特训11 函数的概念与性质 解答题 （期中专训，七大题型）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第一册，浙江专用）

特训11 函数的概念与性质 解答题 （期中专训，七大题型） 目录： 题型1：函数的概念与表示 题型2：函数的性质及证明 题型3：根据单调性求最值 题型4：根据函数的性质解不等式综合 题型5：幂函数 题型6：恒成立问题 题型7：抽象函数 题型1：函数的概念与表示 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 2．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式，并作出简图； (2)求函数在区间上的值域. 5．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 题型2：函数的性质及证明 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 7．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用定义法证明在上是增函数. 8．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明结论； (2)求函数在上的最值． 9．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且． (1)求m的值； (2)证明：为奇函数； (3)判断在上的单调性，并给予证明． 10．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 11．（23-24高一上·天津河北·期中）已知函数，图象经过点，且. (1)求的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性. 12．（23-24高一上·福建三明·期中）已知偶函数定义域为，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 13．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 题型3：根据单调性求最值 15．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数在区间上有最大值19，最小值5. (1)求，的值； (2)设，求的最小值. 16．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，， (1)现已画出函数在轴左侧的图象，请将函数的图象补充完整，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值. 17．（23-24高一上·重庆开州·期中）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 题型4：根据函数的性质解不等式综合 18．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 19．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围. 20．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 21．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求a，b值； (2)用定义证明：在上单调递减； (3)解关于t的不等式． 22．（23-24高一上·湖北·期中）设函数是定义在R上的奇函数． (1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围； (2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式． 题型5：幂函数 23．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知幂函数，且. (1)求的值； (2)设函数，求在上的值域. 24．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知幂函数的定义域为全体实数． (1)求的解析式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数a使得的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型6：恒成立问题 26．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 27．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 28．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的取值范围； (2)求的函数关系式； (3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 29．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)当时，求，的值： (2)若函数在上单调递减. （i）求实数的取值范围： （ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 30．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围； (2)若函数在区间单调递减，且对任意的，，都有，求实数m的取值范围． 31．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数 (1)求函数的定义域和值域； (2)设（为实数），求在时的最大值： (3)对（2）中，若对任意及任意恒成立，求实数的取值范围. 32．（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，且． (1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性. (2)证明函数在上单调递增； (3)设函数，若对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 题型7：抽象函数 33．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 34．（23-24高一上·福建南平·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用单调性定义加以证明； (3)若，解不等式. 35．（23-24高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)当时，解关于的不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 函数的概念与性质 解答题 （期中专训，七大题型） 目录： 题型1：函数的概念与表示 题型2：函数的性质及证明 题型3：根据单调性求最值 题型4：根据函数的性质解不等式综合 题型5：幂函数 题型6：恒成立问题 题型7：抽象函数 题型1：函数的概念与表示 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 2．