4.3.1等比数列的概念7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.3.1等比数列的概念7题型分类 一、等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 二、等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab. 三、等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn -1＝amqn-m＝qn. (当q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数)． 四、等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，公比为q，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. （一） 求等比数列的基本量 等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn -1＝amqn-m＝qn. (当q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数)． 3.结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可 题型1：等比数列的定义 1-1．（2024高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 1-2．（2024高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，一定是等比数列的是（    ） A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4 C．q，2q，4q，8q D．，，， 1-3．（2024高三上·贵州毕节·期中）下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 题型2：求等比数列的基本量 2-1．（2024高二上·上海·课后作业）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 2-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列为等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求和q； (3)若，，求. 2-3．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·上海闵行·期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列是公比为q的等比数列． (1)若，，求的通项公式； (2)若，，，求n． 2-6．（2024高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．3 B．6 C．3或 D．6或 （二） 等比中项的应用 1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab. 2.根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解. 题型3：等比中项的应用 3-1．（2024高二·江苏·课后作业）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项． (1)求45和80的等比中项； (2)已知两个数和的等比中项是2k，求k． 3-2．（2024高二上·江苏南京·阶段练习）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（    ） A． B．1 C． D． 3-3．（2024高二上·江苏南通·学业考试）“”是“，，成等比数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 3-4．（2024高二上·海南·期末）和的等差中项与等比中项分别为（    ） A．， B．2， C．， D．1， 3-5．（2024高三上·山东·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ） A． B． C．2 D．4 3-6．（2024高二下·山东德州·期末）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A． B． C．或 D． （三） 等比数列的性质与应用 等比数列的常用性质： 设数列{an}为等比数列，公比为q，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 题型4：等比数列的性质及应用4-1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（    ） A．24 B．32 C．36 D．40 4-2．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 4-3．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）在等比数列中，若，则（    ） A． B．3 C．±3 D． 4-4．（2024高三上·湖北·阶段练习）在正项等比数列中，，则的最小值是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 4-5．（2024高三上·江苏淮安·期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ 　　） A．24 B．27 C．36 D．40 （四） 等比数列的单调性 1.已知等比数列{}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{}为递增数列； (2)当或时，等比数列{}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列. 2.判断数列单调性的方法： （1）转化为函数，借助函数的单调性研究数列的单调性. （2）利用定义判断：①作差法，作差比较an+1与an，判断数列的单调性； ②作商法，作商比较an+1与an，判断数列的单调性. 题型5：等比数列的单调性 5-1．（2024·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5-2．（2024高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5-3．（2024高二下·河南郑州·阶段练习）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 （五） 等比数列的判定与证明 1．等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．定义法判定：＝q(n∈N*且n>1). 3.只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意an≠0. 题型6：等比数列的判定与证明 6-1．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列中，，且. (1)求，并证明是等比数列； (2)求的通项公式. 6-2．（2024·四川成都·二模）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 6-3．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）数列满足. (1)若，求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 6-4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式. 6-5．（2024高二下·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． （六） 等比数列的实际应用 等比数列是数学中的一个重要概念，它描述的是一组数的排列规律，即每两个相邻的数的比值是常数。这种数列在日常生活中经常遇到，如投资回报、人口增长、利息计算等。 题型7：等比数列的实际应用 7-1．（2024高二上·重庆沙坪坝·期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（    ） A．“徵､商､羽”的频率成等比数列 B．“宫､徵､商”的频率成等比数列 C．“商､羽､角”的频率成等比数列 D．“宫､商､角”的频率成等比数列 7-2．（2024高二上·浙江宁波·期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 7-3．（2024·北京）“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D． 7-4．