专题10 期中压轴大题综合归类（5基础题型+9提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019必修第一册）

专题10 期中压轴大题综合归类 经典基础题 题型1 集合与逻辑大题 1．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合． (1)求． (2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答． 2．（21-22高一·安徽淮南·期中）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求m的取值范围； (2)若，求m的取值范围； (3)若集合的元素中有且只有两个是整数，求m的取值范围． 4．（23-24高一上·北京·期中）设集合，．关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 题型2一元二次函数型大题 1．（21-22高一下·辽宁营口·期中末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 2．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知关于的不等式． (1)当，时，求原不等式的解集； (2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合． 4．（22-23高一上·浙江·期中）已知函数．（） (1)若函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值． 题型3 抽象函数型大题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 4．（23-24高一上·湖北荆州·期中）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 题型4 分式函数型大题 1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 2．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 4．（22-23高一上·四川南充·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 题型5 指数函数型大题 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 2．（23-24高一上·安徽宣城·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 3．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 优选提升题 题型01第19题型：不等式型 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和≤乱序和≤顺序和”．当且仅当或时，反序和等于顺序和． (1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过_______． (2)设是n个互不相同的正整数，求证： (3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同．问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 3．（3-24高一上·甘肃金昌·期中）关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足试判断方程根的个数. 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知函数和，定义集合． (1)设，，求； (2)设，，，若任意，都有，求实数的取值范围； (3)设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围． 题型02 第19题型： 集合型 1．（23-24高一上·山东德州·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合A为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合无需写计算过程 (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 4．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知有限集，若则称为“完全集”． (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2； (3)若为“完全集”，且，试探索集合中最多有几个元素？ 题型03 第19题型： 充要条件型 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 2．（23-24北京顺义·期中）给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件： ①，； ②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）； ③集合，，中各元素之和分别为，，，有； 则称集合为可分集合. (1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，； (2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由； (3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 3．（23-24高一上·浙江·期中）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，定义集合.记集合的元素个数为. (1)若，求，； (2)若，且，求的最小值； (3)若，，，证明：“”的充要条件是“”. 4．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 题型04 第19题型：一元二次函数型 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数（） (1)若，，对，恒成立，求实数a的取值范围． (2)若，的解集为A，的解集为B，且，求实数b的取值范围． 2．（21-22高一上·上海徐汇期中）已知函数，其中为常数． (1)当时，解不等式的解集； (2)当时，写出函数的单调区间； (3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围． 3．（22-23高一上·广东清远·期中）函数．(1)若的最小值为0，求a的值； (2)对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）设a为正数，函数满足且 （1）若f(1)=1，求f(x)； （2）设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围. 题型05 第19题型：抽象函数型 1．（22-23高一上·湖北·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若，使得，对成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 3．（21-22高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的奇函数满足： ①； ②对任意的均有； ③对任意的，，均有. (1)求的值； (2)证明在上单调递增； 4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. . 题型06 第19题型：指数函数型 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. (1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由； (2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； (3)若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 2．