第六章 几何图形初步（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第6章 几何图形初步（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列现象中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．利用圆规可以比较两条线段的大小 B．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 2．下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若点是线段的中点，则 B．线段和线段表示的不是同一条线段 C．射线和射线表示的是同一条射线 D．线段叫做、两点间的距离 4．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（   ） A．（北偏东，） B．（南偏东，） C．（北偏西，） D．（南偏西，） 6．如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（　　） A．44° B．114° C．18° D．96° 7．上午时，钟表的时针与分针的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的中点，是的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．已知点、、在同一条直线上，，，则、两点间的距离是(    ) A． B． C．或 D．或 10．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．可化为度 ． 12．工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，用数学知识解释其中的道理是 ． 13．如图，一副三角板如图摆放，若，则的度数为 ． 14．如图，点在线段上，点是的中点，，，则 ． 15．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个． 16．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．如图，已知和是两个直角三角形，，． （1）求证：； （2）如果，求的度数． (1)证明：如图，因为，， 所以____________， 所以______=______． (2)解：因为，， 所以______－______ =______°－______° =______°． 所以____________°． 18．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 19．如图，已知，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数 20．已知有理数满足． (1)______，______，求的值； (2)如图，在一个无盖正方体展开图中，相对的两个面的数字互为相反数，求的值． 21．如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，且． (1)若，求线段的长； (2)若，请问点是否是线段的中点吗，若是，请证明；若不是，请说明理由． 22．已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 24．【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 25．一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 几何图形初步（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列现象中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（　　） A．利用圆规可以比较两条线段的大小 B．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 【答案】C 【分析】依次判断各项即可． 【详解】解：A、利用圆规比较两条线段的大小与两点之间线段最短没有关系，不符合题意； B、打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上，利用的是两点确定一条直线的知识，不符合题意； C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的是两点之间线段最短的知识，符合题意； D、用两个钉子就可以把木条固定在墙上利用的是两点确定一条直线的知识，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的知识的应用，解题关键是要理解相关概念并能将该知识点与两点确定一条直线的知识相区别． 2．下列图形中，不是正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、D可组成正方体； 选项C不能组成正方体． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况，）判断也可． 3．下列说法正确的是（    ） A．若点是线段的中点，则 B．线段和线段表示的不是同一条线段 C．射线和射线表示的是同一条射线 D．线段叫做、两点间的距离 【答案】A 【分析】本题主要考查的是直线、射线、线段．根据线段、射线的特点以及线段的中点和两点间的距离的定义回答即可． 【详解】解：A、若点是线段的中点，则，故本选项符合题意； B、线段和线段表示的是同一条线段，故本选项不符合题意； C、射线和射线表示的不是同一条射线，故本选项不符合题意； D、线段的长度叫做A、B两点间的距离，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看到该几何体的形状图是： 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图象是左视图． 5．如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（   ） A．（北偏东，） B．（南偏东，） C．（北偏西，） D．（南偏西，） 【答案】D 【分析】本题主要考查了方位角表示位置，根据北偏东与南偏西相对，且二者的距离和对应的角度不变即可得到答案． 【详解】解：∵用有序数对（北偏东，）来描述货轮相对于导航灯的位置， ∴导航灯相对于货轮的位置可描述为（南偏西，）， 故选：D． 6．如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（　　） A．44° B．114° C．18° D．96° 【答案】A 【分析】根据角度的和差计算即可判断． 【详解】解：A、44°的角不能由30°、36°、60°、72°角的和或差关系得到，故不能画出44°角； B、114°=72°+72°-30°，故可以画出114°角； C、18°=72°+36°-30°-60°，故可以画出18°角； D、96°=36°+60°，故可以画出96°角； 故选：A． 【点睛】此题考查了角度的和差计算，正确进行角度的和差计算是解题的关键． 7．上午时，钟表的时针与分针的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角．根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 当时钟指向上午时，时针与分针的夹角是， 故选：A． 8．如图，为的中点，是的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差是解答本题的关键．设，根据线段的中点定义可逐步求得，，，的长，进一步计算各选项中的式子，即可得到答案． 【详解】设， 为的中点， ， 是的中点， ， 选项D正确，不符合题意； ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， 选项B正确，不符合题意； 选项C错误，符合题意； 故选：C． 9．已知点、、在同一条直线上，，，则、两点间的距离是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况：当点在线段的延长线上时；当点在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点在线段的延长线上时，如图： ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图： ，， ； 综上所：、两点间的距离是或， 故选：C． 10．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．可化为度 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握度分秒的换算进制“，”． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，用数学知识解释其中的道理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：工人砌墙时在墙的两端各固定一根木桩，再拉一条线，然后沿线砌砖，用数学知识解释其中的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 13．如图，一副三角板如图摆放，若，则的度数为 ． 【答案】24°/24度 【分析】先求出，再求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角的和差，理清角的和差关系是关键． 14．如图，点在线段上，点是的中点，，，则 ． 【答案】9 【分析】根据线段中点计算求解即可． 【详解】解：，， ， 点是线段的中点， ， ． 故答案为：9． 【点睛】题目主要考查线段的和差及中点的计算，熟练掌握线段的和差是解题关键． 15．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个． 