特训09 函数的概念与性质 期中解答压轴题（全国期中精选，九大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训09 函数的概念与性质 期中解答压轴题（全国期中精选，九大题型） 目录： 题型1：抽象函数综合 题型2：二次函数（含参） 题型3：对勾函数，类对勾函数 题型4：根式等复合函数 题型5：幂函数 题型6：分段函数 题型7：综合分析x1，x2等有关的单调性问题 题型8：函数与集合、不等式 题型9：新定义题 题型1：抽象函数综合 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 2．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，都是定义在上的函数，且，在上单调递增.在上单调递增，，且对，，都有. (1)求的解析式； (2)解不等式. 3．（22-23高一上·湖北·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 4．（23-24高一上·天津·期中）定义在R上的函数，对任意x，都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为R上的增函数； (3)已知解关于x的不等式，. 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 题型2：二次函数（含参） 6．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，． (1)若，判断的奇偶性． (2)若是单调递增函数，求的取值范围． (3)若在上的最小值是3，求的值． 8．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数. (1)当，时，解方程； (2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 题型3：对勾函数，类对勾函数 10．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 11．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 12．（23-24高一上·河南·期中）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若在区间上的最大值为． （i）求实数a的值； （ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 13．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数，a∈R. （1）若a=0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，<-2恒成立，求a的取值范围； （3）若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求函数的最大值的表达式M(a). 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型4：根式等复合函数 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 16．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数，满足. (1)设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数； (2)设. ①当时，求的最小值； ②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 题型5：幂函数 17．（22-23高一上·四川·期中）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式: (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 18．（21-22高一上·浙江·期末）已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求m的值； （2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围． （3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围． 题型6：分段函数 19．（22-23高一上·湖南常德·期中）已知二次函数满足，对任意，都有恒成立． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围． 20．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，定义 (1)写出函数的解析式； (2)若，求实数的值； (3)已知函数，集合，集合，，若函数是偶函数，写出所有满足条件的的解析式. 题型7：综合分析x1，x2等有关的单调性问题 21．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 22．（2023高一·全国·专题练习）已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论； (3)已知且，若.试证：. 题型8：函数与集合、不等式 23．（18-19高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，集合，且集合满足，. （1）求实数的值； （2）对集合，其中，定义由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质. ①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； ②试判断和的大小关系，并证明你的结论. 24．（22-23高一上·广东广州·期中）对于函数，如果存在实数a，b使得函数，那么我们称为函数，的“函数” (1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出a，b的值；若不是，说明理由； (2)已知，，为函数，的“函数“（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 题型9：新定义题 25．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 26．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 27．（23-24高一上·广东珠海·期中）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 28．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 29．（23-24高一上·福建·期中）设函数的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数． (1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式； (2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数． ①证明：当时，． ②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 函数的概念与性质 期中解答压轴题（全国期中精选，九大题型） 目录： 题型1：抽象函数综合 题型2：二次函数（含参） 题型3：对勾函数，类对勾函数 题型4：根式等复合函数 题型5：幂函数 题型6：分段函数 题型7：综合分析x1，x2等有关的单调性问题 题型8：函数与集合、不等式 题型9：新定义题 题型1：抽象函数综合 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【解析】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 2．