（21-22高一上·浙江·期中）已知函数． (1)当时，比较，，； (2)当时，恒有成立，求实数a的取值范围． 3．（23-24高一下·四川德阳·期中）已知（且）是R上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间内只有一个解，求m的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数n，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由. 4．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数，. （1）解方程：； （2）设，求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若且，求的最大值. 专题07 第19题型：函数性质型 1．（23-24高一上·上海·期中）在区间上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增函数”.已知函数. (1)判断在区间上是否为“弱增函数”； (2)设，且，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高一·江苏南通·期中）若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间. (1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间. 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知函数， (1)设，解关于的不等式； (2)当时，求函数的最大值； (3)若对任意的，都有恒成立，求正实数的取值范围 4．（23-24 全国·期中）已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”. (1)判断函数（）是否为函数，并说明理由； (2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式； (3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值. 专题08 第19题型：分式型 1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知函数 （1）当时，求满足的值； （2）当时， ①存在，不等式有解，求的取值范围； ②若函数满足，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值； 3．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数（其中）的值域. 专题09 韦达定理型 1．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 3．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 4．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数的图象与平面直角坐标系的轴交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)在（2）的前提下若对于任意的，有恒成立，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 期中压轴大题综合归类 经典基础题 题型1 集合与逻辑大题 1．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合． (1)求． (2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答． 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）解分式不等式、二次不等式，再结合集合的并集、补集运算即可. （2）选①，将问题转化为，分别研究，时m的范围； 选②，将问题转化为，分别研究，时m的范围； 选③，将问题转化为，分别研究，时m的范围. 【详解】（1）因为，， 所以，所以或. （2）选①，因为，所以，若，则，解得； 若，则，解得，综上，. 选②，因为，所以，若，则，解得； 若，则，解得，综上，. 选③，“”是“”的充分不必要条件，所以， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，. 2．（21-22高一·安徽淮南·期中）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又，∴． （2）∵是的必要不充分条件，∴， ∴（等号不同时成立），解得，∴a的取值范围为． 3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求m的取值范围； (2)若，求m的取值范围； (3)若集合的元素中有且只有两个是整数，求m的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）计算集合和，由充分条件可得，列不等式组即可计算； （2）由得，分，两种情况讨论即可求； （3）由题意知，或，分情况讨论即可. 【详解】（1）因为或，所以， 因为“”是“”的充分条件，所以，，所以，解得， 所以，m的取值范围为. （2）因为，所以， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，或解得：或， 综上所述，m的取值范围为或. （3）因为， 若的元素中有且只有两个是整数， 则或，当时，则有，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，m的取值范围为或. 4．（23-24高一上·北京·期中）设集合，．关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由，则，代入方程求出，再检验是否符合题意即可； （2）分和 时，①，②，进行分类讨论并验证即可； （3）由，利用集合的运算进行求解即可. 【详解】（1）由，又，则， 即是方程的一个实根， 则，解得，或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，故. （2）由，则，当时，则方程的无实根， 即，解得，当时，①时，由（1）知， ， ，此时，故不符合题意； 当时，，此时，故符合题意； ②时，则是方程的一个实根，即，解得， 当时，已验证符合题意；当时，，此时，故符合题意； 综上. （3）由，即， 又，则，，又，则，或， 解得，或，故实数的取值范围为. 题型2一元二次函数型大题 1．（21-22高一下·辽宁营口·期中末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，(2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 2．（23-24高一上·河北保定·期中）已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由. 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：； 若即，上式可化为：， 因为，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以综上可知：的取值范围是 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知关于的不等式． (1)当，时，求原不等式的解集； (2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合． 【答案】(1)(2)或或 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）根据恰有个整数解可得，分情况讨论整数解中最小值与最大值的情况，列不等式解不等式. 