精品解析：辽宁省东北育才学校2024-2025学年高三上学期高中学段联合考试数学试卷

2024—2025学年度上学期高中学段高三联合考试 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：李海顺 姜平 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足若，则=（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，为线段中点，，则（ ） A. B. 15 C. 18 D. 9 6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A B. C. D. 8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ）. A. 在中，角所对的边分别为，若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 已知向量，，则的最大值为 D. 在中，若（），则动点轨迹一定通过的重心 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为4 C. D. 若实数，则的最小值为8 11. 已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ） A. 在上增函数 B. 图象关于点中心对称 C. 在上有两个极值点 D. 若为的一个极小值点，且恒成立，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程的两个复数根分别为，，则___________. 13. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为___________. 14. 若，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小： （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间. 17. 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： （1）设，，求证：是实数； （2）已知，，，求的值； （3）设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 18. 已知函数（）的图象关于y轴对称. （1）求； （2）设，求的最大值和此时的x的集合； （3）设函数（，）.已知在处取最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值. 19. 请阅读下列2段材料： 材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数称为的二阶导数，记为：若仍是可导函数，则的数称为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义n阶导数：设函数的阶导数（，）仍是可导函数，则的导数称为的n阶导数，记为，即. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近. 一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足，，，…，（其中…为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题： （1）求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小； （2）求证：当时，恒成立. （3）在（1）条件下，若在上存在极值，求m的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期高中学段高三联合考试 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：李海顺 姜平 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出和，再利用交集的运算法则求解． 【详解】，， ， 故选：D． 2. 复数满足若，则=（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的性质求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：D 3. 已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案. 详解】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 4. 将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象的变换可得，进而解方程可得，可求的值.. 【详解】将函数图象向右平移后，可得平移后的解析式为， 再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，可得， 由方程，可得，所以， 因为，所以， 因为方程在内有两不等实根， 所以，所以， 所以. 故选：A. 5. 如图，在四边形中，，为线段中点，，则（ ） A. B. 15 C. 18 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由余弦定理求出长，由勾股定理可得直角三形，由求出长，再利用数量积定义即可求. 【详解】在中，已知， 由余弦定理可得 ，则. 由，可得. 故在中，为线段中点，则， 又，则， 且. 故. 故选：D. 6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式运算求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若，，且，则有，即， 可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，，利用赋值法得到，再结合时，即可得到. 详解】∵，，令得：，又， ∴当时，；令，由得：； 同理可求：；；①， 再令，由，可求得，令， 同理反复利用，可得；；,②， 由①②可得：有，∵时， 而，所以有，； 故. 故选：D. 8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建，分析可知的定义域为，且在内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建，利用导数求其最值即可. 【详解】设， 因为，可知的定义域为，所以在内恒成立， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：C. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ）. A. 在中，角所对的边分别为，若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B. 若向量，，则在上的投影向量为 C. 已知向量，，则的最大值为 D. 在中，若（），则动点的轨迹一定通过的重心 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理可求得，可得，可求得取值即可判断；对于B，直接根据投影公式计算出投影向量的值即可；对于C，由向量坐标的模长公式代入计算，即可判断；对于D，令边中点为，则，再根据正弦定理变形即可判断. 【详解】对于A，根据正弦定理可求得，所以， 所以，且，可求得，故A错误； 对于B，直接根据在上的投影向量，故B正确； 对于C，， 则，令， 则， 当时，取最大值，最大值为，故C正确； 对于D，令边中点为，则，再根据正弦定理， 所以， 代入到， 因此点的轨迹在直线上，所以点的轨迹经过重心，故D正确. 故选：BCD. 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为4 C. D. 若实数，则的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析计算即可得解. