1.2.2 第2课时 充分条件、必要条件的综合（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

充分条件、必要条件的综合 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.本课时重点关注判定充分必要条件问题,或利用已知关系探求参数的取值范围问题. 2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明,解题关键是分清命题的条件与结论, 分清充分性和必要性这两个问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　充分、必要条件的判定 题型(二)　利用充分条件、 必要条件求参数 题型(三)　充要条件的证明 4 课时跟踪检测 题型(一)　充分、必要条件的判定 01 [例1]　 判断下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”). (1) 已知x∈R,p:x>1,q:x>2; 解:法一:由x>1 x>2, 所以p不是q的充分条件. 反之,若x>2,则必有x>1, 所以p是q的必要条件. 故p是q的必要而不充分条件. 法二:设集合A={x|x>1},B={x|x>2},则B A,所以p是q的必要而不充分条件. (2)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等; 解:由题意,知p q,但q⇒p,所以p是q的必要而不充分条件. (3)p:A∩B=A,q:∁U B⊆∁U A. 解:∵A∩B=A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A, ∴p是q的充要条件. 　　|思|维|建|模| 　　判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 定义法 直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假 集合法 利用集合的包含关系判断 传递法 充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得 p1⇒pn;充要条件也有传递性 1. 指出下列各题中p是q的什么条件. (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0. 解:x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 x-3=0,故p是q的充分而不必要条件. (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等. 解:两个三角形相似 两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要而不充分条件. 针对训练 (3)p:a>b,q:ac>bc. 解:a>b ac>bc,且ac>bc a>b, 故p是q的既不充分又不必要条件. 题型(二)　利用充分条件、 必要条件求参数 02 　　从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表: A B B A A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分而不必要条件 p是q的必要而不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件 续表 [例2]　 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. 解:设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为 B={x|1-m≤x≤1+m}, 因为p是q的必要而不充分条件,所以B A, 故有或解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 　　[变式拓展] 1.若本例中“p是q的必要而不充分条件”改为“p是q的充分而不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:设p代表的集合为A,q代表的集合为B,因为p是q的充分而不必要条件,所以A B. 所以或 解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 2.若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:若p是q的充要条件,则此方程组无解,故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 　　|思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合,明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件 获解 解不等式,得参数范围 针对训练 2.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件,求实数a的取值范围. 解:因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P. 所以即所以-1≤a≤5. 题型(三)　充要条件的证明 03 [例3]　 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和 一负根的充要条件是ac<0. 证明:充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根) 因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,所以方程一定有两个不等实根.设两根为x1,x2,则x1x2=<0,所以方程的两根异号. 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0. 综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. |思|维|建|模| 1.充要条件的证明思路 一般地,证明“p成立的充要条件为q” 充分性 把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p 必要性 把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q 2.证明充要条件的关键 要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件⇒结论”是证明充分性,由“结论⇒条件”是证明必要性. 在以下说法中,充分性和必要性分别是:(1)p是q的充要条件,p⇒q是充分性,q⇒p是必要性;(2)A成立的充要条件是B:B⇒A是充分性,A⇒B是必要性. 针对训练 3.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0), 当x=0时,y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点, 所以当x=0时,y=0, 得0=k·0+b,所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1.已知p:“x2-3x-4=0”,q:“x=-1”,则p是q的(　 ) A.充要条件 B.既不充分又不必要条件 C.充分而不必要条件 D.必要而不充分条件 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:解x2-3x-4=0可得,x=-1或x=4.