【详解】（1）当时，不等式为，即， 又，则 所以， 即不等式的解集为； （2）在（1）的条件下，原不等式的解集为， 要使得原不等式恰有个整数解，则需满足，解得， 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 综上，的取值集合是或或. 4．（22-23高一上·浙江·期中）已知函数．（） (1)若函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若函数在上的最小值为，最大值为，求和的值． 【答案】(1)(2)当时，；当时，. 【分析】（1）利用数形结合，得出，列不等式组解出即可； （2）利用二次函数轴与区间的关系，分四类进行讨论即可. 【详解】（1）函数的对称轴是，其图象与x轴的交点坐标是（0,0）和， 则函数的图象如图所示. 所以函数的单调递减区间是和. 因为函数在上单调递减，所以， 所以，解得，即的取值范围为. （2）若函数在上的最小值为，最大值为. 当时，函数在上单调递减， 则，，且， 解得解出；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.，，且，解得，无解； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 解得，无解；当时，函数在上单调递增， 则，，且， 解得，解出；综上，当时，； 当时，. 题型3 抽象函数型大题 1．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，即可求出； （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）因为对任意，都有， 所以，令，则，所以； 令，，则，因为，所以； （2）任取，且，则 当时，，，，，，在上单调递增； （3）.， 。，得所以原不等式可化为； 由和（1）可得， ，所以，， 根据（2）得，为单调递增函数，所以，， ，得，所以，不等式的解集为： 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知定义域为，对任意都有．当时，，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)是上的单调递减函数，证明见解析(3) 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【详解】（1）取，则，于是， 令，则， 又，则； （2）是上的单调递减函数． 证明： 任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3）不等式可化为，也即，令 于是，都有恒成立，由于为上的单减函数，则，都有恒成立，即成立，即恒成立；令，它是关于的一次函数， 故只需，解得．即，解得 3．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)，(2)为奇函数，理由见解析(3)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，可得，解得， 令，可得，① 令，可得，② 联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）． （2）为奇函数．理由如下： 令，可得（且），③ 用替换，令，可得（且），④ 由③④可得（，且）， 当时，，也满足，故为定义在上的奇函数． （3）在上单调递减．证明如下： 由（2）可得，，所以，， 令，，可得，设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即，所以在上单调递减． 4．（23-24高一上·湖北荆州·期中）函数对任意实数恒有，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)奇函数(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：.取，则由得，∴，即，∴函数是奇函数. （2）证明：任取，且，则，∵当时，，∴， 由得，∴， ∴，∴是上的减函数. （3）解：由得， 由得，则，∴不等式可化为，∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为. 题型4 分式函数型大题 1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，且. (1)求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数； (2)若对，都有，求实数的范围. 【答案】(1)，证明见解析(2)． 【分析】（1）利用求得，根据函数单调性的定义证得函数在上是增函数. （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，结合不等式恒成立列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数是定义域在上的奇函数， 则，即有，解可得，则，则，则此时为奇函数，设，则， 又，，则，，则，， 故在上是增函数. （2）根据题意，是定义在上的奇函数，且在上单调递增， ， 则有对，恒成立，则有，则， 即的取值范围为． 2．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以，对任意的，，所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. （2）解：当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，.所以，所以．   不等式，即， 得在有解，所以且，即 （3）解：因为，所以， ，恒成立，所以，则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则，所以，， 因为在上单调递增，所以，函数在上单调递减，可得，所以，即的最小值为． 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)(2)函数在区间上是减函数，证明见解析(3) 【分析】（1）利用奇函数性质求解参数并检验； （2）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （3）由题意函数在上的值域为函数在上的值域的子集，利用单调性求解的值域，分类讨论利用二次函数的单调性求解值域，然后列不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以. 经检验为奇函数，所以. （2）由（1）可得，下面证明函数在区间上是减函数. 证明：任取，则有 . 再根据，可得，，，， 又，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时，，， 所以，记函数在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为． 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则，， 所以在区间内的值域为，因为，所以，所以，所以， 当时， （i）当时，，在上单调递减，且，则，，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，，得在区间内的值域为，所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为. 4．（22-23高一上·四川南充·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得. （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增. （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，， ，.经检验符合题意； （2）由（1）知. 任取、且，即，则，， 所以，， 则，所以，函数在上单调递增. （3）由（2）知， 所以对于任意的恒成立, 即对于任意的恒成立, 所以，解得或, 所以的取值范围为. 题型5 指数函数型大题 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)2(2) 【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值； （2）首先将函数和在定义域的值域设为，由题意可知，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求集合，根据子集关系，比较端点值，即可求解. 