（2024高三下·广西·阶段练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（    ）    A．2 B． C． D．3 7-5．（2024高三上·江苏淮安·开学考试）谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·广西梧州·期中）与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）数列1，1，1，…，1，…必为（    ） A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 3．（2024·西藏林芝·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·广东江门·阶段练习）设是等比数列，且，，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 5．（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B．2 C． D．4 6．（2024高三下·北京海淀·期末）已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7．（2024高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·甘肃兰州·期末）已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则（    ） A．5 B． C． D．无法确定 10．（2024高一下·上海浦东新·期末）“”是“G是a、b的等比中项”的（    ）条件 A．既不充分也不必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．充要 11．（2024高二上·河北衡水·期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．2 D．4 12．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）等比数列中，若，则公比为（    ） A． B． C． D．或 13．（2024高二上·甘肃甘南·期中）在等比数列中，，则（    ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．或 14．（2024高二·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}（ ） A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 15．（2024高二·全国·课后作业）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D．且 16．（2024高二上·陕西延安·阶段练习）下面各数列是等比数列的是（    ） （1），，，； （2）1，2，3，4； （3）x，x，x，x； （4），，，. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4） 17．（2024·安徽安庆·三模）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（    ） A．1 B． C． D． 18．（2024高三上·安徽·开学考试）分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（    ）      A． B． C． D． 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．12 D．36 21．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A． B． C．27 D． 22．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）如果数列是等比数列，那么（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 23．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（    ） A．2 B． C． D． 24．（2024高二下·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二下·辽宁·阶段练习）明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（    ） A． B． C． D． 26．（2024高二上·甘肃天水·期末）等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 27．（2024高二上·河南洛阳·阶段练习）等比数列的各项都为正数，且，则等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．30 28．（2024高二下·黑龙江大庆·期末）已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（2024高三上·广东深圳·开学考试）符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024高三上·安徽·阶段练习）0.618是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（    ）    A． B． C． D． 31．（2024高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（   ） A． B． C． D． 32．（2024高二上·安徽黄山·期末）随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A、B 两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.A地景区2001年的旅游人次为600万次，把景区门票价格提高到110元后，每年的旅游人次以10万次的年增加量逐年增长；B地景区2001年的旅游人次为300万次，取消景区门票以后，每年的旅游人次以11%的年增长率逐年增长.如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，那么从（    ）年起，B地的旅游收入将会超过A地.（参考数据：） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 二、多选题 33．（2024高二下·浙江绍兴·期中）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 34．（2024高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 35．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）下列命题中，正确的有（    ） A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件 B．数列的通项为，若为单调递增数列，则 C．等比数列中，，是方程的两根，则 D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则 36．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 37．（2024高二下·云南曲靖·期末）在等比数列中，，则的公比可能为（  ） A． B． C．2 D．4 三、填空题 38．（2024高二下·江西·期末）记等比数列的前n项和为，且，则 . 39．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则通项公式 . 40．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，，，则数列的通项公式为 . 41．（2024高二上·海南省直辖县级单位·期末）正项等比数列中，，则的值是 ． 42．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则 ． 43．（2024·西藏日喀则·一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则 44．（2024高二下·北京东城·期末）已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 . 45．（2024高三上·上海虹口·阶段练习）记为数列的前项和，且，则 . 46．（2024高二上·北京·期末）在等比数列中，若，，则 . 47．（2024高三上·福建三明·期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为 .    48．（2024·江西·二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 . 四、解答题 49．