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，都是定义在上的函数，且，在上单调递增.在上单调递增，，且对，，都有. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用反证法，结合函数的单调性证得，从而得解； （2）利用赋值法证得是奇函数，从而将问题转化为解不等式，再分类讨论即可得解. 【解析】（1）因为在上恒成立，则， 假设存在，使得， 因为在上单调递增， 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 所以假设不成立，即，所以对任意，. （2）因为， 令，则，所以， 令，则，故， 又是定义在上的函数，所以是奇函数，则， 由（1）知， 所以等价于， 又在上单调递增，， 则在上单调递增，， 所以当时，，则，故； 综上：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用反证法，结合单调性证得，从而得到，从而得解. 3．（22-23高一上·湖北·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再证得时，，然后任取，则，，再根据已知条件变形可证得单调性； （3）由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 4．（23-24高一上·天津·期中）定义在R上的函数，对任意x，都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为R上的增函数； (3)已知解关于x的不等式，. 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3)答案详见解析 【分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义证得结论成立. （2）根据函数的奇偶性和单调性证得为R上的增函数 （3）化简不等式，结合函数的奇偶性和单调性以及对分类讨论来求得不等式的解集. 【解析】（1）由， 令得， 令得， 所以，所以是奇函数. （2）任取， ， 所以，所以在上单调递增， 由于是定义在上的奇函数，所以在上单调递增. （3）由，得，， 由，令得， 所以由， 得，即， 即，所以， 由于，所以①， 由，解得或， 当时，，所以①的解集为. 当时，，所以①的解集为空集. 当时，，所以①的解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见详解； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【解析】（1）不是相关函数， 易知①， 而②，显然①②两式不相等， 即不是的相关函数， （2）令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以， 所以，所以是奇函数； （3）令，则， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若，， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若存在满足要求，令，则，即， 故， 而，所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 题型2：二次函数（含参） 6．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【解析】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 7．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，． (1)若，判断的奇偶性． (2)若是单调递增函数，求的取值范围． (3)若在上的最小值是3，求的值． 【答案】(1)奇函数 (2) (3)或 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断出答案； （2）判断函数在，时的单调性，结合是单调递增函数，列不等式求解，即得答案； （3）结合（2）的结论，讨论m的取值范围，判断函数在上的单调性，结合最值，求得m的值，即得答案. 【解析】（1）由题意知函数的定义域为， 当时，，因为， 所以是奇函数． （2）由题意得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 由于是单调递增函数， 故需满足，且， 即时，在上是增函数． （3）①由（2）知，若，在上单调递增，在处取得最小值， ，解得或者； ②时，在单调递增，因为，， 在上单调递增，所以在处取得最小值， 此时，解得，与矛盾； ③时，在单调递增， 在单调递减，在单调递增． 若，即时，函数在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 解得，与矛盾； 若，即时，在单调递增，在上单调递减， 因为，所以在处取得最小值，， 解得，与矛盾； 若，即，在单调递增，在单调递减， 在单调递增，因， 故，解得，舍去； 综上，或． 【点睛】难点点睛：本题考查了函数的奇偶性、单调性以及最值问题，综合性较强，解答的难点在于（3）中根据函数在区间上的最值求解参数，解答时要结合函数的单调性，分类讨论，结合最值，求解参数，过程较为复杂，计算量大. 8．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数. (1)当，时，解方程； (2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接解方程即可； （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，分情况讨论时与时不等式情况，可得参数范围； （3）分情况讨论分段函数的单调性与最值情况，可得参数范围. 【解析】（1）当，时，， 所以， 即或， 解得或， 即或； （2）当时，， 所以不等式在上恒成立， 即为不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，即， 当时，不等式可转化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以， 所以，解得， 即的取值范围为； （3）在区间上有解，即方程在上有解， 设， 当时，在上单调递增， 所以，， 则当时，原方程有解，即； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调增； ①当，即时，，， 则当时，原方程有解，即； ②当，即时，，， 则当时，原方程有解，则； ③当时，，，， 当，即时，， 则当时，原方程有解，即； 当，即时，， 则当时，原方程有解，即； 综上所述：当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为. 9．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得； （2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可. 【解析】（1）因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得． （2）（ⅰ）证明：由， 得， 所以函数的图像关于对称． （ⅱ）， 则在上单调递增， 所以的值域为， 设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，， 函数图象开口向上，对称轴为，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，， 所以， 所以，由，可得，解得． 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立． 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为． 