【详解】（1）若，， 因为，令，则，又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2； （2）设在上的值域为，在上的值域为， 由题意可知，，由（1）知，因为，解得：或， 当时，且，则，可得， 可得的最大值为，最小值为，即，可得，解得：，当时，且，， 可得， 可知，的最大值为，最小值为，即，可得，解得：，综上可知，的取值范围是. 2．（23-24高一上·安徽宣城·期中）已知函数，． (1)当时，求函数的值域； (2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可； （2）对任意，存在，使得，则，即，在上恒成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】（1）当时，，， 令，因为，则，所以，其中， 则时，，时，，即，所以的值域为； （2）由，， 设，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故， 因为对任意，存在，使得，则， 所以，在上恒成立， 令，因为，则，即在上恒成立， 则在上恒成立，因为函数在上单调递增， 故，所以，即． 3．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，带特值求解，并检验； （2）求出并化简，恒成立问题，参变分离求最值. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，，解得, ,即，所以. （2）由（1）得， ，，， 代入得，即对任意且，令，又，所以，所以 故原问题等价为对任意的且恒成立，参变分离得对任意的且恒成立，又，当且仅当时等号成立，所以. 4．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域． (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由题意得，化简可求出的值； （2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域； （3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即，所以，得， 所以，，得； （2）由（1）得，， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，所以，所以，因为，所以，所以，所以， 所以，所以函数的值域为； （3）由（1）得，令， 因为在上递增，所以在上递减，所以在上递增， 因为函数在上的值域为，所以， 所以，因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根，所以，解得，即的取值范围为. 优选提升题 题型01第19题型：不等式型 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ，又，所以，构造， 由，可得，因此，由（2）知，取等号时，且同正，结合，解得，即，．所以时，取得最小值． 2．（23-24高一上·陕西西安·期中）排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和≤乱序和≤顺序和”．当且仅当或时，反序和等于顺序和． (1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过_______． (2)设是n个互不相同的正整数，求证： (3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同．问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 【答案】(1)(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）设两组数与，由“乱序和顺序和”可得； （2）设两组数：与，由“乱序和反序和”可得； （3）由题意求出等候总时间的表达式为，设两组数：与，由“乱序和反序和”可得等候的最少总时间. 【详解】（1）由题意是的任一排列，设两组数与， 则可看作与两组实数的“乱序和”； 设也是的一个排列，且，其中满足集合.则为与两组实数的“顺序和”，且.则由排序不等式：乱序和顺序和， 得.故空格处填：. （2）设两组数：与.由是n个互不相同的正整数， 设是的一个排列，且满足，即是这n个互不相同的正整数从小到大的排列，因此.又因为，故由排序不等式：乱序和反序和，得 .故，命题得证. （3）由题意可知，水龙头注满第个人的水桶需要分钟， 则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为， 故所有人打完水，他们等候的总时间为.设两组数：与.由假定，这些各不相同，设为的一个排列，且，又因为，由排序不等式：乱序和反序和， 得. 所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水， 即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水. 等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列. 3．（3-24高一上·甘肃金昌·期中）关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足试判断方程根的个数. 【答案】(1)(2)答案见解析(3)6个实根. 【分析】（1）令，则，若原方程无实根，则无实根或实根均小于零，分情况讨论即可； （2）根据函数的图象，可知或时， 时 ，时一个值对应不同的值的个数，分情况求解即可； （3）根据已知条件结合基本不等式可得，即可求解. 【详解】（1）令，则，原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零，令， ①若（*）式无实根，则，解得，②两根均为负，则， 解得，综合①②，可知的取值范围是； （2）作函数的图象，可知或时，每一个值对应2个不同的值， 时一个值对应3个不同的值，时一个值对应4个不同的值， 要使原方程有四个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根大于，无解； ②（*）有两不等根且两根均大于，则，解得； ④（*）式有有1实根在之间，另一根小于零则；解得； 综上所述，取值范围为； （3）因为，所以， 因为为正实数，所以，可得，即，所以，即，当且仅当即，时等号成立，故，此时有，故（*）式有两不等实根且一根在之间，另一根大于1，故原方程有6个实根. 4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知函数和，定义集合． (1)设，，求； (2)设，，，若任意，都有，求实数的取值范围； (3)设，，，若存在，使得且，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别解不等式，即可得解； （2）依题意可得不等式①恒成立，且不等式②恒成立，分别求出①、②参数的取值范围，即可得解； （3）依题意可得不等式组有解，又，又，再分、、三种情况讨论，分别求出的取值范围. 【详解】（1）已知，由，即 当时，不等式化为，得，此时，不等式的解为． 当时，不等式化为，即，恒成立，此时，不等式的解为． 当时，不等式化为，得．此时，不等式的解为． 综上所述，的解集为，即． （2）由题意知，不等式①恒成立，且不等式②恒成立；由①得，，则，解得； 由②得，，当时，不等式化为恒成立， 当时，应满足，解得；综上知，的取值范围是． （3）已知，，，由题意得，不等式组有解， 由， 又， ①当，即时，上式为，对任意恒成立． 此时不等式组有解，满足题意； ②当，即时，或， 要使不等式组有解，则或，解得，则有； ③当，即时，或．要使不等式组有解， 则或，解得，则有；综上所述，的取值范围是. 题型02 第19题型： 集合型 1．