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 50．（2024高二上·全国·课后作业）已知等比数列是递减数列，若，是方程的两个根，求和． 51．（2024高二上·江苏·专题练习）设各项都是正数的数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求数列的通项公式． 52．（2024高三上·湖北·阶段练习）数列的满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和． 53．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，. (1)写出该数列的前项； (2)求数列的通项公式. 54．（2024高二上·江苏·期末）在数列中，， (1)证明：数列是等比数列； (2)若，，求数列的前n项和Sn． 55．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 56．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：数列是等比数列； 57．（2024高二上·湖南邵阳·期中）在数列中，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 58．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式． 59．（2024高二·全国·课后作业）函数（为常数，且），数列是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列是等比数列． 60．（2024高二上·全国·课后作业）（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列； （2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列． 61．（2024高二·全国·课堂例题）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数． 62．（2024高二·全国·课堂例题）在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列． 63．（2024高二下·全国·课后作业）数列中，，，且是以3为公比的等比数列，记． (1)求、、、的值； (2)求证：是等比数列． 64．（2024高三·全国·专题练习）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列. 65．（2024高二上·上海·课后作业）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动多少次？ 66．（2024高二上·上海静安·阶段练习）已知数列的通项公式（，为正整数）. (1)若，，成等差数列，求的值； (2)是否存在且为正整数）与，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的有序实数对；若不存在，请说明理由. 67．（2024高二上·全国·课后作业）已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 4.3.1等比数列的概念7题型分类 一、等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 二、等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab. 三、等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn -1＝amqn-m＝qn. (当q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数)． 四、等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，公比为q，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. （一） 求等比数列的基本量 等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 2．等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn -1＝amqn-m＝qn. (当q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数)． 3.结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可 题型1：等比数列的定义 1-1．（2024高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义可得正确的选项. 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 1-2．（2024高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，一定是等比数列的是（    ） A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4 C．q，2q，4q，8q D．，，， 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误； 对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确， 故选：D 1-3．（2024高三上·贵州毕节·期中）下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 【答案】C 【分析】 根据等比数列的知识求得正确答案. 【详解】 ，A选项错误；，B选项错误. 因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确. ，D选项错误. 故选：C 题型2：求等比数列的基本量 2-1．（2024高二上·上海·课后作业）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用等比数列通项公式去求解即可解决； 【详解】（1）等比数列中，，，则. （2）等比数列中，，，，由，可得. （3）等比数列中，，，由，可得. （4）等比数列中，，，由，可得. 2-2．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列为等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求和q； (3)若，，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用等比数列的通项公式直接求解即可， （2）根据已知条件列方程组求解即可， （3）根据已知条件列方程组求出和q，从而可求出. 【详解】（1）因为数列为等比数列，且，， 所以， （2）因为，， 所以，解得， （3）因为，， 所以， 由题意可知， 所以，所以，解得或， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上或 2-3．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出等比数列的公比，利用求出，再由即可求出. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 解得， 又 得． 故选：A 2-4．（2024高二上·上海闵行·期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的韦达定理，根据等比数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为， 则，，. 故选：B. 2-5．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列是公比为q的等比数列． (1)若，，求的通项公式； (2)若，，，求n． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）由已知条件列方程组可求出，从而可求出的通项公式； （2）由已知可求出通项公式，再结合可求出. 【详解】（1）由等比数列的通项公式可知，， 两式相除得，即． 所以． 因此，这个数列的通项公式是． （2）因为，， 所以． 又，因此，即． 2-6．（2024高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．3 B．6 C．3或 D．6或 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】解：设数列的公比为q， 则， 所以，， 所以． 故选：B． （二） 等比中项的应用 1.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab. 2.