4.4 数学归纳法6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.4数学归纳法6题型分类 一、数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 二、数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 三、数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． （一） 用数学归纳法证明恒等式 1、数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 2、数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题. 题型1：对数学归纳法的理解 1-1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法的知识确定正确答案. 【详解】在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 1-2．（2024高二下·河南·期中）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【答案】C 【分析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论. 【详解】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：C. 1-3．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 题型2：数学归纳法中的增项问题 2-1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 计算和时左边式子，再作差即可判断. 【详解】依题意当时左边， 当时左边， 所以 ， 故从递推到时，不等式左边需添加的项为. 故选：C 2-2．（2024高二下·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果. 【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和； 当时，等式左边等于，共项求和； 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是. 故选：B. 2-3．（2024高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式． 【详解】解：当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 题型3：用数学归纳法证明恒等式 3-1．（2024高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】 根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】当时，左侧，右侧，显然成立， 假设时， 当时， ， 即当时，等式也成立， 综上可得，． 3-2．（2024高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的步骤，首先验证当时成立，进而假设时等式成立，证明时，等式也成立；即可得证． 【详解】设． ①当时，左边，右边，等式成立； ②设当时等式成立，即， 则当时， ． 由①②可知当时等式都成立． 3-3．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】按数学归纳法的步骤证明即可，即验证时等式成立，且假设时等式成立，证明时等式成立即可. 【详解】当时，等式左边，等式中间，等式右边，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立； 假设时等式成立， 即有成立， 我们分两步来证明当时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可， 第一步：由假设可知，当时， 有 成立， 即当时，等式左边=等式中间成立； 第二步：由假设，所以此时有成立， 从而可知，当时，有 成立， 即当时，等式中间=等式右边成立； 结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立； 综上所述：由数学归纳法可得. （二） 用数学归纳法证明不等式 1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式： 一是直接给出不等式，按要求进行证明； 二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明； 三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围. 2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等. 题型4：用数学归纳法证明不等式 4-1．（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明即可. 【详解】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 4-2．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】应用数学归纳法，结合基本不等式证明不等关系. 【详解】当，则成立， 若且时，成立， 令，则， 所以时不等式也成立， 综上，恒成立. 4-3．（2024高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】 由数学归纳法证明不等式的一般步骤可知：第一步验证初值时不等式成立；第二步进行归纳假设：假设当时所证不等式成立，在此基础上来证明当时所证不等式也成立；特别注意证时一定要用到时的结论；第三步下结论：在第一步及第二步的基础上就可得出所证不等式对一切都成立. 【详解】 证明：（1）当时，，命题成立. （2）假设当时，成立， 当时， ， ⸪， ⸫， 当时命题成立. 所以对于任意都成立. （三） 用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式. 题型5：用数学归纳法证明整除问题 5-1．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 【答案】答案见解析 【分析】按照数学归纳法的证明方法进行证明 【详解】当时，， 故能被整除， 假设当时，结论成立，即能被整除， 则当时， ， 由于和均能被整除， 故能被整除， 综上：能被整除（）. 5-2．（2024高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【答案】存在，且的最大值为 【分析】 求出、的最大公约数，可得出的值，然后利用数学归纳法证明出都能被整除，即可得出结论. 【详解】解：，， 所以，、的最大公约数为， 猜想：对任意的，能被整除， 当时，猜想显然成立； 假设当，猜想成立，即能别整除， 即存在，使得， 则当时， ， 因为为奇数，则为偶数，则能被整除， 所以，能被整除， 这说明当时，猜想也成立， 故对任意的，对任意正整数都能被整除，且. 故的最大值为. 5-3．（2024高二·江苏·课后作业）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 【答案】能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析 【分析】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可． 【详解】 时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除； 证明：（1）当时，，命题显然成立； （2）假设当时，能被6整除． 当时，， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除， 由假设知能被6整除, 故，，6分别能被6整除， 所以当时，命题也成立． 据（1）（2），可知可以被6整除． 故能被自然数6,，1，2，3整除. （四） 数学归纳法证明数列问题 在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 题型6：数学归纳法证明数列问题 6-1．