【答案】0，1，3，4，5，6 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出． 【详解】解：（1）当四条直线平行时，无交点； （2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点； （3）当两两直线平行时，有4个交点； （4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点； （5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点； （6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； （7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点． 故答案为：0，1，3，4，5，6． 【点睛】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高，学会分类讨论思想是解题的关键． 16．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ． 【答案】或/ 或 【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可． 【详解】关于x的方程有无数多个解 ，则，解得 1.当C在内部时，如图 平分， 设，则，， ，解得 2.当C在外部时，如图 平分， 设，则，， ，解得 综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线需要分类讨论不同的位置． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．如图，已知和是两个直角三角形，，． （1）求证：； （2）如果，求的度数． (1)证明：如图，因为，， 所以____________， 所以______=______． (2)解：因为，， 所以______－______ =______°－______° =______°． 所以____________°． 【答案】(1)，，， (2)，，，，，， 【分析】（1）根据角的和差关系可得结论； （2）根据角的和差关系，结合图形计算即可． 【详解】（1）证明：如图，因为，， 所以 所以． 故答案为：，，， （2）因为，， 所以 所以 故答案为：，，，，，， 【点睛】本题主要考查了角的和差关系，掌握角的加减运算是解题的关键． 18．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数． （1）根据从不同方向看几何体作图即可得； （2）保持这个几何体从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再在第2和3列各添加小正方体． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示：从上面看：    在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4． 19．如图，已知，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的意义，根据图形直观，得出角的和或差，是解决问题的关键． （1）利用两个角的和进行计算即可； （2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：平分， ， 平分， ； ． 20．已知有理数满足． (1)______，______，求的值； (2)如图，在一个无盖正方体展开图中，相对的两个面的数字互为相反数，求的值． 【答案】(1)，，； (2)的值为． 【分析】（）根据绝对值非负性即可求出，，然后代入求值即可； （）根据正方体的展开图，判断出相对的面，利用相对面上的两个数字互为相反数，求出，进而计算出的值即可； 本题考查了绝对值非负性，求代数式的值，正方体相对两个面上的文字，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴与是相对面，与是相对面， 由（）得：，， ∵相对的两个面的数字互为相反数， ∴，， ∴， ∴的值为． 21．如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，且． (1)若，求线段的长； (2)若，请问点是否是线段的中点吗，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点是线段的中点，见解析 【分析】（1）根据，可得的长，再由，可求出的长，即可求解； （2）根据，可得的长，再由，可求出的长，继而得到的长，即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：点是线段的中点， 证明：，， ， ， ， ， ， 点是线段的中点． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差，准确得到线段之间的数量是解题的关键． 22．已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差倍分关系，掌握余角，补角，角平分线的关系是解题的关键． （1）根据图示，平分，平分，得，由此即可求解； （2）根据图示，平分，平分得，根据周角求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 、分别平分，， ，， ，且，， ， ， ， 即， ， ． 23．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【观察总结】 （1）五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________（用所给的字母表达）； 【简单应用】 （2）能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由． （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是________． 【实践探究】 （4）学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品． ①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是________； ②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多________个． 【答案】（1），（2）不能，理由见解析；（3）12；（4）①14；②8 【分析】本题考查了顶点数、面数、棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式并根据公式计算和列方程是解题的关键． （1）观察（1）中顶点数、面数、棱数可得答案； （2）根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断； （3）根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可； （4）①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形块，则正三边形块，则由上面的规律数可以看出，棱数，而顶点数，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是， 故答案为：； （2）不能； ∵， ∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体； （3）一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个）， 故答案为：12； （4）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为， 故答案为：14； ②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得 ， 解得， 所以正五边形为12块，正三边形为20块． ． 故答案为：8． 24．【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】解：（1）根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为： ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大， 边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小； 故答案为：58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 25．一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【分析】本题考查了线段条数计算、角的个数计算及其拓展等知识，注意数数时要不重不漏． 当直线上有4个点时，以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，所有线段都重复了一次，则可得线段为；直线上有5个点时，同理得线段条数；同理有个点时，得线段条数； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，由上步所求即可求解； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花时间的最短；有个机器人，分n是偶数与奇数两种情况考虑即可； （3）仿照一条直线4个点的线段条数分析即可； （4）横向每行仿照一条直线上6个点的线段条数有15个长方形，纵向列仿照一条直线上5个点的线段条数共有10个长方形，从而由即可求得长方形的个数． 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条； 故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$