根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解. 题型3：等比中项的应用 3-1．（2024高二·江苏·课后作业）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项． (1)求45和80的等比中项； (2)已知两个数和的等比中项是2k，求k． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据等比中项的性质求解即可. （2）根据题意得到，再解方程即可. 【详解】（1）设为45和80的等比中项，则，所以. 所以45和80的等比中项为 （2）两个数和的等比中项是， 所以，，， 解得或，此时，，满足题意， 所以或. 3-2．（2024高二上·江苏南京·阶段练习）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 由已知结合方程的根与系数关系及等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得,, 故 所以 故选: . 3-3．（2024高二上·江苏南通·学业考试）“”是“，，成等比数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【分析】 判断“”和“，，成等比数列”的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由题意当时，成立，但此时，，构不成等比数列； 反之，当，，成等比数列时，必有成立， 故“”是“，，”成等比数列的必要不充分条件， 故选：B 3-4．（2024高二上·海南·期末）和的等差中项与等比中项分别为（    ） A．， B．2， C．， D．1， 【答案】C 【分析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可. 【详解】和的等差中项为， 和的等比中项为. 故选：C. 3-5．（2024高三上·山东·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】等差数列基本量的应用. 【详解】等差数列,设公差为d，因为，，成等比数列， 故， 又因为公差不为0，，所以， 则这个等比数列的公比是. 故选：B 3-6．（2024高二下·山东德州·期末）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先求得的关系式，由此计算出，从而求得. 【详解】由于，是方程的两根， 所以， 由于，所以为正数，所以. 所以. 故选：A （三） 等比数列的性质与应用 等比数列的常用性质： 设数列{an}为等比数列，公比为q，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 题型4：等比数列的性质及应用 4-1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（    ） A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是正项等比数列，， 所以，则， 所以 . 故选：C. 4-2．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 4-3．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）在等比数列中，若，则（    ） A． B．3 C．±3 D． 【答案】A 【分析】 根据等比数列的性质求解． 【详解】 因为，所以. 故选：A． 4-4．（2024高三上·湖北·阶段练习）在正项等比数列中，，则的最小值是（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质及基本不等式即可求解. 【详解】在正项等比数列中，，所以， 当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24. 故选：C. 4-5．（2024高三上·江苏淮安·期中）已知数列是正项等比数列，数列满足.若，则（ 　　） A．24 B．27 C．36 D．40 【答案】B 【分析】 依题意得，得，再由对数运算性质求解即可. 【详解】数列是正项等比数列，， 由，得，得， . 故选：B. （四） 等比数列的单调性 1.已知等比数列{}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{}为递增数列； (2)当或时，等比数列{}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列. 2.判断数列单调性的方法： （1）转化为函数，借助函数的单调性研究数列的单调性. （2）利用定义判断：①作差法，作差比较an+1与an，判断数列的单调性； ②作商法，作商比较an+1与an，判断数列的单调性. 题型5：等比数列的单调性 5-1．（2024·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为等比数列公比为， 所以， 当时，，，显然数列为不是递增数列； 当“数列为递增数列”时，有， 因为，所以如果，例如，显然有，，显然数列为不是递增数列， 因此有，， 所以由， 当时，显然对于恒成立， 当时，对于不一定恒成立，例如； 当时，对于不一定恒成立，例如； 当时，对于恒不成立， 因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 5-2．（2024高二下·江苏南京·期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先根据，得到递增，充分性成立，再推导出必要性成立. 【详解】因为各项为正数，且，所以，即， 所以为递增数列，充分性成立， 若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立. 故选：C 5-3．（2024高二下·河南郑州·阶段练习）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】 根据“m积数列”判断出的单调性，再根据具体数据找出满足的最后一项，即可得到选项. 【详解】根据“2023积数列”性质可知， 即， 根据等比中项性质可知：， 因为，且， 所以前1011项都是小于1的，从第1012项开始往后的都是大于1的， 即为递增的等比数列，且， 则当其前n项的乘积取最小值时n的值为1011. 故选：A. （五） 等比数列的判定与证明 1．等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．定义法判定：＝q(n∈N*且n>1). 3.只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意an≠0. 题型6：等比数列的判定与证明 6-1．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列中，，且. (1)求，并证明是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【分析】 （1）根据已知分别令，即可求得，在证明为定值即可得证； （2）由（1）结合等比数列的通项即可得解. 【详解】（1）由，， 得， ，， ∴， 是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（1）知. 6-2．（2024·四川成都·二模）已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)，数列不是等比数列 【分析】（1）化简变形为，结合定义即可证明； （2）由即可判断. 【详解】（1）由，， 得，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， 所以 所以数列不是等比数列. 6-3．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）数列满足. (1)若，求证：为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由证得为等比数列. （2）先求得，然后求得. 【详解】（1）由于， 所以， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 所以. 6-4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式. 【答案】证明过程见详解，. 【分析】根据题意即可证明，从而确定为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解的通项公式. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则，所以 6-5．（2024高二下·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是等比数列， (2) 【分析】（1）先求得，然后结合等比数列的定义证得是等比数列，从而求出其通项公式； （2）根据求得数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （六） 等比数列的实际应用 等比数列是数学中的一个重要概念，它描述的是一组数的排列规律，即每两个相邻的数的比值是常数。