方形的周长为，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S． 【变式1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）正方形和正方形如图摆放（点E，G分别在线段 上），已知，．若，，则该图中两个阴影三角形的面积和为 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【题型8】完全平方公式的辨析 【例8】下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列多项式中不是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型9】运用完全平方公式进行运算 【例9】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】若，则的结果是（    ） A．23 B．8 C． D． 【变式2】计算： ． 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值 【例10】已知 ，，求下列代数式的值： (1) (2) 【变式1】若，，则 ． 【变式2】若，则 ． 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算 【例11】用简便方法计算： (1)； (2)； (3) 【变式1】用简便方法计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（    ） A． B． C． D． 【点拨】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把拆分为，把拆分为． 【题型12】求完全平方公式的字母系数 【例12】（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【变式1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是 ． 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值 【例13】（23-24八年级上·全国·课后作业）试说明的值与x的取值无关． 【变式1】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，则代数式的值为 ． 【题型14】完全平方公式与规律问题 【例14】（23-24八年级上·河南安阳·期末）观察下面各式，你发现有什么规律？将你发现的规律用等式表示出来并证明． (1)观察与发现： ； ； ； ； …… 那么 ； ；（直接写出答案） (2)猜想与验证：请用字母m，n（m，n均为正整数）表示出来你发现的规律，并举例验证你的猜想． 规律： ； 例如：当 ， 时， 则： ； (3)请证明（2）中的规律成立． 证明： 【变式1】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 【题型15】完全平方公式与几何问题 【例15】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： 方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在边长为 的正方形中央剪去一边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（   ） A． B．   C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ． 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算 【例16】（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【变式1】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 【题型17】利用完全平方公式配方求最值 【例17】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)已知；，请比较与的大小，并说明理由． 【变式1】（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ． 【变式2】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型18】直通中考 【例1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【题型19】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为______； (2)利用上面的规律计算：； (3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.5 乘法公式（6大知识点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平方差公式 (1)平方差公式的推导： (a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， (a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (3)公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 【知识点2】完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. （2）语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 【知识点3】添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【特别提示】添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的． 【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式． (1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式． (2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式． 【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单． 【知识点6】运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用． 知识点与题型目录 【知识点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析...................................................3; 【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................4; 【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................5; 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................6; 【题型5】平方差公式的逆运算.................................................8; 【题型6】平方差公式与规律问题...............................................9; 【题型7】平方差公式与几何图形..............................................11; 【知识点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析................................................14; 【题型9】运用完全平方公式进行运算..........................................15; 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值.....................................17; 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算.............................18; 【题型12】求完全平方公式的字母系数.........................................19; 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值.....................................21; 【题型14】完全平方公式与规律问题...........................................22; 【题型15】完全平方公式与几何问题...........................................26; 【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算.................................29; 【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................31; 【直通中考与拓展延伸】 【题型18】直通中考.........................................................34; 【题型19】拓展延伸.........................................................36. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平方差公式的辨析 【例1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式；根据平方差公式逐项判断即可． 解：A．没有完全相反的项，故此选项不符合题意； B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意； C．原式，故此选项符合题意； D．没有完全相同的项，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列多项式的乘法中，能用平方差公式进行计算的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可判断求解，掌握平方差公式的结果特点是解题的关键． 解：、，两个多项式中的符号相同，的符号相反，能用平方差公式进行计算，该选项符合题意； 、，前后字母不同，不能用平方差公式进行计算，该选项不合题意； 、，两个多项式中的符号都相反，不能用平方差公式进行计算，该选项不合题意； 、，两个多项式中的符号都相反，不能用平方差公式进行计算，该选项不合题意； 故选：． