1.1.3 第2课时 集合运算的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

集合运算的综合问题 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　集合中的参数问题 题型(二)　集合中的实际应用问题 题型(三)　集合中的新定义问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　集合中的参数问题 01 [例1]　已知集合A={x|0≤x≤1},B={x|1-a<x<2a}.若(∁RA)∪B=R,求实数a的取值范围. 解:因为A={x|0≤x≤1},所以∁RA={x|x<0或x>1},又因为B={x|1-a<x<2a}且(∁RA)∪B=R,所以解得a>1, 故实数a的取值范围为{a|a>1}. [变式拓展] 1.若本例条件“(∁RA)∪B=R”变为“A∪B=A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:因为A∪B=A,则B⊆A. 若B=⌀,则2a≤1-a,解得a≤. 若B≠⌀,则解得<a≤. 综上所述,实数a的取值范围为. 2.若本例条件变为已知集合A={x|2a-3<x<a+1},B={x|0<x≤1}.若A∩B=∅,求实数a的取值范围. 解:由题意知A∩B=∅, 当A=∅时,2a-3≥a+1,解得a≥4. 当A≠∅时,或 解得2≤a<4或a≤-1. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥2}. |思|维|建|模|　解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 ①不能忽视集合为∅的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论 常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答 针对训练 1.设集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},若A∪B={0,1,2,3,4},则m+n的值是 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:因为集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0}, A∪B={0,1,2,3,4},则B={1,3},所以1,3是方程x2-mx+n=0的两根,所以因此m+n=4+3=7. √ 2.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且B⊆∁RA,则a的取值范围为　　　　　　.  解析:由题意得∁RA={x|x≥-1}, ①若B=∅,则a+3≤2a,即a≥3,满足B⊆∁RA; ②若B≠∅,则由B⊆∁RA,得2a≥-1且2a<a+3, 即-≤a<3.综上可得a≥-. 题型(二)　集合中的实际应用问题 02 [例2]　某校高三(1)班有50名学生,春季运动会上,有15名学生参加了田赛项目,有20名学生参加了径赛项目,已知田赛和径赛都参加的有8名同学,则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 (　 ) A.27 B.23 C.15 D.7 √ 解析:设高三(1)班有50名学生组成的集合为U,参加田赛项目的学生组成的集合为A,参加径赛项目的学生组成的集合为B.由题意得集合A有15个元素,B有20个元素, A∩B中有8个元素,所以A∪B有15+20-8=27个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50-27=23. |思|维|建|模| 　　解决数学问题最怕的就是仅仅局限在数学上,有时适当的变通会让我们更好地解决问题.对于某些应用题,若能构造Venn图求解,可使问题变得简单明了,通过图示先将无形的东西转化成有形,再将有形的东西转化成方程去求解,使复杂的问题简单化. 针对训练 3.(多选)某校举办运动会,高一的两个班共有120名同学,已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58,38,52,同时参加跑步和拔河比赛的人数为18,同时参加拔河和篮球比赛的人数为16,同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12,三项比赛都不参加的人数为20,则 (　 ) A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B.只参加跑步比赛的人数为26 C.只参加拔河比赛的人数为16 D.只参加篮球比赛的人数为22 √ √ √ 解析:设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,由Venn图可得,58+38+52-18-16-x+12=120-20,得x=26,则只参加跑步比赛的人数为58-18-26+12 =26,只参加拔河比赛的人数为38-16-18+12=16,只参加篮球比赛的人数为52-16-26+12=22. 题型(三)　集合中的新定义问题 03 [例3]　设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 (　 ) A.7 B.10 C.25 D.52 √ 解析:因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示: 　y   x　 -1 0 1 2 3 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A·B中的元素共有10个.故选B. 　　|思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 4.(多选)对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”,记作M-N,即M-N={x|x∈M,且x ∉ N};把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”,记作MΔN,即MΔN={x|x∈M∪N,且x ∉ M∩N}.下列四个选项中,正确的是 (　 ) 针对训练 A.若M-N=M,则M∩N=∅ B.