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【解析】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【解析】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 4．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， (1)求函数的解析式，并作出简图； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，作图见解析； (2). 【分析】（1）利用奇函数定义求出时，再用分段函数表示出即可. （2）当时，求出，利用换元法结合对勾函数性质求出值域. 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，则，而， 所以，函数的图象，如图： （2）由（1）得，， 令，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，于是， 所以函数在区间上的值域为. 5．（21-22高一上·陕西渭南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据配凑法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解最值即可. 【解析】（1）， 故 （2）由（1）可得，对称轴为， 故当时，，. 即的最大值为，最小值为. 题型2：函数的性质及证明 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可； （2）利用定义判断函数的单调性，进而可求得函数的最值． 【解析】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 7．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用定义法证明在上是增函数. 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）根据增函数定义证明函数是增函数； 【解析】（1）的定义域为，不关于原点对称， ∴既不是奇函数也不是偶函数． （2）证明：设， 则， ∵，∴，，， ∴，即， ∴在上是增函数． 8．（23-24高一上·四川自贡·期中）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并证明结论； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2)最小值为，无最大值 【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明； （2）根据题意利用基本不等式求最值. 【解析】（1）函数为奇函数，证明如下： 因为的定义域为， 且， 所以函数为定义在上的奇函数. （2）因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得， 所以函数在上的最小值为，无最大值. 9．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且． (1)求m的值； (2)证明：为奇函数； (3)判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)在上为单调增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，解出m的值，即得答案. （2）根据题意，先求定义域，然后利用奇偶性的定义分析即可得到答案. （3）用单调性的定义证明函数的单调性即可. 【解析】（1）根据题意，函数， 因为，所以，解得 （2），因为的定义域为，定义域关于原点对称 又， 所以是奇函数． （3）在上为单调增函数． 证明如下：任取， 则 因为，所以，， 所以 所以在上为单调增函数． 10．（23-24高一上·江苏无锡·期中）设函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的性质求解当时的解析式，从而得解； （2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证. 【解析】（1）因为当时，， 设，则，则， 又是定义在上的奇函数， 所以， 故； （2）函数在上单调递减，证明如下： 当时,， 任取，且， 则， 因为，且， 所以，，， 故，则， 所以函数在上单调递减. 11．（23-24高一上·天津河北·期中）已知函数，图象经过点，且. (1)求的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，理由见解析 【分析】（1）待定系数法得到方程组，求出答案； （2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论. 【解析】（1）由题意得，解得， （2）在区间上单调递增，理由如下： 任取，且， 故 ， 因为，所以， 又，所以， 故， 故，在区间上单调递增. 12．（23-24高一上·福建三明·期中）已知偶函数定义域为，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明. 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式即得. （2）判断函数单调性，再利用单调性定义推理判断即可. 【解析】（1）偶函数定义域为，当时，， 当时，，则， 所以函数的解析式是. （2）当时，，在上是增函数. 任取，则， 而，，且，则，因此， 所以在上是增函数. 13．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 14．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)单调递增，证明见解析； (3)最小值，最大值. 【分析】（1）利用奇偶性定义判断并证明即可. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用（1）（2）的结论，借助单调性求出最值. 【解析】（1）函数是奇函数，理由如下： 函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2）函数在区间上的单调递增，证明如下： ，，， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上的单调递增. （3）由（1）（2）知，函数是奇函数，且在上的单调递增， 因此函数在上单调递增， 所以当时，. 题型3：根据单调性求最值 15．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数在区间上有最大值19，最小值5. (1)求，的值； (2)设，求的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【解析】（1）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，所以在上单调递增， 则，解得，； （2）由于，所以， 由于，所以， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为， 16．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，， (1)现已画出函数在轴左侧的图象，请将函数的图象补充完整，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值. 