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，又， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以当时， 取得最小值8，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上有两个极值点 D. 若为的一个极小值点，且恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导数判断在上单调性；B令，根据函数奇偶性的定义判断的奇偶性；C在上，二次求导确定单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数，在上，根据三角函数、指数函数的性质判断的符号，进而确定极值点个数；D令，由B、C得，进而可求的范围. 【详解】由题设，， A：在上，故在是增函数，A正确； B：， 则，即是奇函数， 图象关于点中心对称，故B正确； C：若在上有极值点，令则有， 而，此时，所以极值点在上， 令，有， ∴在上，，，即，单调递减； 又，，显然存在， 在上，且，，故， ∴，则， 即，∴不存在零点； 综上，在上只有一个极值点，故C错误； D：易知为周期函数，是其一个周期， 由C知：，使得， ∵在上，即递增， 在上即递减，即为在上的极大值，也是最大值， 又由B项的结论：使得为在上的极小值，也是最小值， 则，且，， 不妨令，则， 令，则 即， 而结合C知有，∴，故，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：C选项，令判断极值点所在的区间为，讨论、上的单调性或函数值符号，结合零点存在性定理确定零点个数. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程的两个复数根分别为，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】解方程求得，，可求. 【详解】由，可得， 所以，， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，即为直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量夹角的坐标表示即可得出结果. 【详解】在中，由余弦定理可得，即； 因此满足，可得是以的直角三角形； 以为坐标原点，分别为轴，轴，如下图所示; , 易知即为向量的夹角， 所以. 故答案为： 14. 若，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，可得，求导求得最小值即可. 【详解】令，则， 所以，所以， 令，则， 所以在上为增函数，即在上为增函数，又， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用换元法，通过二次求导，求函数的最小值是一种常用方法，在平时的学习中应多体会. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小： （2）若，，，求的值； （3）设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 小问1详解】 由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； 【小问3详解】 因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间. 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 17. 在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： （1）设，，求证：是实数； （2）已知，，，求的值； （3）设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【小问1详解】 设， ，，， 是实数； 【小问2详解】 设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， 【小问3详解】 ，设， 则， ，， . 18. 已知函数（）的图象关于y轴对称. （1）求； （2）设，求的最大值和此时的x的集合； （3）设函数（，）.已知在处取最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）首先对进行化简，再利用是偶函数，转化为对一切恒成立求解； （2）由（1）知，，得，化简函数解析式，从而进行求解即可； （3）由（2）得，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，则可得，从而进行求解. 【小问1详解】 ， 因为函数的图象关于轴对称，因此是偶函数， 所以，即， 所以对一切恒成立，则，. 【小问2详解】 由（1）因为，，所以， 可得：， 所以 令，由可知， 则， 所以，当，即，时取得最大值，最大值为 【小问3详解】 由（2）得：. 由在处有最小值，知的图象关于对称， 又点为函数的一个对称中心， 所以， 故，且， 从而，， 则，即， 又，，所以，， ，，得，. 当时，， 显然，在处有最大值，而不是最小值，故矛盾； 当时，， 显然，在处既不是有最大值，也不是最小值，故矛盾； 当时，， 显然，在处取最小值，且的图象关于点中心对称. 所以，的最小值为. 19. 请阅读下列2段材料： 材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数称为的二阶导数，记为：若仍是可导函数，则的数称为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义n阶导数：设函数的阶导数（，）仍是可导函数，则的导数称为的n阶导数，记为，即. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近. 一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足，，，…，（其中…为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题： （1）求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小； （2）求证：当时，恒成立. （3）在（1）条件下，若在上存在极值，求m的取值范围 【答案】（1）当时，，当时， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，列方程组求实数，的值，令，利用导数研究单调性，又，可比较与的大小； （2）给不等式两边取对数后，转化为证，令，然后利用导数求出其最小值，再次转化为证，然后利用（1）结论证明即可. （3）由在上存在极值，所以在上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，对的零点进行分析． 【小问1详解】 由，，又， 所以可得，所以， 可知，，， 由题意，，所以，解得， 所以，令， 则， 所以在其定义域内为增函数，又， 所以时，；时，． 【小问2详解】 当时，要证，只需证，即证， 令，则， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增，所以， 所以只需证，即，所以只需证， 由（1）可知当时，，即， 所以，所以原不等式成立. 【小问3详解】 由， ． 由在上存在极值，所以在上存在变号零点． 令，则，． ①当时，，为减函数，所以， 所以在上为减函数，，无零点，不满足条件． ②当，即时，，为增函数，， 在上为增函数，无零点，不满足条件． ③当，即时，令，即，所以． 当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 所以； 令，则，当时，， 在上单调递增，，所以恒成立； 因为，所以，则， 所以，所以， 因为， 令， 令，， 则在是单调递减，，所以， 所以， 令，则，所以，，所以，即， 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点， 又由③知，当时，，为减函数，， 所以此时，，在内无零点， 所以在上存在变号零点，综上所述实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，而构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$