题型3：对勾函数，类对勾函数 10．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在区间上是减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质求解参数并检验； （2）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （3）由题意函数在上的值域为函数在上的值域的子集，利用单调性求解的值域，分类讨论利用二次函数的单调性求解值域，然后列不等式求解即可. 【解析】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以. 经检验为奇函数，所以. （2）由（1）可得，下面证明函数在区间上是减函数. 证明：任取，则有 . 再根据，可得，，，， 又，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时，，， 所以，记函数在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为． 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则，， 所以在区间内的值域为， 因为，所以，所以，所以， 当时， （i）当时，，在上单调递减，且， 则，， 得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为， 所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为. 11．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【解析】（1）解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以， 对任意的，， 所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. （2）解：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，所以．                  不等式，即， 得在有解，所以且，即 （3）解：因为，所以， ，恒成立，所以， 则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，可得， 所以，即的最小值为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 12．（23-24高一上·河南·期中）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若在区间上的最大值为． （i）求实数a的值； （ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在和上单调递增 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）根据单调性的定义判断单调性； （2）（i）根据题意，分别对和两种情况讨论单调性，即可得出结果； （ii）由题意，可证得在为减函数，在为增函数，设，，则，从而把问题转化为，时，求实数的取值范围．结合的单调性，分，，，四种情况讨论即可求得答案. 【解析】（1）由题意得． 设且，则， 因为，所以，， 当时，，即. 所以在上单调递增； 同理可得，在上单调递增. 故在和上单调递增. （2）（i）在区间上的最大值为． ①当时，同理（1）可知，函数在区间上单调递减， ∴，解得（舍去）； ②当时，函数在区间上单调递增， ∴，解得． 综上所述，． （ii）由（i）知，，且在区间上单调递增． ∴，即， ∴在区间上的值域为． 讨论函数： 令，则， 当时，，所以，为减函数； 当时，，所以，为增函数； ∴在为减函数，在为增函数， 令，则，∴． 在区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形，等价于，． ①当，即时，在上单调递增， ∴， 由，即，得，∴； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，由，即，得，解得，∴； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，由，即，得，解得，∴； ④当时，在上单调递减， ∴，由，即，解得，∴． 综上所述，实数b的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是结合对勾函数的图象与性质，通过对的分类讨论从而得到不等式，解出即可. 13．（20-21高一上·湖北武汉·期中）已知函数，a∈R. （1）若a=0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，<-2恒成立，求a的取值范围； （3）若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求函数的最大值的表达式M(a). 【答案】（1）非奇非偶函数；理由见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义判断； （2）根据[1，a]上单调，可判断的增减性，利用单调性求出函数的最大值，问题可转化为最大值小于即可求解; （3）去绝对值可得，根据函数的单调性求最值即可. 【解析】（1）当a=0时，， ，所以为非奇非偶函数. （2）当时， 因为函数在上单调，所以， 此时在上单调递增， 由题意：恒成立，即. 所以. （也可以用参数分离：，即，右边最小值为， 所以，解得：又， 所以a的取值范围为 (3）当时， 又，由上式知，在区间单调递增， 当时，在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减. 所以，在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减，(a，6]上单调递增. 则 综上所述，函数的最大值的表达式为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了含绝对值的函数的单调性的判断与证明以及函数的最值的求法问题，也考查了分类讨论思想与化归思想，含绝对值的问题关键在于根据自变量及参数的范围去掉绝对值号，属于较难题目. 14．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，其中常数. (1)若函数分别在区间，上单调，求的取值范围； (2)当时，是否存在实数和，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）结合勾形函数的性质、绝对值的定义只要在上的最小值不小于0即可得； （2）作出函数的图象得4个单调区间，首先确定，以及区间的两个端点都不在区间上，在时有，，再由求出的范围，然后再分四个区间讨论确定范围． 【解析】（1）设，∵，∴函数分别在区间，上单调且， 要使函数分别在区间，上单调，则只需； （2）如图，可知，在、、、均为单调函数， 显然，， 若，则，，则， 若，则，令， ，因此， （Ⅰ）当时，在上单调递减， 则两式相除整理得， ∵∴上式不成立即，无解，无取值. （Ⅱ）当时，在上单调递增， 则，即在有两个不等实根， 而令则， ，，由二次函数性质可得：， （Ⅲ）当时，在上单调递减， 则，两式相除整理得 ∴，∴，∴， 由得， 则关于的函数是单调的，而应有两个不同的解，此时无解. （Ⅳ）当时，在上单调递增， 则，两式相除得，整理得， 又，，，即，因此不成立，所以无取值， 综上，的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的单调性，由于含有绝对值符号，因此作出函数图象有助于问题的求解，通过图象确定单调性，确定，否定单调区间的三个端点不属于区间，从而很形象地指出根据四个单调区间分类讨论． 题型4：根式等复合函数 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【解析】（1）因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； （2）依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解. 16．