这种数列在日常生活中经常遇到，如投资回报、人口增长、利息计算等。 题型7：等比数列的实际应用 7-1．（2024高二上·重庆沙坪坝·期末）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（    ） A．“徵､商､羽”的频率成等比数列 B．“宫､徵､商”的频率成等比数列 C．“商､羽､角”的频率成等比数列 D．“宫､商､角”的频率成等比数列 【答案】D 【分析】依题意求出“宫､徵､商､羽､角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案. 【详解】设“宫”的频率为，则“徵”的频率为，“商”的频率为，“羽”的频率为，“角”的频率为， 所以“宫､商､角”的频率成等比数列,公比为. 故选：D 7-2．（2024高二上·浙江宁波·期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 【答案】B 【分析】 确定从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列，确定首项和公比，根据等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】依题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列， 其中，公比， 故2022年进出口累计总额约为（万亿）， 故选：B 7-3．（2024·北京）“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为， 所以， 又，则 故选D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 7-4．（2024高三下·广西·阶段练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（    ）    A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，探讨一次操作前后曲线长度的关系，再借助等比数列求解作答. 【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的， 因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列， 所以当进行三次操作后的曲线长度为. 故选：C 7-5．（2024高三上·江苏淮安·开学考试）谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据挖去三角形的边长和个数求得正确答案. 【详解】第一种挖掉的三角形边长为，共个，面积为； 第二种挖掉的三角形边长为，共个，面积为， 第三种挖掉的三角形边长为，共个， 面积为， 故被挖去的三角形面积之和是. 故选：D 一、单选题 1．（2024高二上·广西梧州·期中）与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合等差中项与等比中项的定义即可求解． 【详解】 与的等差中项是， 与的等比中项是 故选：A 2．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）数列1，1，1，…，1，…必为（    ） A．等差数列，但不是等比数列 B．等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可判断. 【详解】数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列. 故选：C. 3．（2024·西藏林芝·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式可直接求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：C. 4．（2024高三上·广东江门·阶段练习）设是等比数列，且，，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】C 【分析】 根据已知条件求出公比，即可求出的值. 【详解】 在等比数列中， 设公比为， ∵，， ∴， ∴， 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求得正确答案. 【详解】是等比数列， 依题意，，所以. 故选：B 6．（2024高三下·北京海淀·期末）已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由公比且可得充分性不成立，必要性显然成立，由此可得答案. 【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立， 当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立. 综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：A 7．（2024高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】由，∴． 故选：D 8．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用等比数列的通项公式即可求得，从而求得即可． 【详解】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为，公比为， 则，所以，即， 所以新插入的第4个数为． 故选：B． 9．（2024高二上·甘肃兰州·期末）已知数列为各项均为正数的等比数列，若，则（    ） A．5 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】 根据等比数列的性质可得，再利用各项均为正数即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得：，， 所以可化为， 即，又因为数列为各项均为正数，所以， 故选：. 10．（2024高一下·上海浦东新·期末）“”是“G是a、b的等比中项”的（    ）条件 A．既不充分也不必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．充要 【答案】A 【分析】分别举反例判断充分与必要条件是否满足即可 【详解】当时，满足，不满足G是a、b的等比中项；当G是a、b的等比中项，如，但不满足，故“”是“G是a、b的等比中项”的既不充分也不必要条件 故选：A 11．（2024高二上·河北衡水·期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以， 所以. 故选：C 12．（2024高二下·辽宁沈阳·阶段练习）等比数列中，若，则公比为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，结合题意化简得到，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得， 所以，即，即， 因为，所以. 故选：B. 13．（2024高二上·甘肃甘南·期中）在等比数列中，，则（    ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．或 【答案】B 【分析】令等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式可得，进而可求解. 【详解】令等比数列的公比为，则， 所以，解得， 所以. 故选：B. 14．（2024高二·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}（ ） A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 【答案】B 【分析】由题设，利用an，Sn的关系求{an}的通项公式，即可判断{an}是何种数列. 【详解】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当n＝1时，a1＝a－1，满足上式. ∴an＝(a－1)an－1，n∈N*. ∴，故数列{an}是等比数列. 故选：B 15．（2024高二·全国·课后作业）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D．且 【答案】D 【分析】由等比数列的定义即可求出a的取值范围. 【详解】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且, 所以且. 故选：D. 16．（2024高二上·陕西延安·阶段练习）下面各数列是等比数列的是（    ） （1），，，； （2）1，2，3，4； （3）x，x，x，x； （4），，，. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4） 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义即可求出. 