3.1.2 表示函数的方法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

3.1.2 表示函数的方法 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的三种表示法 逐点清(二)　函数的图象 逐点清(三)　求函数的解析式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　函数的三种表示法 01 多维理解 　　三种常用的函数表示方法 解析式 表格 图象 对三种表示法的说明 解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的自变量要有代表性 图象法 图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点 |微|点|助|解| 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数都能用三种表示法表示. (　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示. (　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数,则f(1)=1. (　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰. (　 ) ×　 √　 ×　 √ 2.已知函数y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为 (　 ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- 解析:设y=,由题意知1=,即k=2.∴y=. √ 3.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=______.  x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 解析:∵当2<x≤4时,f(x)=3,∴f(3)=3. 3 4.中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗? 解:因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},所以用解析法可将函数表示为f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5,6}. 用列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 用图象法可将函数表示为 逐点清(二)　函数的图象 02 多维理解 作图通常有列表、描点、连线三个步骤: (1)列表——先找出一些___________的自变量值x,并计算出与这些自变量相对应的__________,用表格的形式表示出来; (2)描点——从表中得到一系列的_________,在坐标平面上描出这些点; (3)连线——用光滑曲线把这些点按自变量_________的顺序连接起来. 有代表性 函数值f(x) 点(x,f(x)) 由小到大 微点练明 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是_______,值域是________.  解析:结合题图,知函数f(x)的定义域为[-3,3],值域为[-2,2]. [-3,3] [-2,2] 2.作出下列函数的图象并根据图象判断其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; 解:当x∈[0,2]时,图象是直线y=2x+1的一部分.如图①所示,由图象知函数的值域为[1,5]. (2)y=,x∈[2,+∞); 解:当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分.如图②所示,由图象知函数的值域为(0,1]. (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 解:当-2≤x≤2时,图象是抛物线y=x2+2x的一部分.如图③所示,由图象知函数的值域为[-1,8]. 逐点清(三)　求函数的解析式 03 [典例]　求下列函数的解析式: (1)(换元法或配凑法)已知f(+1)=x-2,求f(x); 解:法一:换元法　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2.代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1) =t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). 法二:配凑法　由已知得f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3.因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,求f(x); 解:设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 因为f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8, 即解得或 所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x). 解:由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x. 联立解得f(x)=x-1. |思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),得到f(x)的表达式 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 针对训练 1.已知等腰三角形的周长为1,把该三角形腰长y表示为底边长x的函数,则该函数为y=_________________.  解析:根据题意x+2y=1,2y>x,故0<x<,则函数为y=. y= 2.根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1; 解:令t=x+1,则x=t-1.故f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+2t-2.所以f(x)=x2+2x-2. (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9; 解:设f(x)=kx+b(k≠0), 因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9.即2kx+3k+2b=2x+9. 所以解得所以f(x)=x+3. (3)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 解:因为2f+f(x)=x(x≠0)　①, 所以2f(x)+f=　②. 2×②-①,得3f(x)=-x, 所以f(x)=-(x≠0). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 A级——达标评价 1.已知购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　 ) A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为 (　 ) 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.0 C.1 D.2 解析:由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,故f(g(2))=2. √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知函数f(x)是一次函数,且f(x-1)=4x+3,则f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=4x+7 C.f(x)=4x+1 D.f(x)=4x+3 解析:设一次函数的解析式为f(x)=ax+b(a≠0),由f(x-1)=4x+3,可得f(x-1) =a(x-1)+b=ax-a+b=4x+3.所以解得所以函数的解析式为f(x)=4x+7. √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知f(-1)=-x,则函数f(x)的表达式为(　 ) A.f(x)=x2+2x+1(x≥0) B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1) C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0) D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1) √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:令t=-1(t≥-1),则x=(t+1)2.