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数，满足. (1)设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数； (2)设. ①当时，求的最小值； ②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）按单调性的定义证明即可； （2）①单调性结合基本不等式即可求解；②恒成立转化为最值关系，并分类讨论即可求解. 【解析】（1）由题意可得， 令，则 ， 时，且， 故，故在区间上为减函数； 时，且， 故，故在区间上为增函数. （2）①令，解得， 由中可知的定义域为， 且， 因为，则，可得，故， 令，则， 故，当且仅当时取等号， 故， ②因为恒成立， 故，即， 由①：时， 令，令， 由（1）知，在上为减函数，在上为增函数， 时，在上为减函数， 故，， 故，得，和矛盾， 时，在上为减函数，在上为增函数， ，即， 得， 时，在上为增函数，故，得， 即或，由得， 综上得：或. 题型5：幂函数 17．（22-23高一上·四川·期中）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式: (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“A佳”函数，区间为； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值； （2）求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可； （3），则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围． 【解析】（1）因为幂函数在上是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 若存在，使得在上的值域为， 故函数为“A佳”函数. 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 有，解得或，或，而， 故“A佳”函数的区间为； （3），，则在上单调递减， 因为是“A佳”函数，所以， 令，，则，， 所以，有，即， 因为，所以，所以，得， 所以，代入， 得， 因为，所以，得， 令，， 所以，又该函数在上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解. 18．（21-22高一上·浙江·期末）已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求m的值； （2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围． （3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解. （2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解. （3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解. 【解析】（1）由幂函数的定义得：，或， 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 综上可知：. （2）由（1）得：， 当时，，即， 当时，，即， 由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即， 所以实数k的取值范围为：. （3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为， 要使在上单调递增，如图所示：   或   即或，解得：或. 所以实数k的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题. 题型6：分段函数 19．（22-23高一上·湖南常德·期中）已知二次函数满足，对任意，都有恒成立． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在不等式中，令可求得的值； （2）由已知可可得，再由恒成立可得出关于的不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （3）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在区间上的最小值，再结合参变量法可求得实数的取值范围. 【解析】（1）解：对任意，都有恒成立． 令，可得，所以 （2）解：由，知，得． 由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立． 则，即，又，故， 所以，，则， 因为对任意的恒成立，合乎题意. 综上所述，函数的解析式为 （3）解：由（2）可得，则函数在上连续. ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； ②当时，在上单调递增， 所以． 综上，. 当时，恒成立， 即对恒成立，即， 易得函数在上单调递增，，所以，； 当时，恒成立，即恒成立， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 20．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，定义 (1)写出函数的解析式； (2)若，求实数的值； (3)已知函数，集合，集合，，若函数是偶函数，写出所有满足条件的的解析式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由新定义，讨论，解不等式即可得到所求函数； （2）讨论，由求得，运用恒成立的思想，即可得到的值； （3）将问题转化为不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为，利用二次函数的性质解答即可. 【解析】（1）定义， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 可得； （2）当时，，则， 即有恒成立，即在上恒成立， 即，得； 当时，，则， 即有，解得或； 当时，，则， 即有恒成立，当必成立， 则当时，有或在上恒成立， 即或，解得或； 综上实数的值为 （3）若为偶函数， 则不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为， 令， 则，解得 故 【点睛】关键点点睛：第一问的关键是通过分类讨论确定代入分段函数的哪段进行计算；第二问的关键是将恒成立问题转化为最值问题；第三问的关键是将问题转化为不等式有关于原点对称的解集. 题型7：综合分析x1，x2等有关的单调性问题 21．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据题意，得到，列出方程组，即可求解； （2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解； （3）根据题意，转化为函数的值域为值域的子集，由（2）求得的值域为，转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解. 【解析】（1）解：设函数的图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为. （2）解：函数在上单调递增； 证明如下： 任取且， 则， 因为且，可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）解：由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上亦单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以，，解得， 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心，故在递增，在单调递减， 故此时， 欲使， 只需且， 解不等式，可得，又因为，此时； 当时，即时，在递减，在上亦递减， 由对称性知在上递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得：实数的取值范围是. 