【详解】对于（1），公比为2，即为等比数列； 对于（2）由于，即（2）不是等比数列； 对于（3）当x＝0时，不是等比数列； 对于（4）公比为，即为等比数列. 故选：C. 17．（2024·安徽安庆·三模）正项等比数列中，，若，则的最小值等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出等比数列的公比，得到方程，求出公比，从而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】设的公比为，则， 因为，所以，解得或（舍去）， ，故，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值等于 故选：D 18．（2024高三上·安徽·开学考试）分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知次分形后线段的长度为. 【详解】 图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，， 则一次分形长度为，二次分形长度为，，次分形后线段的长度为， 故5次分形后长度为， 故选：C. 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到，再根据等差数列前项和公式计算可得. 【详解】因为，，成等比数列，所以， 又，所以， 显然，所以，即， 所以，又， 所以. 故选：B 20．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．12 D．36 【答案】D 【分析】由可知数列是公比为的等比数列，再由题意结合等比数列的通项公式代入可求出答案. 【详解】由可知数列是公比为的等比数列， 所以， 解得：. 故选：D. 21．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A． B． C．27 D． 【答案】D 【分析】等比数列，基本量的计算，设出公比，联立式子可求出，即可. 【详解】设的公比为，则，，． 因为，所以，因为，所以，所以． 因为的各项均为正数，所以．因为，所以． 故选：D 22．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）如果数列是等比数列，那么（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】C 【分析】利用等比数列的定义可判断C选项的正误；取可判断ABD项的正误. 【详解】对于C，设等比数列的公比为，则， 所以为非零常数，则数列是等比数列，故C正确； 对于ABD，取，则，数列是等比数列， 则，，， 故，，， 所以，则数列不是等比数列，故A错误. 而，，，显然， 所以数列不是等比数列，故B错误. 而，，，则， 所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：C. 23．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比中项即可求解. 【详解】由题意可得所以， 故，且， 故选：D 24．（2024高二下·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和项与通项关系求通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，， 故选：C. 25．（2024高二下·辽宁·阶段练习）明代朱载堉发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.已知大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟的波长成等比数列，且大吕和林钟的波长分别是m，n，则夹钟和南吕的波长之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由等比数列的第一项和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二项和第五项可得答案. 【详解】设该等比数列的公比为，则，即， 则夹钟和南吕的波长分别为，， 故夹钟和南吕的波长之积为. 故选：B. 26．（2024高二上·甘肃天水·期末）等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】 由等比中项性质可得答案. 【详解】因为等比数列，则，故. 故选：A 27．（2024高二上·河南洛阳·阶段练习）等比数列的各项都为正数，且，则等于（    ） A．12 B．10 C．8 D．30 【答案】B 【分析】 先根据等比中项的性质求出，再利用对数加法和等比中项的性质即可求出答案. 【详解】等比数列的各项都为正数， ， ， ， . 故选：B 28．（2024高二下·黑龙江大庆·期末）已如公比不为1的等比数列中，存在，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式可得，从而可知，所求式子即可变形为，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，可得，即， 可得，且， 由， 因为，所以，，则，得到， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为， 故选：B. 29．（2024高三上·广东深圳·开学考试）符号表示不超过实数的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形可推出数列为等比数列、为常数列，求出这两个数列的通项公式，可求出数列的通项公式，求得，利用裂项相消法可求出，结合题中定义可求得的值. 【详解】因为，则，且， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，① 由可得，且， 所以，数列为常数列，且，② 由①②可得， 因为， ，则， 所以，，所以，， 所以，， 所以， ， 因此，. 故选：B. 30．（2024高三上·安徽·阶段练习）0.618是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合黄金三角形定义，各个黄金三角形的底边长依次排成一列可得数列，再探讨数列性质求出第n个三角形周长即可得解. 【详解】第一个黄金三角形的底为，由得腰长， 记第个黄金三角形的底边长为，当时，第个黄金三角形的底边长为，腰长为， 而第个黄金三角形的底边长为第个黄金三角形的腰长，则， 因此，各个黄金三角形的底边长依次排成一列得数列，是首项为2，公比为的等比数列， 第个黄金三角形的底边长，腰长为， 周长为 ， 所以第2023个黄金三角形的周长大约为. 故选：D 31．（2024高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列和等比数列的性质分析运算即可得解. 【详解】解：∵数列是等差数列，且， ∴，可得，则. ∵数列是等比数列，∴，又由题意， ∴，∴， ∴， ∴. 故选：D． 32．（2024高二上·安徽黄山·期末）随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A、B 两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.A地景区2001年的旅游人次为600万次，把景区门票价格提高到110元后，每年的旅游人次以10万次的年增加量逐年增长；B地景区2001年的旅游人次为300万次，取消景区门票以后，每年的旅游人次以11%的年增长率逐年增长.如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，那么从（    ）年起，B地的旅游收入将会超过A地.（参考数据：） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用等差数列、等比数列求出第n年到A地景区、B地景区的旅游人次，进而求出旅游收入，再借助单调性求解作答. 【详解】依题意，2002年为第1年，每年到A地景区旅游人次依次排成一列构成10为公差的等差数列， 则第n年到A地景区旅游人次为万，， 每年到B地景区旅游人次依次排成一列构成1.11为公比的等比数列，第n年到B地景区旅游人次为万， 因此第n年A地景区旅游收入为万元，B地景区旅游收入为万元， 于是B地景区与A地景区旅游收入的差为， 令，则，即数列是递增数列， 而，，因此， 所以从2010年起，B地景区的旅游收入将会超过A地景区. 故选：C 二、多选题 33．（2024高二下·浙江绍兴·期中）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据等比数列的定义，判断是否为定值且首项不为0，即可判断各项是否为等比数列. 【详解】A：，则不为定值，不满足； B：，则不为定值，不满足； C：，则为定值，且，满足； D：，则为定值，且，满足. 故选：CD 34．（2024高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 根据题意为等比数列，然后分别对各选项分别进行求解判断. 