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）首先根据题意得到，再求，，即可. （2）首先猜想数列的通项公式为，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由可知， 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； 当时，代入，解得； （2）猜想数列的通项公式为. 当时，左边，右边，成立. （2）假设当时，成立. 则当时，有， 即当时，也成立. 所以对任何都成立. 6-2．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正项数列满足，. (1)计算,，猜想的通项公式并加以证明； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1),,,证明见解析; (2). 【分析】 （1）分别,，即可求得,,由此可猜想，用数学归纳法证明即可； （2）结合（1）的结论可得的表达式，分组求和即可求得答案. 【详解】（1） 当时，； 当时，； 猜想. 证明如下： 当时，成立； 假设时，成立； 那么时，, 即时，， 则对任意的，都有成立. （2） 由题意得， . 6-3．（2024高二下·陕西西安·期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，证明详见解析 (2)证明详见解析 【分析】 （1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. 【详解】（1）依题意，，，则， 所以， 猜想. 当时，成立， 假设当时，猜想成立，即， 则当时， ，猜想成立， 所以. （2）， 所以 . 一、单选题 1．（2024高二·上海·专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 【答案】B 【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出． 【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真， 因为n只能取偶数， 所以还需要证明成立． 故选：B． 2．（2024高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意代入即可得结果. 【详解】因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 3．（2024高二下·河南郑州·期中）用数学归纳法证明“，”，则当时，左端应在的基础上加上（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果. 【详解】解：当时，等式左端为， 当时，等式左端为， 两式比较可知，增加的项为． 故选：B． 4．（2024高二下·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由数学归纳法相关步骤可得答案. 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 5．（2024高二下·北京房山·期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将时左边的等式除以时左边的等式即可得解. 【详解】解：当时，左边， 当时，左边， 所以左边应添加因式为 故选：B. 6．（2024高一·全国·课后作业）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【答案】B 【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设． 【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确； 故选：B． 【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键 7．（2024高二上·上海青浦·期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法求解即可. 【详解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是. 故选：D 8．（2024高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可. 【详解】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 二、多选题 9．（2024高二·全国·课后作业）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 【答案】AD 【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误. 【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. 故选：AD 10．（2024高二·全国·课后作业）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 【答案】BC 【分析】由推理关系，可知需分为奇数和偶数两种情况讨论，再结合首项成立，即可判断选项. 【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立. 故选：BC 三、填空题 11．（2024高一下·上海浦东新·阶段练习）用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 【答案】 【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可. 【详解】当时，不等式为， 当时，不等式为. 故答案为：. 12．（2024高二下·河南濮阳·期末）用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 【答案】 【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可. 【详解】把和代入等式左边分别可得： ① ② 两式作差得. 故答案为： 四、解答题 13．（2024高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法来证明，当时，命题成立，再假设当时，能够被64整除，证明当时，命题也成立． 【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 14．（2024高二·江苏·课后作业）设，，且，用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明方法证明即可． 【详解】当时，左边，右边， 因为，所以，故左边右边，原不等式成立； 假设当时，不等式成立，即， 则当时，，， 在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式也成立． 综上，对一切正整数，不等式都成立． 15．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法进行证明，先证成立，再假设当时不等式成立，证得也成立，从而得证. 【详解】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 故当时，等式也成立， 所以成立. 16．（2024高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 【答案】(1)，，，， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】（1）因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以舍去， 同理可得：舍去，舍去，舍去， 所以，，，，； （2）猜想：，证明过程如下： 当时，显然成立， 假设当时成立，即， 当时，， 解得：，或， 因为数列的各项均为正整数， 所以数列是递增数列， 显然， 所以，舍去， 所以当时，成立， 综上所述： 17．（2024高三·全国·专题练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明见解析 【分析】 用数学归纳法证明整除问题. 【详解】 证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 18．（2024高二·全国·课后作业）数列中，，前项和（为正整数）. (1)计算，，的值，并猜测通项； (2)用数字归纳法证明（1）中的猜测． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】(1)分别取，代入，解方程即可； (2)先验证时命题成立，假设假设时，命题成立，对进行验证即可. 【详解】（1）， ，得， ，即，得， ，即，， 猜想 （2）当时 命题成立, 假设时，命题成立，即 成立, 因为，即 整理得 ，，求得 所以当时，命题成立， 故命题对任何都成立， 因此 . 19．（2024高二·全国·课后作业）已知数列满足，且， (1)求、的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】（1）赋值法求出、的值； （2）猜想出，利用数学归纳法证明出结论. 【详解】（1）令得：，即， 故， 令得：，即，解得：， （2）猜想， 证明如下：显然满足要求， 假设当时，成立， 则当时，， ，即， 即， 其中， 故 ， 故， 综上：. 20．（2024高二·全国·课后作业）已知数列的前项和满足（为正整数）. (1)计算，，，并猜测通项公式； (2)证明（1）中的猜想. 【答案】(1) ，，，； (2)证明见解析 【分析】（1）赋值法求出，，，并猜测通项公式； （2）利用数学归纳法证明出数列的通项公式. 【详解】（1）中令得：，解得：， 令得：，求出，解得：， 令得：，即，解得：， 令得：，即，解得：， 猜想：； （2）证明：当时，，满足要求， 当时，假设成立， 则当时，， 即，由得：， 故，解得：， 综上：. 21．（2024高二下·北京房山·期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析. 【分析】（1），从而可得出， （2）猜想，然后根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（1）因为， 所以，， ， . （2）猜想， 下面用数学归纳法进行证明： 当时，，猜想正确， 假设当时，猜想也正确， 则有， 当时，， 所以时，猜想也正确， 综上所述，. 22．（2024高二·全国·课后作业）求证：对任意正整数，都能被整除． 【答案】证明见解析 【分析】验证当时结论成立，然后利用数学归纳法可证得结论成立. 【详解】证明：当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即 , 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 23．（2024高二·全国·随堂练习）能被哪些自然数整除？ 【答案】能被自然数6，1，2，3整除，证明见解析 【分析】先分别用n取1,2,3,4时验证，则可猜想：可以被6整除，利用数学归纳法证明即可． 【详解】时，原式；时，原式；时，原式；时，原式；这些数都可以被6整除， 所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除； 1.当时，，命题显然成立； 2.假设当时，能被6整除； 3.当时，， 其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除， 由假设知能被6整除, 故，，6分别能被6整除， 所以当时，命题也成立； 综上所述：可以被6整除． 故能被自然数6，1，2，3整除. 24．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【答案】证明见解析 【分析】先验证时，能被整除；假设当时，能被整除，再证明能被整除，结合归纳原理可得出结论成立. 【详解】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立； （2）假设当时结论成立，即能被整除． 则当时， ， 因为能被整除，能被整除， 所以，能被整除，即即时结论也成立． 由（1）（2）知命题对一切都成立． 【点睛】思路点睛：“归纳——猜想——证明”的一般环节： （1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； （2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； （3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 25．（2024高二下·安徽亳州·期末）数学归纳法证明：． 【答案】详见解析 【分析】根据数学归纳法证明. 【详解】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边<右边，即不等式成立； （ⅱ）假设时，不等式成立，即， 则当时，左边=， 问题可通过证明来实现. 要证， 只需证，只需证 只需证，只需证， 只需证，∵显然成立，∴， 即当是不等式也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的，不等式恒成立. 26．（2024高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【答案】证明见解析 【分析】按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可. 【详解】(1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 27．（2024高三·全国·专题练习）设，且，证明∶. 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法证明即可. 【详解】证明：①当时，， ∴成立. ②假设当时命题成立， 即当，且（，2，…，n）时， 均有. ③当时，对于， 若，则命题显然成立. 若存在，不妨设， 则在中必存在一个数小于1，不妨设这个数为， 从而，即. 把看作一个整体，有 . 故原命题对也成立. 综上可得，原命题成立. 28．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2) ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据数学归纳法的步骤，先分析当时成立，再假设当时成立推导时也成立即可. 【详解】（1）当时，成立； 假设当时成立， 则 ， 即成立， 故当时也成立. 综上有 （2）当时，成立； 假设当时成立， 则 ， 故当时也成立. 故 29．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【详解】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 30．（2024高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：（,）． 【答案】证明见解析 【分析】先验证时，等式成立，再假设时，，由此需推出时，等式也成立，由此可得结论成立. 【详解】证明：①当 时，，，等式成立； ②假设 时，， 则时， ， 即时，等式成立， 综合①②可知，（，）． 31．（2024高二·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件借助数学归纳法证明命题的一般步骤直接证明即可. 【详解】(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立， (2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即， 则当n=k+1时， 左边= =右边， 因此，当n=k+1时，原不等式成立， 综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立. 32．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）按照数学归纳法的步骤证明即可； （2）按照数学归纳法的步骤证明即可； 【详解】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.4数学归纳法6题型分类 一、数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 二、数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 三、数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． （一） 用数学归纳法证明恒等式 1、数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 2、数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题. 