22．（2023高一·全国·专题练习）已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论； (3)已知且，若.试证：. 【答案】(1)，；； (2)函数在区间上单调递增，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据二次不等式的解集与二次方程根的对应关系，列出满足的等量关系，求解即可； （2）利用单调性的定义，作差、定号、写出结论即可； （3）先证在上的单调性，结合其在上的单调性，求得范围；要证，即证，，转化为证明；构造，根据其单调性，即可证明. 【解析】（1），即， 因为不等式解集为，所以，解得： ， 所以； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则， 因为，所以， 又，， 所以， 即当时，， 所以函数在区间上单调递增； （3）先证在单调递减： 在上任取，且， 则 因为，故， 又，， 故 即当时，， 故在单调递减； 结合（2）中所证：函数在区间上单调递增， 在区间上的单调递减， 因为，且，， 所以，， 证明，即证明，即证明， 因为，所以即证明， 也就是证明，即， 令， 因为在区间上的单调递增， 根据复合函数单调性可知，在区间上的单调递减， 所以单调递增， 又，所以在区间上恒成立， 即，得证：. 【点睛】本题考察三个二次的关系，以及利用单调性定义证明单调性；解决问题的关键是第三问中，能够将目标式转化为证明，再构造函数，利用其单调性进行证明. 题型8：函数与集合、不等式 23．（18-19高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，集合，且集合满足，. （1）求实数的值； （2）对集合，其中，定义由中的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质. ①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； ②试判断和的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）（2）①不具有性质，具有性质；，②，证明见解析 【分析】（1）先求得集合所包含的元素，根据，，求得的值. （2）根据（1）求得，由此求得. ①根据性质的定义，判断出不具有性质，具有性质.根据集合的定义求得. ②根据①所求，求得，由此比较出两者的大小关系. 【解析】（1）对于集合，开口向下，对称轴为，当时，故 对于集合，由，解得，所以. 根据题意，，所以，解得或， 经检验，不符合，故舍去，满足题意，即. （2）由（1）得，，，，. ①中，故不具有性质； 中任意元素，故具有性质；根据集合的定义，求得，； ②由①知，，故. 【点睛】本小题主要考查二次函数函数值、一元二次不等式的解法，函数的定义域，考查新定义概念的理解和运用，属于中档题. 24．（22-23高一上·广东广州·期中）对于函数，如果存在实数a，b使得函数，那么我们称为函数，的“函数” (1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出a，b的值；若不是，说明理由； (2)已知，，为函数，的“函数“（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】(1)是，，； (2)10 【分析】（1）利用题目给定的定义，得到关于，的方程组，即可求解； （2）根据题目给定的定义，结合基本不等式的使用条件，求出，的值，得到函数的解析式，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）由题意得，，又，，； 即， 则，解得， 综上，当，时，是函数，的“函数”，且，. （2）由题意得，，，，； 由基本不等式得：，当且仅当即时取等号， 又因为当且仅当时，取得最小值4，所以，得， 因此，， 则对任意正实数，，又， 故恒成立，可转化为恒成立， 因为，，且， 所以，当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号，所以. 故的最大值是10. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型9：新定义题 25．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，不是 (2)存在， 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； （2）因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 26．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【解析】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 27．（23-24高一上·广东珠海·期中）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 【答案】(1)①具有性质，②不具有性质； (2). 【分析】（1）记当时，的值域为M，则性质1；性质2.然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断； （2）分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可. 【解析】（1）记当时，的值域为M， 则性质1；性质2    . 对于①，当时，，即， 所以，，即函数满足性质1，具有T性质. 对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质. （2）由二次函数性质知，函数在上单调递增， 在上单调递减， 当时，的值域为，显然不满足性质2， 故，要使具有T性质，则， 所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质； 当时，的值域为， 因为，所以不是的子集， 且， 所以，此时不具有T性质. 综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为. 28．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【解析】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 29．（23-24高一上·福建·期中）设函数的定义域分别为，且．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数． (1)若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式； (2)设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数． ①证明：当时，． ②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得的解析式； （2）①通过差比较法证得不等式成立； ②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立. 【解析】（1）依题可知， 当时．则， ， 为奇函数，， . （2）①证明：当时， ， . ②当时且单调递增， 在上单调递增， ， 即，即， 同理可得， 将上述两个不等式相加可得． 原不等式成立. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 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