【详解】 由题意知为等比数列，设其公比为q； 对于A，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； 对于B，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，当时，，数列不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，，数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 35．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）下列命题中，正确的有（    ） A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件 B．数列的通项为，若为单调递增数列，则 C．等比数列中，，是方程的两根，则 D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则 【答案】AD 【分析】对A：根据等比数列的定义结合充分、必要条件分析判断；对B：根据数列递增数列的定义分析判断；对C：根据等比数列的通项公式结合等比数列的下标性质分析判断；对D：根据等差数列前n项和公式分析判断. 【详解】A：因为当时，显然数列不可能是等比数列， 但是是公比为2的等比数列一定有成立， 因此选项A正确； B：因为为单调递增数列， 所以有， 因为函数是减函数，所以， 因此选项B不正确； C：因为在等比数列中，设公比为 ，，是方程的两根， 所以有，于是有， 而， 所以，因此选项C不正确； D：因为等差数列，的前n项和为分别为，， 所以由， 因此选项D正确， 故选：AD 36．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】 根据递推关系可得为等比数列，进而可判断ACB，根据等差数列求和公式即可判断D. 【详解】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确， ，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确， ，设的前项和为，则，D正确， 故选：BCD 37．（2024高二下·云南曲靖·期末）在等比数列中，，则的公比可能为（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】ABC 【分析】利用等比数列的通项公式和已知条件可得答案. 【详解】设的公比为，所以， 解得或或． 故选：ABC． 三、填空题 38．（2024高二下·江西·期末）记等比数列的前n项和为，且，则 . 【答案】 【分析】 根据数列前项和与通项的关系，结合等比数列的定义，建立方程，可得答案. 【详解】当时，；当时，， 由数列是等比数列，则，则，解得. 故答案为：. 39．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则通项公式 . 【答案】 【分析】对递推公式进行变形，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 因此， 故答案为： 40．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列，，，则数列的通项公式为 . 【答案】/ 【分析】根据构造法可得是等比数列，进而可求，即可求解. 【详解】由得，又 故是以公比为2的等比数列，且首项为，因此，故, 故答案为： 41．（2024高二上·海南省直辖县级单位·期末）正项等比数列中，，则的值是 ． 【答案】8 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质求解即可 【详解】因为正项等比数列中，， 所以 ， 故答案为：8 42．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知在等比数列中，，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得，，进而可得，，最后根据等比数列的性质即可求解. 【详解】∵，是方程的两个实数根，∴，， 故，，根据等比数列的性质有：且， 故． 故答案为： 43．（2024·西藏日喀则·一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则 【答案】 【分析】利用等比数列的基本量运算求解公比，代入等比数列的通项公式即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 又，所以，解得，即，所以. 故答案为:. 44．（2024高二下·北京东城·期末）已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 . 【答案】 4 【分析】根据数列递推式即可求得，根据等比数列的通项公式即可求得. 【详解】由题意数列的首项，且， 那么； 由此可知，故，则数列为首项是，公比为2的等比数列， 故，首项也适合该式， 故答案为：4； 45．（2024高三上·上海虹口·阶段练习）记为数列的前项和，且，则 . 【答案】 【分析】根据得到是首项为-1，公比是2的等比数列，从而求出通项公式. 【详解】①，当时，，解得， 当时，②， ①-②得，， 即，所以， 是首项为-1，公比是2的等比数列，故. 故答案为： 46．（2024高二上·北京·期末）在等比数列中，若，，则 . 【答案】64 【分析】利用等比数列的性质化简求值即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，可得， 所以. 故答案为：64. 47．（2024高三上·福建三明·期末）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为 .    【答案】 【分析】根据题意，分别求得每个“雪花曲线”的边长和边数，即可求解. 【详解】由题意，当时，第1个图中的三角形的边长为，三角形的周长为； 当时，第2个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边， 其“雪花曲线”周长为； 当时，第3个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边， 其“雪花曲线”周长为； 当时，第4个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边， 其“雪花曲线”周长为. 故答案为：. 48．（2024·江西·二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 . 【答案】5 【分析】 利用韦达定理，可得，再根据对数的运算法则和等比数列性质求解即可. 【详解】因为与是方程 的两个根，所以， 因为为正项等比数列，所以， 所以， 故答案为：5. 四、解答题 49．（2024高二下·全国·课后作业）已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）． (1)当时，求、的值； (2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 【分析】（1）由递推关系得出、的值； （2）由的关系得出，讨论的值，结合等比定义判断即可. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）当时，. 由，两式相减得. 当时，不是等比数列； 当时，可得，,当时,,,所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列. 综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列． 50．（2024高二上·全国·课后作业）已知等比数列是递减数列，若，是方程的两个根，求和． 【答案】、 【分析】首先求出方程的解，即可求出，再根据等比数列通项公式求出，最后还需检验. 【详解】由，解得、， 因为，是方程的两个根，且等比数列是递减数列， 所以，，所以，则，解得或， 当时符合题意， 当时，数列的奇数项为正数，偶数项为负数，不符合题意， 所以、. 51．（2024高二上·江苏·专题练习）设各项都是正数的数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）对递推公式进行变形，利用等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】（1）已知，得， 两式作差，得，即． 又数列的各项都是正数，所以，所以， 显然数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）得，故， 而，故是首项为，公比为3的等比数列， 所以，故. 52．（2024高三上·湖北·阶段练习）数列的满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和． 【答案】(1) (2)1473 【分析】（1）由，，得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得出数列的通项公式； （2）首先得出的通项公式，由，可知中要去掉数列的项有5项，代入计算即可． 