所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1(t≥-1).所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知陈校长某日晨练时,行走的时间x与离家的直线距离y之间的函数图象如图,若用黑点表示陈校长家的位置,则陈校长晨练所走的路线可能是 (　 ) 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由函数图象可知,在行走过程中,有一段路程离陈校长家距离不变,除D选项外,其余都不符合.故选D. √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知函数y=f(x)的图象如图所示.则(1)f(-2)=____;(2)若f(x)=0,则x=____.  3 -3 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:(1)由题图,知f(x)过点(-2,3),故可得f(-2)=3. (2)由题图可知,f(x)过点(-3,0),故可得x=-3. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ=16,φ(1)=8,则φ(x)的表达式为_______________,φ(3)的值是______.  φ(x)=3x+(x≠0) 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:设f(x)=kx(k≠0),g(x)=(m≠0),则φ(x)=kx+.由题设,知解得 所以φ(x)=3x+(x≠0),φ(3)=3×3+=. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.已知f=,那么f(x)的解析式为_____________________.  解析:由f=可知,函数f(x)的定义域为{x|x≠-1且x≠0}.令t=,则x=(t≠-1且t≠0),所以f(t)==.故f(x)=(x≠-1且x≠0). f(x)=(x≠-1且x≠0) 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(8分)如图所示为某市一天24小时内的气温变化图. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)上午8时的气温是多少?全天的最高、最低气温分别是多少? 解:上午8时的气温是0 ℃,全天的最高气温是9 ℃,最低气温是-2 ℃. (2)在什么时刻,气温为0 ℃? 解:在8时和22时,气温为0 ℃. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)在什么时间段内,气温在0 ℃以上?两个变量有什么特点?它们具有怎样的对应关系? 解:在8时到22时之间,气温在0 ℃以上.变量t满足0≤t≤24,变量θ满足 -2≤θ≤9,由于图象是连续的,随着时间的增加,气温先降再升再降,且对于t的每一个值,θ都唯一确定的值和它对应,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(10分)在①f(2x-3)=4x2-6x,②f(x)+2f(-x)=3x2-3x,③对任意实数x,y,均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答.已知函数f(x)满足________,求f(x)的解析式.  解:选①,令t=2x-3,则x=, 因为f(2x-3)=4x2-6x, 所以f(t)=4×-6×=t2+6t+9-3t-9=t2+3t,即f(x)=x2+3x. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 选②,因为f(x)+2f(-x)=3x2-3x,(1) 所以f(-x)+2f(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x,(2) (2)×2-(1)得3f(x)=3x2+9x, 即f(x)=x2+3x. 选③,令x=y=0,则f(0)=2f(0),即f(0)=0,令y=0,则f(x)=2f(0)+x2+3x=x2+3x,所以f(x)=x2+3x. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)已知矩形的面积为10,如果矩形的长为x,宽为y,对角线为d,周长为l,则下列式子正确的是(　 ) A.l=2x+(x>0) 　B.y=(x>0) C.l=2(d>0) 　D.d=(x>0) √ √ √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:因为矩形的面积为10,矩形的长为x,宽为y,所以xy=10,得y=.所以矩形的周长为l=2x+(x>0),所以A、B正确;因为矩形的面积为10,对角线为d,长为x,宽为y,所以x2+y2=d2≥2xy=20,当且仅当x=y=时,等号成立,所以x2+y2+2xy=d2+20,(x+y)2=d2+20, 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 因为x+y>0,所以x+y=,所以矩形的周长为l=2 (d≥2),所以C错误;由选项C可知x2+y2=d2,xy=10,所以d2=x2+.因为d>0,所以d=(x>0),所以D正确. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1,若f(8)=7,则f(2)= (　 ) A.7 B.3 C.2 D.1 解析:因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且f(8)=7,所以令x=y=4,可得f(8)=2f(4)+1=7,解得f(4)=3.再令x=y=2,可得f(4)=2f(2)+1=3,解得f(2)=1. √ 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 满足f[g(x)]<g[f(x)]的x的集合是_______.  {1,3} 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:f[g(1)]=f(3)=1,g[f(1)]=g(1)=3,故f[g(1)]<g[f(1)],满足要求,f[g(2)]=f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1,故f[g(2)]>g[f(2)],不满足要求,f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=3,故f[g(3)]<g[f(3)],满足要求,所以满足f[g(x)]<g[f(x)]的x的集合为{1,3}. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(12分)画出下列函数的大致图象: (1)y=; 解:因为y==2-,所以可先作出函数y=-的大致图象,把所得图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再把所得图象向上平移2个单位长度,就得到了函数y=的图象,如图①所示. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)y=|x2-1|. 解:先作出函数y=x2-1的大致图象,保留它在x轴上及其上方的部分,再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方,所得到的图象就是函数y=|x2-1|的图象,如图②所示. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 15.(12分)如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2 m,渠深为1.8 m,斜坡的倾斜角是45°.(不考虑临界状态) 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数; 解:由已知,横断面为等腰梯形,下底为2 m,上底为(2+2h)m,高为h m, 所以水的面积A==h2+2h. 14 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)确定函数的定义域和值域. 解:定义域为{h|0<h<1.8}. 由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大,所以0<A<6.84.故函数的值域为(0,6.84). 14 15 $$