显然,若p成立,推不出q成立;若q成立,则p成立.所以p是q的必要而不充分条件. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.“n是3的倍数”是“n是6的倍数”的 (　 ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:若“n是3的倍数”,当n=3时,不满足“n是6的倍数”,故不满足充分性;若满足“n是6的倍数”,则必是3的倍数,故满足必要性. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.“1<x<5”是“2<x<4”的 (　 ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设A={x|1<x<5}, B={x|2<x<4}, 由于B A,所以“1<x<5”是“2<x<4”的必要而不充分条件. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若a2=b2,则当a=-b≠0时,有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2 a2+b2=2ab;若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2,即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是q的一个必要而不充分条件,则实数m的取值范围为 (　 ) A.[8,+∞) B.(8,+∞) C.(-4,+∞) D.[-4,+∞) 解析:由4x-m<0,得x<;由1≤3-x≤4,得-1≤x≤2. ∵p是q的一个必要而不充分条件,∴>2,∴m>8. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知命题p:4-x≤6,q:x≥a-1,若p是q的充要条件,则实数a=　　 .  解析:由题意得p:x≥-2,q:x≥a-1,因为p是q的充要条件,所以a-1=-2,即a=-1. 16 -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是　　　.  解析:A∩B=∅⇔解得0≤a≤2. 16 [0,2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若“x≤-2”是“x<a”的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为“x≤-2”是“x<a”的必要而不充分条件,所以{x|x<a} {x|x≤-2},即有a≤-2. 16 {a|a≤-2} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试写出: (1)A∪B=R的充要条件; 解:若A∪B=R,则b≥-2,故A∪B=R的充要条件是b≥-2. (2)A∪B=R的一个必要而不充分条件; 解:由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2, 所以A∪B=R的一个必要而不充分条件可以是b≥-3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)A∪B=R的一个充分而不必要条件. 解:由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2, 所以A∪B=R的一个充分而不必要条件可以是b≥-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(8分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0. 证明:①必要性:由<,得-<0,即<0,又由x>y,得y-x<0,所以xy>0. ②充分性:由xy>0及x>y,得>,即<. 综上所述,<的充要条件是xy>0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.集合A={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是(　 ) A.[-2,0) B.(0,2] C.(-2,2) D.[-2,2] √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}.又“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即-2<b<2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 (　 ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙 丙,如图所示,综上,有丙⇒甲,但甲 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=　　　　.  解析:由判别式Δ=16-4n≥0,n∈N+,得1≤n≤4. 逐个分析,当n=1, 2时,方程没有整数解;而当n=3时,方程有正整数解1,3;当n=4时,方程有正整数解2. 16 3或4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知2a-b=3,写出使得“m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分而不必要条件为　　　　　　　　　　　　　　　　.(用含m的式子表示)  解析:2a-b=3,则b=2a-3,所以-a2+b+1=-a2+2a-3+1=-a2+2a-2=-(a-1)2-1,所以a=1时,-a2+b+1取得最大值为-1,因此m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立的充要条件是m>-1,在此范围内任取一数均可. 16 m=1(答案不唯一,满足m>-1均可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 解:由-a<x-1<a,得1-a<x<1+a,依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}, 所以解得a≥2. 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知集合A={x|2a-1<x<a+1},B={x|0≤x≤1}. (1)在①a=-1,②a=0,③a=1,这三个条件中选择一个条件,求A∪B; 解:选择①:当a=-1时,A={x|-3<x<0},因为B={x|0≤x≤1},所以A∪B= {x|-3<x≤1}. 选择②:当a=0时,A={x|-1<x<1},因为B={x|0≤x≤1},所以A∪B= {x|-1<x≤1}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 选择③:当a=1时,A={x|1<x<2}, 因为B={x|0≤x≤1}, 所以A∪B={x|0≤x<2}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分而不必要条件,求实数a的取值范围. 解:因为B={x|0≤x≤1},所以∁RB={x|x<0或x>1},因为x∈A,所以集合A={x|2a-1<x<a+1}不是空集,即2a-1<a+1,解得a<2.因为“x∈A”是“x∈∁RB”的充分而不必要条件,所以集合A是∁RB的真子集,即a+1≤0或2a-1≥1,解得a≤-1或a≥1.综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1或1≤a<2}. 16 $$