【详解】（1）因为， 所以， 又因为， 所以，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即． （2）由得，， 因为， 所以中要去掉数列的项有5项， 所以 ． 53．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，. (1)写出该数列的前项； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)，，，， (2) 【分析】（1）根据递推式和首项依次求解即可， （2）给两边同时加上1，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出通项公式. 【详解】（1）， ，，，. （2）由得：，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， . 54．（2024高二上·江苏·期末）在数列中，， (1)证明：数列是等比数列； (2)若，，求数列的前n项和Sn． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义法证明等比数列； （2）化简数列，由裂项相消法求和. 【详解】（1）证明：由得. 因为，所以，所以 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，∴，. ∴ 55．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】通过递推公式，等号左右两边同时除以构造新数列，可得是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴. 又∵，故是以2为首项，2为公比的等比数列, ∴，则． 56．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，.证明：数列是等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】依题意可得，即可得证； 【详解】证明：因为，，所以， 所以，， 又，所以为首项是4，公比为2的等比数列. 57．（2024高二上·湖南邵阳·期中）在数列中，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明详见解析； (2). 【分析】（1）结合等比数列的定义证得结论成立. （2）根据（1）的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，数列中，，， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 58．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式． 【答案】 【分析】符合类型的标准形式，故构造为等比数列即可求解. 【详解】解：由可得：， 因为，所以， 所以是以1为首项3为公比的等比数列， 所以， 所以． 59．（2024高二·全国·课后作业）函数（为常数，且），数列是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列是等比数列． 【答案】证明见解析 【分析】利用等差数列的通项公式可得，求出，再利用等比数列的定义可得答案. 【详解】数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以，， 可得，，且k>0，k≠1， 所以，∴数列是等比数列. 60．（2024高二上·全国·课后作业）（1）在2和9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列； （2）在320与5中间插入5个数，使这7个数成等比数列，求这个等比数列． 【答案】（1）或，（2）或 【分析】（1）设插入的两个数分别为，然后由等差数列的性质和等比数列性质列方程组可求得结果， （2）由题意可得，然后利用等比数列的通项公式列方程可求出公比，从而可求出这个数列. 【详解】（1）设插入的两个数分别为，即这四个数为， 因为前三个数成等差数列，后三个数成等比数列， 所以，解得，或， 所以这个数列为或， （2）设这个等比数列的公比为，由题意得， 所以，得，得，或， 当时，，，， ，， 当时，，，， ，， 所以这个等比数列为，或. 61．（2024高二·全国·课堂例题）在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数． 【答案】；或 【分析】方法一：根据等比数列的通项公式得到，解方程得到即可得到插入的3个数； 方法二：根据等比数列的性质得到，即可得到，然后用同样的方法求，即可. 【详解】解：（方法一）依题意，，，由等比数列的通项公式，得，解得． 当时，插入的3个数分别为 ； 当时，插入的3个数分别为 ． 因此，插入的3个数分别为；或． （方法二）因为等比数列共有5项，即 ． 又因为，所以，即． 又因为要与同号，因此1． 类似地，有，而且与同号．因此： 当时， 当时，． 因此，插入的3个数分别为；或． 62．（2024高二·全国·课堂例题）在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列． 【答案】81，27，9，或－81，27，－9 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设插入的3个数为，，． 由题意得243，，，，3成等比数列． 设公比为，则，解得． 因此，所求3个数为81，27，9，或－81，27，－9． 63．（2024高二下·全国·课后作业）数列中，，，且是以3为公比的等比数列，记． (1)求、、、的值； (2)求证：是等比数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，进而求得的值； （2）由题意求得，得到数列 的奇数项与偶数项分别构成等比数列，求得的通项公式，结合，结合等比数列得到定义，即可得证. 【详解】（1）解：由数列中，，，且数列是以3为公比的等比数列， 可得，则，解得， 又由，解得， 同理可得. （2）证明：由，可得，则， 所以数列 的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且首项分别为，公比为， 所以， 因为，所以且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 64．（2024高三·全国·专题练习）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列. 【答案】证明见解析 【分析】第一步，由题意求出，，继而可得到递推式；第二步，构造数列，从而证明结论. 【详解】证明：由题可得，， 则，， ∴， 由于，，∴， 故，则， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. 65．（2024高二上·上海·课后作业）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动多少次？ 【答案】 【分析】依次判断时的移动次数，根据规律可推理得到移动次数. 【详解】设是把个盘子从号针移到号针的最少移动次数， 当时，； 当时，小盘号，大盘号，小盘从号号，； 当时，用次把中小两盘移动到号，再将大盘移动到号，接着再用次把中小两盘从号转移到号， ； 以此类推，当且时，， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， 经检验：满足，. 66．（2024高二上·上海静安·阶段练习）已知数列的通项公式（，为正整数）. (1)若，，成等差数列，求的值； (2)是否存在且为正整数）与，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的有序实数对；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，所有满足条件的有序实数对为，，，，，，，， 【分析】（1）代入，根据等差中项的性质，列出关系式，求解即可得出答案； （2）代入，根据等比中项的性质，列出关系式，整理得出，得出是的正因数.进而逐项求解，代入即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，，. 因为，，成等差数列， 所以有，即， 整理可得，. 因为为正整数，所以. （2）假设存在且为正整数）与，使得，，成等比数列. 因为，，， 所以由，，成等比数列可得， ，即， 整理可得，， 所以，是的正因数. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，. 所以，存在且为正整数）与，使得，，成等比数列. 所有满足条件的有序实数对，，，，，，，，. 67．（2024高二上·全国·课后作业）已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 【答案】答案见解析. 【分析】（1）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$