【答案】(1)图象见解析，，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）利用偶函数性质将图象补充完整，根据偶函数性质求解的解析式，通过图象求单调减区间； （2）分类讨论求解函数的最大值. 【解析】（1）如图所示，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象， 当时，则，因为函数为偶函数，所以， 所以函数的解析式为， 可得的单调递减区间为和； （2）当时，， 可得其对称轴的方程为且开口向上， ①当时，即时，； ②当时，即时，， 综上可得，. 17．（23-24高一上·重庆开州·期中）已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据二次不等式的解集设函数，然后根据最值求解参数即可解答； （2）利用对勾函数单调性判断，利用单调性定义证明即可. 【解析】（1）因为是二次函数，且的解集是， 所以可设， 且易知，所以在区间上的最大值是， 由已知得，所以，所以. （2），在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 其中，所以， 所以，所以在上单调递增. 题型4：根据函数的性质解不等式综合 18．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 19．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算出，从而根据奇函数得到； （2）先求出时的函数解析式，并分和两种情况解不等式，求出解集； （3）先得到在上单调递增，并结合函数的奇偶性，定义域，得到不等式组，求出答案. 【解析】（1）当时，，故， 因为是定义在上的奇函数，所以； （2）当时，令， 即，此时，故解集为， 当时，， 故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，即， 令，解得， ， 综上，的解集为； （3）， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 又当时，在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故在上单调递增， 故，解得， 实数的取值范围是. 20．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【解析】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 21．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求a，b值； (2)用定义证明：在上单调递减； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，解得答案，再验证即可. （2）取，计算得到证明. （3）利用函数的奇偶性和单调性得到，解得答案. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，，所以； 又，，解得， 所以，，， 又，故满足是奇函数． （2）证明：，且，即， 则     ， 因为，，，，， 故，即， 所以函数在区间上单调递减． （3）函数在上单调递减，且为奇函数， 由得，所以，解得． 所以不等式的解集为 22．（23-24高一上·湖北·期中）设函数是定义在R上的奇函数． (1)若对任意的，，且，满足，，求满足的实数x的取值范围； (2)若对任意的，，且，满足，解关于m的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判断函数的单调性，再求解不等式； （2）首先设函数，并判断函数的单调性，并结合函数是偶函数，以及单调性，求解不等式. 【解析】（1）由题意奇函数满足， ∴变为， 又，即当时，， ∴在上单调递减， ∴， 解得， 故实数x的取值范围为； （2）∵函数是定义在R上的奇函数， ∴为定义在R上的偶函数， 又∵， 即，， ∴在上递减， 则在上递增， ， 即， 则， 则，整理为， 解得：. 题型5：幂函数 23．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知幂函数，且. (1)求的值； (2)设函数，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义，得到方程解出后验证即可； （2）根据基本函数的单调性，判定出函数的单调性，利于单调性即可求得值域. 【解析】（1）因为是幂函数，所以， 即，解得或. 当时，， 此时，则不符合题意； 当时，， 此时，则符合题意. 综上，. （2）由（1）可得，则. 因为与在上都是增函数， 所以在上是增函数. 因为， 所以在上的值域为. 24．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知幂函数的定义域为全体实数． (1)求的解析式； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义，得到，求得的值，结合题意和幂函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为函数在上的最大值大于，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：因为函数为幂函数， 可得，即，解得或 当时，，此时函数的定义域为，不符合题意； 当时，，此时函数的定义域为，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由不等式在上有解，即不等式在上有解， 令，只需函数在上的最大值大于， 因为图象开口向上，且对称轴为， 可得在上单调递减，所以， 由，解得，所以实数的取值范围是． 25．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知幂函数是其定义域上的增函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数a使得的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的最小值为0 【分析】（1）直接由幂函数的定义、性质列出方程求解即可. （2）由题意得，换元得，，通过对对称轴的位置进行分类讨论求解即可. 【解析】（1）因为是幂函数，所以， 解得或 当时，在定义域上不为增函数， 当时，在为增函数， 所以． （2），令，因为，所以， 则令，，对称轴为． ①当，即时，函数在上为增函数， ，解得满足题意． ②当，即时，在上递减，在上递增， 所以， 解得，不符合题意，舍去． ③当，即时，函数在上为减函数， ， 解得．不符合题意，舍去． 综上所述：存在使得的最小值为0． 题型6：恒成立问题 26．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）不等式 在 上恒成立, 转化为 在 上恒成立, 求出 在 上的最小值即可求出 的取值范围； （2） 将不等式 化为 ,讨论 的取值即可求解不等式的解集. 【解析】（1）， 不等式化为， 即， 不等式在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， ， 设，，根据对勾函数的性质知其在上单调递减，在上单调递增， 当；当；当， ， ，即的取值范围是. （2）不等式化为， 即， 即， ①当时，不等式为，不等式解集为， ②当时，即时，不等式为，不等式解集为; ③当时，，不等成解集为; ④当时，，不等式解集为 ⑤时，不等式解集为. 