（23-24高一上·山东德州·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】(1)，是(2)，理由见解析(3)10 【分析】(1)理解新定义的集合意义，根据新定义集合的运算就可以作出判断； (2)对于5元集中任意两元素之差组成新的集合，由于已知3元素，通过分析讨论差值为7的元素由哪两个数作差得到，共有四种情形，再进行分类讨论即可； (3)根据第二问的结论，正好5个元素集，满足新定义集合，说明可以取到10，从而再分析取11时，再类似第二问来进行分析讨论即可. 【详解】（1），则满足， 集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则 因为,,所以由，共可得以下四种情形： 即 ， ，，经检验没有这样的满足； ，此时，不满足. 综上可得：. （3）假设存在A是的恰当子集，并且， 当时，由（2）可知，，， 满足，是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足， 由，则有且；由，则有或， 讨论当时，设，经检验没有这样的满足； 讨论当时，设，经检验也没有这样的满足； 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数． (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系； ②猜想和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)；证明见解析； 【分析】（1）由集合新定义直接求出即可； （2）全部互质时，由求出即可； （3）①时直接证明即可；和分为互质与否可得到；②考虑互质与否，结合集合新定义与二次函数的关系可证明； 【详解】（1）由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，可得 ，， （2）由（1）可得，，，， 若，要得到，就要全部互质， 当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了， ， 即，解得，或（舍去），所以若，， （3）当时，，，； 当时：若两个数互质，如，，，， ；若两个数不互质，如，，，， ；综上， 当时，设，中最多有，6个元素，此时， 若时，有5个元素，此时，所以， 证明：当时，由①可知成立； 若考虑互质，当时，从集合中任取两个元素做乘积，共有个， 每个元素自身取平方共有个，此时共有个，它们构成了， 所以作差可得， 由二次函数的性质可得当时，上式大于零， 若不考虑互质时，当且仅当时， 此时中有个元素，，综上. 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知集合A为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合无需写计算过程 (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)1350 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据题意结合集合相等的概念可得，结合集合元素的互异性证明； （3）先说明，通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，. （2）由于集合，，且，可知中也只包含四个元素，即，因为，则，可得， 即，又因为，则， 可得，注意到，所以. （3）设满足题意，其中， 则，可得， 因为，则，又因为，， 可知中最小的元素为0，最大的元素为，则， 可得，，实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则， 依题意有，即， 故的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1350． 4．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知有限集，若则称为“完全集”． (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2； (3)若为“完全集”，且，试探索集合中最多有几个元素？ 【答案】(1)集合是否为“完全集”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)3 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即得. 【详解】（1）对于集合，由“完全集”的定义，因， 而，故集合是“完全集”； （2）若是两个不同的正数，且为“完全集”，不妨设， 根据根和系数的关系知，可看成方程的两个根， 由，解得或（舍去），故，又因，假设都不大于2，则，这与产生矛盾，故中至少有一个大于2，得证. （3）不妨设，则，故. 当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能由可求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由因,故有， 而，可得, 又故 这与产生矛盾，故当时，不存在“完全集”. 综上，“完全集”中最多有3个元素. 题型03 第19题型： 充要条件型 1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 【答案】(1)集合B是，集合C不是，理由见解析；(2)p假q真，理由见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合 因为，所以是封闭集； 对于集合，因为，所以集合不是封闭集. （2）对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合，设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾，则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合，所以A的补集不是封闭集. 2．（23-24北京顺义·期中）给定正整数，集合.若存在集合，，，同时满足下列三个条件： ①，； ②集合中的元素都为奇数，集合中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合中（集合中还可以包含其它数）； ③集合，，中各元素之和分别为，，，有； 则称集合为可分集合. (1)已知为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合，，； (2)当时，是不是可分集合？判断并说明理由； (3)已知为偶数，求证：“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 【答案】(1)，，(答案不唯一)(2)不是，理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）取，按照定义列举即可； （2）方法一：用反证法即可得结论； 方法二：由题意可得所有元素和为，中元素是偶数，从而得是12的倍数，又因为时，不是12的倍数，即得矛盾； （3）按照必要不充分条件的定义证明即可 【详解】（1）解：依照题意，取时，，又，，则，所以可以取，，； （2）解：当时，不是可分集合，理由如下： 方法一：假设存在是3的倍数且是可分集合，设，则依照题意， 故，   而这个数的和为，故，矛盾，所以是3的倍数时，一定不是可分集合； 方法二：注意到所有元素和为，又中元素是偶数，所以（为正整数）， 所以，即是12的倍数.容易验证，当时，不是12的倍数，矛盾！所以当时，不是可分集合； （3）证明：因为所有元素和为，又中元素是偶数，所以（为正整数），所以，因为，为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数， 由（2）知道，不是3的倍数，所以一定有是3的倍数.当为偶数时，为奇数，而，所以一定有是3的倍数，是4的倍数，所以既是3的倍数又是4的倍数， 从而可分的一个必要条件是：是12的倍数.从而“是整数”是“为可分集合”必要条件. 另一方面，当时，不是可分集合，从而“是整数”不是“为可分集合”充分条件 （可以验证：当，56，时，不可分，其余满足是正整数情形，都可分） 综上可知，“是整数”是“为可分集合”的必要不充分条件. 3．（23-24高一上·浙江·期中）对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合，定义集合.记集合的元素个数为. (1)若，求，； (2)若，且，求的最小值； (3)若，，，证明：“”的充要条件是“”. 