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例2】（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可；（2）利用平方差公式计算即可． 本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（    ） A． B．－32 C．0 D．78 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式去括号即可得到答案． 解： ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，原式两次运用平方差公式进行计算即可得到答案． 解： ， 故答案为： 【题型3】运用平方差公式进行有理数简便运算 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)1；(2). 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）（2）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 解：（1） ； （2） 【变式1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）的计算结果是（   ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式成为解题的关键． 先把原式变形成平方差公式，然后再运用平方差公式简便运算即可． 解： ． 故选C． 【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再利用平方差公式去括号后计算减法即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 【题型4】运用平方差公式进行化简求值 【例4】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 解： ， 当，时，原式． 【变式1】（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的值（    ） A． B．8 C．13 D．15 【答案】D 【分析】先根据平方差公式化简已知条件中的等式，求出的值，再把所求代数式的前两项提取公因式2，再整体代入求值即可． 本题主要考查了平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 解：， ， ， ， 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知，则代数式值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，代数式的求值，先计算整式的乘法，合并同类项，再结合分配律整体代入求值即可． 解：∵， ∴ ； 故答案为： 【题型5】平方差公式的逆运算 【例5】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，根据，利用整体思想进行求解即可． 解：∵，，， ∴； 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，利用平方差公式运算即可求解，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 解：， 故选：． 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和运用平方差公式进行计算．利用平方差公式进行计算即可解答． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型6】平方差公式与规律问题 【例6】（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个“智慧数”． 【答案】1516 【分析】本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用；分别考虑奇数、4的倍数的数，及被4除余2与3的数；设两个数分别为，其中，且k为整数，即，表明大于1的奇数都是“智慧数”；考虑，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；证明不是“智慧数”；据此可以判断自然数中的 “智慧数”；找到规律后，即可完成求解． 解：对于相邻两个自然数，其中，且k为整数， 因而和就是两个自然数， 表明大于1的奇数都是“智慧数”； 对于两个自然数，其中，且k为整数， 则，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”； 对于的自然数，下面证明它不是“智慧数”； 若它是“智慧数”，则必有m、n，满足， 当m、n奇偶性不同时，都是奇数，其积也是奇数，但上式左边是偶数，矛盾，即不是“智慧数”；是奇数，故是“智慧数”； 综上知，所有正整数中，1、4及不是“智慧数”外，其余都是“智慧数”； 则“智慧数”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前两个3与5外，其余都是3个一组的连续整数，且中间一个数为4的倍数，且2024所在的组三个数为：2023，2024，2025，而2022则不是“智慧数”，由于，即从2开始到2022，形如的数共有506个数不是“智慧数”，去掉1与4两个，共有508个数不是“智慧数”，故2024是第个“智慧数”； 故答案为：1516． 【变式1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 【变式2】（2024·山东菏泽·一模）我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将如图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和 …… 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【答案】55 【分析】本题考查图形变化的规律，能发现“杨辉三角”与展开式中各项系数的关系是解题的关键．根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 解：由题知，含项是展开式中的第三项， 观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第10个数为：，故答案为：55． 【题型7】平方差公式与几何图形 【例7】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，且． (1)这张长方形大铁皮的长为____，宽为_____；（用含a、b的代数式表示） (2)①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）； ②若一个小长方形的周长为，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S． 【答案】(1)，；(2)①；②，，这张长方形大铁皮的面积为． 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程． （1）根据图形可知张长方形大铁皮长为，宽为； （2）①根据长方形面积公式即可求出面积表达式； ②根据题意列出方程，联立求值． 解：（1）这张长方形大铁皮长为，宽为； 故答案为：，； （2）解：①根据题意得： ； ②根据题意得：，， 整理得，， ∴， 解得，， ， 则这张长方形大铁皮的面积为． 【变式1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）正方形和正方形如图摆放（点E，G分别在线段 上），已知，．若，，则该图中两个阴影三角形的面积和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是和还有之间的关系．利用图形得，由可得，从而求得，再联立方程组求得的值，再求解即可． 解：， 正方形和的边长分别为，， ， ， ， ， ， ， 解方程组得， 四边形和四边形是正方形， ， ， 故答案为：8． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．利用面积的关系验证平方差公式是解题的关键． 解：由图1可知剩余部分的面积为：， 由图2可求长方形的面积为：， ∴． 故选：B． 【题型8】完全平方公式的辨析 【例8】下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解． 解：A、中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，符合题意； C、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列多项式中不是完全平方式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式逐项判断即可求出答案． 解：A．不符合完全平方式的特点，故A不是完全平方公式，符合题意； B．，故B是完全平方公式，故不符合题意； C．，故C是完全平方式，故不符合题意； D．，故D是完全平方公式,故不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，根据乘法公式逐一计算后，判断即可． 解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 【题型9】运用完全平方公式进行运算 【例9】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可； 解：（1） ； （2）； （3）； （4） ． 【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键． 【变式1】若，则的结果是（    ） A．23 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，先把当成一个整体，根据计算即可． 解： ， 故答案为：． 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值 【例10】已知 ，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据计算即可； （2）根据计算即可． 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 【变式1】若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据，代入计算即可． 解：∵，， ∴． 故答案为：5． 【变式2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值．设设，，则，，再由进行求解即可． 解：设，， ∴，， ∴ ， 故答案为：2025． 