题型1：对数学归纳法的理解 1-1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高二下·河南·期中）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 1-3．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 题型2：数学归纳法中的增项问题 2-1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高二下·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 题型3：用数学归纳法证明恒等式 3-1．（2024高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 3-2．（2024高二上·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）． 3-3．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． （二） 用数学归纳法证明不等式 1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式： 一是直接给出不等式，按要求进行证明； 二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明； 三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围. 2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等. 题型4：用数学归纳法证明不等式 4-1．（2024高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 4-2．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 4-3．（2024高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明： （三） 用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式. 题型5：用数学归纳法证明整除问题 5-1．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 5-2．（2024高三·全国·对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 5-3．（2024高二·江苏·课后作业）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ （四） 数学归纳法证明数列问题 在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿. 题型6：数学归纳法证明数列问题 6-1．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，. (1)求，，； (2)试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 6-2．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知正项数列满足，. (1)计算,，猜想的通项公式并加以证明； (2)若，求数列的前项和. 6-3．（2024高二下·陕西西安·期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 一、单选题 1．（2024高二·上海·专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　） A．时不等式成立 B．时不等式成立 C．时不等式成立 D．时不等式成立 2．（2024高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024高二下·河南郑州·期中）用数学归纳法证明“，”，则当时，左端应在的基础上加上（    ）． A． B． C． D． 4．（2024高二下·北京丰台·期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·北京房山·期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一·全国·课后作业）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 7．（2024高二上·上海青浦·期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 8．（2024高二下·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高二·全国·课后作业）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（    ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 10．（2024高二·全国·课后作业）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（    ） A．若对成立，则对所有正整数都成立 B．若对成立，则对所有正偶数都成立 C．若对成立，则对所有正奇数都成立 D．若对成立，则对所有自然数都成立 三、填空题 11．（2024高一下·上海浦东新·阶段练习）用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 . 12．（2024高二下·河南濮阳·期末）用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 四、解答题 13．（2024高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 14．（2024高二·江苏·课后作业）设，，且，用数学归纳法证明：． 15．（2024高二·全国·随堂练习）用数学归纳法证明：． 16．（2024高二上·上海·课后作业）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 17．（2024高三·全国·专题练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除 18．（2024高二·全国·课后作业）数列中，，前项和（为正整数）. (1)计算，，的值，并猜测通项； (2)用数字归纳法证明（1）中的猜测． 19．（2024高二·全国·课后作业）已知数列满足，且， (1)求、的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 20．（2024高二·全国·课后作业）已知数列的前项和满足（为正整数）. (1)计算，，，并猜测通项公式； (2)证明（1）中的猜想. 21．（2024高二下·北京房山·期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为． (1)计算，，，的值； (2)根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明． 22．（2024高二·全国·课后作业）求证：对任意正整数，都能被整除． 23．（2024高二·全国·随堂练习）能被哪些自然数整除？ 24．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 25．（2024高二下·安徽亳州·期末）数学归纳法证明：． 26．（2024高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 27．（2024高三·全国·专题练习）设，且，证明∶. 28．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2) ． 29．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 30．（2024高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：（,）． 31．（2024高二·全国·专题练习）求证：. 32．（2024高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$