【答案】(1)，(2)7(3)证明见解析 【分析】（1）根据题干中对集合和的定义求解即可； （2）结合题设可得，进而得到，从而求解； （3）分别从充分性和必要性两个方面证明即可. 【详解】（1）若集合，则根据定义可得：，.（2）若，，因为， 所以，此时只需要让其他元素相乘与之相等即可，所以的最小值为7. （3）证明：充分性：设是公差为的等差数列， 则， 且，所以共有个不同的值，即.必要性：由， 因为，所以中有个不同的元素：，任意的值都与上述某一项相等. 又，且，， 所以，即是等差数列，且公差不为0. 所以“”的充要条件是“”. 4．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集． 【答案】(1)是封闭集；集合不是封闭集，理由见解析 (2)命题是真命题，理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断； （2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题； （3）对非空集合进行分类考虑，当时，，得证；当时，运用反证法思想，假设是封闭集合，分和两种情况进行分析讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下： 对于集合，因，故是封闭集； 对于集合，因，故集合不是封闭集． （2）命题是真命题，理由如下： 若，不妨任取，则有， 又集合是封闭集，则，同理， 因此，即是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 故是是封闭集的充要条件，命题是真命题． （3）因非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合，若，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾，因此，而，与矛盾，则当时，则不是封闭集合， 同理当时，也不是封闭集合，所以的补集不是封闭集． 题型04 第19题型：一元二次函数型 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数（） (1)若，，对，恒成立，求实数a的取值范围． (2)若，的解集为A，的解集为B，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意易得，再分离参数，结合基本不等式即可得解； （2）令，根据题意可得得解集为，则有时方程的一个解，从而可求出，再根据和即可得出答案. 【详解】（1）由，，得，则，则， 故对，恒成立，即对，恒成立， 即对，恒成立，因为，所以，所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以即实数a的取值范围为； （2）若，则，令，因为的解集为A，的解集为B，且，所以得解集为，所以时方程的一个解，所以， 故，，由，得，即， 因为，所以恒成立，即恒成立，则，解得，由，得不等式有解， 则，解得或，综上所述，实数b的取值范围为． 2．（21-22高一上·上海徐汇期中）已知函数，其中为常数． (1)当时，解不等式的解集； (2)当时，写出函数的单调区间； (3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)增区间为和，减区间为(3) 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可； （2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可； （3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解. 【详解】（1）当时，，当时，，解得，所以， 当时，成立，当时，，解得， 综上，不等式的解集为； （2）当时，，所以由二次函数的单调性知，的严格增区间为和，严格减区间为；（3）①当时，在上严格增， 所以 ，所以，解得； ②当时，在上严格增， ，所以，解得，③当时，在上严格增，在上严格减， ，不满足条件， ④当时，不单调，， ，不满足条件，所以实数的取值范围为． 3．（22-23高一上·广东清远·期中）函数．(1)若的最小值为0，求a的值； (2)对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由函数的最小值，知函数的判别式，求解即可；（2）由题意可知，函数对称轴为直线，分类讨论当，，和时，求函数的最值列不等式组，求解即可. 【详解】（1）∵函数的值域， 所以，解得． （2）由题意可知函数图象开口向上，对称轴为直线． ①当时，函数在上为增函数， 则，， 故，此时； ②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数， ，，故，此时； ③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数， ，，故，此时； ④当时，在上减函数， ∴，，故，此时． 综上所述，实数a的取值范围是． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）设a为正数，函数满足且 （1）若f(1)=1，求f(x)； （2）设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）由题意得，且，，解方程可得，进而得到函数的解析式； （2）求得在上的最值，可得的最大值为1，则对任意的实数，总存在，使得，讨论的对称轴和区间的关系，可得的最值，解不等式可得所求范围 【详解】解：（1）函数满足且，所以，且，得，因为，所以，得，所以， （2），当可得的最小值为，最大值为，所以的最大值为， 所以对任意的实数，总存在，使得， 设在上的最大值为，最小值为，的对称轴为直线， 令，则对任意的实数，， ①当时，在上递增，可得， 则，此时，得， ②当时，，， ，所以， ③当时，，， ，所以， ④当时，在上递减，可得，， 则，此时，得，综上，的取值范围为 题型05 第19题型：抽象函数型 1．（22-23高一上·湖北·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再证得时，，然后任取，则，，再根据已知条件变形可证得单调性； （3）由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴，令，得， ∴，∴为奇函数. （2）时，，∴，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，∴，∴时，，又为奇函数， ∴时，，∴对，，任取，则，，而，， 又，，∴，∴，∴，，∴在上单调递增. （3），∴， ，∵不等式对恒成立，∴对恒成立，又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，，而函数在上单调递减，∴的值域为. 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③. (1)求，判断并证明的单调性； (2)若，使得，对成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，单调递减区间为，无单调递增区间；(2)； (3)时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为. 【分析】（1）利用赋值法令，求得；由函数单调性的定义结合作差法即可得到的单调性 （2）利用单调性得到在上的最值，结合不等式的存在性问题得到对，成立； 看成关于的一次函数恒成立问题即可求解； （3）利用赋值法得到，结合题目的定义对原不等式转换得到， 由单调性得到，利用分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得：； 令，即， 则， 因为时，，所以时，， 所以在上的单调递减；故单调递减区间为，无单调递增区间. （2）由（1）知，时，单调递减， 又，则时，；因为，使得，对成立，所以，则，即对，成立；设（），则对，恒成立， 即解得：或；故实数的取值范围为. （3）令，得，又知，即，所以；因为，所以，； 不等式等价于， 即； 又因为，所以， 故，则；因为在上单调递减，所以，即， ①时，，解得或； ②时，，解得或； ③时，解得； ④时，，解得； 综上所述： 不等式的解集为：时，解集为； 时，解集为；时，解集为；时，解集为. 3．