若M-N=∅,则M=N C.MΔN=(M∪N)-(M∩N) D.MΔN=(M-N)∪(N-M) √ √ √ 解析:若M-N=M,则M∩N=∅,A正确;当M⊆N时,M-N=∅,B错误; MΔN={x|x∈M∪N,且x ∉ M∩N}=(M∪N)-(M∩N),C正确;MΔN和(M-N) ∪(N-M)均表示集合中阴影部分,D正确. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1.设全集A={1,2,3,4,5},B={x|x2-4x+m=0},若1 ∉ ∁AB,则B等于(　 ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 解析:因为1 ∉ ∁AB,所以1∈B,所以1-4+m=0,解得m=3,所以B={x|x2-4x+3=0}={1,3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,B⊆∁U A,则m的取值范围为 (　 ) A.(-4,+∞) B.(-∞,-4) C.(-∞,-4] D.[-4,+∞) 解析:由已知得A={x|x≥-m},所以∁U A={x|x<-m},因为B⊆∁U A,所以-m ≥4,解得m≤-4. 3.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},若A是U的子集,且同时满足:①若x∈A,则2x ∉ A,②若x∈∁U A,则2x ∉ ∁U A,则集合A的个数为 (　 ) A.8 B.16 C.20 D.24 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意当2∈A时,1 ∉ A,4 ∉ A,当2 ∉ A时,{1,4}⊆A,当3∈A时,6 ∉ A,当3 ∉ A时,6∈A,元素5与7没有限制,则集合A的个数等于{2,3,5,7}的子集个数,集合{2,3,5,7}有24=16个子集. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3}, B={0,1,2},则∁(A*B)A= (　 ) A.{0} B.{0,4} C.{0,6} D.{0,4,6} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2},A∪B={0,1,2,3},所以当x∈A∩B,y∈A∪B时,z=0,1,2,3,4,6,所以A*B={0,1,2,3,4,6},所以∁(A*B)A={0,4,6}.故选D. 5.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N+},B={x|x=5n+3,n∈N+},C={x|x=7n+2,n∈N+},若x∈A∩B∩C,则下列选项中符合题意的整数x为 (　 ) A.8 B.127 C.37 D.23 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为8=7×1+1,则8 ∉ C,选项A错误; 127=3×42+1,则127 ∉ A,选项B错误; 37=3×12+1,则37 ∉ A,选项C错误; 23=3×7+2,故23∈A;23=5×4+3,故23∈B;23=7×3+2,故23∈C,则23∈A∩B∩C,选项D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:因为A∪B=A,则B⊆A.当m+1>2m-1时,即当m<2时,B=∅⊆A,满足题意;当m+1≤2m-1时,即当m≥2时,B≠∅,由B⊆A可得解得 -3≤m≤4,此时2≤m≤4. 综上所述,m≤4. (-∞,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.设U为全集,对集合X,Y,定义运算“*”,X*Y=∁U(X∩Y).对于集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},则(X*Y)*Z=　　　　　.  解析:由于U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},则X∩Y={3},由题中定义可得X*Y=∁U(X∩Y)={1,2,4,5,6,7,8},则∁U(X∩Y)∩Z={2,4,7},因此,(X*Y)*Z=∁U[∁U(X∩Y)∩Z]={1,3,5,6,8}. {1,3,5,6,8} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x ∉ B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B=　　　　　　　　.  解析:A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}. {x|-3≤x<0或x>3} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2<x<5}. (1)求A∩B与(∁RA)∪B; 解:由集合A={x|1<x<3},B={x|2<x<5},可得A∩B={x|2<x<3}. 又由∁RA={x|x≤1或x≥3}, 得(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设集合P={x|a<x<a+2},若P⊆(A∪B),求实数a的取值范围. 解:由集合A={x|1<x<3},B={x|2<x<5},可得A∪B={x|1<x<5}. 由集合P={x|a<x<a+2}且P⊆(A∪B),可得解得1≤a≤3. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知集合A={x|x=m2+n2,m∈Z,n∈Z}. (1)判断2,5,25是否属于集合A; 解:由2=12+12,5=12+22,25=32+42,可知2,5,25属于集合A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若正整数y能表示为某个整数的平方,z∈A,证明:yz∈A; 解:证明:由题意可设y=a2(a∈Z), 又由z∈A,设z=b2+c2(b∈Z,c∈Z), 有yz=a2(b2+c2)=(ab)2+(ac)2, 由a∈Z,b∈Z,c∈Z,有ab∈Z,ac∈Z,故有yz∈A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若集合B={x|x=4k+3,k∈Z},证明:A∩B=∅. 