27．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【解析】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 28．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的取值范围； (2)求的函数关系式； (3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数单调性求最值； （2）利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式； （3）根据题意求出，转化为的值域包含的值域即可得解. 【解析】（1）因为的对称轴为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 因为，所以在上的值域为； （2）因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以 （3）因为，所以，所以， 当时，，因为在上递增，所以在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 当时，， 因为在上递减，在上递增， 此时，因为，，所以， 所以不符合题意， 综上，. 29．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)当时，求，的值： (2)若函数在上单调递减. （i）求实数的取值范围： （ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到时的解析式，求出，的值； （2）（i）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出；（ii）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为恒成立，求出答案. 【解析】（1）当时，， 当时，，， 因为为定义在上的奇函数， 所以，故，所以， 所以； （2）（i）在上单调递减， ，开口向下，对称轴为， 所以，解得， （ii）为定义在上的奇函数， 故， 又在上单调递减，故在R上单调递减， 故，即恒成立， 由于，故， 实数的取值范围为. 30．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)若函数的图象与x轴有两个不同的交点，求实数m的取值范围； (2)若函数在区间单调递减，且对任意的，，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由二次函数性质首先求得，然后求得在上的最大值和最小值，由得结论． 【解析】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，， 所以，解得或， 所以m的取值范围是或； （2）因为函数在是减函数，其对称轴为， 所以，即． 因为对任意的，，总有， 所以要使成立，则必有． 因为在单调递减，在单调递增， 且，所以， ， 所以，即，解得． 所以，实数m的取值范围是． 31．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数 (1)求函数的定义域和值域； (2)设（为实数），求在时的最大值： (3)对（2）中，若对任意及任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，再由函数，进而求得的值域； （2）令，转化为即为函数的最大值，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解； （3）由（2）转化为对恒成立，即，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由，且，所以函数的值域为. （2）解：令，则， 由题意知，函数即为函数的最大值， 抛物线的图像的对称轴为， 因为时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段， ①当，即时， 则函数在上单调递减，即， ②当，即时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即， ③当，即时， 则函数在上单调递增，即， 综上可得，. （3）解：由（2）可知，当时，， 当时，， 当时，，所以， 由对恒成立， 即恒成立，即， 令，对所有的，成立， 只需，解得或或， 所以的取值范围是. 32．（23-24高一上·天津北辰·期中）已知函数，且． (1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性. (2)证明函数在上单调递增； (3)设函数，若对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断， （2）根据单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性可得，进而根据二次型函数的性质，求解的最值即可求解. 【解析】（1）由则， 为奇函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数， （2）任取，不妨设， 则， 由于，则且，故， 所以，故在上单调递增， （3）由（2）知在上单调递增，所以， 对于任意的，，恒成立，则， 故， 当时，，显然满足题意， 当，为开口向上的二次函数，显然不符合， 当，为开口向下的二次函数，所以，故，解得， 综上可得 题型7：抽象函数 33．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用函数定义域的概念计算即可； （2）利用赋值法确定的奇偶性与单调性，后解不等式即可. 【解析】（1）因为定义域为， 所以有解得：， 所以的定义域为 （2）令，可得，即， 令，得， 即，是奇函数． 令，则， 且为奇函数， ， 在上单调递增． 由题意可知， ∴， 即不等式的解为． 34．（23-24高一上·福建南平·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并用单调性定义加以证明； (3)若，解不等式. 【答案】(1)0 (2)在区间上是单调递减函数，证明见解析 (3)或 【分析】（1）令，代入条件等式得出结果； （2）利用单调性定义证出结果； （3）利用赋值法得出，再结合函数的单调性解不等式得出结果. 【解析】（1）令，代入得，故. （2）任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此， 所以函数在区间上是单调递减函数. （3）由题意有， 则，而，所以. 由于函数在区间上是单调递减函数 由，得，∴. 又因为，因此不等式的解集为或. 35．（23-24高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)当时，解关于的不等式 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【解析】（1）由已知，对于，，成立． 令，则，可得． （2）由（1）得， 令，则．所以，对有， 故是奇函数． （3）任取且，则，由已知有， 又，得， 所以在上是减函数． 因为，即 所以． 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以. 讨论如下：当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$