（21-22高一上·广东揭阳·期中）已知定义在上的奇函数满足： ①； ②对任意的均有； ③对任意的，，均有. (1)求的值； (2)证明在上单调递增； 【答案】(1)0；(2)详见解析；(3)存在，. 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）利用单调性的定义，由题可得，结合条件可得，即证； 【详解】（1）∵对任意的，，均有， 令，则，∴； （2），且，则 又，对任意的均有，∴，∴ ∴函数在上单调递增. 4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”. (1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； (2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有. 【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义推导的正负，即可判断； （2）首先证明对任意的，都有，再由周期性，即可证明对定义域内任意的，均有. 【详解】（1）由题知，函数的定义域为， 所以， 即， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 函数的定义域为， 所以，， 所以， 所以函数是“利普希兹条件函数”； （2）若， 当，则； 若，设， 则 ， 所以对任意的，都有， 因为函数是周期为的周期函数， 所以对任意的，都存在，使得，， 所以， 综上可得对定义域内任意的，均有. . 题型06 第19题型：指数函数型 1．（23-24高一上·江苏常州·期中）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. (1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由； (2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； (3)若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1)是上的有界函数；理由见解析(2)(3)存在，答案见解析 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【详解】（1）是上的有界函数，理由如下：当时，， 当时，，由对勾函数性质得或， 或，或，∴的值域为，， ∴存在，使得，所以是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，，， 即，∴在上恒成立， ∴．设，，， 由，得．∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，．所以，实数a的取值范围是. （3），∵，，∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减，∴，∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得，即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，；当时，. 2．（21-22高一上·浙江·期中）已知函数． (1)当时，比较，，； (2)当时，恒有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)a=2时，分析出f(x)的单调性，再比较，，的大小而得； (2)化简计算给定不等式的左边，原不等式等价转化为，再分离参数，转化成求函数的最大值得解. 【详解】(1)a=2时， 而是R上的增函数，是R上的减函数，则f(x) 是R上的增函数， ，，，即， 所以； (2)。， ， ，，-1在上递减，在[1，4]上递增， 时，，t=4时，，所以t=4时，-1取最大值， 即x=2时，取最大值，故，实数a的取值范围是. 3．（23-24高一下·四川德阳·期中）已知（且）是R上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）若关于x的方程在区间内只有一个解，求m的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数n，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）m的取值集合或}（3）存在， 【分析】（1）利用奇函数的性质得到关于实数k的方程，解方程即可，注意验证所得的结果； （2）结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f的符号即可； （3）可得，即可得： 即可. 【详解】（1）由奇函数的性质可得：，解方程可得：. 此时，满足，即为奇函数. 的解析式为：； （2）函数的解析式为：， 结合指数函数的性质可得：在区间内只有一个解. 即：在区间内只有一个解. （i） 当时，，符合题意. （ii） （ii）当时, 只需且 时，，此时，符合题意综上，m的取值集合或} （3）函数为奇函数关于对称 又     当且仅当时等号成立 所以存在正整数n，使不得式对一切均成立. 4．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数，. （1）解方程：； （2）设，求函数在区间上的最大值的表达式； （3）若且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）令，解方程后可得. （2）令，则，分类讨论可求的最大值的表达式. （3）根据题设有，利用基本不等式求出的最小值后可得的最大值从而得到的最大值. 【详解】（1）由题意，，解得，（舍去）. 所以原方程的解为：. （2），，令，则， 设函数，则.当，即时，；当，即时，； 当，即时，.综上， . （3）由题意，得，所以， 其中，所以，由知的最大值是， 又单调递增，所以，，即的最大值为. 专题07 第19题型：函数性质型 1．（23-24高一上·上海·期中）在区间上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增函数”.已知函数. (1)判断在区间上是否为“弱增函数”； (2)设，且，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是(2)证明见解析(3)， 【分析】（1）用弱增函数的定义去判断即可； （2）用分析法证明，先将分离到不等号两边，再构造函数，判断其在给定定义域内单调递减即可； （3）分讨论，将不等式变成恒成立形式，再分离参数利用单调性求最值即可. 【详解】（1）显然在区间上为增函数. 因为， 所以在区间上为减函数，所以在区间上为“弱增函数”. （2）证明：要证，不妨设， 由在单调递增，得， 即要证，即证. 令，其中， 则原问题转化为：要证明在单调递减即可. 事实上，当时，由得恒成立， 所以在上单调递减，故原命题成立， 即. （3）当时，不等式，即恒成立. 当时，不等式显然成立； 当时，等价于恒成立，即. 由（1）可知在区间上为减函数，将分别代入化简后中，得到 ∴，所以且. 2．（23-24高一·江苏南通·期中）若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间. (1)是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间. 【答案】(1)存在，(2)答案见解析 【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，利用构造函数法来求得的取值范围. （2）根据“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案. 【详解】（1）因为函数是上的减函数， 所以当时，，即两式相减得，即， 代入得，由，且得， 故关于a的方程在区间内有实数解，记， 则，解得. （2）由不等式的解集恰为，且为二次函数， 得，且. 所以，①，② 将代入①，，整理得.又，a，， 从而或.所以或 当时，， 当时，，所以不是的等域区间. 当时，，. 当时，，所以不是的等域区间. 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知函数， (1)设，解关于的不等式； (2)当时，求函数的最大值； (3)若对任意的，都有恒成立，求正实数的取值范围 【答案】(1);(2)；(3). 