解:证明:①当m,n都为偶数时,不妨设m=2k1(k1∈Z),n=2k2(k2∈Z),有x=m2+n2=4+4=4(+),此时x为4的倍数,而偶数∉ B,此时A∩B=∅; ②当m,n都为奇数时,不妨设m=2k1+1(k1∈Z),n=2k2+1(k2∈Z),有x=m2+n2=+=4(++k1+k2)+2,此时x为2的倍数,而偶数∉B,此时A∩B= ∅; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ③当m,n为一奇一偶时,不妨设m=2k1+1(k1∈Z),n=2k2(k2∈Z),有x=m2+n2=+4=4(++k1)+1,此时x被4整除余1,而集合B中的元素被4整除余3,此时A∩B=∅.由①②③可知,A∩B=∅. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.高二一班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,物理、化学只选一科的学生都至少6人,那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多(　 ) A.16 B.17 C.18 D.19 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:把学生50人看成一个集合U,选择物理科的人数组成为集合A,选择化学科的人数组成集合B,选择生物科的人数组成集合C,要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,除这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人, 则其他科选择人数均为最少,即得到单选物理的最少6人,单选化学的最少6人,选化学、生物的最少3人,选物理、生物的最少3人,单选生物的最少4人,以上人数最少42人,可作出如下图所示的Venn图,所以单选物理、化学的人数至多8人,所以至多选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10+8=18人. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁U A)≠∅,则k的取值范围为 (　 ) A.(-∞,0)∪(3,+∞) 　　B.(2,3) C.(0,3) 　　D.(-1,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵A={x|x≤1或x≥3}, ∴∁U A={x|1<x<3}.若B∩(∁Uf A)=∅,则k+1≤1或k≥3,即k≤0或k≥3, ∴若B∩(∁U A)≠∅,则0<k<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知集合A=(-2,-1)∪(1,+∞),B=[a,b].若A∪B=(-2,+∞),A∩B=(1,3],则a=　　,b=　　.  解析: 画出数轴,标出集合A,A∪B,A∩B,如图所示. 　3 -1 由A∪B=(-2,+∞),知-2<a≤-1,b≥1.由A∩B=(1,3],知-1≤a≤1,b=3.故a=-1,b=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)已知全集U=R,集合A={x|x2+3x+b-1=0},集合B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}. (1)若b=-9,且集合C满足:A∩C≠∅,C∪B=B,求出所有这样的集合C; 解:当b=-9时,A={x|x2+3x-10=0}={2,-5},B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}={4,2,-1}. 因为C∪B=B,所以C⊆B. 因为A∩C≠∅,所以C≠∅. 因为A∩B={2},所以2∈C, 故C={2},{2,-1},{2,4}或{2,4,-1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)集合A,B是否能满足(∁U B)∩A=∅?若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由. 解:因为(∁U B)∩A=∅,所以A⊆B, 若A=∅,则满足A⊆B,此时Δ=9-4(b-1)<0,解得b>. 若-1∈A,则(-1)2-3+b-1=0,解得b=3, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,故A={-1,-2},不满足A⊆B,舍去; 若2∈A,则22+6+b-1=0,解得b=-9, 所以x2+3x-10=0,解得x=-5或x=2,所以A={-5,2},不满足A⊆B,舍去; 若4∈A,则42+12+b-1=0,解得b=-27,所以x2+3x-28=0,解得x=-7或x=4,不满足A⊆B,舍去.综上,实数b的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合. (1)判断集合A1={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否为闭集合,并给出证明; 解:因为4∈A1,2∈A1,4+2=6∉A1, 所以A1不是闭集合. 任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z, 所以x+y∈B, 同理,x-y∈B,故B为闭集合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若集合C,D为闭集合,则C∪D是否一定为闭集合?请说明理由; 解:结论:不一定. 不妨令C={x|x=2k,k∈Z},D={x|x=3k,k∈Z},则由(1)可知, D为闭集合,同理可证C为闭集合.因为2,3∈C∪D,2+3=5∉C∪D,因此,C∪D不一定是闭集合.所以若集合C,D为闭集合,则C∪D不一定为闭集合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若集合C,D为闭集合,且C R,D R,证明:(C∪D) R. 解:证明:不妨假设C∪D=R,则由C R,可得存在a∈R且a∉C,故a∈D.同理,存在b∈R且b∉D,故b∈C.因为a+b∈R=C∪D,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a∉C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D,得b=(a+b)-a∈D,与b∉D矛盾, 综上,C∪D=R不成立,故(C∪D) R. $$