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算 【例11】用简便方法计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)996004； (2)；(3)1. 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）把原式变为，利用完全平方公式计算； （2）把原式变为，利用完全平方公式计算 （3）把原式变为，逆用完全平方公式计算； 解：（1） （2） （3） 【变式1】用简便方法计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据完全平方公式计算即可． 解：， 故选：A． 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把拆分为，把拆分为，然后根据完全平方公式展开，再合并计算，最后约分，即可得出答案． 解： ． 故选：B 【点拨】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把拆分为，把拆分为． 【题型12】求完全平方公式的字母系数 【例12】（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）将A、B代入，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方式的结构特征解答即可． 解：（1），， ； （2）解：由题可得：， 是关于x的一个完全平方式， 则可以为， 原式 ， 整式可以是（答案不唯一）． 【变式1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据当时此代数式的值为0可推出，结合整式的混合运算即可求解． 解：∵当时此代数式的值为0， ∴， 即：； ∵ ∴， 由得， 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式是某个整式的平方，那么m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出m的值． 解：整式是某个整式的平方， ， 或， 即m的值是或， 故答案为：或． 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值 【例13】（23-24八年级上·全国·课后作业）试说明的值与x的取值无关． 【分析】根据整式的四则运算、完全平方公式及平方差公式，求解即可． 解：方法一  分别利用公式展开 ， 所以原式的值与x的取值无关． 方法二  整体利用公式化简 原式， 所以原式的值与x的取值无关． 【点拨】此题考查了整式的混合运算，涉及了完全平方公式及平方差公式，解题的关键是掌握整式的有关运算法则． 【变式1】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】所求式子可整理为，再将整体代入求值即可． 解：∵， ∴ ． 故选D． 【点拨】本题考查代数式求值，完全平方公式．利用整体代入的思想是解题关键． 【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 解： ， ， ， 当时，原式， 故答案为：3． 【题型14】完全平方公式与规律问题 【例14】（23-24八年级上·河南安阳·期末）观察下面各式，你发现有什么规律？将你发现的规律用等式表示出来并证明． (1)观察与发现： ； ； ； ； …… 那么 ； ；（直接写出答案） (2)猜想与验证：请用字母m，n（m，n均为正整数）表示出来你发现的规律，并举例验证你的猜想． 规律： ； 例如：当 ， 时， 则： ； (3)请证明（2）中的规律成立． 证明： 【答案】(1)1600；40000; (2)；；； (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的运算，平方差公式，完全平方公式等知识， （1）根据题干给出的规律计算即可； （2）根据（1）的规律作答即可； （3）运用完全平方公式证明即可． 解：（1）， 即； ， 即； ， 即； ， 即； …… 则有： ， ， 故答案为：1600，40000； （2） 例如：， 则． （3）证明：∵ ， ∴成立． 【变式1】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 解：根据题意可得： ． 故选A 【点拨】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，数字规律，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．根据题中的规律将展开，即可求解． 解： ， 故答案为：． 【题型15】完全平方公式与几何问题 【例15】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： 方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： 【答案】(1); (2)；; (3). 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关系． （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出，，即可求解． 解：（1）由图可得，正方形的边长为：， 故答案为：． （2）由图可得，方法1：， 方法2：， 故答案为：；． （3）∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在边长为 的正方形中央剪去一边长为 的小正方形 ，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（   ） A． B．   C． D． 【答案】C 【分析】平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积． 本题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解两个正方形的面积与平行四边形的面积之间的关系，列出相应的式子后再化简． 解： 拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 该平行四边形的面积为： ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解． 解：设大长方形的短边长为d， ∴由图2知，， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算 【例16】（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了整式的混合运算、整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案； （2）括号内先根据完全平方公式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可化简，最后代入计算即可得解． 解：（1） ； （2） ， 由，得，即， 所以原式． 【变式1】若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知 ，若 ，则的值为（     ） A．51 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】把和的值代入式子中进行计算，即化简，再根据绝对值和偶次方的非负性，求出a、b值，然后代入化简式计算即可． 解： ，， ； ， ，， ，， ． 故选：A． 【点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，绝对值和偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【题型17】利用完全平方公式配方求最值 【例17】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ； (2)已知；，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1); (2)，理由见解析. 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方的性质等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差，又对于任意的都有，进而可以判断得解． 解：（1）由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2），理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． 【变式1】（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】根据题意把代数式配成的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值． 解：由题意可得：原式 ， ∵无论a取何值，，即， ∴代数式， 即当时，代数式有最大值， 故选：A． 【点拨】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成的形式． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型18】直通中考 【例1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 解：（1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【题型19】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先求得，再求得，根据二次函数的最值求解即可． 解：∵， ∴， 即， ∴， 设， ∴， ∵x，y为实数， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对于，当时，S有最大值， 当时，S有最小值， ∴的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为______； (2)利用上面的规律计算：； (3)假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程） 【答案】(1)6; (2)32; (3)四. 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸，数字的变化规律，罗列分析出规律是解答本题的关键． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）根据展开式，令，时，代入展开式即可得到所求代数式的值； （3）将变形为，展开后前21项和是7的倍数，所以除以7的余数为6，即可求解． 解：（1）根据表中数据得， 故答案为：． （2） ∴当，时，， ． （3）∵ （、、、、是一列常数）， ∴，刚好是的整数倍， ∴除以结果的余数为， ∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$