【分析】（1）分式不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）先令化简，再令换元，转化为求关于的一次函数，求其最大值即可； （3）令，代入化简，再设，原不等式可化为在恒成立，记，对分类讨论,根据恒成立求解即可. 【详解】（1）由可得，化简得，解得， 所以不等式的解集为. （2）记，则 ，令，即，则，即的最大值为. （3）令，则，设，则，则在恒成立， 记， 当时，在上单调递增，故，不符合题意. 当时，由对号函数知在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，从而，平方可得，解得. 综上，正实数的取值范围为. 4．（23-24 全国·期中）已知定义域为的函数.当时，若（，）是增函数，则称是一个“函数”. (1)判断函数（）是否为函数，并说明理由； (2)若定义域为的函数满足，解关于的不等式； (3)设是满足下列条件的定义域为的函数组成的集合：①对任意，都是函数；②，. 若对一切和所有成立，求实数的最大值. 【答案】(1)是，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）将代入解析式，根据整理表达式，判断是否为增函数即可； （2）由函数可知是上的增函数，有意义，需满足，显然时不等式不成立，设，转化不等式为，结合单调性即可判断； （3）由题可知是函数，也是函数，结合已知函数值及函数单调性，可得当，或当时，，再讨论当，结合可判断，即满足当时，对一切成立.另证明任意均不满足要求：任意，定义函数满足条件②，满足条件①时符合，即可证明. 【详解】（1）是，理由：由题， （，）为增函数， 故（）是函数. （2）因为是函数，且，所以是上的增函数， 因为有意义，所以，显然，时不等式不成立，下设， 此时等价于， 由的单调性得，，即所求不等式的解集为. （3）由题意，是函数，故是增函数，从而当时，，即；而是函数，故是增函数，从而当时，，即， 当时，同理可得，且，故且，故. 因此 ，当时，对一切成立. 下证，任意均不满足要求，由条件②知，.另一方面，对任意，定义函数，容易验证条件②成立. 对条件①，任取，有， 注意到是增函数， 而对，当时，；当时，，均单调不减. 因为， 所以条件①成立.从而.此时，， 故，从而为所求最大值. 专题08 第19题型：分式型 1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析(2)(3) 【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）证明：当时，，任取、，且， 则，，，， 所以，，所以，函数在单调递增. （2）解：由题，因为，则，所以，，即， 由（1）知，函数在单调递增，所以，当时，函数取最大值，即， 所以，，则，因此，实数的取值范围是. （3）解：对任意的，任意的，恒成立， 即，令， 因为时，，则， 所以，对任意的恒成立， 令，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 2．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知函数 （1）当时，求满足的值； （2）当时， ①存在，不等式有解，求的取值范围； ②若函数满足，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值； 【答案】（1）；（2）①；②6． 【分析】（1）将方程 转化为一元二次方程：，求解即可. （2）①判断函数的单调性，利用单调性定义将已知转化为在时有解，根据判别式大于零可得的取值范围． ②先求函数，则，因此不等式可转恒成立，即在时恒成立，利用函数的单调性求最值即可得解. 【详解】（1）当时，，化简得， 解得：或（舍），所以 （2）当时，①对任意，且有： ， 因为，所以，所以，因此在上递减． ∵，∴ 即在时有解，所以，解得所以的取值范围为 ②∵，∴．∴，．不等式恒成立，即恒成立 令，则在时恒成立令，根据对勾函数图像得在上单调递减，在上单调递增，∴，∴．所以，实数的最大值是6． 3．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据恒成立和可求的值. （2）判断函数在上的单调性，再求值域. （3）根据恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】（1）由题意：所以. 又.所以：，. （2）由（1）可知：.设， 则， 因为，所以，，， 所以.所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数为上的奇函数，且. (1)求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数（其中）的值域. 【答案】(1)(2)递减区间为，递增区间为，.(3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）由（1）知，结合函数单调性的判定方法和函数的奇偶性的性质，即可求解； （3）由（2）中函数的单调性，求得，令，转化为函数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由函数为上的奇函数，则有，解得， 又由，可得，解得. （2）由（1）知，函数， 因为函数为上的奇函数，先求函数在区间的单调区间， 令， 有 ， ①当时，， 所以，即，所以函数在上单调递减； ②当时，， 所以，即，所以函数在上单调递增， 因为函数为上的奇函数， 所以函数的递减区间为，递增区间为，. （3）由，，，， 及函数的减区间为，递增区间为，. 可知，当时，， 令，有， ①当时，即时，， 此时函数的值域为； ②当时，即时，，，此时函数的值域为； ③当时，即时，，，此时函数的值域为； ④当时，即时，， 此时函数的值域为. 专题09 韦达定理型 1．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】(1)不动点为和；(2). 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足， (1)证明：关于的方程有两个不同的实数解. (2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意可将原方程等价为，易知恒成立，经检验可知该方程有两个不同的实数解； （2）结合（1）中的结论以及二次函数图像性质可知，即可得. 【详解】（1）原方程可化为 即方程 因为 所以有两个不同的实数解 经检验 所以，，， 所以关于的方程有两个不同的实数解. （2）令， 而二次函数图象开口向上，故， 所以. 3．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解； （2）由（1）得，结合均为负整数可求解； （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，， 所以． 由得，即， 所以，即． （2）由（1）得，因为均为负整数， 所以或或， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 故所求函数解析式为． （3）由题意得， 又由，得，故， 所以． 4．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数的图象与平面直角坐标系的轴交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)在（2）的前提下若对于任意的，有恒成立，求的最大值. 【答案】(1)(2)(3)的最大值为. 【分析】(1)由已知有两个根，结合根与系数的关系可求得答案； (2)由根的判别式和韦达定理列不等式求的取值范围； (3)由条件可得，由已知可得，结合基本不等式求的最小值即可得的最大值.. 【详解】（1）当，函数， 因为函数的图象与轴交于点. 所以方程令有两个根，所以，故 （2）由题意关于方程有两个正根，所以由韦达定理知， 所以解得；所以的取值范围为； （3）因为，由得，所以，由于，所以， 当且仅当时等号成立，即当且仅当时等号成立， 此时实数符合条件，故，且当时，取得最小值， 由已知可得，所以的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$